Оценивание параметров моделей многосвязных линейных динамических систем разного порядка с помехами во входных и выходных сигналах

Актуальность работы. Во второй половине XX в. значительно возросла роль науки об управлении в связи с установленными аналогиями в процессах управления целенаправленной деятельностью человеческого общества, живыми организмами и искусственными, созданными человеком машинами и механизмами. Появлению новых идей и методов управления способствовали: обобщения высокоэффективных принципов теории автоматического управлениявозросшие технические возможности в связи с широким развитием вычислительной техники. В области управления возникла необходимость в новых принципах построения моделей, формализации результатов наблюдений. В связи с этим возникло одно из новых и важных направлений, связанное с построением модели на основании данных натурного эксперимента, полученных в условиях реального функционирования объекта по его входным и выходным переменным. Это направление известно в настоящее время как моделирование систем. В этом направлении были разработаны свои принципы, подходы и методы.

При изучении любых объектов (технических систем, процессов, явлений) основной задачей является построение их моделей. Как результат познания модель представляет собой отображение в той или иной форме свойств, закономерностей, физических и других характеристик, присущих исследуемому объекту. Характер модели определяется поставленными целями и может быть различным в зависимости от ее назначения. Модели разделяют на два основных класса: символические (словесные описания, схемы, чертежи, математические уравнения и т. д.) и вещественные (макеты, разного рода физические аналоги и электронные моделирующие устройства, имитирующие процессы в объектах).

При исследовании объектов, предназначенных для управления, применяют математические модели, входящие в класс символических и вещественных. К математическим моделям относится такое математическое описание, которое адекватно отражает как статические, так и динамические связи между входными и выходными переменными объекта. Математическая модель может быть получена и аналитически (закономерности протекающих в объекте процессов полностью известны), и по результатам экспериментального исследования входных и выходных переменных объекта без изучения его физической сущности. Последний подход особенно широко используется на практике, так как позволяет обойтись минимумом априорных сведений об объекте при построении его модели [1].

Математическое моделирование — это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта — математической модели.

В настоящее время математические модели используются очень часто, они дают: а) возможность быстро провести ряд экспериментов с целью поиска оптимального технологического режима или максимально достоверно широко в разных областях: ТАУ, статистике, медицине, геологии, метеорологии и др. Достоинства математического прогноза при минимальных затратах времени и материальных ресурсов. В практике эксплуатации на эти опыты ушли бы годы и десятилетия. б) возможность на модели задать условия эксплуатации, невозможные в реальности, для проверки оптимальных режимов. в) математическая модель по разработанным методикам (метод крутого восхождения, градиентный метод и др.) позволяет быстро найти оптимальные условия ведения технологического процесса. Математическая модель — чаще всего это или одно уравнение математической взаимосвязи выходного сигнала объекта (системы) с входным сигналом, или система уравнений взаимосвязи выходных сигналов с входными.

Задача оценивания формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т. е. формализованное представление этой системы. Отсюда видна преемственность между задачей оценивания и указанной общей схемой установления закономерностей по результатам наблюдений. Задача оценивания базируется на современной теории управления. Для ее решения используются современные вычислительные машины. Последние, обладая большим быстродействием и практически неограниченным объемом памяти, создают предпосылки для получения, передачи и обработки больших массивов наблюдений, которые необходимы для построения адекватных моделей реальных объектов.

В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи оценивания в узком и широком смысле. Задача в узком смысле состоит в оценивании параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. При этом известна структура системы и задан класс моделей, к которому данный объект относится. Априорная информация об объекте достаточно велика.

Априорная информация об объекте при оценивании в широком смысле отсутствует или очень бедная, поэтому приходится предварительно решать большое число дополнительных задач. К этим задачам относятся: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценивание степени стационарности и линейности объекта и действующих переменных, оценивание степени и формы влияния входных переменных па выходные, выбор информативных переменных и др. К настоящему времени накоплен большой опыт решения задач оценивания в узком смысле. Методы же решения задач оценивания в широком смысле начали разрабатываться только в последние годы, и здесь результаты значительно скромнее, что в первую очередь можно объяснить чрезвычайной трудностью задачи [41].

Целью диссертационной работы является разработка новых математических методов оценивания моделей многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу при наличии помех во входных и выходных сигналах в условиях априорной неопределенности (отсутствие информации о законе распределения помех), численных методов для получения состоятельных оценок параметров моделей, а так же создание программного обеспечения на основании разработанных алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью работы основными задачами исследований являются:

• обзор существующих методов оценивания параметров линейных динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах, анализ их преимуществ и недостатков;

• доказательство строгой состоятельности оценок многосвязной линейной динамической системы разного порядка по входу и выходу (и ее частных случаев) с помехами во входных и выходных сигналах на основе введенного обобщенного метода наименьших квадратов;

• разработка численных методов на основе полученных критериев оценивания параметров;

• создание прикладного программного обеспечения на основе предложенных алгоритмов.

Методы исследования.

В работе были использованы:

• теория вероятностей, в том числе теория оценивания;

• математическая статистика;

• теория оптимизации;

• теория матриц,.

• линейная алгебра;

• прикладное программирование.

Достоверность и обоснованность научных положений подтверждается соответствием результатов теоретических исследований, экспериментальным тестам.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

• Разработаны методы параметрического оценивания моделей многосвязных линейных динамических систем разного порядка при наличии помех во входных и выходных сигналах.

• Доказана сильная состоятельность оценок параметров, получаемых с помощью разработанных методов оценивания многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу с помехами во входных и выходных сигналах (и ее частных случаев, при наличии локально автокоррелированных помех), на основе обобщенного метода наименьших квадратов;

• Разработаны численные методы оценивания многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу, которые сводятся к многократному решению систем линейных уравнений.

Практическая значимость. Расширен круг задач, при решении которых возможно применение алгоритмов оценивания на основе метода наименьших квадратов. Полученные в диссертации результаты (условия состоятельности) могут быть использованы при проектировании инженерных приложений. Разработано прикладное программное обеспечение, на основе разработанных алгоритмов параметрического оценивания многосвязных линейных динамических систем, позволяющее получать сильно состоятельные оценки параметров.

Реализация и внедрение результатов. Результаты разработки и исследования алгоритмов параметрического оценивания многосвязных линейных динамических систем, описываемых с помощью линейных разностных уравнений, внедрены в учебный процесс Самарской государственной академии путей сообщения на кафедре «Мехатроника в автоматизированных производствах». Использование полученных результатов способствует повышению эффективности учебного процесса.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство сильной состоятельности оценок, получаемых с помощью разработанных методов оценивания параметров многосвязной линейной динамической системы разного порядка по входу и выходу с помехами во входных и выходных сигналах типа мартингал разности на основе введенного обобщенного метода наименьших квадратов, так же при наличии локально автокоррелированных помех.

2. Численные методы оценивания параметров многосвязных линейных динамических систем разного порядка по входу и выходу при наличии помех во входном и выходном сигналах.

3. Разработка прикладного программного обеспечения на основе предложенных алгоритмов.

Апробация работы. Результаты основных положений диссертации доложены, обсуждены и утверждены на: 1) 15-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь 2008 г.). 2) XVI Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» V международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докладов (Ростов н/Д, 2008 г.). 3) 16-й Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (г. Новороссийск, июнь 2008 г.). 4) 8-й Международной научно-практической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (г. Пенза, июнь 2008 г.). 5) 7-й Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (г.

Томск, сентябрь 2008 г.) 6) Одиннадцатой международной научно-технической конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (14−21 сентября 2008 г. Донецк). 7) 9-й Международной конференции по математическому моделированию (Украина, г. Феодосия, сентябрь 2008 г.) 8) 5-м Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, ноябрь 2008 г.). 9) 16-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, январь 2009 г.). 10) Международной Сибирской конференции «Siberian Conference on Control and Communications» (г. Томск, март 2009 г.). 11) 6-й Международной конференции «Математическое моделирование в образовании науке и производстве» (Приднестровье, г. Тирасполь, июнь 2009 г.) 12) Международной конференции «Информационные технологии и информационная безопасность в науке, технике и образовании» (Украина, г. Севастополь, сентябрь 2009 г.) 13) «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» двенадцатая международная научно-техническая конференция (14−21 сентября 2008 г. Донецк). 14) 12-й международной конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» (Украина, г. Алушта, сентябрь 2009 г.) 15) International Conference on Automation, Control, and Information Technology (15−18 июня 2010 г. Новосибирск). 16) «Системный анализ и информационные технологии» Четвертая международная конференция (Абзаково 17−23 августа 2011 г.).

Публикации. Самостоятельно и в соавторстве по материалам диссертации опубликовано 22 печатные работы (в том числе 6 работ в изданиях, рекомендованными ВАК), получено 1 свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов по главам, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения. Объем работы: 117 страница основного машинописного текста, 45 рисунков, 3 таблицы.

Выводы по главе 5.

1. Исследованы алгоритмы на основе нелинейного метода наименьших квадратов, которые дают состоятельные оценки параметров. Рассмотрен достаточно большой класс линейных многосвязных моделей при различных отношениях помех, различной выборки, различных классов помех (мартингал-разности, локальной автокорреляции), различных структурах.

2. Проведена сравнительная характеристика разработанных алгоритмов с методом наименьших квадратов и методом инструментальных переменных. Численные эксперименты показали, что разработанные алгоритмы имеют большую точность, по сравнению с известными методами.

3. Протестированы алгоритмы параметрического оценивания для случая локально автокоррелированных помех. Тестирование подтвердило, что при наличии оценок нескольких значений функций автоковариаций помех, могут быть получены оценки с высокой точностью.