Нестационарные задачи механики неоднородных тел

Проблеме математического моделирования динамики и динамического разрушения конструкций и материалов посвящено большое количество научных работ.

Современный уровень исследований в этой области отражают монографии [2], [16], [17], [20], [22], [29], [31] и др., в которых изложены основные результаты и представлена полная библиография.

Наряду с несомненными успехами в решении задач динамики, связанных с интенсивным развитием современных численных методов, своей актуальности не утратили линейные задачи, решения для которых аналитическими методами можно построить в замкнутой форме.

Ниже основное внимание при анализе проблемы уделяется линейным задачам динамики пластин, стержней и оболочек, в том числе взаимодействующих со средой.

Анализ литературных источников показывает, что подавляющее количество результатов получено при следующих предположениях: интенсивность воздействующих нагрузок малаэлементы конструкций являются тонкостеннымипрогибы точек срединной поверхности малы по сравнению с толщиной стенкиматериал конструкции является однородным и изотропным, а деформации протекают в упругой области. Отсутствуют конструктивные неоднородности типа отверстий, полостей или инородных включений из другого материала. Совсем отсутствуют результаты по подкреплению отверстий в динамике. Тем самым около отверстий (полостей) происходит значительная концентрация напряжений. Волновой процесс вне полости описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными или переменными коэффициентами.

Так, например, для поперечных колебаний пластин, находящихся под действием ударных нагрузок, в рамках модели Ля-ва-Кирхгофа, получается одно дифференциальное уравнение в частных производных.

При этом внешняя нагрузка (распределенная или локализованная) чаще всего представляется в форме рядов.

В случае, если в конструкции распространяется фронт упругой волны, то нагрузка на контур может быть представлена суммой трех потенциалов — падающих, отраженных и излученных волн. Потенциал падающих волн обычно задается.

В рамках линейного подхода были решены многочисленные задачи взаимодействия акустических волн с пластинами, цилиндрическими и сферическими оболочками [28], [34], [38], [39], [45], [62], [64] и др.

Области применения линейного приближения для описания волновых явлений в сжимаемых средах зависит от свойств конкретной среды.

Например, в воздухе уравнение акустики справедливо для волн с избыточным давлением до 7 КПа, а в воде — до 35−4-50 КПа.

Авторами работы [88] исследовалась деформация цилиндрической оболочки при набегании на ее боковую поверхность сильной ударной волны в связанной постановке. Для этой задачи установлены определяющие параметры подобияисследовано влияние деформируемости оболочки на внешнее поле и на этой основе для параметров подобия получены области значений, для которых задача разделяется.

В монографиях [56], [77] и [161] представлены основные уравнения линейной динамической теории упругости с учетом анизотропии механических свойстврешены задачи о распространении упругих волн в безграничной и полуограниченной областях. Исследованы вопросы отражения и преломления упругих волн на плоских границах раздела двух разнородных материалов. Представлен анализ волновых процессов в упругих стержнях и стержневых системах. Выполнены расчеты с учетом эффекта диссипации механической энергии.

В монографии [133] исследовались нестационарные упругие волны в элементах конструкций и линейных средах. Основным рабочим методом автора являются интегральные преобразования, а основной целью — анализ асимптотических свойств волновых явлений. Широко используется разложение решений в функциональные ряды Фурье на переменном (зависящем от времени) интервале. Выполнен анализ ряда известных задач. Решены конкретные прикладные задачи о волнах в упругих конструкциях, находящихся в контакте с жидкостью. Исследованы резонансные явления при распространении упругих волн, вызванных подвижными нагрузками. Показано, что существуют критические скорости нагрузки, приводящие к волнам бесконечной амплитудыисследованы формирования таких волн и их структуры.

Монография [121] посвящена динамической прочности в проблемах механики сплошной среды. В ней изложены теория распространения плоских волн в стержнях из нелинейно-упругого материала и ее приложение к определению динамических диаграмм напряжение-деформация металлов при сжимающих ударах. Математической моделью волновых процессов служит система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Эта система интегрируется численным методом, основанным на использовании характеристических соотношений. Предложена теория продольно-поперечных волн в упругих и упругопластических гибких связях и решены задачи динамического деформирования балок при поперечном ударе. Исследовано поведение плит и мембран из различных реологических материалов. Учтены также реальные их свойства как вязкость, пластичность (в том числе идеальная), упругость и др. Представлены экспериментальные данные, подтверждающие применимость определенных законов деформирования для описания поведения некоторых классов реальных материалов.

Авторы монографий [104] исследуют поведение оболочек различного очертания при действии на них сильных воздушных ударных волн. За основу приняты уравнения нелинейной теории оболочек Новожилова В. В. в сочетании с деформационной теорией пластичности. Разрешающие уравнения в перемещениях приведены к виду, обеспечивающему универсальность алгоритма интегрирования по отношению к физическим и геометрическим характеристикам оболочек. Изложены методы интегрирования задач динамики оболочек на основе неявных разностных схем.

Приведены теоретические оценки и данные математического эксперимента, иллюстрирующие характер сходимости метода. Проанализированы эффекты связанности процессов деформирования конструкции и обтекания ее. Детально исследованы характер аэродинамических нагрузок и поведение цилиндрических и конических оболочек при наличии присоединенных масс.

Исследовано набегание ударной волны на оболочку вращения под произвольным углом к ее оси. С помощью безразмерных комплексов выполнено моделирование динамических реакций оболочечных конструкций.

Дано описание экспериментального комплекса и методов планирования экспериментов на основе теории подобия и размерностей. Экспериментально имитируются ударно-волновые нагру-жения моделей оболочек с регистрацией параметров их деформирования, а также проводится обработка экспериментальных результатов.

Разработаны методы создания многократного и комбинированного статико-динамического нагружения. Рассмотрено поведение пластин и замкнутых цилиндрических, сферических и конических оболочек при действии воздушных ударных волн, импульсных нагрузок и динамического давления, локализованного на части поверхности конструкции. Исследовано накопление повреждений при многократном воздействии ударных волн. Изучено воздействие на поверхность конструкции потоков газа, несущего твердые частицы. Получены эмпирические зависимости, харастеризующие поведение оболочек в тех случаях, когда теоретическое описание затруднено. Найдены «границы устойчивости» оболочек различного типа в плоскости параметров нагружения. Сформулирован критерий устойчивости оболочечных конструкций при действии на них ударных волн.

Дальнейшим логическим продолжением этой книги является коллективная монография [98], которая посвящена созданию моделей тонкостенных элементов неоднородного (слоистого) строения. На базе кинематических гипотез Кирхгофа-Лява выведены уравнения динамики слоистых оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига.

Изложены результаты исследований напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочек и сплошных упругих тел при динамических кратковременных (импульсных) нагрузках. Построены аналитические решения на основе безмо-ментной модели оболочек и выполнено сопоставление с точными решениями задачи о динамическом краевом эффекте и с результатами численных решений.

Исследовано поведение системы соосных оболочек, связанных деформируемыми шпангоутами. Динамика слоистых пластин и оболочек рассматривается с позиции возможного расслоения конструкций и частичного повреждения слоев материала. Исследована устойчивость конструктивных элементов, предварительно нагруженных статическими силами, при воздействии на них дополнительной (динамической) нагрузки. Изучены линейные задачи о распространении волновых процессов в упругих телах, ограниченных цилиндрическими и сферическими поверхностямиучтены также изотропные и анизотропные свойства этих тел. Изучена динамика тонкостенной сферической оболочки с упругим заполнителем. Исследована ударная прочность тонкостенных элементов конструкций при воздействии кратковременных нагрузок и при высокоскоростном ударе потоком мелких частиц. Представлена экспериментальная методика ударных нагрузок и разгона частиц. Результаты опытных данных обработаны с привлечением критериев размерности и подобия.

Монография [29] посвящена механике конструкций, имеющих слоистое строение и широко применяющихся в современной технике. Такие конструкции обычно состоят из разнородных материалов с существенно различными физико-механическими свойствами.

Несущие слои — это материал высокой прочности и жесткостиони предназначены для восприятия основной части механической нагрузки.

Связующие слои, служащие для образования монолитной конструкции, обеспечивают перераспределение усилий между несущими слоями. Такое сочетание слоев с различными свойствами позволяет обеспечить надежную работу механических систем и создавать конструкции, сочетающие высокую прочность и жесткость с относительно малой массой.

Значительное распространение получили слойные конструкции, которые состоят из двух несущих слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу. При изгибной деформации трехслойные конструкции оказываются наиболее рациональными, т. е. близки к оптимальным с точки зрения обеспечения минимума весовых характеристик при заданных ограничениях на жесткость и прочность. Иногда оболочки формируются с помощью продольно-поперечной намотки, т. е. состоят из двух групп слоев с различной ориентацией армирующих элементов.

Для некоторых задач статики и динамики слоистых сред можно построить точные решения в замкнутом видеточные решения представляют значительный интерес для механики многослойных конструкций.

В монографии основное внимание уделено обоснованию и выводу основных уравнений, формулировке граничных задач и методам их решения. Подробно изложены расчеты прямоугольных плит, круговых цилиндрических и сферических оболочек из слоистых композитов.

Механике тонкостенных конструкций, содержащих отверстия или вырезы, посвящена монография [116]. В ней изложены аналитические, численные и экспериментальные методы определения критических нагрузок и собственных частот колебаний тонкостенных конструкций с вырезамив некоторых частных случаях получены окончательные расчетные зависимости. Представленный табличный и графический материал является весьма полезным с точки зрения его использования в практике инженерных расчетов.

Для устранения концентрации напряжений вокруг отверстий (вырезов) часто используют подкрепляющие элементы — кольца, стержни, накладки и др. Эти элементы по своей массе составляют небольшую часть конструкции, но существенно влияют на ее прочность и жесткость.

Основная задача при проектировании конструкций состоит в выборе рационального подкрепления, т. е. подкрепления, при котором подкрепляющий элемент будет иметь наименьшую массу. Рассматриваются различные варианты подкрепляющих элементов: абсолютно гибкие элементы — в этом случае коэффициент концентрации напряжений достигает максимального значениянаоборот, абсолютно жесткое подкрепление дает минимальное значение коэффициента концентрации.

При определении динамической напряженности вокруг отверстий и полостей под коэффициентом концентрации напряжений понимается отношение кольцевого нормального напряжения на контуре отверстия к амплитуде нормального напряжения в падающей волне. В линейном случае этот коэффициент зависит от числа Пуассона и волнового параметра (а также от полярного угла).

В качестве падающих задаются плоские волны сжатия и сдвига. Влияние анизотропии материала сводится к тому, что коэффициент концентрации зависит от параметров анизотропии.

Для нелинейных задач этот коэффициент зависит еще и от амплитуды внешней нагрузки. Научный интерес к данному классу задач связан с их многочисленными приложениями в различных отраслях техники. Иногда задачу достаточно решить в простейшей постановке, причем простота моделей зачастую оправдана тем, что удается получить наглядные решения в явном виде и на их основе выполнить достаточно полный параметрический анализ.

В монографии [41] рассмотрены общие вопросы теории ударных явлений и решены некоторые конкретные задачи. Отмечается, что контактные силы, развиваемые в процессе ударного взаимодействия, нарастают и падают в очень короткие промежутки времениа от места удара в преграду и в ударник распространяются волны напряжений. Исследование этих волн базируется на соотношениях теории упругости. Только в последние десятилетия начали интенсивно изучать волновые явления с учетом пластических деформаций.

Ньютон был первым, кто сформулировал законы динамикион же впервые ввел понятие коэффициента восстановления при удареэтот коэффициент сегодня довольно широко используется при описании ударных явлений в твердых телах.

Бернулли, Навье и Пуассон впервые изучили колебания, возникающие при продольном соударении тел. Завершенное исследование одномерных продольных и поперечных волн, вызываемых при ударе стержней, было выполнено Сен-Венаном, который вычислил ординаты кривой изгиба. Сире применил закон контакта Герца к изучению продольного удара, а Тимошенко исследовал поперечный удар сферы по балке. Эта теория затем получила применение при расчете неразрезных балок и плит.

Допущения, принимаемые при исследовании распространения волновых разрывов, вызванных ударом, подвергались впоследствии уточнениям с точки зрения более строгих расчетов по зависимостям теории упругости. Релей уточнил уравнения продольного движения стержней путем учета поперечного движения;

Тимошенко уточнил уравнение для балок, использовав инерцию вращения и сдвиговую деформацию.

Результаты этих теорий были сравнены с трехмерными упругими решениями и были введены некоторые поправки при динамическом расчете плит.

Исследование колебательных процессов при ударах проиллюстрировано на примерах распространения плоских одномерных упругих волн в стержнях и балкахрассмотрен удар абсолютно жесткого тела по стержню и балке. Изучены параметры, возникающие на площадке контакта.

Следует иметь ввиду, что при ударе в области контакта могут возникать и значительные пластические деформации (неупругий удар) — эти необратимые деформации носят местный характер и развиваются в пределах малых объемов.

Последнее обстоятельство позволяет считать, что положение центра инерции тел при ударе изменяется только в зависимости от величины местного смятия и не зависит от изменения формы тел в зоне контакта. Это значительно упрощает решение задачи в упруго-пластическом ударе.

Три характерных вида деформирования различают при соударении твердых тел: смятие, внедрение и проникание. При ударе имеет место изменение формы деформируемого элемента в зоне контактапри ударе с внедрением одно из тел считается абсолютно жестким (недеформированным). При этом площадь контакта (или величина контактного усилия) в зависимости от величины местного смятия есть монотонная функция.

И в первом и во втором случаях максимуму контактного усилия соответствует максимум местной деформации. Наконец, при ударе с прониканием максимум контактного усилия получается до того, как местная деформация достигнет максимальной величины.

Внедрение представляет собой частный случай проникания и поэтому может быть названо неполным (частичным) прониканием.

Первые два случая удара принципиально не отличаются друг от друга, особенно, если не учитывается диссипация энергии при ударе.

С помощью энергии удара можно получать композитные (слоистые) материалы с различными механическими свойствами.

Монография [105] посвящена исследованию хрупкого разрушения твердых тел на примерах ряда динамических задач теории упругости. Эти задачи имеют приложение и в строительстве. Обсуждаются вопросы необходимости учета временных факторов процесса разрушения.

Сформулированная в этой монографии модель среды с задержкой разрешения позволяет построить механизм разрушения в ряде практически важных задач.

Исследованы вычислительные возможности анализа в одномерном приближении, поскольку одномерная картина обладает достаточной простотой. Кроме того в ряде реальных случаев поля напряжений с хорошей точностью могут быть приняты одномерными: это волны напряжений вдали от источников в однородных (или слоистых) средахэто поля вблизи оси симметрии в случае сложной пространственной картины. Описаны откольные разрушения в случае воздействия на поверхность тела треугольного ударного импульса давленияпроанализировано влияние формы волны на эффект откола.

Рассмотрен вертикальный удар по плоской поверхности упругого однородного изотропного полупространства с целью исследования его возможного разрушения. На примере этой задачи прослежен процесс задержки разрушения материаладругими словами, изучена необходимость учета временной характеристики разрушения.

Именно подготовка материала к разрушению и связанная с ней задержка самого разрушения позволила волновому пакету проникнуть вглубь среды без экранизации его запаздывающей системой трещин и определенного изменения механических свойств материала. Отмечена большая роль поперечных волн — следствие учета сопротивления упругой среды сдвигу в отколь-ных процессах.

Рассмотрен случай выхода упругой волны сжатия на свободную поверхность — тыльный откол в однослойных пластинах. Явление откола в упругих пластинах под действием объемных волн имеет самостоятельный интерес и, кроме того, большое значение для механики динамического разрушения материалов.

Прочность материалов в окрестности свободных поверхностей при выходе на них волн сжатия большой амплитуды одинаково важна как для элементов конструкций, так и для механики горных пород — устойчивость контуров подземных выработок, тоннелей и др. при динамическом нагружении.

Построено конструктивное приближенное решение для компонентов напряжений в окрестности оси симметрии на базе точного решения на самой оси и асимптотического поведения решения в окрестности волновых фронтов. Представлена картина волновых напряжений в упругой пластине конечной толщины. Построен механизм откольного процессаотмечена особая роль в нем отраженных продольных и прямых поперечных волн, а также временной задержки процесса разрушения.

Исследовано напряженно-деформированное состояние упругого полупространства с подземным источником возмущения, расположенным на конечной глубине под поверхностью (камуфлетный взрыв). Числовая информация представлена изобарами компонентов напряженного состояния в различные (фиксированные) моменты времени. Определен характер деформирования и разрушения от действия заглубленного источникаустановлено соотношение между откольным и объемным разрушениемуточнена роль откольной зоны в переходе от камуфлет-ного взрыва к взрыву на выброс.

Вопросом статической и динамической прочности строительных конструкций и сооружений посвящена монография [22]. В ней перечислены наиболее распространенные подземные сооружения и конструкции.

Научные результаты, обобщенные в этой монографии, нацелены в основном на разработку оптимальных методов проектирования сооружений, подземных трубопроводов и противоядер-ных убежищ. По существу это — справочное руководство для специалистов-конструкторов, проектирующих подземные тоннели, каналы и трубопроводы, а также защитные сооружения, подвергающиеся воздействию произвольных статических и динамических нагрузок.

Представлены принципы расчета на прочность и разрушение толстостенных труб под действием статических нагрузок, определены радиальные прогибы и построена форма поперечного сечения после снятия внешней нагрузки.

Исследовано поведение труб некругового поперечного сечения, закрытых цилиндров и тонкостенных сферических оболочек, для которых установлены пределы внешних разрушающих давлений — несущая способность конструкций.

Выполнены динамические расчеты подземных железобетонных сооружений, подверженных действию нагрузок взрывного типа. Определено напряженно-деформированное состояние сооружений при воздействии на них давления от атомных взрывов.

Предложены способы конструктивной амортизации защитных сооружений, основанные, в частности, на использовании пластически деформируемых элементов (амортизаторов). Выполнены инженерные расчеты системы крупных подземных водопроводных труб и подземных бомбоубежищ на действие взрывовпредставлен расчет и анализ при интенсивных кратковременных нагрузках.

Монография [109] посвящена динамическим проблемам строительных конструкцийв линейном приближении решены динамические задачи о продольных, поперечных и крутильных колебаниях стержней, находящихся в контакте с упругим основанием.

В отдельную главу выделены колебания рамных систем. Выполнен линейный анализ поперечных колебаний прямоугольных в плане и круговых плит постоянной толщины. Эти элементы строительных конструкций обладают свойством однородности и изотропности. Изучены свободные и вынужденные линейные колебания при различных граничных условиях на опорных контурахучтены эффекты диссипации механической энергии.

Исследована динамика строительных систем на базе теории малых поперечных колебаний тонких пологих цилиндрических и сферических оболочек.

Решены задачи о распространении упругих волн в неограниченной и ограниченной упругой средев частности, решены одномерные задачи о распространении в неограниченном теле одномерных цилиндрических и сферических волн, вызванных действием источников соответствующего типа. В явном виде построены решения для поверхностных волн Релея и для осесим-метричной задачи Лэмба. Выполнен учет диссипации энергии.

Монография [151] посвящена систематическому применению математических методов теории колебаний к исследованию динамического поведения механических систем.

Рассмотрены системы с одной и двумя степенями свободы при наличии вязкого демпфирования. Представлен анализ свободных и вынужденных колебаний механических систем со многими степенями свободыопределены частоты и формы колебательных движений. Решены задачи о поперечных колебаниях стержней переменного поперечного сечения, закрепленных на упругих опорах или упругом основаниивыполнен анализ продольных и поперечных колебаний призматических стержней.

Переходим к краткой характеристике диссертационной работы.

Она состоит из введения, пяти глав основных исследований, заключения (выводов) и списка цитируемой литературы.

В первой главе разработаны теоретические методы исследования прочности и разрушения пластин, стержней и мембран, воспринимающих поперечные ударно-волновые нагрузки.

В 1.1 в линейной постановке проведено аналитическое исследование анизотропной прямоугольной пластины, шарнирно закрепленной вдоль опорного контура, при низкоскоростном поперечном (точечном) ударе по ее поверхности упругим шаром конечного радиуса. Линейное уравнение малых поперечных колебаний срединной плоскости проинтегрировано в двойных тригонометрических рядах с коэффициентами, зависящими от времени.

Сосредоточенная ударная нагрузка вычисляется в соответствии с приближенной теорией удара Герца. В явном виде построено решение для поперечных прогибоввнутренние силовые факторы при ударе определяются путем простого дифференцирования тригонометрических рядов.

Поперечные колебания прямоугольной пластины, шарнирно опертой по контуру и нагруженной коротким локальным импульсом нестационарного давления исследованы в 1.2.

Локальное распределение импульса поперечного давления происходит по прямоугольной площадке малых размеров в пределах области прямоугольной пластины. Стороны динамически загруженной прямоугольной площадки параллельны соответствующим сторонам конструкции. Изучены частные случаи расположения площадки: ее центр совпадает с центром пластиныразмеры пластины стягиваются в геометрическую точкувсе точки поверхности пластины воспринимают ударно-импульсное давление. Точное аналитическое решение построено в виде двойных тригонометрических рядов.

В 1.3 исследование деформации прямоугольной пластины выполнено приближенно на базе энергетических (интегральных) зависимостей.

Принимается, что длительность воздействия на прямоугольную пластину внешнего давления настолько мала (по сравнению с периодом собственных колебаний), что деталями изменения этого давления во времени можно пренебречь, заменив его (давление) импульсом, что приводит к известному распределению поперечных скоростей точек пластины в начальный момент времени, принятый за нулевой момент. Для оценки ударной прочности и разрушения конструкции получены формулы для динамических напряжений в ней.

Динамическое поведение круговой упругой пластины, ослабленной круговым центральным отверстием, при поперечном нагружении импульсным давлением выполнено в 1.4.

Линейное уравнение малых поперечных колебаний кольцевой пластины в случае осесимметричного нагружения проинтегрировано в кольцевой области при опирании нагруженной кромки пластины на упругую (податливую) опоруточки внутреннего отверстия жестко защемлены (или могут быть свободными от каких-либо иных связей).

Внешнее ударное давление на поверхность пластины с отверстием зависит только от времени, но не от пространственных, координатоно описывается монотонно возрастающей (от нуля) функцией времени. Начальные условия нулевые.

Начально-краевая задача для упругой кольцевой пластины решена с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени. В пространстве изображений решение выражается через четыре функции Бесселя с произвольными постоянными коэффициентами. Последние определяются из четырех граничных условий, задаваемых на внешнем и внутреннем контурах пластины. Эти условия приводят к линейной системе четырех алгебраических уравнений для нахождения этих постоянных интегрирования.

Тем самым в пространстве изображений построено точное аналитическое решение начально-краевой задачи о поверхностном осесимметричном ударе давлением по круговой пластине с центральным круговым отверстием конечного радиуса.

Получено трансцендентное уравнение для определения спектра частот собственных колебаний кольцевой пластины, упруго опертой по внешнему круговому контуру и нагруженной нормальным поперечным давлением.

Выполнено обращение построенных трансформант решения в изображениях и проведен параметрический анализ кинематических характеристик движения кольцевой конструкциивнутренние силовые факторы определяются путем дифференцирования прогибов.

Концентрация динамических напряжений в окрестности круговых неоднородностей в бесконечной упругой пластине рассмотрена в 1.5.

Принимается, что в неограниченной упругой тонкой пластине выполнена круговая неоднородность в форме кругового отверстия, контур которого подкреплен тонким упругим кольцом (в частном случае — свободный от подкрепления). Круговую область может занимать вставка в виде круговой пластины с другими механическими свойстваминаконец, в это отверстие помещена круговая неподвижная абсолютно жесткая шайба (закрепленный круговой контур).

На круговые контуры указанных выше неоднородностей из бесконечности падает плоская упругая монохроматическая поперечная волна изгиба, фронт который взаимодействует с поверхностью круговой неоднородности. При этом часть энергии падающей волны отражается в наружную область вместе с отраженной волной изгибадругая часть — преломляется во внутрь ограниченной круговой области, если она представляет собой деформированную вставку.

Решение линейной краевой задачи строится в виде функциональных рядов, представляющих произведения функций Бесселя и тригонометрического синуса-косинуса. Коэффициенты этих рядов определяются из граничных условий сопряжения решений для тонкого упругого подкрепляющего кольца и упругой пластины.

Получены точные аналитические решенияполучены трансцендентные уравнения для определения частот собственных колебаний неоднородных пластин (пластин с отверстиями). Исследована концентрация динамических напряжений в окрестности кругового отверстия в пластине, контур которого подкреплен тонким упругим кольцом из другого материала.

В 1.6 исследованы линейные поперечные колебания сплошной (без отверстия) упругой безграничной пластины в осесиммет-ричном случае при локальном импульсном нагружении ее поверхности. Распределение локализованной внешней нагрузки имеет куполообразную форму, что является характерным для большинства внешних взрывных нагрузок.

Решение линейного уравнения для малых поперечных колебаний сплошной неограниченной пластины представлено в форме интеграла Фурье-Бесселя по параметру. Длительность действия внешнего давления предполагается весьма малой, потому задается распределение скоростей точек пластины в начальный момент времени, принимаемый за нулевой.

Построено точное решение задачи Коши для вертикальных перемещений точек срединной плоскости пластины и для внутренних силовых факторов ее, обусловленных локальным ударом импульса внешнего давления. Выполнен параметрический анализ полученного аналитического решения.

Динамике тонких прямоугольных и круговых мембран, подверженных действию поперечных ударно-волновых нагрузок, посвящен 1.7. Сформулированы соответствующие начально-краевые задачи и в замкнутом виде построены их решения в форме функциональных рядов. Для различных фиксированных моментов времени после удара определена топология деформируемых поверхностей прямоугольных мембран.

Теоретические методы исследования динамической прочности и разрушения тонкостенных цилиндрических оболочек при ударно-волновых нагрузках изложены во второй главе диссертации.

В 2.1 этой главы рассмотрено поведение длинной стекло-пластиковой цилиндрической оболочки при воздействии на ее наружную поверхность кратковременной нагрузки, закон изменения которой в каждой точке образующей одинаков. Это позволяет рассматривать задачу о деформации кругового анизотропного кольца (в его плоскости) под действием взрывной нагрузки заданной формы. Последняя представляется в виде тригонометрического ряда Фурье по угловой координате с известными числовыми коэффициентами.

Касательное и радиальное перемещения точек кругового кольца тоже раскладываются в ряды Фурье по тригонометрическим функциям с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. Последние определяются как решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Построено точное аналитическое решение для динамической реакции цилиндрической стеклопла-стиковой оболочки. Выполнен параметрический анализ полученного решения.

Осесимметричное нагружение внутренней поверхности удлиненной цилиндрической оболочки давлением от внутреннего взрыва рассмотрено в 2.2. Построено точное решение, описывающее динамическую реакцию оболочки при воздействии на ее внутреннюю поверхность подвижной нагрузки.

В 2.3 проанализированы свободные волны в удлиненной двухслойной цилиндрической оболочке с учетом эффектов связанности слоев из двух разнородных материалов (композитная конструкция). Выполнен параметрический анализ построенных решений и представлена их графическая реализация.

В 2.4 проанализированы упрощенные подходы к решению задачи об осесимметричных колебаниях удлиненных цилиндрических оболочек из композитного материала. Задача сведена к одному дифференциальному уравнению относительно поперечного прогиба. Детально исследовано поведение цилиндрической оболочки при набегании ударной волны на поверхность конструкции. Изложен метод интегрирования уравнения равновесия полубесконечной оболочки при действии статического изгибающего момента на ее левом торце. Построены конечные математические зависимости, определяющие краевой эффект в конструкции.

Третья глава диссертационной работы посвящена теоретическому анализу динамической прочности и разрушению тонкостенных сферических и конических оболочек, воспринимающих динамические нагрузки, локализованные на части поверхности.

Так в 3.1 этой главы исследуется статика, динамика и прочность пологой сферической оболочки при локальном осесим-метричном нагружении импульсным давлением. Линейное дифференциальное уравнение относительно радиального прогиба интегрируется с помощью интегральных преобразований Лапласа по времени и Ханкеля — по радиальной координате. Построено точное аналитическое решение, описывающее динамическую реакцию сферического сегмента и выполнен его параметрический анализ.

Теоретические методы расчета динамической прочности замкнутых и незамкнутых сферических оболочек из композиционного материала на действие локальных поверхностных нагрузок представлены в 3.2. Приведена замкнутая система линейных уравнений движения тонкостенных оболочек и соотношений в рамках уточненной модели Тимошенко С. П. Развиты адекватные аналитические и численные методы интегрирования этой системы, основанные на использовании характеристических соотношений. Аналитические методы основаны на разложении искомых функций в ряды по сферическим полиномам Лежандра. Численная информация представлена характерными эпюрами.

Волновые методы расчета строительных сооружений и концентрация динамических напряжений рассмотрены в четвертой главе диссертационной работы.

В 4.1 изложены теоретические методы динамических расчетов наземных и заглубленных (подземных) сооружений на действие волновых нагрузок. Наземные сооружения моделируются вертикально расположенной линейной цепочкой точечных масс, связанных между собой безинерционными вязкоупругими линейными связями. Удлиненное сооружение на поверхности грунта представляется весомым сплошным прямоугольником, нижнее основание которого жестко связано с колеблющимся грунтом.

Подземные (заглубленные) удлиненные сооружения моделируются упругой тонкостенной цилиндрической оболочкой конечного радиуса. Кинематические параметры в падающих волнах и напряжения на их фронтах определяются путем интегрирования волновых уравнений движения упругой среды при действии сферических источников и подвижного вдоль поверхности грунта фронта воздушной ударной волны. Подземные сооружения в процессе деформирования находятся в неотрывном контакте с грунтовым массивом. Исследованы радиальные и тангенциальные колебания и волны в наземных и заглубленных конструкциях при заданных кинематических и силовых воздействиях.

Теоретические методы анализа распространения волн напряжений в упругой среде, ослабленной неподкрепленным отверстием прямоугольной формы, представлены в 4.2. Плоская двумерная нестационарная задача решена численно на основе неявных разностных схем. Исследованы вопросы точности и устойчивости численных методовизучено набегание плоской упругой волны сжатия на прямоугольное отверстие и проанализировано волновое поле напряжений в его окрестности. Установлено существование растягивающих зон вблизи свободных поверхностей прямоугольной полостив угловых точках имеет место концентрация динамических напряжений. В виде характерных эпюр представлены соответствующие характеристики напряженного состояния в среде, окружающей прямоугольное отверстие.

Теоретические методы исследования концентрации динамических напряжений в сплошной среде изложены в пятой главе.

В 5.1 исследовано набегание плоской волны сжатия на круговую неоднородность в неограниченной однородной изотропной упругой среде. Неоднородность представляет собой: 1 — круговое отверстие, контур которого подкреплен тонким упругим кольцом из другого материала- 2— объем полости заполнен упругой среи и «-» и «» о дои, свойства которой отличаются от свойств основной среды- 3 — точки круговой полости жестко защемлены.

Во всех случаях решение строится единообразным методом путем разложения искомых функций в функциональные ряды, представляющие собой произведения соответствующих функций Бесселя на тригонометрические синус-косинус.

Коэффициенты этих разложений определяются из условий сопряжения решений на поверхностях контакта двух разнородных сред с различными механическими свойствами (или на средней линии кольца, подкрепляющего круговое отверстие в сплошной среде). Построены точные аналитические решения краевых задачв явном виде получены значения коэффициентов концентрации напряжений в точках кругового контура.

В 5.2 диссертации разработаны теоретические методы вычисления коэффициентов концентрации динамических напряжений, когда с круговыми неоднородностями в упругой среде взаимодействуют поперечные БН волны. Замкнутые аналитические решения построены для подкрепленных отверстий и отверстий, контуры которых жестко защемлены.

Выводы из обзора. Из анализа современного состояния проблемы динамической прочности и разрушения элементов конструкций и сплошной среды можно сделать следующие выводы.

1. Рассматриваемая проблема является актуальной в связи с запросами таких видов техники как авиационная и ракетная техника, судостроение, строительная индустрия и др.

2. В настоящее время наибольшие успехи в исследовании прочности и разрушения достигнуты в рамках статических и отдельных динамических задач.

3. Недостаточно изучены динамические задачи для конструкций из композиционных материалов с учетом наличия отверстий.

4. Недостаточно изучены волновые процессы взаимодействия строительных конструкций с грунтовыми средами.

На основе сделанных выводов устанавливаются цели диссертационной работы: построение линейных математических моделей динамической прочности и разрушения тонкостенных конструкций и их взаимодействия с грунтовыми средамиразработка адекватных аналитических и численных методов и алгоритмов решения начально-краевых задачисследование количественных и качественных закономерностей развития ударно-волновых явлений в элементах конструкций и сплошных средахизучение влияния отдельных факторов (анизотропия механических свойств, слоистости, наличия отверстий), режима нагружения (распределенное, локально-сосредоточенное, подвижное и др.) и области применимости линеаризированных и упрощенных математических моделей.

Научная новизна. Построены новые линейные волновые модели динамической прочности и разрушения элементов конструкций и сплошных сред.

Единообразным способом — путем разложения искомых решений в бесконечные функциональные ряды — решены широкие классы новых начально-краевых задач и в аналитическом виде построены точные эффективные решения.

Разработаны новые численные методы и алгоритмы для решения линейных двумерных нестационарных задач для упругих сред, ослабленных отверстием прямоугольной формы.

Выявлены количественные и качественные закономерности динамической прочности и разрушения элементов конструкций и динамической напряженности строительных конструкций.

Практическая ценность. Построенные аналитические решения широкого класса новых линейных задач позволяют прогнозировать динамическую прочность и разрушение конструкций, воспринимающих ударно-волновые нагрузки.

Они могут быть использованы в практике расчетов и проектирования конструкций современной новой техники.

Достоверность основных положений и выводов работы вытекает из точных математических постановок начально-краевых задач и полученных точных решенийона основана на сопоставлении полученных автором результатов с известными в литературе данными других авторов.

Часть I ВОЛНЫ.

В ЭЛЕМЕНТАХ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ.

3 А К Л К) Ч Е Н И Е (В Ы В О Д Ы).

1. Сформулировано и разработано новое научное направление механики деформируемого твердого тела, включающее разработку и построение физико-математических моделей динамического нагружения сплошных элементов конструкций, а также конструкций с отверстиями, контуры которых подкреплены тонкостенными круговыми кольцами. Развита теория контактных динамических задач о взаимодействии наземных и заглубленных строительных сооружений с деформируемой средой.

2. Впервые получены точные аналитические выражения общего вида, описывающие вариации динамических напряжений и деформаций тонкостенных конструкций, воспринимающих ударно-волновые нагрузки.

3. Развитые в работе представления и полученные полные и замкнутые решения позволяют заложить научные основы для дальнейшего развития динамики твердых деформируемых тел с учетом нелинейных эффектов.

Конкретные результаты сводятся к следующему: Получено явное аналитическое выражение для максимального статического прогиба балки Бернулли и Тимошенкопоказано, что для длинных балок сдвиговая модель дает поправку, составляющую 5—10%. Увеличение максимального динамического прогиба балки за счет эффектов сдвига может достигать 25%. Динамический прогиб балки Бернулли при поперечном ударе по ней обратно пропорционален корню квадратному из массы конструкции 1 / л/М, М = р¥-1 ^.

Построены зависимости, описывающие «краевой эффект» в тонкой полу бесконечной цилиндрической оболочке при статическом действии изгибающего момента на торцеопределены законы затухания параметров НДС по мере удаления точки наблюдения от изгибаемого торца.

Построен «коэффициент динамичности» при локальном ударе импульсным давлением по поверхности пологой сферической оболочкиполучены максимальные статические и динамические прогибы и определена ее несущая способность. Развиты аналитические и численные методы решения динамических задач о деформации замкнутой сферической оболочки и оболочки, ослабленной круговым отверстием.

Исследованы кинематические параметры замкнутой конической оболочки, нагруженной фронтом подвижной внешней нагрузки.

Исследованы параметры сферической волны сжатия в неограниченной среде при подземном (камуфлетном) взрыве. Получены параметры волны сжатия в упругом грунте, вызванные действием распространяющегося по его поверхности фронта воздушной ударной волны от наземного (контактного) взрыва. Исследовано взаимодействие волны сжатия с поверхностью заглубленной в грунт цилиндрической оболочки. Изучены колебания строительных конструкций, моделируемых линейной цепочкой точечных масс, тяжелым прямоугольным телом и цилиндрической оболочкой, защемленной своим нижним торцом в упругое колеблющееся основание.

Прямым численным методом проанализирована концентрация динамических напряжений в упругой среде, ослабленной отверстием прямоугольной формы. Исследована концентрация динамических напряжений в окрестности подкрепленных отверстий при воздействии на них плоских волн сжатия. Исследована концентрация динамических напряжений в окрестности подкрепленных отверстий при воздействии на них поперечных БН волн сдвига. Получены трансцендентные уравнения для определения спектра частот собственных колебаний упругих тел, содержащих круговые неоднородности (в частности, круговые отверстия, контуры которых подкреплены упругими кольцами из другого материала).