Структура жордановой плоскости

Данная диссертация посвящена исследованию жордановон плоскости — алгебры с единицей над полем К, порождённой элементами X и У с определяющим соотношением УХ = ХУ + У2. Интерес к изучению жордановон плоскости обусловлен следующими классификационными результатами: рассмотрим ассоциативные 2-порождённые градуированные со алгебры, А = 0 Ап, где Ао = К — иоле, А — (X, У) — линейная оболочка 0 порождающих X и У. Пусть также алгебра, А не имеет делителей нуля и &-тА2 — 3. Легко видеть, что алгебра коммутативных многочленов от двух переменных У] с определяющим соотношением УХ = ХУ удовлетворяет этим условиям, так что рассматриваемые алгебры являются деформацией алгебры Щ. Х, У]. Мы доказываем (теорема 1.15, теорема 2.32), что при некоторых дополнительных ограничениях алгебра, А является либо жордановой плоскостью, либо квантовой плоскостью, т. е. порождается элементами X и У с определяющим соотношением УХ — А ХУ для некоторого АеК*.

Подобные «деформированные» алгебры широко изучаются в современной математике, при этом решаются следующие задачи. Во-первых, рассматриваются классические, «кольцевые» вопросы — первичный спектр, автоморфизмы, нормирования, представления, тело частных. Здесь ключевую роль играет описание первичного спектра, что существенно упрощает решение остальных задач. Так, при описании автоморфизмов мы пользуемся тем, что любой автоморфизм «переставляет» первичные идеалы. При изучении нормирований важную роль играет идеал нормирования, который является вполне первичным идеалом. При изучении неприводимых представлений мы пользуемся тем фактом, что аннулятор неприводимого модуля всегда есть первичный идеал. С другой стороны, изучение «деформированных» алгебр важно для исследования алгебр Хопфа: а именно, подобные алгебры рассматриваются как «некоммутативные пространства», на которых алгебры Хопфа действуют [12], [16], [31], [36]. С этой точки зрения интересно описание автоморфизмов конечного порядка и алгебраических косых дифференцирований, задаваемых такими автоморфизмами. Отметим, что изучение алгебраических автоморфизмов и дифференцирований представляет и самостоятельный интерес [44].

Квантовая плоскость является частным случаем алгебры квантовых многочленов от нескольких переменных, которые определяются следующим образом: пусть К — поле и задана матрица Q — (qjj)? Mat (n, K), п ^ 2, со следующими свойствами: qu = qtjqji = 1 Зафиксируем также целое число г, 0 ^ г ^ п. Алгеброй квантовых многочленов Л = Kcpf*1,., Х¹, Xr+i,., Хп] называется ассоциативная ЙС-алгебра с единицей, порождённая элементами Х¹,., Х¹, Хг+Ь., Хп с определяющими соотношениями XjX?~1 = Х^Х{ = 1, / = 1,., г, XiXj = qijXjXi, 1 ^ i, j ^ п. Для алгебр квантовых многочленов все выше означенные вопросы хорошо изучены. В лекциях К. Брауна и К. Гудёрла (Ken A. Brown, Ken A. Goodearl) [8] рассматриваются общие вопросы, связанные с квантовыми алгебрами. Первое описание автоморфизмов и дифференцирований алгебры квантовых многочленов в случае г = 0 получили Ж. Алев и М. Шамари (J. Alev, M. Chamarie) [1]. Дальнейшие результаты по изучению автоморфизмов, дифференцирований, нормирований, представлений, тела частных и действий алгебр Хопфа получены В. А. Артамоновым [2], [3], [4], [5], [26], [27], [28]. Именно поэтому — ввиду наших классификационных результатов — особенно интересно решение аналогичных задач для жордановой плоскости. Кроме того, в настоящее время широко изучаются квадратичные алгебры — алгебры, определяемые квадратичными соотношениями. Такие алгебры имеют важное значение в некоммутативной геометрии [13] и тесно связаны с козюлевыми алгебрами [20]. При изучении квадратичных алгебр всегда рассматриваются так называемые ПБВ-теоремы — вопросы о базисах Пуанкаре — Биркгофа — Витта и их обобщения [20], [30]. Насколько нам известно, жорданова плоскость так подробно ранее не изучалась, хотя и встречается в некоторых работах по некоммутативной проективной геометрии в качестве примеров [25].

Отметим некоторые работы по сходной тематике. Исторически первым примером «деформированных» колец являются кольца косых многочленов, введённые О. Ope в начале 30-х годов прошлого века [17]. И жорданова плоскость, и алгебры квантовых многочленов являются кольцами косых многочленов Ope. Далее, наряду с квантовыми многочленами одним из наиболее известных примеров квантовых алгебр являются косые лорановские ряды. Теоретико-кольцевые свойства лорановских рядов рассматриваются в работах К. И. Сонина [40], [41] и Д. А. Туганбаева [42], [43]. В работах С. А. Зеленовои [34], [35] описываются коммутативные подалгебры некоторых квантовых алгебр, в частности, алгебры квантовых многочленов и алгебры косых лорановских рядов. В работах А. Н. Панова изучается первичный спектр и тела частных широкого класса квантовых алгебр [18], [19]. В работе М. Батлер (Butler M. В.) [9] изучается первичный спектр, примитивные идеалы и неприводимые представления алгебры, порождённой над алгебраически замкнутым полем элементами rri,., хп с определяющими соотношениями XjXj = [Зц, г < j, где п > 3 и Д-j б К. В статье И. Пратона (Praton I.) [21] рассматриваются так называемые clown-up алгебры — 2-порождённые градуированные алгебры, определяемые двумя специальными однородными соотношениями третьей степени. В статье указываются необходимые и достаточные условия на коэффициенты этих соотношений, при которых down-up алгебра является нётеровой. В этом случае описываются все примитивные идеалы down-up алгебры. В работе Ф. Дюма и JI. Ригаля (Dumas F., Rigal L.) [10] рассматриваются теоретико-кольцевые свойства алгебры ö-'1(М2) — жордаповой деформации алгебры регулярных функций на алгебре 2×2-матриц с коэфиициентами в алгебраически замкнутом поле нулевой характеристики. Отметим, что эта алгебра естественным образом кодействует на жордановой плоскости. В работе М. Брандл (Brandl M. К.) [6] рассматриваются некоторые обобщения жордановой плоскости и описываются их примитивные идеалы. Статья JL Хеллстрёма и С. Сильвестрова (Hellstrom L., Silvestrov S.) [24] посвящепа д-деформированным алгебрам Гейзепберга — 2-порождённым однопараметрическим алгебрам с соотношением ab — qba = 1, где g G К, 1С — поле. Далее, и квантовая плоскость, и жорданова плоскость тесно связаны с алгебрами Вейля. А именно, алгебру квантовых многочленов в случае г — п часто называют «мультипликативным аналогом» алгебры Вейля, т.к. на неё переносятся многие свойства алгебры Вейля [11], [15]. В данной работе мы показываем, что жорданова плоскость и алгебра Вейля (ранга 1) имеют одинаковое тело частных, а любое неприводимое бесконечномерное представление жордановой плоскости над полем нулевой характеристики является представлением алгебры Вейля. При этом, естественно, возникает вопрос: следует ли из неприводимости над жордановой плоскостью неприводимость над алгеброй Вейля? На сегодняшний день ответа на этот вопрос нет, однако мы строим серию неизоморфных представлений неприводимых как над жордановой плоскостью, так и над алгеброй Вейля. Отметим, что описание неприводимых модулей алгебры Вейля получепо в работах Р. Блока (Block R. Е.) [7] и В. В. Бавулы [29].

Теперь перейдём к описанию данной работы. Целью работы являлась классификация некоторых 2-порождённых градуированных алгебр и изучение первичного спектра, группы автоморфизмов, представлений, нормирований и алгебры дифференцирований жордановой плоскости. В работе получены следующие основные результаты.

1. Классифицированы некоторые градуированные 2-порождённые алгебры, которые являются естественным обобщением кольца многочленов от двух переменных.

2. Изучена кольцевая структура жордановой плоскости, а именно описаны первичный спектр и группа автоморфизмов жордановой плоскости над произвольным полем.

3. С помощью результатов о строении первичного спектра полностью описаны конечномерные неприводимые представления жордановой плоскости над полем нулевой характеристики. Выявлена связь неприводимых бесконечномерных представлений жордановой плоскости над полем нулевой характеристики с представлениями алгебры Вейля ранга 1. Построена серия бесконечномерных модулей, неприводимых как над жордановой плоскостью, так и над алгеброй Вейля.

4. Построены примеры нормирований жордановой плоскости. Доказано, что все нормирования жордановой плоскости над произвольным полем абелевы.

5. Для жордановой плоскости над произвольным полем описаны дифференцирования, алгебра внешних дифференцирований и некоторые косые дифференцирования. В случае нулевой характеристики описаны все алгебраические косые дифференцирования, порождённые автоморфизмами конечного порядка.

Перейдём к изложению содержания работы. В параграфе 1 главы 1 описываются общие свойства квантовой плоскости и жордановой плоскости, а именно мы описываем базисы этих алгебр как линейных пространств, доказываем, что квантовая плоскость pi жордановая плоскость являются градуированными нётеровыми кольцами косых многочленов Ope. Мы также описываем центры этих алгебр и доказываем их неизоморфность. В параграфе 2 с помощью полученных результатов мы классифицируем некоторые градуированные 2-порождённые алгебры, а именно мы показываем, что изучаемый класс алгебр содержит только квантовые плоскости и жорданову плоскость. В параграфе 3 мы описываем те подкольца тела частных жордановой плоскости, которые понадобятся нам при изучении первичного спектра и нормирований.

Глава 2 посвящена первичному спектру и автоморфизмам жордановой плоскости. В параграфе 1 мы приводим определение и основные свойства первичных колец и идеалов, используемые в дальнейшем. В параграфе 2 собраны некоторые технические леммы о многочленах. В параграфе 3 приводится самая общая классификация простых идеалов кольца коммутативных многочленов от двух переменных. В параграфе 4 определяется основной инструмент исследования идеалов жордановой плоскости — минимальный многочлен идеала. Оказывается, что его вид существенно зависит от характеристики основного поля. В случае положительной характеристики мы показываем, как можно восстановить некоторые свойства идеала по его минимальному многочлену. В параграфе 5 с помощью полученных ранее результатов мы описываем первичный спектр жордановой плоскости над полем нулевой характеристики. Оказывается, в этом случаем он устроен достаточно просто. В качестве приложения полученных результатов мы классифицируем некоторые центральные 2-порождённые градуированные алгебры без делителей нуля. В случае поля — положительной характеристики спектр устроен гораздо сложнее: в параграфе 6 мы показываем, что описание первичных идеалов жордановой" плоскости над полем положительной характеристики сводится к описанию простых идеалов её центра, изоморфного кольцу многочленов от двух переменных. Для алгебр с «большим» центром традиционно рассматривается-задача о продолжении простого идеала центра до первичного идеала всей алгебры — эту задачу мы решаем в параграфе 7. Строение первичного спектра позволяет описать группу автоморфизмов жордановой плоскости: в параграфе 8 мы показываем, что вид автоморфизмов не зависит от характеристики основного поля. В случае положительной характеристики мы также описываем подгруппу автоморфизмов тождественных на центре. Отдельно — в параграфе 9 — мы описываем автоморфизмы конечного порядка над полем нулевой характеристики.

В главе 3 мы исследуем неприводимые представления жордановой плоскости над полем нулевой характеристики. В параграфе 1 собраны общие определения и утверждения о неприводимых модулях. В параграфе 2 мы, используя результаты о строении первичного спектра, описываем все конечномерные неприводимые представления. Задача описания всех неприводимых представлений, эквивалентная описанию всех максимальных односторонних идеалов, на сегодняшний день является нерешённой, однако в параграфе 3 мы строим серию неизоморфных бесконечномерных неприводимых представлений жордаповой плоскости над полем нулевой характеристики. В параграфе 4 мы показываем, что любое бесконечномерное неприводимое представление жордаповой плоскости над полем нулевой характеристики является также представлением алгебры Вейля ранга 1 и строим серию неизоморфных представлений неприводимых как над жордановой плоскостью, так и над алгеброй Вейля.

Глава 4 посвящена нормированиям жордановой плоскости. В параграфе 1, как обычно, приводятся общие утверждения, необходимые в дальнейшем. В параграфе 2 мы строим некоторые примеры нормирований жордановой плоскости. Мы определяем идеал нормирования и показываем, как нормирования связаны с первичным спектром алгебры. В параграфе 3 мы доказываем, что все нормирования жордановой плоскости над произвольным полем абелевы.

В последней, пятой главе мы изучаем алгебру дифференцирований жордановой плоскости. В параграфе 1 мы явно описываем все дифференцирования жордановой плоскости над произвольным полем. Параграф 2 является наиболее сложным с вычислительной точки зрения — здесь мы описываем алгебру внешних дифференцирований. В случае поля положительной характеристики алгебра дифференцирований является ограниченной алгеброй Ли — соответствующая операция описывается в параграфе 3. В параграфе 4 доказывается, что жорданова плоскость над полем нулевой характеристики не имеет ненулевых алгебраических дифференцирований. В параграфе 5 мы описываем некоторые косые дифференцирования жордановой плоскости. В частности, в случае нулевой характеристики все косые дифференцирования, порождённые автоморфизмами конечного порядка, являются внутренними. В параграфе 6 мы исследуем такие дифференцирования на алгебраичность.

Все результаты диссертации являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть полезны при изучении алгебр Хопфа и некоммутативной геометрии. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре кафедры Высшей алгебры «Кольца и модули» под руководством проф. A.B. Михалёва, на международной конференции по общей алгебре в Потсдаме [22], на международной конференции, посвящённой 65-летию проф. A.B. Михалёва, на международной алгебраической конференции, посвящённой 100-летию А. Г. Куроша [49]. По теме диссертации автором опубликовано четыре статьи [23], [46], [47], [48].

В заключение автор выражает глубокую благодарность всем, кто помогал и поддерживал его в работе над диссертацией, и прежде всего своему научному руководителю Вячеславу Александровичу Артамонову. Автор благодарит заведующего кафедрой Высшей алгебры доктора физико-математических наук, профессора Виктора Николаевича Латышева, доктора физико-математических наук, профессора Александра Васильевича Михалёва и всех сотрудников кафедры за поддержку, внимание и творческую атмосферу.

1. Alev J., Chamarie M., Derivations et automorphismes de quelques algebres quantiques. — Communications in Algebra. — 1992. — Vol. 20, N 6. — p. 1787 — 1802.

2. Artamonov V.A., Valuations on quantum fields. Communications in algebra. — 2001. — V. 29, N 9. — p. 3889 — 3904.

3. Artamonov V.A., Automorphisms and derivations of quantum polynomials. In the book: Ignacio Bajo and Esperanza Sanmartin (eds.) Recent Advances in Lie Theory v. 25. Heldermann Verlag, 2002, 109 -120.

4. Artamonov V.A. Action of Hopf algebras on generic quantum Malcev power series and quantum planes. J. Math. Sci. — 2006. — V. 134, N 1. — p. 1773 — 1798.

5. Brandl M.K., Primitive and poisson spectra of single-eigenvalue twists of polynomial algebras. Algebras and Representations Theory. — 2006. — N 9. — p. 241 — 258.

6. Block R.E., The irreducible representations of the Lie algebra sl (2) and of the Weyl algebra. Adv. Math. — 1981. — N 39. — p. 69 — 110.

7. Brown K.A., Goodearl K.A., Lectures on Algebraic Quantum Groups, Birkhauser, Basel, Boston, 2002.

8. Butler M.B., On some degenerate deformations of commutative polynomial algebras. Communications in Algebra. — 2006. — Vol. 34. — p. 1949 — 1964.

9. Dumas F., Rigal L., Prime spectrum and automorphisms for 2×2 jordanian matrices. Communications in Algebra. — 2002. — Vol. 30, N 6. — p. 2805 — 2828.

10. Jategaonkar V.A., A multiplicative analog of the Weyl algebra. Communications in Algebra. — 1984. — Vol. 14, N 12. — p. 1669 — 1688.

11. Manin Yu.I., Quantum groups and non-commutative geometry. CRM, Universite de Montreal. 1988.

12. Manin Yu.I., Topics in non-commutative geometry. Princeton Univ. Press, Princetown, 1991.

13. McConnell J.C., Robson J.C., Noncommutative Noetherian Rings, John Miley& Sons, Chichester N. Y. — Birsbane — Toronto — Singapore, 1987.

14. McConnell J.C., Pettit J.J., Crossed products and multiplicative analogues of Weyl algebras. J. London Math. Soc. — 1988. — Vol. 38, N 1. — p. 47 — 55.

15. Montgomery S., Hopf Algebras and Their Actions on Rings, Amer. Math. Soc., Providence RI, 1993.

16. Ore O., Theory of non-commutative polynomials. Ann. of. Math. (2). — 1933. — Vol. 34. — p. 480 — 508.

17. Panov A.N., Stratification of prime spectrum of quantum solvable algebras. Comm. Algebra. — 2001. — vol. 29, N 9. — p. 3801 IJ- 3827.

18. Panov A.N., Fields of fractions of quantum solvable algebras. J. Algebra. — 2001. — N 236. — p. 110 y- 121.

19. Polishchuk A., Positselski L., Quadratic algebras, University lecture series, Vol. 37, 2005.

20. Praton I., Primitive ideals of Noetherian down-up algebras. Communications in Algebra. — 2004. — Vol. 32, N 2. — p. 443 — 471.

21. Shirikov E.N., Two-generated graded algebras, 69th Workshop on General Algebra, 20th Conference for Young Algebraists, March 1820, 2005, University of Potsdam, Potsdam, Germany, pp. 75 76.

22. Shirikov E.N., Two-generated graded algebras, Algebra and Discrete mathematics, 3 (2005), pp. 64 80.

23. Hellstrom L., Silvestrov S., Two-sided ideals ing-deformed Heisenberg algebras. Expositiones Mathematicae. — 2005. — N 23. — p. 99 — 125.

24. Stafford Л.Т., Zhang J.J., Examples in non-cominutative projective geometry. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. — 1994. — Vol. 116. — p. 415- 433.

25. Артамонов В. А., Модули над квантовыми полиномами. Матем. заметки. — 1996. — т. 59, N 4. — с. 497 — 503.

26. Артамонов В. А., Квантовая проблема Серра. УМН. — 1998. — т. 53, N 4. — с. 3 — 76.

27. Артамонов В. А., Алгебры квантовых многочленов. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Тема, т. обз. — 2002. — т. 26. — с. 5 — 34.

28. Бавула В. В., Обобщённые алгебры Вейля и их представления. -Алгебра и анализ. 1992. — т. 4, N 1. — с. 75 — 97.

29. Головашкин A.B., Максимов В. М., Алгебры косых полиномов, порождаемые квадратичными однородными соотношениями, Записки научных семинаров ПОМИ, Т. 301, 2003, С. 144 171.

30. Демидов Е. Е., Квантовые группы, Москва, Факториал,. 1998.

31. Джекобсон Н., Алгебры Ли, Москва, Мир, 1964.

32. Желобенко Д. П., Основные структуры и методы теории представлений, Москва, Издательство МЦНМО, 2004.

33. Зеленова С. А., Коммутативные подалгебры кольца квантовых многочленов и тела квантовых лорановских рядов. Матем. сб.- 2001. т. 192, N 3. — с. 55 — 64.

34. Зеленова С. А., Коммутативные подалгебры квантовых алгебр. -Матем. заметки. 2004. — т. 75, N 2. — с. 208 — 221.

35. Кассель К., Квантовые группы, Москва, ФАЗИС, 1999. (Библиотека математика. Вып. 5).

36. Кон П., Свободные кольца и их связи, Москва, Мир, 1975.

37. Ламбек И., Кольца и модули, Москва, Мир, 1971.

38. Пирс Р., Ассоциативные алгебры, Москва, Мир, 1968.

39. Сонин К. И., Регулярные кольца рядов Лорана. Фундамент, и прикл. матем. — 1995. — т. 1, N 1. — с. 315 — 317.

40. Сонин К. И., Регулярные кольца косых рядов Лорана. Фундамент, и прикл. матем. — 1995. — т. 1, N 2. — с. 565 — 568.

41. Туганбаев Д. А., Лорановские кольца. Фундамент, и прикл. матем. — 2006. — т. 12, N 3. — с. 151 — 224.

42. Туганбаев Д. А., Радикал Джекобсона и кольца рядов Лорана. -Фундамент, и прикл. матем. 2006. — т. 12, N 8. — с. 243 — 246.

43. Харченко В. К., Некоммутативная теория Галуа, Новосибирск, Научная книга, 1996.

44. Херстейн И., Некоммутативные кольца, Москва, Мир, 1972.

45. Шириков E.H., Жорданова плоскость над полем положительной характеристики. Математические заметки. — 2007. — т. 82, N 2. -с. 272 — 292.

46. Шириков E.H., Жорданова плоскость. Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — т. 13, N 2. — с. 217 — 230.

47. Шириков E.H., Неприводимые модули над жордановой плоскостью над полем нулевой характеристики. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. — 2009. — N 2.

48. Шириков E.H., Представления и дифференцирования жордановой плоскости, Международная алгебраическая конференция, посвящёпная 100-летию со дня рождения Куроша, Москва, 2008, с. 255 257.