2):
Д",(/, АГ) < С{К) г/1||/1|1 + И (/> й < г ^ А = 0, 5 € [1, оо] г/-11п21/||/||1 + 5 = г < 2 или 5 = г = оо.
I/-1 Ш1−1^) |/|| ^ + ыг (/, I/" 1), 2<з = г <-оо.
34) если / € Ь^С) (при п > 2 заведомо г — оо);
Л ^ <г и^МО^}!/!!?, (г, 5) = (1,ОО), П = 2, ь о-^-1)!!/^, п = 2,(г, а) / (1,оо) или п > 2,.
35) если / <Е ЯДО);
Д, Д/, К) < С (Х)г/-а||/||Вав (<7), п > 2, (36) если / <Е ?^(<2), 0 < а < 1, 0 € [1, оо];
Д".(Л Я) < С (К) (М) = (1,00) П — 2, и 1 — У ЧШкда, п = 2, (г, 5) 7^(1,оо) илип>2,.
37) если / е 14/1'(&-У).
Отметим, что при п = 2 антиаприорная оценка (33) заведомо выполняется [65] и оценка (37) при п = 2 совпадает с результатами работ Е. И. Никольской [87−88]. Однако, при п = 2, (г, э) = (1,оо) оценки (35) и (37) .улучшаемы в следующем смысле.
А (Г К)-I 0{и){1Г1) 111 / е ЯГ (С?) «оо.
Пусть формальный оператор Ь имеет самосопряженный вид.
Ьи = + Р2(.г>.(«~2) +. + Р77(, г')м, (38) где п — четное числоР-2{х) е ЬГ©, г > 1, Р/(.т) е Ь^С), I = 3, п — действительные функции.
В следующей теореме под полу ограниченным самосопряженным расширением оператора Ь будем понимать полуограниченное снизу самосопряженное расширение оператора (38) порядка 4/г. и полуограниченное сверху самосопряженное расширение оператора (38) порядка 4//, — 2, 1 г — 1,2,.
Теорема 3.3.7. Пусть {щ} — полная ортонормированная в Ь2© система собственных функций некоторого полу ограниченного самосопряженного расширения оператора (38) с дискретным спектром и для любого компакта К с (7 существует постоянная С0(К) такая, что.
1ЫЫ1'Моо < кем (39).
Тогда на любом компакте К С С выполняются соотношение.
Д,/5(/,/О0, V —>• оо, У/еХ^С), ае [1,оо] и все оценки (34)'- (37) (относящиеся к случаю п = 2) при любом, четном п.
Для неотрицательного самосопряженного расширения оператора Штурма-Лиувилля оценка (37) при г > 1, в = оо впервые установлена В. А. Ильиным и И. Йо [45].
В дальнейшем для неотрицательного самосопряженного расширения оператора Штурма-Лиувилля оценка (35) при г > 1, в = оо получена Ш. А. Алимовым и И. Йо [90] и показана ее точность. Для этого же оператора оценка о где / еН* ©, 0 < а < 1, 1 < р < оо (ЯД (7) — класс Никольского) установлена Н. Лажетичем [83].
Отметим, что вторая часть оценки (35), оценка (36) и вторая часть оценки (37) не улучшаемы (пример 3.6.1).
В § 3.4 оценивается разность V (х) Б^У-1, х) — бЦ/, .т) в метрике Ь^К), где У (х) = ехр (-1/п-0яР1(0^), Р^х) е 1^(0), (3 > 1, / е ЯДС).
В § 3.5 доказываются теоремы равносходимости для оператора (1) с ненулевым коэффициентом Р{х).
Теорема 3.5.1. Пусть, А (ж) € ЬГ©, г > I, б -£ч ((?), I ~ 2, п и система [ии] удовлетворяет, условиям, А при некотором фиксированном р > 1. Тогда при 1 < 5 < г для произвольной функции f (x) е Тр© на любом компакте К С С справедливы.
Дм (/, ЯГ)-+0, V —> оо- (40).
Д&bdquo-,(/, К) < С (К){1п//||/||г + Ы1, где (3 — тш^" 1, — г~1}, и > 2.
Если же 1 < р < з < г, то система {щ} обладает свойством базисно-сти в Ьр на любом компакте К С С.
При в > г, V > 2 выполняются оценки: в случае 1 < г = з < 2:
А^, К) < С{К){ 1п2И|/||р + ^(Р1^-½)1пг/П2(/, 31//2)}- в случае 2 <г = з < оо: в случае р > 1, г = в = оо:
Д"(/, ЛГ) < -С (К) {1и2 г/1| /||рЬ г/!^ (/, 2>р/2)}- * в случаях 1<�г<5<2ад1 < г < в', 2 < 5 < оо, 1/5 + 1/з7 = 1 справедливы: г 1пИ!/1и + 31./2),.
Д,(/, *) < С (КУ^ ^ ЗИ//2),.
1 < г < з', 2 < в < оо,.
А"а (/, К) < С (КУ/Г-^'ШР + 122(/, 31//2)}- в случае 2 < в < ос, в' < г < .&: в случае р > 1,1 < г < в — оо:
Д"в (/, 10 < С (^)^{||/||р + П2(/, 31//2)}- е случае г = 1, в = оо.
Ауа (/, К)<�С (КИ/Цр.
Теорема 3.5.1 показывает, что степень суммируемости коэффициента Р^гт) существенно влияет на равносходимость и свойство базисности.
Отметим, что соотношение (40) для оператора второго порядка с коэффициентом Р{х) е Д" *(<3), г > 1 (класс Никольского) или Р{х)? Б? д©, г > 1, а € (0,1] (класс Бесова) установлено ранее И. С. Ломовым [61]. Теорема 3.5>2, Пусть Р, х) € I = 17 п в случае п > 2, либо.
Р{х) € Игр{Сг), р > 1. Рг (х) е 1ч © в случае п = 2- <?аяг системы {щ} выполняются условия, А при р — 1- {?-/с} является системой корневых функций формально сопряженного оператора и выполняется антиаприорная оценка (33).
Тогда биортогональное разложение произвольной функции /(х) € Ь^С) по корневым функциям оператора Ь равномерно равносходится на любом компакте К С С с ее разложением в обычный тригонометрический ряд Фурье и справедливы оценки.
Д"оо {fJ<)||/||^, если f G Hf (G) иIn И1 если f G B$t6{G) z/1 ИIf\w>,(G), если / G W?(G), гдер' > l, a G (0,1), #G [l, oo], 5= miii{l/2,1/c/}, l/p'-f 1/g' = 1.
Теорема 3.5.2 в частности показывает, что при / G H?(G), р' > 1, о>(£) — (ln (l/?))-7, 7 > 1 разность A, yoo (f, K) имеет порядок 0(1п1—7 z/), v оо.
Предположим теперь, что функция /(я-) G LP{G) такова, что fk = 0(pj-5), fk —? > о, > о. (4i).
Pk:Pk > Р* > 0 где pk = Re? kr Рк — 27TA-, к е N.
Теорема 3.5.3. Пусть выполняются условия теоремы 3.5.1 и оценки (41) — Тогда для всех v > 2 и для любого компакта К с G справедливы оценки: при s < г < оо:
A,/s (/, UQ < /) итх{иv-'"}- (42) при 1 < г = s: imax{i/1, У5 In2 i/, 1 < г = 5 < 2 млад.
1,5 = г = оо, max{i/1, v~6 iri2(i-iA) ?,-<5^ 2 < s = г < оо;
43) n-m 1 < г < s < оо или р > 1, 1 < г < s = оо: rnax{i/-1, ?y-t-i/s+i/r^ ^ o < С {К, /) | тах{г/-] In //, i/" *}, <У = 1 — 1/e + l/r (44).
1 пш{/>-1, 6 > 1 — 1/s + l/r, где C (K, f) — постоянная, не зависящая от, v. ¦¦ Подобные (42)-(44) оценки для оператора второго порядка ранее получены И. С. Ломовым [62-СЗ] (5 = Si).
При в < г < оо, 8 = 5 > 1 оценка. (42) совпадает с оценкой (5) работы [62]. При 5 < г < оо, б — < 1 оценка (42) улучшает упомянутую оценку на 1п2 г/, при в < г — оо, 5 = $ 1 < 1 улучшает на 1пг/ оценку (6) той же работы.
В случаях 1<г = 5<2, ^ = г = 5 = оо, 5 = оценка (43) совпадает с результатом работы [63], в случае 2 < г — в < оо, $ = ^ < 1 улучшает оценку (5) работы [62] на г/, а. в случае 2 < г = 5 < оо, 6 = ?1 > 1 совпадает с ней.
Оценка (44) при 5 — с^ < 1 — 1/5 + 1 /г улучшает соответствующую оценку работы [63] на 1пг/, а при 3 = 5} > 1 — 1/5 + 1 /г совпадает с ней.
Отметим, что при V —оо можно заменить множитель 1п2 у на о (1п2 у) при 1 < г = 6' < 2, множитель [ц2^-1/^ у на о^п2^-1^ и) при 2 < г — 5 < оо в оценке (43), множитель пи на. о (1пг/) при 6 = 1 — 1/в + 1/гв оценке (44).
В § 3.6 приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.
В диссертации использована тройная нумерация формул, теорем, лемм и следствий: первая цифра, означает номер главы, вторая — номер параграфа, третья — порядковый номер внутри параграфа,.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [107−116].
Автор глубоко благодарен своему научному консультанту академику Владимиру Александровичу Ильину за постановку проблемы и постоянное внимание к работе.
1. Стеклов В. А. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка и их применении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харьков. Издательство ХГУ. 1956. С. 1 — 138.
2. Стеклов В.A. Solution generale du problem de developpment d’une fonction arbitraire en series suivant les fonctions fondamentales de Sturm-Liouville // RAL. 5 serie. 1910, y. 19. P. 490 496.
3. Тамаркин Я. Д. Sur quelque points de la theorie des equations differentielles lineaires ordinaires et sur la generalisation de la serie de Fourier // Rend, di Palermo. 34. 1912. P. 345 382.
4. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917. 308с.
5. Биркгоф Д. (BirkhofF G.D.) Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V. 9. № 4. P. 373 393.
6. Бицадзе A.В., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739 740.
7. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1951. Т. 77. № 1. С. 11 14.
8. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи матем. наук. 1971. Т. 26. Вып. 4 (160). С. 15 41.
9. Лидский В. Б. О полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператора // ДАН СССР. 1956. Т. ПО. № 2. С. 172 175.
10. Лидский В. Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром // Труды Моск. Матем. общества. I960. № 9. С. 45 79.
11. Наймарк М. А. О разложении по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка // ДАН СССР. 1953. Т. 89. № 2. С. 213 216.
12. Наймарк М. А. О некоторых признаках полноты систем собственных и присоединенных векторов в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. 1954. Т. 98. № 5. С. 727 730.г.
13. Визитей В. Н., Маркус A.C. О сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка // Матем. сборник. 1965. Т. 66. № 2(108). С. 287 320.
14. Маркус A.C. О кратных полноте и сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка // ДАН СССР. 1965. Т. 163. № 5. С. 1061 1064.
15. Кролл A.M. (Krall A.M.) The development of general differential and general differential boundary systems // Rochg Mountain. 3. Math. V. 5. № 4. P. 493 542.
16. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды сем. им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 190 229.
17. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора с интегральными краевыми условиями // Вестник МГУ. Сер. матем. 1982. № 6. С. 12 21.
18. Пономарев С. М. Обобщение теоремы М. В. Келдыша о полноте систем собственных и присоединенных функций первой краевой задачи для несамосопряженного эллиптического оператора // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 12. С. 2294 2296.
19. Круковский Н. М. Теоремы об m-кратной полноте систем обобщенных из W1//2 собственных и присоединенных функций некоторых краевых задач для эллиптических уравнений и систем // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 10. С. 1842 1851.
20. Михайлов В. П. О базисах Рисса в Ь2{0,1) // ДАН СССР. 1962. Т. 144. № 5. С. 981 984.
21. Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов // Изв. вузов СССР. Математика. 1964. № 2. С. 82 93.
22. Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Уч. зап. МГУ. 1951. Т. 4. Вып. 148. С. 69 107.
23. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.
в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве // Москва. «Наука». 1965. 448с.
24. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294 304.
25. Стоун M. (Stone M.H.) A comparison of the series of Fourier and Birkhoff// Trans. Amer. Math. Soc. 1926. V. 28. P. 695 761.
26. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегродифференциальных и интегральных операторов // Мат. сборник. 1981. Т. 114(156). № 3. С. 376 405.
27. Рыхлов B.C. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п—1)-й производной // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 6. С. 975 989.
28. Гамилко A.M., Радзиевский Г. В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных оце-раторов // ДАН СССР. 1991. Т. 316. № 2. С. 265 270.
29. Ильин В. А. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка М. В. Келдыша обыкновенных несамосопряженных операторов // ДАН СССР. 1975. Т. 225. № 3. С. 497 499.
30. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 4. С. 796 799.
31. Ильин В. А. О существовании приведенной подсистемы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора // Тр. мат. ин-та. им. В. А. Стеклова АН СССР. 1976. Т. 142. С.148 155.
32. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора. // Ма-тематич. заметки. 1977. Т. 22. Вып. 5. С. 679 698.
33. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. //Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 771 794.
34. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. //Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 980 1009.
35. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. // ДАН СССР. 1983. Т. 273. № 4. С. 789 794.
36. Ильин В. А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции //Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 5. С. 371 379.
37. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка //Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. № 5. С. 1048 -1053.
38. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых • векторов разрывных операторов //Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2059 2071.
39. Ильин В. А. О базисности Рисса систем корневых вектор-функций разрывного оператора Шредингера. с матричным потенциалом. //ДАН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 59 62.
40. Ильин В. А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса Li // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 4. С. 577 597.
41. Ильин В. А. О связи между видом краевых условий и свойствами ба-зисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора //Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 9. С. 1516 1529.
42. Ильин В. А., Ио И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса Lp //Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1164 1174.
43. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О системах, состоящих из подмножеств корневых функций двух различных краевых задач //Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1992. Т. 201. С. 219 230.
44. Лангер Р. (Langer R.) The asymptotic solution of certain linear differential equations of the second order// Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 90- 106.
45. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными краевыми условиями // Мат. сборник. 1966. Т. 70. № 3. С. 310 329.
46. Федорюк М. В. Асимптотика решений обыкновенного линейного уравнения п-го порядка. // ДАН СССР. 1965. Т. 165. № 4. С. 777 779.
47. Федорюк M.B. Асимптотика решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения п-го порядка. // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 4. С. 492 507.
48. Костюченко А. Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов //ДАН СССР. 1960. Т. 168. № 1. С. 21 24.
49. Костюченко А. Г., Левитан Б. М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля //Функц. анализ и его приложения. 1967. Т. 1. № 1. С. 86 96.
50. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. Москва. «Наука». 1969. 528с.
51. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными операторами второго порядка. T.I. Москва «Иностр. литра. 1969. 278с.
52. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва. «Мир». 1964.
53. Моисеев Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения //Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 827 844.
54. Карлеман Т. (Carleman Т.) Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partiellen Differentialgleichungen //Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math. Kl. 1936. Bd. 88. S. 119 132.
55. Ломов И. С. О скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля в интегральной метрике //Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 9. С. 1480 1493.
56. Ломов И. С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базис-ность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов //Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1992. № 5. С. 42 52.
57. Ломов И. С. О скорости сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами второго порядка //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 1. С. 71 82.
58. Ломов И. С. Свойство базисности корневых функций дифференциальных операторов второго порядка //Докл. РАН. 1997. Т. 356. № 5. С. 595 598. :
59. Ломов И. С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. I. //Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 619 628.
60. Ломов И. С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на. скорость равносходимости спектральных разложений. II. //Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 8. С. 1066 -1077. '.
61. Тихомиров В. В. Точные оценки регулярных решений одномерного уравнения Шредингера со спектральным параметром // ДАН СССР. 1983. Т. 273. № 4. С. 807 810.
62. Тихомиров В. В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера //Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1378 1385.
63. Керимов Н. Б. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциальных операторов //ДАН СССР. 1986. Т. 291. № 5. С. 1054 1055.
64. Керимов Н. Б. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка //Мат. заметки. 1986. Т. 40. Вып. 5. С. 608 620.
65. Керимов Н. Б. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1986.
66. Керимов Н. Б. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четвертого порядка //ДАН СССР. 1986. Т. 286. № 4. С. 803 808.
67. Керимов Н. Б. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. I. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 33. № 3. С. 317 322.
68. Керимов Н. Б. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. И. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 33. № 4. С. 470 476.
69. Керимов H. Б'. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. III. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 33. № 5. С. 591 598.
70. Будаев В .Д. О неравенстве Бесселя для систем корневых функций дифференциальных операторов //ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 1. С. 16 -20.
71. Будаев В. Д. Критерий бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов. I //Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 12. С. 2033 2044.t.
72. Будаев В. Д. Критерий бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов. II //Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 23 33.
73. Будаев В. Д. О необходимых условиях безусловной базисности систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов //ДАН. 1993. Т. 329. № 4. С. 7 10.
74. Будаев В. Д. Необходимые условия базисности Рисса систем корневых функций обыкновенного несамосопряженного дифференциального оператора //Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 1. С. 20 30.
75. Волков В. Е. Достаточные условия базисности в ЬР и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений / / Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 6. С. 952 959.
76. Йо И., Нсма. туллаев Ш. А. Теорема о равносходимости //Acta Math. Acad. Sei. Himgar. 1982. V. 40. № 2 4. P. 277 — 285.
77. Йо И. Теорема типа равносходимости //ДАН УзССР. 1983. Т. 4. № 1. С. 6 8.
78. Коморник В (Komornik V.) Upper estimate for the eigenfunctions of higher order of a linear differential operator //Acta Scient. Math. 1983. V. 45. № 1 4. P. 261 — 271.
79. Коморник В. (Komornik V.) On the distribution of the eigenvalues of an orthonormal system, consisting of eigenfunctions of higher order of a linear differential operator //Acta Math. Hang. 1983. V. 42. № 1 2. P. 171 -175.
80. Лажетич H. О сходимости спектральных разложений, отвечающих неотрицательным самосопряженным расширениям оператора ШтурмаЛиувилля, для функций из класса Н®- // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 1. С. 61 68.
81. Крицков JI.B. Равномерная оценка порядка присоединенных функций и распределение собственных значений одномерного оператора Шре-дингера // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 7. С. 1121 1129.
82. Крицков JI.B. О необходимых условиях базисности в LP (G) систем корневых функций одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1990. Т. 311. № 6. С. 1306 1309.
83. Крицков Л. В. Распределение собственных значений для равномерно минимальных систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 1. С. 62 70.
84. Будаев В. Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов. Дисс. докт. физ-мат. наук. Москва. 1993.
85. Алимов Ш. А., Йо И. (Alimov S.A., Joo I.) Eqiiiconvergenve theorem with exact order // Studia Scient. Math. Hungar. 1980. V. 15. P. 431 439.
86. Рыхлов B.C. Разложение по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов. Дисс. канд. физмат. наук. Саратов. 1981.
87. Йо И. (Joo I.) Upper estimates for the eigenfunctions of the Schrodinger operator // Acta Sei. Math. 1982. V. 44. № 1 2. P. 87 — 93.
88. Керимов H.Б. Базисность и равномерная минимальность систем кор: невых функций обыкновенных дифференциальных операторов. Дисс. докт. физ-мат. наук. Москва. 1996.
89. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл.Х. Математический анализ I. Изд. Моск. ун-та. 1985, 660с.
90. Йо И., Коморник В. (Joo I., Komornic V.) On the equiconvergence of expansions by Riesz bases formed by eigenfunctions of the Schrodinger operator // Acta Sei. Math. 1983. V. 46. R 357 375.
91. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., Физмат-гиз, 1958.
92. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., 1996.
93. Черных Н. И. О приближении функций полиномами со связями // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 75 130.
94. Лебедь Т. К. Неравенства для многочленов и их производных // ДАН СССР. 1957. Т. 117. № 4. С. 570 572.
95. Кашин Б. С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М., «Наука», 1984. 495с.
96. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1972. 496с.
97. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М., Физматгиз. 1961.
98. Треногин В. А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980. 495с.
99. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов // ДАН СССР. 1984. Т. 275. № 4. С. 794 798.
100. Самарская Т. А. О равносходимости спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным расширениям дифференциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 1. С. 155 166.
101. Курбанов В. М. О свойствах спектра и собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов второго порядка. Дисс. канд. физ-мат. наук. Москва, МГУ. 1988.
102. Курбанов В. М. О базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений дифференциального оператора 2п-го порядка // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 7. С. 1279 -1280.
103. Курбанов В. М. О необходимых и достаточных условиях базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений // Тем. сборник научных трудов Аз. ГПУ им. Н. Туси «Специальные вопросы математического анализа». 1993. С. 115 121.
104. Курбанов В. М. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов с локально суммируемыми коэффициентами. // Тр. ИММ АН Азербайджана. 1996. Т. 6. С. 168 174.
105. Курбанов В. М. О неравенстве Хаусдорфа-Юнга для систем корневых вектор-функций дифференциального оператора n-го порядка // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 3. С. 358 367.
106. Курбанов В. М. О скорости равносходимости частичных сумм биор-тогональных разложений, отвечающих двум дифференциальным операторам // Спектральная теория операторов и ее приложения. Баку. 1997. Вып. XI. С. 99 116.
107. Курбанов В. М. О распределении собственных значений дифференциального оператора второго порядка //Из. АН Азербайдана. 1997. Т. 18.№ 4 5. С. 106 — 112.
108. Курбанов В. М. О скорости равносходимости спектральных разложений // Докл. РАН. 1999. Т. 365. № 4. С. 444 449.
109. Курбанов В. М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. I // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. № 12. С. 1597 1609.
110. Курбанов В. М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. II // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. № 3. С.319 335.
Показать весь текст