Экстремальная задача на индексационных классах
Пусть Yn+2(1). Так как Yn+2(1)Yn+1(1), то Yn+1(1). Точка не может совпадать с левым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, что невозможно. Так как Yn+1(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn+1(1), то 1(t)0 в некоторой окрестности точки. В этом случае полагаем. Доказательство. Пусть j, j. Обозначим через границы отрезка Xi (j). Определим a0… Читать ещё >
Экстремальная задача на индексационных классах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения
§ 3. Доказательство теоремы Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0,)
В работе вводится понятие индекса функции на [0,) относительно произвольного класса F функций на [0,), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция (t), tR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A12<�…k+1, такие, что а); б) знаки функции (t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются. Пусть f (t) и g (t) — функции на R1. Пишем, если функция =g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна. Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда а) не существует точки x1, …, xk (-1<�…k<) такие, что (-1)k-i f (xi) > (-1)k-i g (xi), ; б) существуют точки y1, …, yk (-1<�…k<) такие, что (-1)k-i f (yi) > (-1)k-i g (yi), . Пусть F — некоторый класс непрерывных слева функций на [0,) и f, g F. Определение 2. Пишем, если для любой функции hF, hg, выполнено одно из отношений:, ,,. Пишем, если для любой функции hF, hf, выполнено одно из отношений:, , . Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение и не выполнено. Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено и не выполнено . Через Ik- (Ik+), k1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F. Пусть U — семейство функций на [0,). Через FU обозначим множество функций fF, для которых интегралы uU, абсолютно сходятся. В случае положим, fFU, AFU, : Fi(A)={Fi(f): fA}, , . Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций . Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0,) такие, что. Тогда отношение невозможно для и, если, то . Доказательство. Допустим, что, где kn, и A1, …, Ak — множества строгого знакопостоянства функции g — f. Для векторов рассмотрим матрицу . Так как , то есть (1) где di(-1)k-i, и di=0, для всех векторов . Из (1) следует, что detH ()=0 для любых. С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H (), получим (2) где 01<2<�…<k<. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов. Из (2) получаем . Пусть теперь и . Так как (3) где di=(-1)n+1-i,, то где H — матрица, записанная в (3) слева, — матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0,. Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0. Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i1 функций на [0,) относительно класса U слабо сходится к функции f, если для всех uU. Определение 4. Множество AFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fA и множество, А имеет вид, где V открыто, при, при . Множество AFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А. Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0,) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если: 1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f (t)L при t0, fF; 2. ; 3. Множества Ik- (k-1, U) — открыты для всех k>n+1; 4. Из любой последовательности {fi}i1I-k+1 (k>n) такой, что можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции . Пусть система образует T+ — систему на [0,). Рассмотрим систему функций, такую, что wi=ui для и — T+ — системы для mn (см. [1]). Теорема 1. Пусть система образует T+ — систему на [0,), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0,). Тогда . Доказательство. Пусть. Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj}j1Ik- такая, что. Зафиксируем произвольное fl. Если flIk-, где kn+1, то положим fl*=fl. Пусть k>n+1 и ={} - (k-1, W) окрестность fl в Ik-. Рассмотрим произвольные и. Допустим, что. Согласно лемме 1, отношения и невозможны для sk-1. Следовательно, и, что невозможно. Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что — открытое множество в Rk-1, содержащее . Пусть, и — многочлен по системе, имеющий k-2 нулей x1, …, xk-2. Условие k-1=0 противоречит чебышевости системы. Положим k-1>0. Тогда (см. [5]) P (t)>0 при t>xk-2. Имеем где cli — i-ая компонента вектора, и, следовательно, . Так как константа К не зависит от f, то ml >-. Кроме того, . Возьмем последовательность, такую, что Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p (4) где hi=1. Из условия следует, что hn=1. С другой стороны, из (4) получаем где, А — матрица, записанная в (4) слева, Ani — матрица, получаемая из, А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как — T+1-система на [0,), то detA>0, detAni>0,. Следовательно, hn0. Получили противоречие. Случай, , рассматривается аналогично. Теорема 3. Пусть — T+1-система на [0,), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0,). Тогда . Доказательство. Пусть. Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и для, j1. Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что . Существует j1, такое, что, где — какая-либо метрика в Rn, и . Выберем j2 так, чтобы и . Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и (5) Рассмотрим произвольные и. Отношения и для k>n невозможны, в силу условий . Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем т. е. существует функция такая, что. Включение противоречит условию, в силу принципа инвариативности области. Из произвольности следует утверждение теоремы 2. Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах § 1 Экстремальная задача Пусть — некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], ; Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла на множестве ФР из, удовлетворяющих ограничениям . Для классов o — всех ФР на [a, b] и ВL — ФР на [a, b], удовлетворяющих условию, -<, задача решена в. Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 — 5]. Задача при b решена в для мажоризационных классов. Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой — индексационных классов ФР. Ниже предполагается, что — индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, o, BL, класс унимодальных ФР на [a, b] и др. Обозначим (k A,): Ik+ (Ik-) -множество всех ФР из, имеющих индекс k+ (k-);; - пространство моментов порядка k;; ;, . Основной результат работы содержится в утверждении. Теорема. Пусть,. Тогда: . § 2 Свойства отображения Нам понадобятся два факта из. 1. Для любого существует и единственная ФР . 2. Если, то множество одноэлементно. Если, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что, , для и для . Пусть и, где, a, b. Функция непрерывна слева на [a, b] и (a)=0 для всех. Так как t>0 при t[a, b], то не убывает по . Далее, из k при k следует. Следовательно, семейства распределений {} и {} непрерывны. Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0(f)<�…m(f) (под X1) понимаем xj f (x)>0 (или (-1)j+1f (x)>0 при xBj(f), и f (x)=0 при . Лемма 1. Для любого распределения () и для любого, , функция — (-) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b]. Доказательство. Предположим, что функция — имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a01<�…n+3b такие, что (-1)i [ -] > 0,. Кроме того, (a)=(a)=0. Следовательно, существуют точки y0[a, x0), y1[x0, x1), …, yn+3[xn+2, xn+3) такие, что функция (-1)i [t — (t)] возрастает в точке yi,, что противоречит условию . Равенство запишем в виде tci, , где, , с0 = 1. Очевидно, что последовательности u0, …, uk,, образуют T+ — системы на [a, b]. Из условия (k)(t)>0 для t[a, b] и следует (см. [1]), что последовательностиu0, …,-uk, также образуют T+ — системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция — не может иметь n+1 строгих перемен знака. Пусть функция f (t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0(f)=(-, infB1(f)], Pi(f)=[supBi-1(f), infBi+1(f)], Pk(f)=[supBk-1(f), +). Зафиксируем ФР. Рассмотрим два класса функций { - :[0,1]} и { - :[0,1]}. Число (число) назовем: параметром первого типа, если функция () имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция () отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция () имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция () имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна. Каждому [0,1] ([0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0(), …, Xn+2() (Y0(), …, Yn+2()) следующим образом. Если () есть: параметр первого типа, то Xi()=Pi(), (Yi()=Pi(),); параметр второго типа, то Xi()=Pi-1(),, X0()=(-, infB0()], (Yi()=Pi(),, Yn+2()=(supBn+1(), +)); параметр третьего типа, то Xi()=Pi(),, Xn+2()=[supBn+1(), +)), (Yi()=Pi-1(),, Y0()=(-, infB0()]). Таким образом: (-1)n-i(t)0 при tIntXi(),, (1) (-1)n-i(t)0 при tIntYi(), . При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XIntXi() и (-1)n-i(t)0 при tX. Ни для какого i не существует интервала YIntYi() и (-1)n-i(t)0 при tY. Заметим также, что Xi(0)=Yi+1(0), Xi+1(1)=Yi(1). Определение 2. Отображение Z (): [0, 1]Z ()R1 непрерывно, если из i0, xix0, где 0, i [0, 1], xiZ (i), i1, следует x0Z (0). Лемма 2. Отображения Xi(), Yi(), непрерывны. Доказательство. Пусть j, j. Обозначим через границы отрезка Xi(j). Определим a0=-. Возьмем произвольную точку a1 сгущения последовательности {a1(j)}j1. Пусть для удобства. Проделаем ту же операцию с последовательностями {ai(j)}j1, и {bi(j)}j1,. Положим bn+2=+. Итак, , (2) причем -=a0 Из (1) и (2) следует, что для . (-1)n-i(t)0 (3) при t (ai, bi), если aibi. Из (3) и следует, что aibi,, так как в противном случае функция имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi() следует [ai, bi]Xi(),. Для любого i из xj[ai(j), bi(j)] и xjx0 вытекает, что x0[ai, bi]. Следовательно, x0Xi(). Непрерывность отображений Yi() доказывается аналогично. § 3 Доказательство теоремы В случае утверждение теоремы очевидно. Пусть . Лемма 3. Для любого ФР и любой точки [a, b] существует ФР такая, что v(t)(t) (v(t)(t)) в некоторой окрестности точки . Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Yi(0), то в некоторой окрестности точки имеет место 00. В этом случае положим . Пусть существует i такое, что n-i четно и Yi(0). Случай I, in+2. a) Предположим, что Yi(1). Пусть. Согласно лемме 2, Yi(). В силу сделанного предположения, <1 и, следовательно, существует последовательность {j}j1 такая, что Yi(j) и j. Пусть для некоторого l не существует такого k, что n-k четно и Yk(l). Тогда в некоторой окрестности точки. В этом случае полагаем. Если же для всех j, j1, существует kj такие, что n-kj четны и, то существует m, mi, такое, что n-m четно и Ym(j) для бесконечного числа элементов последовательности {j}. По лемме 2 Ym(). Так как n-i и n-m четны, то mi-1, mi+1. Вместе с mi это противоречит включению Yi(). б) Предположим, что Yi(1)=Xi+1(1). Пусть inf{Xi+1()}. Согласно лемме 2, Xi+1(). Если, то Xi+1(0)=Yi+2(0). Это противоречит условию Xi+1(). Поэтому и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а). Случай II, i=n+2. а) При Yn+2(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I. б) Пусть Yn+2(1). Так как Yn+2(1)Yn+1(1), то Yn+1(1). Точка не может совпадать с левым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, что невозможно. Так как Yn+1(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn+1(1), то 1(t)0 в некоторой окрестности точки. В этом случае полагаем . Итак, доказано существование такой ФР, что — в некоторой окрестности точки. Случай — рассматривается аналогично. Теорема следует из леммы 3 и утверждения: () и (+0) достижимы. Докажем последнее. Пусть d=(). Пусть последовательность ФР, i, такова, что. Выберем подпоследовательность последовательности {i}, слабо сходящуюся к некоторой ФР. Покажем, что d. Для произвольного >0 выберем < такое, что -< и — точка непрерывности. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ()-()<, из которого следует, что () — ()<, j>N. Так как () (), то () — ()<, откуда следует (- d. Последнее неравенство влечет d. Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ) В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0,). Чебышевская экстремальная задача. Пусть — выпуклый класс ФР на [0,), системы u01 на [0,) функций образуют T+-системы на [0,). Положим (1in,): , — моментное пространство класса относительно системы . Пусть . Найти, где . 10. Первый подход заключается в урезании справа класса в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе х решается, и в переносе предельным переходом x решения на класс . Для любого x>0 введем подкласс класса: х={:x+0)=1}. Очевидно, для любых x12 (1) Предположим, что для любого x>0 х — индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]). Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0,), класс ФР вогнутых на [0,), класс ФР на [0,), удовлетворяющих при 0×0 и т. д. Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение (-замыкание множества XRn), где Ii- — множество всех ФР, имеющих индекс i- в . Кроме того, для этих классов справедливо включение, и следовательно, (2) Лемма 1. . Доказательство. Пусть. Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в, т. е. существуют векторы, и числа >0, …, n>0, n+1>0 такие, что . Из (2) следует существование последовательностей, таких, что . Тогда для достаточно больших k выполнено равенство где, . Следовательно, . Из леммы 1 следует, что для достаточно больших x. Так как класс x является индексационным на [0, x], то ([5]) где, () — ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе x. Так как ФР имеет индекс (n+1)- в и, то . Из (1) следует, что . Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в. 20. Второй подход продемонстрируем на примере класса 0 всех ФР на Лемма 2. Если u0, u1, …, un — T+-система на, то для всех i и j существуют пределы . Доказательство. Из определения T+-системы следует, что для произвольных i, j и чисел функции uj(t) и uj(t)+uj(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках. Пусть х — наибольшее решение уравнения uj(t)=0. Рассмотрим уравнение uj(t)+uj(t)=0, t>x. (3) Уравнение (ui(t)0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x,) при любых . Пусть, . Допустим, что не существует, т. е. А а) tkk при k; б), ; в) t1<2<<�…m<m<�… . Пусть c (A, B). Из-за непрерывности функции на (x,) уравнение имеет бесконечное множество решений на (x,). Выберем 0j0n так, чтобы для всех и обозначим . Пусть число t0 таково, что при t>t0. Рассмотрим функцию Пусть, , . Легко видеть, что системы v0, v1, …, vn и v0, v1, …, vn, являются T+-системами на [0,). Предположим, что эти системы являются T+-системами также на [0, ], т. е. для любых 0t01<�…n-1n< , где . Через обозначим множество ФР 0, для которых интегралы, , абсолютно сходятся. Пусть — моментное пространство класса относительно системы . Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0,) функций . Имеем, т. е. . Заметим, что отображение является взаимно однозначным, причем . Таким образом, — множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0,). Пусть . Необходимо найти . (4) Из равенств (0U) следует, что задача (4) эквивалентна следующей. Найти (5) где — множество функций, удовлетворяющих равенствам , . Таким образом, задача в классе 0 сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в. Именно для любого где — ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n, — ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n. Из приведенных выше рассуждений следует, что где, , — величина скачка функции в точке . Крейн М.Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. — Москва: Наука, 1973. Таталян К. Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. — Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. — Москва: Наука, 1976. Даниэлян Э.А., Таталян К. Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. — Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов «Прикладная математика», № 7, 1988. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. — Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.,
Рассмотрим произвольные flp и flq, где plp, flqIk-. Из леммы 1 получаем .
Так как, то найдется функция, такая, что Fk-1(fl')=ml.
Отношение fl'Ik- невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl'Im- для m
Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию, такую, что. Из условия следует утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0,) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен;
2. ;
3. Множества Ik+ (k-1, U) — открыты для всех k>n+1;
4. Для k>n из любой последовательности {fi}i1Ik+ такой, что
,
можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;
5. Ik+FU для kn+1.
Теорема 2. Пусть система образует T+-систему на [0,), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0,). Тогда
.
Определение 6. Систему непрерывных на [0,) функций назовем T+1-системой, если она является T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для .
Лемма 2. Пусть — T+1-система на [0,), функции f и g таковы, что
(-1)n-i Fi(f) (-1)n-i Fi(g), .
Тогда отношения, и, , невозможны.
Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1pn.
Пусть x1, …, xp-1 (-1
<�…p-1<) — точки перемен знака функции; xо=-, xn=;. Выберем точки xn-1n-2<�…pp-1 так, чтобы, ,. Рассмотрим систему равенств