Классические решения в неабелевых теория с действием Борна-Инфельда

В последние годы основной прогресс в развитии теории струн связан с изучением О-гипербран. Г)-гипербраны это (гипер)поверхности, па которых могут заканчиваться концы открытых струн [1, 2, 3]. Их динамика описывается полевой теорией открытых струп, например в формулировке Виттена [4]. Однако, работать с такой теорией очень сложно, поэтому очень часто приходится ограничиваться рассмотрением иизкоэнергетического эффективного действия получаемого при усреднении по всем массивным модам сохраняя только безмасеовый (супер)максвслловский мультиплет. Однако это тоже весьма сложно. Подчас наилучшее, что можно сделать это ограничиться рассмотрением медленно изменяющихся по сравнению со струнной шкалой полей, т. е. сохраняя напряженности полей, но не их производные. При таком подходе нет ограничения на абсолютные величины папряженностей полей по отношению к струнной шкале, за исключением естественно возникающего ограничения на электрическое поле, которое не может превышать определенной величины.

Существенным отличием между ранее известными р-гипербранами исуперсимметричными В-гипсрбранами является включение в действие калибровочного поля заданного на мировом объеме гипербраиы. Это поле соответствует виртуальным состояниям открытой струны чьи концы движутся.

Динамика таких калибровочных полей описывается действием Борна-Инфсльда или его модификацией действием Дирака-Борпа-Инфельда [5, 6]. Это эффективное действие для низкоэнергетических степеней свободы Э-гипербрапы [7|. Даже до установления этого факта, данное действие как действие фоновых калибровочных нолей с необходимостью возникало при интегрировании всех внутренних степеней свободы открытых струн в предположении постоянной напряженности фонового калибровочного поля [8|. Уникальность данного действия в том, что оно содержит вклады всех степеней по струнной постоянной а' и является суммой всех древесных струнных диаграмм. Таким образом, лагранжиан Борна-Инфельда по своему происхождению из струнной теории во многом аналогичен лагранжиану Гейзепберга Эйлера в квантовой электродинамике. Более того, существует лагранжиан непрерывно интерполирующий между двумя этими действиям и. соответствующий открытой струне с массивными заряженными частицами на концах (9].

Оригинальной мотивацией построения данного действия [5, 10| являлось желание иметь теорию свободную от расходимостей на классическом уровне. Кроме того, первоначально авторы предполагали, что свободные уравнения ноля позволят описать заряженные частицы как солитонные объекты. Последнее предположение оказалось не верным: кулоповский потенциал генерируется ¿—образным внешним источником. С расходимостью тоже не все оказалось гладко: несмотря па то, что полная энергия такого точечного электрического заряда оказывается конечной, ее плотность оказывается бесконечной в точке1 расположения источника. Крометого из-за высокой неипшешюсти дашюй теюрии, гюдефжащей члены взатюдействия ске>ль угеуцш высежеяч) 1юридка ш> не существует кваптеэвой теюрии для данного действия1.

Несмотря на указанные трудности, дашюе действие1 обладае1гг целым ряде) м привлекательных свойств: елю удешлезтворяегг услелзиям причип-ности, е>бладает электрическо магнитной дуалыюстью. Ол (лдует 'заместить, что /дуальными векте) рами оказываются не шчюсреук’твешю элеск1 В контсксто струнной теории действие Борна-Инфельда само являе тся эффективным действием струнной теории и потому квантовать его нет необходимости. Вместо чтого имеет смысл рассматривать струнные поправки к данному действию ча счет членов с прои зводными | И, 12, 13, 1 1|.трические и магнитные составляющие напряженности поля, а напряженность электрического ноля и индукция магнитного и наоборот. Причем индукция зависит от напряженности нелинейным образом. Например. решением дуальным точечному заряду оказывается в точности дираков монополь. Таким образом, абелева теория Борпа Инфельда по ряду признаков аналогична электродинамике нелинейных сред.

Несмотря на то, что уравнения данной теории сложнее уравнений Максвелла, получено множество различных решений описывающих различные объекты, развиты техники генерации новых решений из уже существующих [15, 16]: помимо простейшего решения для точечного заряда, записывающегося с помощью эллиптического интеграла 1-го рода, существуют мультицептровые решения, решения с внешними нолями, решения типа плоских волн и т. д. Помимо чисто математического интереса некоторые из этих решений имеют прямую струпную интерпретацию. Например точечный заряд можно интерпретировать просто как конец фундаментальной струны, прикрепленной к гипербрапе, тогда как магнитный монополь интерпретируется как конец солитонной струны, т. е. 2-гипербраны.

Действие (1.1) описывает Э-гипербрану в так называемой статической калибровке, в которой поперечные координаты брапы зафиксированы. Если же отказаться от этого требования, то в действие1 необходимо ввести скалярные поля, соответствующие поперечным координатам браны. В результате возникает действие Дирака Борпа Инфельда:(1.3)Хотя в случае абелевых калибровочных нолей с помощью надлежащего выбора координатной системы можно избавиться от скалярных полей, находящихся под корнем, члены, содержащие поперечные координаты становятся существенным при рассмотрении пеабелевых калибровочных полей, когда такую калибровку наложить в общем случае невозможно.

Неабелевы калибровочные поля в струнную теорию традиционно вводились с помощью факторов Чана Паттона |17|. Использование О-гипербран позволяет придать этой операции новый смысл: неабелевы калибровочные поля возникают, если вместо одной О-гипербраны рассматривать N совпадающих гииербран. В такой системе существует ТУ2 типов струи, каждая из которых начинается па одной из этих брап и заканчивается на другой./V2 это размерность присоединенного представления группы {/(./V), поэтому в мировом объеме такой системы возникает неабелево С/(А^) калибровочное поле. Классический же способ введения факторов Чана Паттона можно включить в рассмотрение, если использовать Л9-гипербраны заполняющие все пространство [18|. Низкоэнергетическое эффективное действие, описывающее данную теорию, должно быть исабслевым аналогом действия Борпа Иифельда. С одной стороны, в пределе слабых полей данное действие должно переходить в действие Япга Миллса с калибровочной группой II (М), с другой стороны, для абелевоподобных полевых конфигураций данное действие должно совпадать с действием Борна Ипфельда.

Определить точную структуру такого действия до сих пор не решенная задача. Так как компоненты напряженности калибровочного поля являются некоммутирующими матрицами, упорядочивание1 членов в неабелевом обобщении действия (1.1) плохо определенная без дополнительных требований операция. В абелевой теории высшие члены действия Борна Инфельда по а' подвергаются поправкам за счет членов с производными Р. В неабелевой теории выделить такие члены сложно из-за упомянутой неоднозначности упорядочивания матриц 771. поскольку [/^Ду^дст /7)х"/гаа. Цейтлиным [19| был предложен рецепт устраняющий данную неоднозначность, заключающийся в замене взятия следа по неабелсвым индексам особой операцией: «симметризован-ным следом». Симметризованный след определяется как обыкновенный след, но усредненный по всем возможным перестановкам пекоммути-рующих матриц и неабелево действие Бориа Инфельда (НБИ) с учетом данного предписания можно записать какВведение операции симметрированного следа позволяет обращаться с матрицами входящими в соответствующие выражения как с коммутирующими величинам и развить ряд функциональных методов для получения решений [20], но с другой стороны существенно усложняет классические, в частности численные вычисления.

Кроме того, действиеНБИ с симметрированным следом, хотя и содержит члены всех порядков по параметру (3, пе является столь полным как действие Борна Инфельда для абелевой теории: в высших порядках теории возмущений существует расхождениемежду формулой (1.4)(1.4)и детальными вычислениями на основе струнной теории [21, 22, 23, 24, 25].

Еще одним возможным способом построения неабелевого расширения действия Борна Ипфельда в четырехмерном пространство является использование в качестве отправной точки формулы (1.2)?V, = у? ху/^ЫГд^! 1 + - (1.5)Данное действие- (на котороемы будем в дальнейшем ссылаться как па действие с обыкновенным следом) уже использовалось в рядеработ [26, 27, 28, 29, 30, 31] и его значительно проще использовать в конкретных вычислениях. Кроме того можно надеяться, что оно обладает всем основными качественными свойствами действия ПБИ струпной теории, поскольку совпадает с действием с симметризоваппым следом па абелевоподобных полевых конфигурациях и обладает том же1 пределом Богомольного Прасада Соммерфельда.

Для лучшего понимания непертурбативных аспектов динамики Г)-гипербраи, связанных с калибровочными полями, необходимо изучить классическую динамику нолей описываемых соответствующими низкоэнергетическими действиями. Целью настоящей диссертационной работы является развитие методов получения классических решений в теориях содержащих поля с неабелевым действием Борна Ипфельда, получение таких решений и исследование их свойств. Следует заметить, что большинство получаемых здесь решений имеет своих непосредственных предшественников в теориях без пелипейиостей Борна Ипфельда и потому основной упор делается па выявление отличий икачественно новых свойств получающихся решений.

Простейшим случаем приводящим к нетривиальному результату является свободное калибровочное1 ¿->7/(2)-поле НБИ. Как известно, свободней1 поле Янга-Миллса не допускает существования статических решений с конечной энергией [32, 33, 34]. Более общо, не существует статических или зависящих от времени, но не излучающих, решений уравнений Янга Миллса с конечной энергией [34]. Это утверждение следует из конформной инвариантности теории Янга Миллса, что приводит к бесследовости тензора энергии импульса: ТЦ = О = —Too + Тц, где ц = 0,., 3, i — 1, 2,3. Поскольку плотность энергии 71,' положительна, сумма собственных значений тензора напряжений отрицательна, т. е. материя Янга Миллса отталкивается. Это делает невозможным механическое равновесие [35|. Чтобы статические решения с нетривиальными калибровочными полями могли существовать, можно добавить дополнительные поля, которые нарушают конформную инвариантность.

В теориях с нарушенной симметрией конформная инвариантность нарушается введением скалярного поля. Поэтому приведенные вышеутверждения оказываются неприменимы и возникает возможность для существования статических решений с конечной энергией. В теории ?>77(2) поля Янга Миллса с полем Хиггса преобразующимся по фундаментальному представлению 67/(2) существует сфалероп |36], в теории с триплетным полем Хиггса существует монополь.

Схожую картину можно наблюдать, когда калибровочная инвариантность теории Янга-Миллса нарушается введением грави тационноговзаимодействия. Первый пример неабелевых гравитирующих солито-нов был представлен Бартником и МакКииноиом в 1988 |37|, которые па основании проведенного численного исследования обнаружили дискретное семейство частицеподобных решений, обладающих асимптотически плоской метрикой. Эти решения различались числом нулей (узлов) калибровочной функции и параметризовались единственной величиной, в качестве которой можно выбрать значениевтефеж прежзвеуиюй калибровочне) й функции в нуле.

Решения Бартника-МакКишшна 1ю свех-й прире) де и характе-ристи-кам во многом аналогично сфалерешу в теюрии Япга Миллса с дублетным полем Хиггса. Качественное е) бъяснениееуще-стве)вапия таких решений заключается в существовании перетягиваемых цикле>в па щю-страистве нолевых конфигураций. Бехлехточпе), существуем1 интефпехля-ционная последователыюсть соединяющая различные вакуумы тее) рии Япга Миллса и проходящая через такоесфалефешнех1 ремисчи"4. Су шефствуют также аналогичные решения в теефии Япга Миллса взаиме) деж-ствующей с дилатошш.

Еще е>дин путь для пе) явле-иия статичных реше: ний сое-гежт в ме>ди-е}шкации действия Янга Миллса, нарушающей еге> кеже}хфмпую инвариантность. Вве-де-ние лагранжиана типа Бефна Ипе|)ельда как раз и пре-де)ставляе-т интересную возме) жнехлъ паруше-пия таке>й инвариантности. Вехжикаетг вопрезс: делает ли такая ме) дие]жкация ве) зме)жным существование статических решений с келючной энергиеж? Пеш) жите-ль-иый еггвет иа данный вопрос был дан Гальцежым и Ке-рпе-ре)м в рабепе*[26], где было построено дискретноесемейство решений в модели НБИ с обычным следом. По своим свойствам данное семейство во многом аналогично решениям Бартника МакКипнопа.

Хотя, как мы видим, уже свободное1 калибровеяпюе1 шхле с действием НБИ е) бладае-т нетривиальней динамике) й, калибрешяшые нехля ре-д-ке> можно рассматривать без учета взаимодействия с другими видами материи. Прежде всего гипербраиа с заключечшым в ней калибровочным нолем песет энергию и импульс и шшшу участвуегг в гра-витациошюм взаимодействии. Таким образом, естественно рассматривать классическиерешения в теориях се) де-ржащих действие Бе>рна Инфельда с учетом гравитации. В частности, пех’кехльку свойства реч-шепий Гальцова Кернера вомногом аиале) гичпы свешствам репнчшй в Бартника МакКиннона, интересен вопрос о связи данных решений в рамках общей теории.

Следующим классом моделей имеющих больнккпрактическекзначение являются модели с нарушешюй симмеггрие-й. В ке) нтексте 1)-гииер-браи в качестве нолей Хиггса наиболееестественно взять шшеречпые1 кеюрдинаты гинербраиы. Тогда динамика этеж сипсмы б. уде, гг ежисы-ваться неабелсвым аналогам действия Дирака Бе) рна Ине1>(льда, включающим в себя как калибровочнех* 1юлетак и скалярные шхля с пегген-циалами обеспечивающими нарушение симметрии.

Наиболее известным, простым и физически интересным ремшчшем в моделях с нарушешюй симметрией является мелкмюль, существующий в модели с 811(2) калибровочным полем и триилетным 1юлем Хиггса (монополь Полякова т’Хофта). В работе [27| было рассмотрено влияние нелинейности НБИ на это решение. Было замечено, что решения обобщающие монополь Полякова т’Хофта существуют лишь при значениях параметра (5 превосходящих некоторое критическое значение Д. К сожалению в этой работе был сделан ряд неверных утверждений относительно поведения решений вблизи критических значений параметров.

Неабелево 5/7(2) калибровочное поле интересно также том, что оно допускает пространственно однородные и изотропные полевые конфигурации позволяющие получать однородные и изотропные космологические решений [38]. Динамка калибровочных полей в таких моделях носит характер осцилляций. Для обычного поля Япга Миллеа конформный характер калибровочного поля означает, что плотность энергии соответствующая этому полю быстро убывает по мере расширения вселенной и существенна лишь в эпоху доминирования излучения. С другой стороны для полей Борна Инфельда при больших плотностях энергии характерно отрицательное давление и потому в космологиях Борна Инфельда можно ожидать более1 медленного закона спадания плотностей энергии.

Тесно связанными с космологическими моделями ежазывается еще-еущо приложение. О-гинербран в рамках получившего в хюслеущее время популярность сценария мира, на гинсрбранс |39, 10, 41]. Согласие) ему все, или почти все, ноля материи за исключением гравитационного поля оказываются локализованными на 3-гипербрапо, в то времякак гравитация распространяется в объеме большей размерности. Такие модели интересны тем, что в размеры скрытых измерений могут быть весьма большими и даже бесконечными. Более того, такой сценарий позволяет решить проблему иерархии за счет того, что фундаментальный масштаб энергии можно сделать порядка 1ТэВ. /)-гипербраны предоставляют естественный механизм заключения материи прежде всего калибровочных полей в мировом объеме гипербраны. В большинстве исследований посвященных миру па гипербране в качестве материи в мировом объеме используются скалярные поля с различными потенциалами. Однако гораздо естественнее использовать лагранжиан Борна Ипфельда, который включает в действие1 калибровочныеполя |18|.

Еще одним интересным вопросом является вопрос о влиянии струпных теорий на хаехгическую динамику. Хаотическая динамика возникает во многих полевых моделях в том числеи в моделях содержащих калибровезчные иехпя [42, 43]. Добавление1 в такие1 ме>дели струнных «пешравок», понимаемых в е) бе)бщешюм смысле, таких как ноля днлатоиа, поля RR-форм и т. д. очень чаете) привеущт к тешу, чте> динамика из хае) тиче-ской становится регулярной [44, 45. 46, 47, 48]. Также1 к исчезновению хаотичшхгги ириве) дит де) бавлетше1 в течэрию гравитации высших поправок не) кривизне, также характерных для струпных теефий [49, 50]. Таким еэбразом еггествешю задать вешрех-: как влияе1гг на хаотичность свойственную полям Яига Миллса замена действие на действие неабелевого поля Борна Ипфельда.

Диссертационная работа построена следующим образом. Во второй главе развиты методы позволяющие построить замкнутое выражение для редуцированного лагранжиана пеабелевого поля Борпа Инфельда с симметризовапиым сле-де>м. Это можно сделать для целого ряда полевых конфигураций с высокой степенью симметрии. В их числе1 случаи сферической симметрии, цилиндрической симметрии, и симметрии пространственно-однородных и изотропных мненхюбразий сеютвет-ствующих ке>сме)логическим моделям. Отде-лыю приве-де-н выве) д пространственно одноре) дноге) и изотропнемч) кех'.мешн'ического аизаца для Б и (2) калибровочного поля.

Во следующей главеизучаются различные сферически симмеггричпые решения в моделях содержащих калибровочные11юля с действием НБИ. В первом параграфе с/грезится обезбщениедие’кречшлч) ее-ме-йства реше1-ний хюлучеппых в работе [26| на случай лагранжиана с симмеггризежап-ным следом и показывается сфалеронный характер) и пестабилыюсть полученных решений. Ве) втором параграферассматриваются части-цеподобные и чсрнездырные решения в мещелях НБИ в присутствии гравитации. Показывается, что при всех значениях параметра гравитационного взаимездействия существуегг дискретноесе-ме-йспю всюду ре—гулярпых асимитеугически илезских ре-ше-ний в различных ире-де-льных случаях нерехездяще^е в семе-йство Бартника МакКишшпа и в се-ме-йстве> из работ [26, 511. Такжев ттом па1) аграе})ерассматриваются ш-абе-лс—вы черные дыры в теориях с действие-м НБИ. Свежства таких черных дыр вовне горизонта аналогичны свезйствам черных дыр в теюрии ЭЯМ[52, 53]. Однако под горизонтом черные дыры НБИ-теорий обладают более «мягким» характером сингулярностей.

В третьем параграфе третьей главы рассматриваются монопольные решения в НБИ-моделях. Показано, что при достаточно больших 'значениях параметра взаимодействия существует новое дискретное семейство монопольных решений, котороеможно рассматривать как связанное состояние сфалеронных решений свободной теории и деформированного моноиоля Полякова-т'Хофта. Существует также1 критическех1 значение параметра БИ ниже кеггорелч) несуществуем1 мелклюльпых решений. Пе) дре)бпо рассматриваемся 1юве-дсниерешений вблизи критической области.

В четвертой главе рассматриваемся прехггранствелию е) дне)ре)дные ре1-ше-ния в ме>де-лях с действием НБИ. Первый параграф дашюй главы 1Ю-священ рассмеггрению однореущых и изе) ггре)пных кесмехлогичечжих ме>-делей с материей описывае-мой ноле-м Бориа Ине})е1льда 13 тем числеи при наличии космологической пехмояшюй. Пежазано, чте) для материи НБИ в этом случаесуществуем1 уравнение сесшяиия, кеушрехинте-р-1юлирует между уравнением р —^е для малых плеупюете-й эш-ргии и уравнением р = — для бе>льших.

Второй параграф дайной главы 1юсвяще-н еуцшреуцюй и изеугрель иой космехлогии в контексте сценария «мир на гшюрбрапе1». Оказываемся, что включениев данный сценарий действия типа Борпа Инс|)е, льда приводит к существе-ииому упрощению уравнений (даже1 1ю сравнению с обыкновенной НБИ космолел’ией) и приводит к речиениям не) све>нмосновным свойствам аналогичным решениям для «горячих» космологических моделей.

Третий параграф посвящен исследованию вопроса о влиянии нели-пейпостей вносимых действием НБИ на хаотическую динамику в однородных (но не изотропных) полевых конфигураций.

Глава 2Вычисление лагранжианов с симметризованным следомВ данной главе мы рассмотрим различные конфигурации пеабелевых полей Янга-Миллса, для которых лагранжиан с симметризованным следом может быть получен в явном виде, вне1 рамок теории возмущений. Все рассматриваемые нолевыекешфигурации е) бладают при этом высеь ке>й степенью симметрии, что пегзвехляе’т иетюльзешать пехлучечшыере>-зультаты для получения решений.

Из такого определения непосредственно вытекает, что под знаком симметрированного следа с: матрицами можно обращаться как с коммутирующими объектами. 13 частности отсюда следует эквивалентность данного действия следующему8=а ^± - о •(2.3)В качестве калибровочной группы мы рассматриваем Би{2), для генераторов которой в фундаментальном представлении выбирается следующая нормировка[Т?, Т,] = 1еикТк, Ьт Т, Т, = г, к = 1, 2, 3 (2.4)т.о. обычная алгебра матриц Паули, хотя конкретный вид генераторов может зависить от точки.

Для дальнейшего нам понадобится явное1 выражение1 для симметрированного следа е) т монома общего вида:= Т? Т^ТГ). (2.5)Для монома, содержащего хеугя бы один ир генераторов в нечетной степени, симметрированный след равен пулю.

Применение оператора к получившемуся ряду сехушит в замене1 матричных мономов Т^Т^Тд на коэффициемгг, опреу^ляемый выраже1-нием (2.8).

Если удастся получить замкнутое выражение для 1юлучившеге) ся ряда, то это и будеуг искомое действие1 НБИ.

Напряженность поля сеютве: те:твующая данному пегтщиалу: F = (1 — w2) Tr sin edO A dxf> + w’Tedr A d.0 — w sin 0Tedr A dí-f), где штрих е>значает дифс|>еремщире)вапие 1ю радиальной пере’мечпюй.

Итак рассмотрим однородную и изотропную космологическую модель. Метрика пространства времени Фридмана Робертсопа Уокера обладающая такой группой изометрии имеет вид: Ж?2 = N4? + а2 {йг2 4- £2И2 + мпвЧф2)). (2.14)где функции N и, а зависят только от времени, а Е одна из функций sin г, г или shr в зависимости от типа пространства замкнутое, плоское или открытое (этим случаям соответствуют различныезначения индекса к, часто используемого при изучении космологических моделей: 1, 0 и —1 соответственно).

Данная конфигурация обладает остаточной калибровочной инвариантностьюKi + iK2 = {Ki + zA" 2) em, u) i = ui+a', u{) = u{) + a, (2.16)где штрих означает производную по г, а точка производную по t.

Таким образом мы можем получить выражение для Str7?:StrT = 4- f d*xer2-«2-zx2 + у2 + z2)1.N2i J *Последний интеграл легко вычисляется в сферических координатах и в результате мы имеемStrT? = |(2z + l). (2.31)Перейдем теперь к явному вычислению лагранжиана. Для этого разложим лагранжиан в ряд по степеням Т и применим полученную формулу (2.31). Не выписывая явный вид коэффициентов имеемСЮ ОО.

Основные результаты диссертации содержатся в публикациях [107, 51, 108, 109, 110, 111, 112, 113] и были доложены на ряде1 конс|)е-ренций.

В заключение выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических паук, профессору Дмитрию Владимировичу Гальцову за научное руководство, тершчше и постоянное внимание к работе, за основныеидеи, положенные в основу настоящей работы, за создание творческой атмосферыа также весм участникам семинара «Квантовая гравитация и струны» кафедры теоретической физики Московского Государственного Университета.

Заключение

.

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию классических решений в полевых теориях с пеабелевым калибровочным полем, описываемым лагранжианом Борпа Иифельда. В работе получены результаты, обладающие несомненной научной новизной.