О группе Брауэра алгебраического многообразия над конечным полем

Актуальность темы

Вычисление группы Брауэра числового поля является одним из самых важных достижений алгебраической теории чисел. В настоящее время возрос интерес к группам Брауэра схем.

Актуальность темы

обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в диофантовой геометрии и теории чисел. Так группу Брауэра поля к можно определить как группу классов подобия центральных простых алгебр над к или, что эквивалентно, как группу когомологий.

Н2(Сэ1(к3/к), (к3)х) = Н2((Бреск)еЬ^т), где к? — сепарабельное замыкание поля к. Оба эти определения обобщаются на случай схем, но приводят при этом к разным группам. Первая из них Вг (Х) — группа классов подобных алгебр Адзумаи над X, называется группой Брауэра схемы X, а вторая Вг'(Х) = Н2(Хе1,€тт) — когомологической группой Брауэра. Всегда имеется включение Вг (Х) ^ Вг'(Х). Каждый класс когомологий из С^) представим некоторым обратимым пучком. С геометрической точки зрения группа Брауэра классифицирует классы 2-когомологий, не приходящие из алгебраических диви-зориальных циклов, т. е. она классифицирует трансцендентные классы. Первоначально алгебры Адзумаи изучались над локальными кольцами самим Адзумаей [1], над произвольными кольцами их изучали Ауслендер и Голдман [2], а над схемами — А. Гротеидик [3]. А. Гротендик первым дал удовлетворительное когомологическое описание групп Брауэра. Ю. И. Манин использовал группу Брауэра для изучения арифметики и геометрии кубических поверхностей [4]. Одним из самых интересных вопросов, касающихся группы Брауэра, является гипотеза М. Артина о том, что группа Вг (Х) собственной схемы X —> SpecZ конечна [5]. Кроме того, если X — абелево многообразие над конечным полем Fg, то Вг (Х) конечна в силу теоремы Тэйта [6].

Целью настоящей работы является доказательство конечности /-примарной компоненты группы Брауэра арифметической модели гладкого регулярного многообразия над глобальным полем конечной характеристики при условии, что для этого многообразия верна гипотеза Тэйта для дивизоров.

Основные задачи, решаемые в работе.

В дальнейшем С — гладкая проективная кривая над конечным полем Fg, к = Fq (C) — поле рациональных функций на кривой С.

Мы доказываем следующие основные теоремы:

1. Теорема 2.2.1. Пусть тг: X —> С — сюръективиый мор-физм гладких проективных многообразий над F9? общий схемный слой которого является гладким многообразием V над к, и все схемные слои морфизма 7 г приведены. Предполоэюим, что V{k) ф 0, HV fc, Оуъъ) = О, NS (V) = NS (V к). Если для простого числа I, не делящего Card ([NS (V)]tors) и отличного от характеристики поля Fgверно соотношение.

NS (V) Qi ^ [H2{V 0 ks, Q,(l))]Ga1^ другими словам, и, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на V), то l-примарная компонента группы Вг'(Х) конечна.

2. Теорема 3.1.3. Пусть тг: X —> С — сюръективный мор-физм гладких проективных многообразий над Fgобгций схемный слой которого является гладким многообразием V над к, и все схемные слои морфизма тг приведены. Предположим, что V{k) ф 0, HV 0 к, Оуъь) = О, NS (V) = NS (V 0 к). Если для простого числа I, не делящего Card ([NS (V)]t0rs) и отличного от характеристики поля? q} верно соотношение.

NS (V) [H2(V 0 ks, Qi (l))]Ga1^) другими словами, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на V) — т, о для любого простого числа I ф сЬаг (Е5) т. е. гипотеза Тэйта верна для дивизоров на X).

3. Теорема 3.2.3. Пусть 7г: X —> С — сюръективный мор-физм гладких проективных многообразий над конечным полем ^ характеристики р ф 2, общий слой которого является поверхностью Куммера V = Кт (А) для некоторой абелевой поверхности, А над полем к, а все схемные слои морфизмл 7 г приведены. Предположим, что N3(1^) = N8(1^ ® к). Тогда для всех I ф сЬаг (^) группа Вт'(Х)(1) конечна и для X верна гипотеза Тэйта:

Научная новизна работы заключается в том, что впервые исследованы взаимоотношения между гипотезой Тэйта для дивизоров на регулярном общем схемном слое V проективного мор-физма 7 г — X —> С на проективную гладкую кривую С над конечным полем и гипотезой Тэйта для дивизоров на X. В частности, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на регулярном гладком проективном многообразии V над глобальным полем положительной характеристики, то /-примарная компонента группы Вг'(Х) конечна и верна гипотеза Тэйта для дивизоров на X, где Xгладкая проективная модель V над конечным полем ¥-д.

Аналогичные результаты о конечности /-примарных компонент групп Брауэра арифметических схем, проективных и плоских над спектром кольца целых числового поля, доказаны С. Г. Танкее-вым в работах [7] - [9].

Основными методами исследования являются методы теории этальных когомологий, с использованием классических результатов теории групп Брауэра схем в стиле А. Гротендика.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение в диофантовой геометрии и теории чисел. Могут быть полезны при чтении специальных курсов студентам математических факультетов университетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-технической конференции факультета информатики и прикладной математики (Владимир, 2003 г.), на Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2007 г.), а так же неоднократно обсуждались на научных семинарах по алгебраической геометрии ВлГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора С. Г. Танкеева.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство конечности ¿—примарной компоненты группы Брауэра арифметической модели гладкого регулярного многообразия над глобальным полем конечной характеристики при условии, что для этого многообразия верна гипотеза Тэйта для дивизоров.

2. Доказательство теоремы о взаимоотношении гипотезы Тэйта для дивизоров на общем регулярном слое и на объемлющем многообразии над конечным полем.

Краткое содержание работы.

Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам. Нумерация приведенных ниже утверждений соответствует принятой в диссертации.

1. Azumaya G. On maximally central algebras // Nagoya, Math. -1951. — V. 2. — P. 119−150.

2. Auslander M., Goldman О. The Bra, uer group of a commutative ring // Trans. Amer. Math. Soc. I960. — V. 97. — P. 367−409.

3. Grothendieck A. Le groupe de Brauer. I. Algebres d’A zum, ay a, et interpretations diverses, II. Theorie cohomologique, III. Exemples et complements j/ In: Dix Exposes sur la Cohomologie de Schemas, North Holland, Amsterdam. — 1968. — P. 46−188.

4. Манин Ю. И. Кубические формы: Алгебра, геометрия, ариф-мет, и, ка. М.: Наука, 1972.

5. Милн Дж. Этальпые когомологии. М.: Мир, 1983.

6. Tate J. Endomorphisms of abelian varieties over finite fields // Invent. Math. 1966. — V. 2. — P. 134−144.

7. Танкеев С. Г. О группе Брауэра // Изв. РАН. Сер. матем. -2000. Т. 64. — № 4. — С. 141−162.

8. Танкеев С. Г. О группе Брауэра арифметической схем, ы // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. — Т. 65. — № 2. — С. 155−186.

9. Танкеев С. Г. О группе Брауэра арифметической схемы. II // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. — Т. 67. — № 5. — С. 155−176.

10. Mumford D. Picard groups of modular problems // Arithmetical Algebraic Geometry. New York: Harper and Row. 1965. — P. 33−81. // Русский перев.: «Математика», 13:2, 1969.

11. Tate J. Algebraic cycles and poles of zeta functions // Arithmetical Algebraic Geometry. N.Y.: Harper and Row. 1965. — P. 93−110.

12. Tate J. Conjectures on algebraic cycles in l-adic cohomology // Proc. Symposia in Pure Math. 1994. — V. 55. — Part 1. — P. 71−83.

13. Фукс JI. Бесконечные' абелевы группы. T. I. — М: Мир, 1974.

14. Tate J. On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog // Seminaire Bourbaki 1965/66. — Expose 306. — P. 1−26.

15. Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: Мир, 1968.

16. Кох X. Теория Галуа р-расширений. М.: Мир, 1973.

17. Касселс Дж., Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. М.: Мир, 1969./.

18. Grothendieck A. Elements de geometrie algebrique. IV. Etudelocale des schemas et des morphismes des schemas // Publ. Math. IHES. 1967. — V. 32.

19. Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия. M.: Мир, 1981.

20. Атья M., Макдональд И.

Введение

в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972.

21. Milne J.S. Values of zeta, functions of varieties over finite fields. // Amer. J. Math. 1986. — V. 108. — P. 297−360.

22. Зархин Ю. Г. Абелевы многообразия в характеристике р // Математические заметки. 1976. — Т. 19. — №. — С. 393−400.Публикации по теме диссертации.

23. Засорина Т. В. О группе Брауэра алгебраического многообразия над конечным полем // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. -Т. 69 2. — С. 111−124.

24. Прохорова Т. В. О группе Брауэра // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 22−27 июня 2007: тез. докл. Владимир: РИО ВлГУ, 2007. — С. 50−52.Прохорова Т. В. (фамилия изменена в связи с регистрацией бр