О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций

1.1 Современное состояние проблемы диофантовых приближений значений логарифмической функции.

Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.

Мерой иррациональности /?(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань чисел /л таких, что для любого е > 0 существует положительное число которое удовлетворяет следующему условию: неравенство V.

7 — -Ч выполняется для всех целых чисел р, д, где д >

Известно, что мера иррациональности любого иррационального числа ^ > 2. К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций.

Остановимся подробнее на приближении рациональными числами.

7 г классических констант тт и —≠¦. 3.

В 1953 г. К. Малер [36] показал, что справедлива оценка.

— 42 г Р 7г-Я я для любых целых чисел р, д, где д > 2. К. Малер также указал, что показатель 42 заменяется на 30 при д > доПозже данная оценка была улучшена до 20 М. Миньотом [37]. Эти результаты основаны на использовании интеграла Эрмита для показательной и логарифмической функции.

М. Хата [28], используя асимптотические оценки Г. В. Чудновского [25] для комплексного интеграла.

I к г). 1.

1 П п 4 *.

2 т 7 — 1).- (г — п) в где п оо, улучшает оценку меры иррациональности числа тт до 13, 394 .

До недавнего времени наилучшей оценкой снизу для приближения константы 7 г рациональными числами считался результат М. Хата [31]: тг) < 8,0161.

Для получения этой оценки М. Хата рассматривает комплексный интеграл.

I (1а2, а3- (1.1) г х — аО2 (г — а2)2 (г — а3)2 где а2, сьз] г) = -§- с различными, не рав.

З' ными нулю, комплексными параметрами аа, а2,^зВ частности, выбирая значения параметров интеграла (1.1) равными соответственно, а 1 = 1, а2 — 2, аз = 1 + г, можно получить оценки Р тт-5 7.

— 8,0161.

1.2).

7 Г р к² д -8,0161. У) где р, qeN, д> д0.

Для нахождения асимптотики интеграла М. Хата использует метод седловых точек (метод перевала), описанный еще в работах Римана. Согласно метода перевала, выбирая специальным образом контур интегрирования Г, асимптотику интеграла (1.1) можно вычислить через максимальное значение модуля подынтегральной функции.

В 2008 г. В. Х. Салихов [12] получил новую оценку меры иррациональности числа 7г: Р.

ТТ-Я д~7М-.

Этот результат на данный момент является лучшим для константы тт.

Отметим, что в цитированной выше работе [31] М. Хата получил луч.

7 Г шую на сегодняшний день оценку для меры иррациональности числа п Р > -4,6015.

VI яч.

1.3).

Эта оцрнка получается на следующем наборе параметров интеграла (1.1):

1 + л/Зг 3 + >/Зг.

21 = 1, а2 =—-, а3 =—-. тт ^.

Другой подход в получении оценок для числа —р= заключается в приуЗ менении полиномов Лежандра ([4], [21], [26], [30], [38]). Так, используя полиномы Лежандра, К. Аллади и М. Л. Робинсон [21] получили оценку 8,3099.

Позже этим методом результат был улучшен до 5, 516. в работе [4] А. К. Дубицкаса.

М. Хата [29], применяя полиномы Лежандра вида.

5 п+тп, / | ¦ г^ n-srm (nJrJ — Ь ll-rilL, iww = х-у — *rm)(n) =.

71 ¦ О-П V.

X3. 7 / V п J=0 к J / где S — ^ е (0,1), а, Ъ G N, получил оценки мер иррациональности некоторых чисел, содержащих константу 7 г. Так, были получены результаты: fj, ^ ± /S log (2 + < 6,1382 ., (1.4).

1 ± log 3^ < 4, 5586. (1.5).

Для получения оценок мер иррациональности значений функций arctanz и log амногими авторами ([2], [11], [21], [24], [29], [30], [32], [33], [35], [38]) эти функции рассматривались как частные случаи гипергеометрической функции Гаусса. Отметим также, что получению оценок снизу абсолютных величин лииейных форм от обобщенных гипергеометрических функций Гаусса уделено большое внимание в работах П. Л. Иванкова ([6],.

И).

Пусть.

Г (а + п) [а)п Г (а) ' где Г (г) — гамма-функция Эйлера. То есть, а) о = 1, (а)&bdquo- = а (а + 1). (а + п — l), n = 1, 2, 3, —;

Если с ф О, —1, —2, .то функция.

F (а, Ьс- г) ее2 Я (а, Ьс- г) =? (1.6) п=0 с) пП. называется гипергеометрическим рядом от переменной z с параметрами а, 6, с (гипергеометрической функцией Гаусса) [1, с.69].

Если Re{c) > Re (b) > 0, то для функции (1.6) имеет место формула Эйлера rv, Г © }tb-l~tY-b-1 1.

6- С- = ВДГМ) У (l-te)a ^ о где 2GC, И < 1 .

Элементарные функции arctanaи logo-, для которых получены оценки мер иррациональности, выражаются следующим образом через функцию Гаусса [1, с. 110]: arctanz = zF (^, 1- -z2), log (z + 1) = zF (l, 1- 2- -г),.

В 1987 г. М. Хуттнер в работе [34] доказал общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса вида г. /1.1/*.

Л и +1 /к хк где? = ±1, к > 2, 0 < а- < 1, Хуттнером получены оценки снизу мер иррациональности различных значений функций arctan аи log х. В частности, получена оценка arctan < 7,70. о.

Но условие теоремы М. Хуттнера не позволяет получить соответствующие оценки значений функции arctanjдля четных к, например, оценку гС 1 для числа arctan.

В 1993 г. А. Хеймонен, Т. Матала-Ахо, К. Ваананен [33] используя, как и М. Хуттнер в работах 1986;1987 гг. [34], [35], аппроксимации Па-де для гипсргеометрической функции Гаусса, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел. В этой же работе приведен достаточно большой список конкретных результатов, улучшающих более ранние оценки М. Хуттнера. В частности, представлены оценки ц < 9,7551., /i ^ 3,3317. Позже этими авторами были получены новые оценки [32]: ц (^/7 arctan — 4,0298.,.

1^log 2 + arctan ^ < 3, 6073. и другие. Улучшение результатов происходит, в основном, за счет применения методики сокращения простых чисел в знаменателях коэффициентов линейных форм. Отметим также, что в 1987 г. Е. А. Рухадзе [11] была получена оценка показателя иррациональности числа log 2, являющаяся наилучшей на данный момент: /i (log 2) < 3,891.

Интерес в данной области исследований представляют работы Е. М. Матвеева ([8], [9], [10]), в которых получена явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел с рациональными коэффициентами.

Рассмотрим теперь совместные приближения значений некоторых элементарных функций. Так, известны оценки nlog2 + r27r) < 8,0161. и (n log 2 + r2 log 3) < 5,125., (1.7) где ri, Г2 € Q, (п, 7*2) ф (0,0), полученные соответственно М. Хата [31] и В. Х. Салиховым [13].

В.Х. Салихов использовал для доказательства оценки (1.7) симмет-ризованный вещественный интеграл, что позволило ему улучшить результаты Дж. Рина [38]. Отметим, что Дж. Рин [38] при получении оценки меры иррациональности ??(log3) < 8,616. применял не гипергеометрический интеграл, а специальным образом подбирал подынтегральные функции, чтобы получаемые линейные формы обладали «хорошими» арифметическими свойствами. Идея Дж. Рина получить оценку линейной комбинации соответствующих чисел состояла в выборе различных путей интегрирования от одной и той же подынтегральной функции.

В данной диссертации ряд существующих результатов удалось улучшить, используя различные модификации симметризованного интеграла, введенного в 2007;2008 гг. В. Х. Салиховым [12], [13].

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973. —296 с.

2. Василенко О. Н. Об иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса // Вестник МГУ. Серия1. Математика, механика, 1985.-^3.-0. 15−18.

3. Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б.

Введение

в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. —152 с.7г.

4. Дубицкас А. К. Приближение —рациональными дробями // Вестникл/3МГУ. Серия 1. Математика, механика, 1987. — № 6.— С. 73−76.

5. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Физ-матгиз, 1962.-С. 62−68.

6. Иванков П. Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Математические заметки, 1992.-Т. 52, Вып. 6.-С. 25−31.

7. Иванков П. Л. Уточнение оценок некоторых неоднородных линейных форм // Математические заметки, 2005. —Т. 77, Вып. 4.—С. 515−521.

8. Матвеев Е. М. Диофантовы приближения в логарифмических пространствах // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — М.: Московский государственный текстильный университет им. А. Н. Косыгина, 2003.

9. Матвеев Е. М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел // Известия РАН. Сер. матем., 1998.-Т. 62, № 4.-С. 81−136.

10. Матвеев Е. М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. II // Известия РАН. Сер. матем., 2000.-Т. 64, № 6 — С. 125−180.

11. Рухадзе Е. А. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами // Вестник МГУ, 1987. — Серия1. Математика, механика, № 6.— С. 25−29.

12. Салихов В. X. О мере иррациональности числа п // Успехи математических наук, 2008. Т. 63, № 3. — С. 163−164.

13. Салихов В. X. О мере иррациональности log3 // Доклады РАН, 2007. — Т. 417, № 6.-С. 753−755.

14. Салихов В. Х., Сальникова Е. С. Диофантовы приближения логарифма «золотого сечения» // Вестник Брянского государственного технического университета, 2007.—№ 1, —С. 111−119.

15. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки, 2008. —Т. 83, Вып. 3—С. 426−436.

16. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.—М.: Физматлит, 2004 — 336 с.

17. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях числа 7 Г числами из поля Q (a/3) // Математические заметки, 2008.— Т. 83, Вып. 6.— С. 912−922.7г.

18. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа log 5 4- — и некотоЛрых других чисел // Чебышевский сборник, 2007.— Том 8, Вып. 2.— С. 97−108.1.

19. Томашевская Е. Б. Совместное приближение log 2 и arctan // Вестник Брянского государственного технического университета, 2006. — № 4. — С. 126−130.

20. Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. —369 с.

21. Alladi К., Robinson M.L. Legendre polynomials and irrationality //J. Reine Angew. Math., 1980.-Vol. 318.-P. 137−155.

22. Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scoula normale superiore. Pisa, 2001. —Serie IV, Vol. XXX.-P. 225−249.

23. Baker A. Transcendental number theory. — London: Cambridge univercity press, 1975.

24. Beukers F., Matala-Aho T., Vaananen К. Remarks on the arithmetic properties of the values of hypergeometric functions // Acta Arith., 1983. — Vol. XLII.-P. 281−289.

25. Chudnovsky G.V. Hermite-Pade approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of 7 г // Lecture Notes in Math. 925. Springer. Berlin, 1982.-P. 299−322.

26. Chudnovsky G.V. Recurrences, Pade approximations and their applications // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 92. Dekker, New York, 1984.— P. 215−238.

27. Dieudonne J. Calcul infinitesimal. — Hermann, Paris, 1968.

28. Hata M. A lower bound for rational approximations to 7 Г // J. Number Theory, 1993.

29. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith., 1992.-Vol. LX.-P. 335−347.

30. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math., 1990. No. 407. — P.99−125.

31. Hata M. Rational approximations to тг and some other numbers // Acta Arith., 1993. LXIII, Vol. 4. — R 335−349.

32. Heimonen A., Matala-Aho T., Vaananen К. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc., 1994. — Vol. 50, no. 2. — P. 225−243.

33. Heimonen A., Matala-Aho T., Vaananen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergcometric function // Manuscripta Math., 1993.-Vol. 81.-P. 183−202.

34. Huttncr M. Irrationalite de certaines integrales hypergeometriques // J. Number Theory, 1987. Vol. 26. — P. 166−178.

35. Huttner M. Probleme de Riemann et irrationalite d’un quotient de deux fonctions hypergeometriques de Gauss // C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I 302, 1986.-P. 603−606.

36. Mahler К. On the approximation of 7 г // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56, 1953.-P. 30−42.

37. Mignotte M. Approximations rationnelles de ir et quelques autres nombres // Bull. Soc. Math. France Mem, 1974.-Vol. 37.-P. 121−132.

Литература

(99.

38. Rhin G. Approximants de Pade et mesures effectives d’irrationalite // Progr. in Math. Birkhauser, 1987.-Vol. 71.-P. 155−164.

39. Rhin G., Viola C. On a permutation group related to ?(2) // Acta Arith., 1996.-Vol. 77. — P.23−56.Брянский государственный технический университет.