Мощность множеств. 
Гипотеза континуума

2.Проблема гипотезы континуума.

2.1.Определение.

Континуум — гипотеза — предположение, о том, что всякое бесконечное подмножество множества мощности континуума либо равномощно множеству натуральных чисел, либо имеет мощность континуума.

В 80 годах 19 века Г. Кантор обозначил проблему, существующую в теории множеств под названием КОНТИНУУМА ПРОБЛЕМА (ГИПОТЕЗА). Задача состояла в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами теории множеств следующее утверждение: «Мощность континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел». решение указанной проблемы пришло при решении задач не связанных с теорией множеств.

Гипотеза континуума представляет собой частный случай

обобщенной гипотезы континуума, по которой иерархия алефов

и степенная иерархия совпадают. Эта гипотеза также не зависит от аксиом теории множеств. Обобщенная гипотеза континуума упрощает законы возведения в степень кардинальных чисел. Принимая гипотезу, можно не различать слабо и сильно недостижимые кардинальные числа. Следует, что каждое слабо недостижимое кардинальное число сильно недостижимо.

Существует много простых свойств кардинальных чисел, эквивалентных гипотезе .

Гипотеза имеет много следствий в различных разделах математики и, в част;

ности, в теории функций вещественного переменного.