Переходные и установившиеся процессы в системах управления

2. Установившиеся процессы в системах управления

Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании систем управления, является вопрос об установившихся процессах т. е. их устойчивости.

Система называется устойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой. Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.

Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т. е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.

Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это, предположим, что система описывается дифференциальным уравнением

или, после преобразования Лапласа,

где g (p) — входное воздействие.

Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g (p) 0. Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения должно стремиться к нулю при t стремящемся к бесконечности.

Если найдены корни p1, p2, …, pn характеристического уравнения, то решение однородного уравнения запишется в виде .

В каких же случаях система устойчива?

Предположим, что pk = ak — действительный корень.

Ему соответствует слагаемое ck. При ak < 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak > 0, то x (t), когда t стремится к бесконечности;. Наконец, в том случае, когда ak = 0, рассматриваемое слагаемое не изменяется и при t стремящемся к бесконечности,

Допустим теперь, что — комплексный корень характеристического уравнения. Заметим, что в этом случае также будет корнем характеристического уравнения. Двум комплексно-сопряженным корням будут соответствовать слагаемые вида, .

При этом, если ak < 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak>0 — колебания возрастающей амплитуды, а при ak = 0 -колебания постоянной амплитуды сk.

Таким образом, система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Если хотя бы один корень имеет действительную часть ak ³ 0, то система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет нулевую действительную часть, а действительные части всех остальных корней отрицательны[5, с. 75].

Это определение хорошо иллюстрируется геометрически. Представим корни характеристического уравнения точками на комплексной плоскости (рис. 3).