Механика

Вопрос № 28 (Момент силы относительно точки и относительно оси. Пара сил) Псевдовектор N = [rF] называется моментом силы F относительно точки O, из которой проводится радиус-вектор r точки приложения силы. Из рисунка видно, что модуль момента силы можно представить следующим образом: N = rFsin = lF, где l = rsin - плечо силы относительно точки O (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую, вдоль которой действует сила). Проекция вектора N на некоторую ось z, проходящую через точку O, относительно которой определен псевдовектор N, называется моментом силы относительно этой оси: Nz = [rF]пр z. Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил. Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент образующих пару сил F1 и F2 равен N = [r1F1] + [r2F2]. Учтя, что F1 = -F2, можно написать: N = -[r1F1] + [r2F2] = [(r2 — r1) F2] = [r12F2], где r12 = r2 — r1 — вектор, проведенный из точки приложения силы F1 в точку приложения силы F2. Выражение не зависит от выбора точки O. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо.

Вопрос № 29 (Уравнение моментов для системы взаимодействующих частиц) Силы взаимодействия между частицами действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно произвольной точки O равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц, в частности для твердого тела, всегда равна нулю:. В соответствиями с определениями и N = [rF] уравнение можно записать следующим образом: .

Вопрос № 30 (Закон сохранения момента импульса системы взаимодействующих частиц) Из вытекает, что при отсутствии внешних сил dM/dt = 0. Следовательно, для замкнутой системы вектор M постоянен. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса, который формулируется следующим образом: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Мы доказали соотношение для системы из двух частиц. Однако его легко обобщить на случай любого числа частиц. Напишем уравнения движения частиц: (от 1 до N частиц). Умножив каждое из уравнений на соответствующий радиус-вектор, получим: (от 1 до N частиц). Сложим почленно все N уравнений:. Первая сумма в правой части представляет собой сумму моментов всех внутренних сил, которая, равна нулю (). Вторая сумма справа есть сумма моментов внешних сил. Следовательно, мы пришли к формуле. Отметим, что момент импульса остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что суммарный момент внешних сил равен нулю. Спроецировав все величины, входящие в уравнение, на некоторое направление z, получим соотношение, согласно которому производная по времени от момента импульса системы относительно оси z равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси. Отсюда же следует, что в том случае, когда сумма внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, момент импульса системы относительно этой оси остается постоянным. В заключение отметим, что без указания точки или оси, относительно которых определяется момент, понятия момента импульса и момента силы утрачивают смысл.

Вопрос № 31 (Преобразование момента импульса системы частиц при переходе в систему центра масс)

MO = MC + [RC, p], где MO — момент импульса системы МТ относительно начала O л-системы, MC — момент импульса относительно центра масс C (собственный момент импульса), RC — радиус-вектор центра масс в л-системе, p — суммарный импульс системы точек, определенный в л-системе. Воспользуемся соотношениями: Ri = RC + ri, Vi = vC + vi (см. билет 24). По определению MO = mi[RiVi] = mi[(RC + ri)(VC + vi)] = mi[RCVC] + mi[RCvi] + mi[riVC] + mi[rivi]. Первое слагаемое можно написать в виде [RC, mVC] = [RCp]. Второе слагаемое [RC, mivi] = [RC, mvC] = 0 (так как VC — скорость центра масс в ц-системе — есть нуль). Третье слагаемое [miri, VC] = [mrC, VC] = 0 (потому что rC — радиус-вектор центра масс в ц-системе — есть нуль). Четвертое слагаемое представляет собой MC — момент импульса системы МТ в ц-системе. Таким образом, MO=MC+[RC, p], что и требовалось доказать.

Вопрос № 32 (Космические скорости) Для того, чтобы тело стало спутником Земли, т. е. двигалось по круговой околоземной орбите, ему нужно сообщить скорость v1, значение которой определяется вторым законом Ньютона. Положив радиус орбиты равным радиусу Земли R, напишем уравнение mv12/R = mg. Здесь m — масса тела, v12/R — ускорение, mg — сила тяжести, действующая на тело. Из написанного уравнения следует, что. Эта скорость называется первой космической скоростью и она равна v1 = 8 км/с. Скорость v2, которую нужно сообщить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно вышло из сферы земного притяжения, называется второй космической скоростью. Для нахождения v2 воспользуемся законом сохранения энергии. В момент запуска полная энергия тела равна

E = mv22/2 — GMm/R, M — масса Земли. При удалении тела «на бесконечность» полная энергия становится равной нулю (мы ищем минимальное значение v2, поэтому считаем, что скорость тела на бесконечности равна нулю). Приравняв выражение для энергии E нулю, получим для v2 значение. Если пренебречь различием между силой тяжести mg и силой гравитационного притяжения тела к Земле, можно написать равенство mg = GMm/R2. Отсюда GM/R = gR. Следовательно, выражение для v2 можно представить в виде, которое равно 11 км/c. Отметим, что значение v2 не зависит от направления, в котором запускается тело с Земли. От этого направления зависит лишь вид траектории, по которой тело удаляется от Земли. Скорость v3, которую нужно сообщить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Подставив в вместо M массу Солнца и вместо R — радиус земной орбиты, получим значение скорости, равное 42 км/c. Такова была бы третья космическая скорость, если бы Земля в момент запуска была неподвижна и не притягивала бы тело к себе. Но Земля сама движется относительно Солнца со скоростью 30 км/c. Поэтому при запуске в направлении орбитального движения Земли скорость 42 км/с относительно Солнца достигается при скорости равной 42−30=12 км/c, а при запуске в противоположном направлении 42+30=72 км/с. Таковы были бы минимальное и максимальное значения v3, если бы не было силы притяжения тела к Земле. С учетом этого притяжения для третьей космической скорости получаются значения от 17 до 73 км/с.