Линейная эквивалентность некоторых интегродифференциальных операторов высших порядков

Операторы преобразования играют важную роль в спектральной теории несамосопряженных операторов. Впервые введенный Ж. Дельсартом [1] при исследовании операторов обобщенного сдвига, аппарат операторов преобразования оказался естественным методом исследования многих вопросов спектральной теории. А. Я. Повзнер [2] построил операторы преобразования для уравнений Штурма-Лиувилля и применил их для вывода формул разложения по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля с убывающим потенциалом. В. А. Марченко привлек операторы преобразования для исследования обратных задач спектрального анализа [3] и асимптотического поведения спектральной функции сингулярного оператора Штурма-Лиувилля [4]. Б. М. Левитан [5] с помощью операторов преобразования доказал в общем виде теорему о равносходимости. Роль операторов преобразования в спектральной теории значительно возросла после того, как И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан [6] нашли с их помощью исчерпывающее решение обратной задачи о восстановлении уравнения Штурма-Лиувилля по его спектральной функции.

В указанных работах, посвященных спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля:

Ь = -У" + Я (Х)У, (0.1) под оператором преобразования понимался оператор вида Е + К, где К X интегральный оператор Вольтерра = переводящий решение о задачи Коши для «простейшего» оператора Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом в решение задачи Коши с данным (произвольным) потенциалом д (х). Для дифференциальных операторов высших порядков (0−2) о задача построения оператора преобразования оказалась значительно сложнее. Л. А. Сахновичем [7] существование треугольного оператора преобразования было установлено при жестком дополнительном требовании аналитичности коэффициентов дифференциального оператора в некотором круге на комплексной плоскости, строго включающем отрезок, на котором рассматривается оператор. Построенный В. И. Мацаевым [8] пример показывает, что для операторов с неаналитическими коэффициентами оператор преобразования вольтерровского типа, вообще говоря, не существует. Для таких операторов в работах М. К. Фаге [9], А. Ф. Леонтьева [10], А. П. Хромова [11], установлено существование оператора преобразования вида Е + К, где К — некоторый интегральный оператор, включающий в себя интегрирование по контуру правильного п — угольника на комплексной плоскости. Дальнейшее развитие исследований задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков связано с работами Хачатряна [12], [13], предложившего метод, позволяющий доказывать существование оператора преобразования вольтерровского типа при минимальных требованиях на область аналитичности коэффициентов. Естественным обобщением задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов является задача о линейной эквивалентности интегральных операторов Вольтерра: X.

Mf (x) = J М (х, t) f (t)dt (0.3) о заметим, что упомянутые выше результаты можно интерпретировать как теоремы о линейной эквивалентности вольтерровских операторов, ядра которых являются функциями Грина задачи Коши с нулевыми начальными данными для дифференциальных операторов вида (0.2)). Напомним, что линейные непрерывные операторы, А и В в линейном топологическом пространстве Н называются линейно эквивалентными, если существует изоморфизм Т пространства Н, такой, что ТА = ВТ.

В работах Л. А. Сахновича [14], [15], И. И. Кальмушевского [16] были получены достаточные условия линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору интегрирования J: X.

Jf (x) = f (t)dt, (0.4) о, а также достаточные условия линейной эквивалентности операторов с ядром, зависящим только от разности аргументов, степеням оператора интегрирования J", п е N. Для вольтерровских операторов с ядром общего вида О. В. Сединым был получен следующий результат о линейной эквивалентности оператору J", п> 3 (точную формулировку теоремы О. В. Седина см. [17]): вольтерровский оператор М, представимый в виде.

M = J" +MX, (0.5).

А/, = Jn+XN, (0.6) X.

Nf (x) = N (x-t, t) f (t)dt, (0.7) о где N (x, t) как функция второго аргумента — аналитическая в четырехугольнике с вершинами в точках ОД — х, (1 — x)(l — ехр (/ 2я/и)) ,(1 — x)(l — ехр (-г'2л/и)), линейно эквивалентен в пространствах L [0,1], С[0Д] оператору J". В [18] М. М. Маламудом получены аналогичные теоремы (при более жестких требованиях аналитичности на N (x, i)) о линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору дробного интегрирования Римана-Лиувилля:

Отметим, что как показано в [19], условие (0.6) является существенным: для операторов М вида (0.5), где М, = J" +EN, s е (0Д), не существует, вообще говоря, оператора Е + К, Kf (x) = J К (х, t) f (t)dt, такого, что (Е + К) Г = М (Е + К). о.

Наряду с дифференциальными операторами вида (0.2) и интегральными вольтерровскими операторами, начиная с 70-х годов, рассматриваются операторы с особенностями, в частности, дифференциальные и интегро-дифференциальные операторы, обобщающие оператор Эйлера. Изучение линейной эквивалентности таких операторов с самого начала велось в пространствах аналитических функций комплексного переменного. Важнейшими из таких пространств являются пространство A (D) функций, аналитических в звездной относительно 0 области D, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах, лежащих в D, и его (замкнутые) подпространства An (D), nzN, состоящие из функций вида z" f (zXf gA (D). Для таких пространств в работах В. В. Рындиной [20], [21] (см. также [22] и указанную там литературу) получен следующий результат: оператор при выполнении некоторых условий на коэффициенты и область D линейно эквивалентен в A (D) соответствующему оператору Эйлера: = (0.9) у=1.

Оператор преобразования (в случае (z) = const) имеет вид Е + К, где Кнекоторый интегральный оператор, включающий в себя интегрирование по замкнутому контуру специального вида (такой оператор преобразования можно считать аналогом оператора преобразования в форме Фаге для дифференциальных операторов вида (0.2)). М. С. Еремин [23], [24] распространил этот результат на интегро-дифференциальные операторы вида.

Ly = + ]p (zj)y{t)dt, (0.10).

7=1 0 где функция P (z, t) — аналитическая по совокупности переменных в DxDкроме того, ему удалось при тех же ограничениях на коэффициенты (z) и область D (в случае qnx (г) = const) построить оператор преобразования вида Е + К, где Кинтегральный оператор Вольтерра.

Операторы вида (0.8), (0.10) тесно связаны с вольтерровскими операторами с особенностью вида 1.

Mf{z) = M{zJ)f{zt)dt, (0.11) о являющимися естественным обобщением вольтерровских операторов с ядром, однородным степени -1:

Mf (z) = \м{А/т = |м (г)/(гг)Л. (0.12) о ^ о.

Теории вольтерровских операторов с я.о.с. -1 и их приложениям к дифференциальным уравнениям в частных производных с сингулярными коэффициентами посвящены работы Л. Г. Михайлова [25], [26]. Кроме того, известно (см., например, [27]), что любой вольтерровкий оператор Н, являющийся п-й степенью оператора обобщенного интегрирования Гельфонда-Леонтьева (см., например, [28]), допускает представление вида Н = •/" (?+ К), где К — оператор с я.о.с. -1. Операторы с я.о.с. -1 существенно отличаются по своим свойствам от классических операторов Вольтерра вида (0.3). Так, оператор вида (0.12) является диагональным, т. е., обладает свойством Мгк’х = Хкгк'1, к & N, в отличие от операторов вида (0.3), например, от оператора интегрирования I и его степеней, повышающих степень одночлена. Наличие в структуре оператора вида (0.11) слагаемого 1 о являющегося оператором вида (0.12), приводит к существенным различиям в свойствах таких операторов и классических операторов Вольтерра вида (0.3). В частности, операторы вида (0.11) (также, как и операторы с я.о.с. -1) не обладают свойством тривиальности спектра.

Настоящая работа посвящена изучению линейной эквивалентности некоторых интегро-дифференциальных и интегральных операторов в пространствах А (О), Ап (П).

В главах 1, 2 изучается вопрос о линейной эквивалентности следующих интегро-дифференциальных операторов, вообще говоря, нецелого порядка, а >2 с особенностью:

Ь = Га (Е + Н)+Га+1+аО, сг > 0, (0.13) I.

0.14) 0 1.

2) = д{г, т)/(гт)*т, (0.15) где I — оператор Чезаро: 1/(г) = -1}{1)сИ — |/(гт)с1т, 1а еЯ — оператор дробного г о о интегродифференцирования, который определим следующим образом:

I 1.

Г/(г) = -—?1па'1(/т)/(2т)с/т, а> 0- (0.16).

Гх/(2) = Г = 1[а]1а~[а], а< 0, ([.] - целая часть числа), (0.17).

Н (т) — функция, удовлетворяющая некоторым условиям аналитичности и оценкам вида.

Э (г, т) — функция, аналитическая по г в области I) и суммируемая с некоторой степенью р>1 по г на отрезке [0,1] (точные условия на Н (т), 0(г, г), а также на область Б см. главу 2, теоремы 2, 3).

Операторы вида (0.13)-(0.15) непосредственно связаны с интегральными операторами вида (0.11): при выполнении некоторых естественных условий (см. § 4 главы 2) оператор, обратный к оператору 1]~пМ]п, где и — оператор умножения на независимую переменную, М — оператор вида (0.11), является при п>п0 оператором вида (0.13)-(0.15).

При получении результатов глав 1, 2 используется метод, введенный Л. А. Сахновичем при исследовании вопроса о линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору интегрирования I, и получивший дальнейшее развитие в работах А. П. Хромова, И. Г. Хачатряна, О. В. Седина. Значительные технические трудности возникают в связи с наличием в (0.13) слагаемого ГаН, максимально приближающегося по свойствам к главной части Га. Асимптотические представления, аналогичные полученным в работах А. П. Хромова [29], Л. Б. Мацнева [30] представлениям для резольвенты вольтерровского оператора, недостаточны для построения оператора преобразования. Эти обстоятельства приводят к необходимости получения явного интегрального представления некоторого специального вида для резольвенты оператора (Е + Н). Решению этой задачи посвящена глава 1- результаты этой главы затем используются в главе 2, но могут представлять и самостоятельный интерес. В главе 2 получены основные результаты настоящей работы: теоремы о линейной эквивалентности операторов вида (0.13) — (0.15). В качестве одного из возможных приложений этих результатов получена теорема о поведении рядов по системе собственных функций оператора вида (0.13)-(0.15). Также в главе 2 (см. § 4) получены теоремы о линейной эквивалентности интегральных операторов вида (0.11). Отметим, что используемый метод доказательства позволяет получать теоремы о линейной эквивалентности операторов вида (0.11) и в пространствах е е (0,1) при г —> 1;

0.18) функций вещественного переменного: см. § 4, где рассмотрен случай пространств С[0,а]. Кроме того, в главе 2 рассмотрены (§ 5) операторы вида где С? — оператор вида (0.15)), являющиеся непосредственным обобщением операторов вида (0.8), (0.10).

Заметим, что в теоремах главы 2 сохраняется преемственность с результатами работ [20] - [24], в частности, по требованиям на область Б: при целых, а требования на Б лишь незначительно сильнее, чем в [20], [24], а для операторов вида (0.19) совпадают с ними. Возникающие технические сложности связаны с более сложным видом резольвенты «простейшего» операторас отсутствием, в отличие от вольтерровского случая, для ряда, представляющего ядро оператора преобразования, мажоранты вида — удается получить лишь мажоранту вида.

С". Определенные трудности возникают также в связи с тем, что на ядро 0(г, т) оператора 0 накладываются минимальные требования относительно его поведения по второму аргументу, т. е. по переменной интегрирования в (0.15), что требует отличной от применявшейся ранее техники получения оценок. Глава 3 посвящена построению оператора преобразования в форме Фаге для интегро-дифференциальных операторов иного вида, нежели главах 1, 2. Прежде, чем приступить к описанию изучаемых в главе операторов, напомним (см., например, монографию [31] и приведенную в ней литературу), что любой линейный непрерывный оператор Ь, действующий в пространстве А (П), допускает интегральное представление вида: где Г = Г (г) — некоторый, зависящий от точки г, замкнутый контур, лежащий в области Б, Ь (г, д) — функция, голоморфная по совокупности переменных в.

Мы ограничимся рассмотрением областей Б, удовлетворяющих следующему условию Ьт. г &euro-£>=>гПт с£>, где Пиправильный ш-угольник, одна из вершин которого находится в точке 1, т> 2 — целое число. Пусть область Б удовлетворяет.

0.19).

0.20).

ВхСВ. условию Ьт. г е ?> => гПт с£), где Птправильный т-угольник, одна из вершин которого находится в точке 1, т > 2 — целое число. Пусть область Б удовлетворяет условию Ьт при некотором фиксированном т> 2, рассмотрим в пространстве А (Б) оператор вида:

Ьу = /" > + 0у, Оу (г) = 10(1,д)у (д)йд, (0.21).

1 т гЬ) где Т (г) — (любой) простой замкнутый контур, обходящий ш-угольник гПш в положительном направлении, 0(г, д) — функция, голоморфная по совокупности переменных в области О = {г еВ, д еС (гПи)|, и удовлетворяющая для любого компакта К с В и любого К > 0 неравенству ггП^сЛ (0−22) где 1/ е [ОД) может, вообще говоря, зависеть от компакта К.

Основным результатом главы 3 является теорема о линейной эквивалентности в аГ.

А (В) оператора Ь оператору ь0 = ——. аг.

Условие аналитичности функции 0(г, д) в указанной области О эквивалентно следующему свойству оператора Ь: для любой удовлетворяющей условию Ьт подобласти Б' области Б оператор Ь может быть продолжен до непрерывного в пространстве А (В'). Оценки (0.22) выражают условие подчиненности оператора О сГ главной части — оператору -—, ядро которого в представлении (0.20) имеет вид аг т +1)!

—Среди операторов, представимых в виде (0.21)-(0.22), помимо.

— г) дифференциальных операторов ш-го порядка, укажем интегро-дифференциальные операторы вида I.

Ьу = +, (0.23) о где функция N (1,1) — аналитическая по г в области Р, непрерывная по X на [ОД) и удовлетворяющая на любом компакте К с И неравенству.

Щ2,()<�С (-(У' е>0. (0.24).

Договоримся о нумерации теорем, лемм и формул на протяжении работы. Основные теоремы вынесены в первые параграфы каждой главы, для них используется сквозная нумерация. Остальные утверждения нумеруются двумя числами, первое обозначает номер главы, второе — номер теоремы (леммы). Формулы нумеруются двумя числами, первое из которых, — номер параграфа, второе — номер формулы. Ссылки на формулу внутри главы оформляются двумя числами, между главамитремя, первое из которых, — номер главы.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность О. В. Седину и В. А. Юрко за постановку задачи и руководство работой.

1. Delsartes J. Sur certaines transformations fonctionelles relativ aux equations lineares aux erivees partieless du second odre. — С. r. Acad. sei. Ser. A. — 1938. -T. 36, № 1, P. 178−182.

2. Повзнер А. Я. О дифференциальных уравнениях типа Ш-Л на полуоси. Мат. сборник, 1948, 23, вып.65, с.3−52.

3. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений второго порядка. ДАН СССР, 1950, 72, № 3, с.457−460.

4. Марченко В. А. О формулах обращения, порождаемых линейным дифференциальным оператором второго порядка. ДАН СССР, 1950, 74, № 4, с.657−660.

5. Левитан Б. М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям. I. Изв. АН СССР, Сер. мат., 1953, 17, вып.4, с. ЗЗ 1−364- 1955, 19, вып.1, с. ЗЗ 58.

6. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Известия АН СССР, сер. матем., т. 15 (1951), № 4, С. 309 — 360.

7. Сахнович Л. А. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п>2 с аналитическими коэффициентами. Матем. сб., 1958, т.46 (88), N1, с. 61 — 76.

8. Мацаев В. И. О существовании оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков. Докл. АН СССР. — 1960, т. 130, N3, С.499- 502.

9. Хачатрян ИГ. Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков. Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1978, т. 13, N3, с. 215 -238.

10. Хачатрян И. Г. О существовании оператора преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков, сохраняющих асимптотику решений. Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1979, т. 14, N6, с. 424 — 445.

11. Сахнович Л. А. О приведении вольтерровских операторов к простейшему виду и обратных задачах. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, т.21, N2, с. 235 -262.

12. Сахнович Л. А. Спектральный анализ операторов видаXК/(х) = |А:(х- 0/(0^ • Изв АН СССР. Сер. матем., 1958, т.22, N2, с. 299 о308.

13. Кальмушевский И. И. О линейной эквивалентности вольтерровых операторов. Успехи матем. наук, 1965, т.20, вып.6 (126).

14. Седин О. В. О подобии вольтеррова оператора п ой степени оператора интегрирования. — Линейные операторы в функциональных пространствах. Грозный, 1989.

15. Маламуд М. М. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков. Тр. Моск. матем. о-ва, 1994, т.55, с. 73 — 148.

16. Маламуд М. М., Цекановский Э. Р. Критерии линейной эквивалентности вольтерровых операторов в шкале Ьр0,1. (1 < р < <�"). Изв. АН СССР. Сер.матем., 1977, т.41, N4.

17. Рындина В. В. Об эквивалентности дифференциального оператора п-го порядка с регулярной особой точкой и оператора Эйлера в пространстве А (О). Сиб. мат. журн. — 1979, — т.20, N3, с. 674 — 678.

18. Рындина В. В. Критерий эквивалентности дифференциального оператора 11-го порядка с регулярной особой точкой и соответствующего ему оператора Эйлера. Сиб. мат. журн. — 1982, — т.23, N4, с. 205 — 208.

19. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, 1987.

20. Еремин М. С. Об эквивалентности в Ак интегро-дифференциального оператора одного вида и оператора Эйлера. Мат. заметки. — 1981, т.30, N2, с. 719 — 738.

21. Еремин М. С. Оператор преобразования в звездообразной области решений некоторых интегро-дифференциальных уравнений высших порядков. Деп. в ВИНИТИ, N2381 В90.

22. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963.

23. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1. -Душанбе: 1966.

24. Седин О. В. Разложения по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтерровых операторов. Дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. — Саратов, 1984.

25. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника, 1987.

26. Хромов А. П. Об одном применении оператора дробного дифференцирования. Диф. уравнения и вычисл. матем. Вып. 6. 4.1. -Саратов, 1976, с.3−22.

27. Мацнев Л. Б. О порождающих функциях одного класса вольтерровых операторов. Вычисл. методы и программир. — Саратов, 1983, № 3. С. 71−85.31 .Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Ростов-н/Д, 1983.

28. Евграфов М. А. Аналитические функции. М. Наука, 1991.

29. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М. Наука, 1974.

30. Харди Г. Расходящиеся ряды. М., 1951.

31. Игнатьев М. Ю. Подобие вольтерровых операторов в пространствах аналитических функций. В сб.: Совр. проблемы теории функций и их приложения: Труды 8-й Саратовской зимней школы. Саратов, 1996. С. 54.

32. Игнатьев М. Ю. Эквивалентность интегро-дифференциальных операторов дробного порядка с особенностью в пространствах аналитических функций. В сб.: Совр. проблемы теории функций и их приложения: Труды 9-й Саратовской зимней школы. Саратов, 1997. С. 70.

33. Игнатьев М. Ю. Эквивалентность интегро-дифференциальных операторов дробного порядка с особенностью в пространствах аналитических функций. В сб.: Математика, механика и их приложения. Саратов, изд.-во Сарат. ун.-та, 1998. С. 22 23.

34. Игнатьев М. Ю. Эквивалентность некоторых интегро-дифференциальных операторов в пространствах аналитических функций. Деп. в ВИНИТИ, № 2765 — В98, 20 с.

35. Игнатьев М. Ю. Эквивалентность интегро-дифференциальных операторов дробного порядка с особенностью в пространствах аналитических функций. -Деп. в ВИНИТИ, № 2766 В98, 60 с.