Некоторые свойства топологических пространств, обобщающие паракомпактность

В 1924 году П. С. Александров опубликовал небольшую статью «О множествах первого класса и абстрактных пространствах» (см. [1]). Помимо основного результата — критерия полноты сепарабельных метрических пространств — Павел Сергеевич ввел в этой работе понятие локально конечного покрытия (семейство 7 называется локально конечным, если у каждой точки х Е X найдется окрестность 0(х), пересекающаяся с конечным числом элементов семейства 7). Этому понятию суждено было сыграть важную роль в топологии. Так, в 1944 году Дьедонне определяет класс паракомпактных пространств, в любое открытое покрытие которых можно вписать локально конечное открытое покрытие, и доказывает паракомпактность сепарабельных метрических пространств (фактически это было сделано в [1]). Чуть позже Стоуну [38] удается значительно усилить этот результат: любое метрическое пространство паракомпактно (теорема Стоуна). А в 1951 году Нагата, Смирнов и Бинг (см. [18]) независимо доказывают один из первых общих метризационных критериев: в регулярных пространствах метризуемость равносильна существованию алокально конечной базы. Семейство множеств 7 является алокально конечным (а — V, где V — некоторое топологическое свойство), если 7 можно представить в виде счетного объединения 7 = U{tп: п Е N} семейств, каждое из которых локально конечно (обладает свойством V).

Начало систематическому изучению паракомпактных пространств было положено работами Майкла [29]-[31]. Он впервые использует консервативные семейства, для которых объединение и оператор замыкания перестановочны. Семейство подмножеств {Ра: а € А} называется консервативным, если для всякого подмножества индексов В С, А, выполняется:

U Ра = U ^ а? в а€в.

Нетрудно заметить, что любое локально конечное семейство консервативно. Майклу также принадлежат несколько теорем, которые в совокупности дают один из самых эффективных критериев паракомпактности.

Теорема (Майкл, [29]-[31]) 0.1. Для каждого регулярного пространства следующие условия эквивалентны:

1. Пространство X паракомпактно.

2. В каждое открытое покрытие пространства X можно вписать открытое алокально конечное покрытие.

3. В каждое открытое покрытие пространства X можно вписать локально конечное покрытие (произвольными множествами).

4• В каждое открытое покрытие пространства X можно вписать замкнутое локально конечное покрытие.

5. В каждое открытое покрытие пространства X можно вписать консервативное покрытие (произвольными множествами).

Другой попыткой ослабления локальной конечности было введение Аренсом и Дугунжи в 1950 году точечно конечных систем (система 7 подмножеств топологического пространства X называется точечно конечной, если каждая точка х € X принадлежит только конечному числу элементов 7) и слабо паракомпактных пространств, в каждое открытое покрытие которых можно вписать точечно конечное открытое покрытие. В 1955 году независимо в работах Майкла [32] и Нагами [35] было установлено, что паракомпакты (т.е. хаусдорфовы паракомпактные пространства) — это в точности коллективно нормальные слабо паракомпактные пространства. Коллективно нормальными называются пространства, в которых любые дискретные семейства замкнутых множеств можно разделить дискретными же семействами отрытых множеств. В свою очередь, семейство 7 подмножеств пространства X называется дискретным семейством, если у каждой точки х Е X найдется окрестность О (х), пересекающаяся не более чем с одним элементом семейства 7 .

Более поздними обобщениями локально конечных семейств стали слабо дискретные семейства и dсемейства, введенные соответственно А. В. Архангельским [7] и Н. В. Величко [11] в 70-е годы. Семейство 7 — {Ua: а € А} называется слабо дискретным, если при ха Е Uа. множество {ха: а? А} дискретно в X. Семейство 7 = {Uа, а? А} называется d-семейством (f-семейством), если при Fa С Ua, где Fa — произвольное дискретное в X (соответственно, конечное) множество, объединение U {.Ра: а? А} дискретно в X. Множество D называется дискретным в X, если любое его подмножество замкнуто в X. Нетрудно заметить, что дискретность D в X равносильна дискретности в X семейства одноточечных множеств |{ж}: х G D^. В [7] можно найти следующие два утверждения.

Лемма 0.2. Если в любое открытое покрытие пространства X можно вписать слабо дискретное покрытие, то можно вписать и дизъюнктное слабо дискретное покрытие.

Теорема 0.3. Любое дизъюнктное слабо дискретное семейство q-пространства X является локально конечным.

Пространство X называется q-пространством, если для любой точки х? X найдется последовательность окрестностей Оп (х) точки х со следующим свойством: если хп? Оп (х), и Xi ф Xj при г ф j, то последовательность {хп: п G N} имеет предельную точку в X.

Используя понятия слабо дискретного, / и d семейств, можно определить следующие классы пространств.

Определение 0.4. Пространство называется d-паракомпактным (слабо-d-napa-компактным), если в каждое его открытое покрытие можно вписать dпокрытие (слабо дискретное покрытие) произвольными множествами. Пространство называется сильно-f-паракомпактным (f-паракомпактным, слабо-/-паракомпактным), если в каждое его открытое покрытие можно вписать dпокрытие (/ -покрытие, слабо дискретное покрытие) открытыми множествами.

Понятие dпаракомпактности было введено Н. В. Величко в [11]. В этой же работе построен пример dпаракомпактного, не паракомпактного пространства и доказано сохранение dпаракомпактности слабо замкнутыми отображениями в сторону образа. При этом непрерывное отображение /: X —> У называется слабо замкнутым, если f (D) дискретно в Y для любого дискретного в X множества D. Название слабоdпаракомпактных пространств было предложено Н. Н. Яковлевым, / -семейства и оставшиеся типы паракомпактности определены автором этой работы.

Завершая обзор различных типов семейств и связанных с ними обобщений понятия паракомпактности, нельзя не упомянуть об исследованиях С. Недева и Г. Крида. Изучая симметризуемые пространства, С. Недев в [13] доказал следующую теорему.

Теорема 0.5. В любое открытое покрытие симметризуемого пространства можно вписать аслабо дискретное покрытие.

Г. Крид в [20] усилил этот результат, доказав, что в любое открытое покрытие симметризуемого пространства можно вписать адискретное покрытие. Пространства с таким свойством называются субпаракомпактными. К ним, в частности, относятся и все пространства с адискретной сетью. Следовательно, симметризуемые, субпаракомпактные, а также пространства с адискретной сетью содержатся в классе, а — dпаракомпактных пространств (в любое открытое покрытие которых можно вписать о — dпокрытие произвольными множествами).

Основной целью настоящей работы является систематическое изучение классов пространств из определения 0.4. Эта общая проблема естественным образом распадается на следующие три задачи.

I. Как связаны между собой пространства из определения 0.4? Можно ли их различить в пространствах с «сильными» аксиомами отделимости (например, в классе регулярных пространств)?

II. Какие условия достаточны для совпадения этих типов паракомпактности с паракомпактностью (линделефовостью, компактностью)?

Напомним, что пространства, из любого открытого покрытия которых можно выделить счетное подпокрытие, называются финально-компактными. Линделефовы пространства — это регулярные финально-компактные пространства. Моритой [33] было доказано, что каждое линделефово пространство паракомпактно.

III. Насколько устойчивы топологические свойства из определения 0.4 относительно основных топологических операцийпри переходе к подпространствупри переходе к образу или прообразу при различных типах непрерывных отображений?

Настоящая работа состоит из трех глав, каждая из которых содержит решение задач I—III.

В первой главе доказано, что обобщения паракомпактности из определения 0.4 различаются даже в классе тихоновских пространств. Кроме того, построены примеры, отличающие эти обобщения от паракомпактности и слабой паракомпактности. К основным результатам этой главы можно отнести следующие две теоремы.

Теорема 1.1. Существует вполне регулярное сепарабелъное dпаракомпакт-ное пространство X счетного псевдохарактера, не являющееся ни слабо параком-пактным, ни слабоfпаракомпактным пространством.

Теорема 1.2. Существует вполне регулярное слабо паракомпактное, силъно-fпаракомпактное пространство счетной тесноты, которое не является паракомпактным пространством.

Напомним, что в Тпространстве X псевдобазой. в точке х. называется произвольное семейство Вх окрестностей точки х со свойством Г) БХ = {а-}. Минимум мощностей псевдобаз в точке х называется псевдохарактером в точке х и обозначается через ф (х, X). Псевдохарактером пространства X называется кардинал il>{X) = sup{, 0(a-, X): х G X}. Теснотой пространства X называется наименьший бесконечный кардинал t (X) со следующим свойством: для любых х (Е X и, А С. X из условия х 6 А следует существование такого В С, А, что х? В и мощность множества В не превосходит t (X) .

Теорема 1.1 усиливает результат, полученный Н. В. Величко в [11]. Дело в том, что в классе регулярных сепарабельных пространств многие из «традиционных» обобщений паракомпактности (например, слабая паракомпактность, металинделефовость и др.) совпадают с линделефовостыо. Поэтому пространство из теоремы 1.1 указывает на отличие dпаракомпактности сразу от всех таких обобщений. Теорема 0.3 не переносится ни на пространства со счетной теснотой, ни на пространства счетного псевдохарактера, даже если потребовать открытости от элементов почти дизъюнктного семейства. Это следует как раз из теоремы 1.2 и следствия 1.5. В этом следствии модификацией примера Бинга удалось построить совершенно нормальное сильно- / -паракомпактное, не паракомпактное пространство.

Вторая глава посвящена поиску классов пространств, в которых свойства из определения 0.4 эквивалентны паракомпактности. К таким классам пространств относятся, помимо qпространств, пространства Фреше-Урысона (теорема 2.9), специальный подкласс А—пространств (теорема 2.11). Напомним, что пространство X называется пространством Фреше-Урысона, если для любого, А С X и всякой точки х Е, А найдется последовательность {хп} С, А, сходящаяся к х. Пространства Фреше-Урысона составляют подкласс кпространств, которые определяются так: пространство X является кпространством, если произвольное F замкнуто в X тогда и только тогда, когда F П К замкнуто в любом компакте К С X. В классе линейных топологических пространств удалось доказать, что все свойства определения 0.4 и паракомпактность равносильны. Этот результат можно считать основным результатом второй главы.

Теорема 2.15. Пусть X — линейно упорядоченное топологическое простран ство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. X — слабоdпаракомпактное пространство.

2. X — паракомпакт.

Во второй главе также доказано совпадение в классе слабоdпаракомпактных пространств числа Линделефа и экстента (теорема 2.18). Экстентом пространства X называется такой наименьший бесконечный кардинал г, что мощность каждого замкнутого дискретного подпространства пространства X не превосходит т. Числом Линделефа пространства X называется такой наименьший бесконечный кардинал т, что из каждого открытого покрытия пространства X можно выбрать открытое подпокрытие мощности не больше г. Среди следствий теоремы 2.18 отметим следующий важный результат.

Теорема 2.23. В классе счетно компактных пространств слабаяdпаракомпактность и компактность эквивалентны.

В заключительной главе исследуются инвариантные свойства классов пространств из определения 0.4. В частности, доказан следующий неожиданный результат.

• Теорема 3.6. Пусть X — сильно- / -паракомпактное (/ -паракомпактное, слабоfпаракомпактное) не слабо паракомпактное пространство и W (uo + 1) = ч N U {о"о} — сходящаяся последовательность. Тогда тихоновское произведение Y = X х W (uо + 1) не является слабоfпаракомпактным пространством.

Таким образом, часть пространств из определения 0.4 не выдерживают умножения даже на сходящуюся последовательность. Но в классе слабо паракомпактных пространств ситуация меняется.

Теорема 3.9. Прообраз при совершенном отображении слабо паракомпактно-го пространства, являющегося сильноfпаракомпактным (fпаракомпактным) пространством, также будет слабо паракомпактным сильноfпаракомпактным (fпаракомпактным) пространством.

Из последних двух теорем получается критерий инвариантности сильной- / -па-ракомпактноси и / -паракомпактности при умножении на бесконечный компакт: эти свойства сохраняются тогда и только тогда, когда пространство слабо паракомпактiio.

Кроме этого, в третьей главе удалось доказать сохранение dпаракомпактности совершенными отображениями в сторону прообраза (теорема 3.12). Это утверждение вместе с уже упомянутой теоремой о сохранении dпаракомпактности слабо замкнутыми отображениями (см. [11]) указывают на то, что класс dпаракомпактных пространств совершенен (т.е. инвариантен относительно совершенных отображений как в сторону образа, так и в сторону прообраза).

Основные результаты диссертации опубликованы в [3]-[4] и [16]-[17], а также докладывались на топологическом семинаре МГУ (см. [5]) и неоднократно — на семинаре сектора топологии отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Н. В. Величко за пристальное внимание к работе, а также Н. Н. Яковлеву за постановку задач и блестяще прочитанный курс по общей топологии в конце 80-х годов на математико-механическом факультете УрГУ. Помощь полезным обсуждением результатов и своим дружеским расположением оказали активные участники топологического семинара ИММ УрО РАН: М. И. Альперин, И. Б. Казакова, С.Э. Но-хрин, А. В. Осипов, Д. С. Охезин, М. А. Патракеев, Е. Г. Пыткеев и М. А. Филатова. Отдельное спасибо Ирине Казаковой, чей художественный талант и опыт работы с графическим пакетом CorelDraw были использованы при изображении диаграммы 1 (Гл. 1) и всех рисунков диссертации.

Обозначения и терминология.

Всюду под пространством будем понимать топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Ti, т. е. каждое конечное подмножество в котором замкнуто. Отображение /: X —> Y пространства X в У всегда считается непрерывным и действующим «на». В остальном следуем терминологии книги [14].

Через N, Z, Q и R обозначаются соответственно множества натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел. Классы всех ординалов и всех кардинальных чисел обозначаем соответственно Ord и Card. Каждый ординал, а отождествляем с множеством всех меньших его ординалов, кроме того, а+1 = aU{a} — следующий за, а ординал. Все ординалы вида, а + 1, где, а € Ord, называются изолированными, остальные — предельными ординалами. Так, например, и0 = NU{0} — первый предельный ординал. Для всякого A G Card через А+ обозначаем наименьший кардинал, больший, А. В частности, К0 = uq и Nn+i = для всех п G шо. Кроме того, кардинал |Х| обозначает мощность множества X — 2No = с = |Я| — мощность континуума. Континуум-гипотезой (сокращенно СН) называется предположение о совпадении 2N° и tti .

Принимаются следующие обозначения:

А — замыкание множества ЛF.

А — замыкание множества, А в подпространстве F;

Int, А — множество всех внутренних точек множества А;

2х — множество всех подмножеств пространства X;

JJ Ха — тихоновское произведение пространств Ха] аеА.

0 Ха — топологическая сумма пространств ХааеА.

D[t] — дискретное пространство мощности г;

A fa: X —> fj Ха — диагональное произведение отображенийаеА аеА w (X) = min{| В: Б — база пространства X} — вес пространства Xс (Х) = sup{|7|: 7 — дизъюнктное семейство открытых подмножеств пространства X} — число Суслина пространства X;

1(Х) — число Линделефа (стр. 9) пространства Xе (Х) — экстент (стр. 9) пространства Х t (X) — теснота (стр. 8) пространства X.

В нескольких утверждениях главы 1 используются почти дизъюнктные системы на N. Напомним, что множества a, b С X называются почти дизъюнктными, если |аПЬ| < No • Почти дизъюнктной системой на X называется произвольное семейство Л С 2х, любые два элемента которой почти дизъюнктны. На N нетрудно построить такую почти дизъюнктную систему Л, что, А = с. Действительно, в силу равно-мощности Q и N, достаточно построить такую систему на Q. Если для каждого иррационального числа х € RQ выбрать последовательность а (х) С Q, сходящуюся к х, то множество {а (а-): х G RQ} будет почти дизъюнктной системой требуемой мощности. Также договоримся, что все элементы рассматриваемых почти дизъюнктных систем на N, являются бесконечными подмножествами N. Более подробную информацию о почти дизъюнктных системах можно найти в [12].

В работе также используются некоторые понятия, связанные с, а — и Yhпроизведениями пространств. Пусть X — П Ха — тихоновское произведение пространств аеА.

Ха и ра: X —+ Ха — проекция на аый сомножитель, аеА. Тогда о — и произведением пространств Ха с центром в некоторой точке х* € X называются соответственно следующие подпространства пространства X: ох* П = 6 Х: РЛХ) Ф Ра (%*)} < Ц, авА.

ЦХа = {хеХ:{аеА: ра (х) ф ра (х*)}| ^ К0}. авА.

Если О Е Ха для каждого, а Е, А и 0* = (0)а6л, вместо сг0″ П Ха и П Ха а? А а€А используют соответственно обозначения о П Ха и Y1 П ¦ Кроме того, (В, х*) об, А абА модификацией пространства X = П Ха (где В С. А и х* = (х*а) Е X) называется абА отображение рв, х* ' X —> X, определенное по правилу: для каждого у Е X (x*ai если ос В,.

Ра[РВ, х-(У)) = S.

I Уа, если a Е АВ.

Мы также будем говорить, что точка у' получена из точки у (у, у' Е X) модификацией вне множества В с помощью х*, если у' = Рав, х* (У) • В последнем случае, если множество В конечно (счетно), точка у' принадлежит ах> П Ха (соответаеА ственно, П Xct)• Информацию о важных свойствах, а — и ^-произведений.

Q6 А пространств можно найти в книге [14], а также в работах [15] и [40].

Наконец, квадратные скобки в описании множеств имеют тот же смысл, что и круглые скобки, и не обозначают замыкание множества. Семейство со свойством d и dсемейство означают одно и тоже понятие. Покрытие со свойством d сокращенно будем называть dпокрытием. Аналогичные конструкции будем использовать и по отношению к / -семействам. i.

1. Александров П. С. О множествах первого класса и абстрактных пространствах // С. R. Acad. Paris. — 1924. 178. — P. 185−187.

2. Александров П. С. О метризации топологических пространств // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. I960. 8, № 3. — C. 135−140.

3. Ануфриенко С. А. Сепарабельное dпаракомпактное не паракомпактное пространство // Тезисы докладов 29-й конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург, 1998. — С. 3−4.

4. Ануфриенко С. А. О некоторых обобщениях паракомпактности // Тезисы докладов 9-й международной конференции «On topology and its application». Киев, 1992. С. 6.

5. Ануфриенко С. А. Инвариантные свойства некоторых обобщений паракомпактности II Тезисы докладов научно-исследовательского семинара по общей топологии. Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика. — 1993. — № 4. — С. 92.

6. Архангельский А. В. Отображения и пространства // Успехи мат. наук. — 1966. 21, № 4. — С. 133−184.

7. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М.: Наука, 1974. — 423 с.

8. Архангельский А. В. Добавление*. — Келли Дж. JI. Общая топология. — М.: Наука, 1981. 432 с.

9. Архангельский А. В. Топологические пространства функций. — М.: Издательство МГУ, 1989. 222 с.

10. Архангельский А. В. Паракомпактность и метризация. Метод покрытий в классификации пространств // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. — 1989. — 51. С. 5−80.

11. Величко Н. В. О непрерывных отображениях топологических пространств // Сиб. матем. ж. 1972, — 13, № 3. — С. 541−557.

12. Кюнен К. Комбинаторика. — Справочная книга по математической логике. Ч. 2. Гл. 3. М.: Наука, 1982. — С. 64−98.

13. Недев С. И. 0-метризуемые пространства // Труды Моск. матем. об-ва. — 1971. 24, — С. 201−236.

14. Энгелькинг Р. Общая топология (пер. с англ.). — М.: Мир, 1986. — 752 с.

15. Яковлев Н. Н. Свойства подпространств? -произведений, определяемые с помощью покрытий II Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1984. — 25. — P. 29−53.

16. Anufrienko S.A. On some cover properties // Serdica — Bulgaricae mathematicae publications. 1994. — 20. — P. 42−47.

17. Anufrienko S.A. Some generalizations of paracompactness // Coll. on topology. Hungary. 1993. — P. 5.

18. Bing R.H. Metrization of topological spaces. // Canad. J. of Math. — 1951. — 3. — P. 175−186.

19. Burke D.K. Covering properties. — Handbook of set-theoretic topology. — N.Y.: Noth-Holland, 1984. P. 347−421.

20. Creede G.D.D. Concerning semi-stratifiable spaces // Рас. J. Math. — 1970. — 32, № 1. P. 47−54.

21. Dugundji J. Topology. — Boston: Allyn and Bacon, 1966. — 447 p.

22. Gillman L., Henriksen M. Conserning ring of continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. — 77. — P. 340−421.

23. Gruenhage G. Generalized metric spaces — Handbook of set-theoretic topology. — N.Y.: Noth-Holland, 1984. P. 423−502.

24. Hanai S. On closed mapping II // Proc. Japan Acad. — 1956. — 32. — P. 388−391.

25. Heath R. W. Screenability, pointwise paracompactness and metrization of Moore spaces 11 Canad. J. Math. 1964. — 16. — P. 763−770.

26. Pushpa Jain. Subparacompact spaces // Math. Stud. — 1972. — XL, № 3. — P. 231−249.

27. Mancuso V.J. Metacompactness and related properties // Рас. J. Math. — 1970. — 33, № 2. P. 345−355.

28. McAuley L.F. A note on complete collectionwise normality and paracompactness U Proc. Amer. Math. Soc. — 1958. 9, № 5. — P. 796−799.

29. Michael E. A note on paracompact spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1953. — 4. P. 831−838.

30. Michael E. Another note on paracompact spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1957. 8. — P. 822−828.

31. Michael E. Yet another note on paracompact spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1959. 10. — P. 309−314.

32. Michael E. Point-finite and locally finite covering. // Canad. J. of Math. — 1955. — 7. P. 275−279.

33. Morita K. Star-finite covering and star-finite property // Math. Japonicae — 1948. 1. — P. 60−68.

34. Morita К. On decomposition spaces of locally compact spaces // Proc. Japan Acad. 1956. — 32. — P. 544−548.

35. Nagami K. Paracompactness and screenability // Nagoya Math. J. — 1955. — 8. — P. 83−88.

36. Pytkeev E.G., Yakovlev N.N. On bicompacta which are unions of spaces defined by means of covering // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1980. — 21. — P. 247−261.

37. Singal M.K. Some recent work on paracompact spaces // Math. Stud. — 1970. — 38, № 1−4. P. 139−164.

38. Stone A.H. Paracompactness and product spaces // Bull. Amer. Math. Soc. — 1948. 54. — P. 977−982.

39. Tikhonov A.N. Uber die topologiche Erweiterung von Raumen // Math. Ann. — 1930. 102. — P. 544−561.

40. Yakovlev N.N. On bicompacta in ^ -product and related spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae. — 1980. 21. — P. 263−283.

41. Zenor P.A. Some continuous separation axioms // Fundam. math. — 1976. — 90, № 2. P. 143−158.