Линейная теория движения роторов с использованием классических углов Эйлера

Роторы и валы являются главными элементами всех машин, аппаратов и приборов роторного типа. Например, турбины АЭС, электрические машины, турбореактивные двигатели, сепараторы, центрифуги и т. д. В атомной промышленности роторы используются для разделения изотопов, суспензий, эмульсий и как турбины АЭС.

Под ротором здесь понимается симметричное твердое тело (диск), насаженное на вращающийся в опорах вал. Дифференциальные уравнения движения составляются для ротора (диска), а вал в этом случае рассматривается как вращающаяся безмассовая балка, сохраняющая все свойства упругости. В зависимости от контекста (например, в выражении «ротор с одним диском») под ротором понимается также вся установка (диск, вал, опоры). Под валом понимается вращающаяся в опорах балка с распределенной массой. Движение ротора и вала рассматривается здесь в стационарном режиме вращения.

Свою технологическую функцию роторы и валы выполняют только через вращение (или, в более широком понимании, через движение). Поэтому теория движения роторов и валов является важной частью технологического комплекса атомной промышленности и машиностроения.

В теории движения роторов вращение ротора (как твердого тела) традиционно описывается попеременно как в классических углах Эйлера |/, 0, ф (v|/, ср — углы вращения соответственно вокруг оси опор, угол прецессии, и оси симметрии диска, угол собственного вращения- 0 — угол нутации, малый угол), так и в системе углов, в которой два угла являются малыми (в существующей теории роторов эта система углов обозначается обычно как а, Р, у и названа Иш-линским углами Эйлера-Крылова [46, с. 10]- углы а, Р являются малыми).

В литературе отмечается, что движению ротора «соответствуют, вообще говоря, большие (а не малые) углы \г, <р» [28, с. 102]. Вместе с тем отмечается «неудобство применения классических углов Эйлера» [28. с. 102], т.к. «в этих углах не так легко составить суждение о фактическом движении» оси симметрии ротора [46, с. 10]. В результате в существующей теории роторов используются только углы а, (3, у.

Каждая из систем углов а, р, у и у, 0, ср имеет свои преимущества и недостатки. Преимущества углов а, (3, у в том, что они позволяют представить уравнения вращения ротора в упрощенном линейном виде, что невозможно в классических углах Эйлера. Поэтому углы а, р, у используются в данной работе при составлении уравнений движения ротора. Но классические углы Эйлера обладают важным свойством. А именно: вращения |/, ф вокруг различных осей (оси опор и оси симметрии ротора) — это и есть незатухающая вибрация, одна из основных особенностей движения ротора, наблюдаемая в эксперименте и практике. Отказ от применения углов Эйлера привел к тому, что исчезла возможность простого линейного описания незатухающей вибрации ротора, т.к. в углах а, Р, у представить аналитически вращения одновременно вокруг оси опор и оси симметрии ротора оказалось невозможно. Поэтому незатухающая вибрация ротора с одним диском и связанные с ней явления оказались не описанными существующей аналитической теорией. Отметим также следующее. Если диск жестко закреплен на валу, то его вращение (углы |/5 ф) передаются валу, вызывая прецессию вала (угол у) и вращение вала вокруг своей изогнутой оси (угол ф). Это должно найти отражение в движении упругой оси вала, что и получено в работе в виде дифференциального уравнения упругой линии вращающейся балки. Кроме того, нужно было для каждой стационарной частоты со вращения ротора найти конкретно частоту прецессии ц/ =п и частоту собственного вращения ф =к ротора. Последнее было получено в результате использования условия вращения ротора для свободных колебаний, позволившего найти частоты п, к. Таковы основные идеи использования классических углов Эйлера в данной работе. Эти идеи в существующей литературе не упоминаются. Их реализация приводит к возможности аналитического решения задачи о собственных и вынужденных колебаниях ротора с одним диском и установления всего спектра условий, при которых осуществляется сложный режим одновременного вращения вокруг оси опор и оси симметрии ротора. В этом состоит актуальность настоящей работы.

Работа выполнена в рамках направления «6. Атомная наука» и соответствует основной задаче «6.9. Общеотраслевые и обеспечивающие работы» Минатома России на 2003;2006 годы (приказ Министра от 22.05.2003 № 238).

Таким образом, цель работы: рассмотреть движение ротора с одним диском с применением классических углов Эйлера. Найденное решение должно описывать основные опытные данные по колебаниям и неустойчивости ротора.

Для достижения цели решаются задачи составления и решения дифференциальных уравнений движения ротора и вала. При решении поставленных задач используются как углы а, (3, у, (как более простые при составлении линейных уравнений движения ротора), так и углы |/, 0, ф (как несущие в себе главную особенность вращения ротора).

Новизна полученных результатов. В результате решения поставленных задач установлено, что основой всех наблюдаемых особенностей движения ротора с одним диском (незатухающая вибрация, самовозбуждение, неустойчивость, критические скорости высших порядков, субгармонические частоты) является одновременное вращение ротора вокруг оси опор (угол |/) и вокруг оси симметрии ротора (угол ф). Все эти особенности получили объяснение с единой точки зрения. В этом новизна полученных результатов.

При постановке задач заранее было неизвестно какие именно параметры могут вызывать те или иные особенности движения ротора. Поэтому, чтобы не оставить какое — либо явление без объяснения, вся задача решалась в самом общем виде с учетом таких параметров ротора как зазоры в опорах, коэффициенты демпфирования и т. д. Такой подход способствовал выявлению дополнительных особенностей движения ротора с одним диском.

Можно отметить следующие экспериментальные данные: ротор с центральным диском самовозбуждается (т.е. возникает одновременное вращение вокруг оси опор и оси симметрии диска) не в момент прохождения первой критической скорости (как это имеет место для роторов с нецентральным диском), а в момент прохождения второй критической скорости. Вопрос о причинах та7 кого необычного поведения ротора с центральным диском в литературе даже не ставится. Но эти экспериментальные данные получили адекватное описание в настоящей работе. Возможность такого описания также возникла благодаря использованию классических углов Эйлера и явному учету одновременного вращения диска вокруг оси опор и оси симметрии ротора.

Теоретическая и практическая значимость. В ходе решения поставленной задачи возникла необходимость решения предварительных и промежуточных задач, имеющих общую теоретическую значимость. Основные из этих задач следующие:

Кинематика вращения ротора.

Дифференциальное уравнение трехмерной (не плоской) упругой линии вращающейся балки.

Определение коэффициентов демпфирования ротора.

Определение частоты собственного вращения ротора.

Решение кубического уравнения.

Полученные результаты позволяют проектировать ротора с заранее заданными свойствами.

В целях упрощения доказательство некоторых вопросов вынесено в Приложения. Ссылки из Приложений в основной текст делается обычным способом, например, формула (3.15) и т. п. Производные типа ^ обозначаются dz dt как U'", t. Рассматриваемые функции непрерывны вместе со своими частными производными. Поэтому производные не зависят от порядка дифференцирования. Например, U'" t, = U'" :t и т. п.

Основные идеи работы были доложены на семинаре в Институте проблем механики (г. Москва, 1983 г.), на семинаре в Уральском государственном университете (Екатеринбург, 1993 г.). Результаты работы докладывались на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001) и на семинарах в Уральском государственном техническом университете (Екатеринбург, 2003 г.).

ВЫВОДЫ.

1. Получено дифференциальное уравнение движения вала постоянного сечения с учетом внутреннего трения и кинематики вала.

2. Рассмотрено движение вала в двух жестких безмоментных опорах. Найдено движение такого вала с учетом начальных и краевых условий движения. Впервые при нахождении движения вала использованы начальные условия движения.

3. Особенности движения вала в двух жестких безмоментных опорах следующие.

1. Собственные колебания вала есть сумма бесконечного числа гармоник, возникающих от внешнего возмущения. Амплитуды гармоник определяются начальными условиями движения и равны нулю, если возмущения отсутствуют.

2. С увеличением частоты вращения вала первые гармоники последовательно становятся неустойчивыми. Число неустойчивых гармоник увеличивается с увеличением частоты вращения вала, но общее их число ограничено параметрами ротора.

3. Частота, при которой возникает первая неустойчивая гармоника, является критической для вала. Эксплуатация вала за критической частотой невозможна вследствие неустойчивости гармоник. Найдена формула критической частоты.

4. При определенных параметрах вал может не иметь критической скорости. В этом случае вал устойчив при любой частоте вращения.

4. Создана эффективная программа расчета критических скоростей многоучасткового вала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Экспериментальные результаты исследования колебаний вращающихся роторов с одним диском в целом ряде случаев не описываются существующими аналитическими теориямиряд режимов, особенно связанных с незатухающей вибрацией и ролью зазоров в опорах, не изучен ни экспериментально, ни теоретически. Одной из причин трудностей соответствующей аналитической теории является недостаточное использование углов Эйлера для описания сложного вращения диска одновременно вокруг оси опор и собственной оси вращения.

В работе предложен метод аналитического описания свободных и вынужденных колебаний вращающегося ротора на безмассовом валу, позволяющий находить частоты прецессии и собственного вращения, когда они оба не равны нулю. В поставленной задаче принимается во внимание упругость и демпфирование в опорах, а также упругость и внутреннее трение в материале вала, зазоры в опорах, несовпадение центра масс диска с осью опор и точкой крепления диска на валу. Отдельно рассмотрена теория колебаний вращающегося вала с распределенной массой. На основе решения выше описанных задач получены следующие результаты и выводы.

1.Для уравновешенных и неуравновешенных роторов с центральным и нецентральным расположением диска найдены амплитудно — частотные характеристики, которые описывают весь комплекс известных соответствующих опытных данных. Все раннее известные расхождения соответствующих опытных и теоретических результатов преодолены.

2. В соответствии с полученными теоретическими результатами предложено все промышленные ротора делить на четыре типа:

Прецессионный (опоры упругие, вал жесткий), нет режима незатухающей вибрации.

Нутационный (опоры и вал жесткие), закритическая область частот характеризуется наличием постоянной незатухающей вибрации.

Субгармонический (первый тип: опоры и вал упругие), в закритической области имеются отдельные частоты, при которых возникают нутационные колебания.

Субгармонический (второй тип: опоры жесткие, вал упругий), в закритической области также имеют место отдельные частоты с нутационными колебаниями.

3. На основе разработанной аналитической теории роторов с одним диском создана программа для персонального компьютера «Особенности движения ротора». Программа позволяет находить все особенности движения ротора (критические частоты, частоты прецессии и частоты собственного вращения, собственные частоты, частоты субгармонических колебаний, амплитуды колебаний, усилия в опорах), соответствующие его параметрам. По результатам расчетов по программе можно проектировать роторы с заранее заданными свойствами.

4. Полученные амплитудно — частотные характеристики содержат ряд особенностей (субгармонические частоты, критические частоты высших порядков, частоты вхождения в неустойчивость, поведение уравновешенных роторов), которые требуют дальнейшей опытной проверки.

5. Найдено движение вала с учетом не только краевых, но и начальных условий движения. Показана неустойчивость некоторых гармоник вала. Создана быстродействующая программа расчета критических скоростей многоучасткового вала.