ЗАДАЧА 1. В приложении 1 приведены данные о выручке (нетто) от продажи товаров, продукции, работ, услуг (без НДС, акцизов и других аналогичных платежей) малых предприятий одной из отраслей экономики региона.
Используя таблицу случайных чисел (таблица приведена в приложении 2), сформируйте массив случайных чисел и произведите 30-процентную простую случайную бесповторную выборку.
По выборочным данным:
постройте интервальный ряд распределения, образовав пять групп с равными интервалами;
исчислите средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного предприятия, а также долю малых предприятий с размером выручки более 25 млн руб.;
с вероятностью 0,954 определите доверительные интервалы, в которых можно ожидать генеральные параметры: а) средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного предприятия; б) долю малых предприятий с размером выручки более 25 млн руб.; в) общий размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг малых предприятий региона; г) число предприятий с размером выручки более 25 млн руб.
Подтвердите достоверность полученных оценок расчетом генеральных характеристик.
Сделайте выводы.
Решение:
Проведем 30% -ую выборку (100*30%=30).
Отбираем числа, двигаясь слева направо по строке, начиная с ячейки 0 графы 0 строки. Из выбранных 5-тизначных чисел используем первую и вторую цифры.
Номер строки Номер столбца
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 5489 5583 3156 0835 1988 3912 0938 7460 0869 4420
1 3522 0935 7877 5665 7020 9555 7379 7124 7878 5544
2 7555 7579 2550 2487 9477 0864 2349 1012 8250 2633
3 5759 3554 5080 9074 7001 6249 3224 6368 9102 2672
Получили выборку из 30 предприятий: 54, 55, 31, 8, 19, 39, 9, 74, 44, 35, 78, 56, 70, 95, 73, 71, 75, 25, 24, 94, 23, 10, 82, 26, 57, 50, 90, 62, 32, 63.
Получим следующие результаты:
Номер предприятия Выручка от продажи товаров, продукции, работ, услуг, млн руб.
8 10
9 35
10 21
19 24
23 25
24 19
25 26
26 30
31 14
32 13
35 17
39 15
44 25
50 31
54 32
55 35
56 29
57 25
62 20
63 24
70 10
71 25
73 29
74 24
75 25
78 20
82 6
90 43
94 10
95 7
Выделим 5 групп по размеру выручки. Определим размах варьирования, отняв от максимального значения признака минимальное значение.
Получим xmin = 6 млн руб., xmax = 43 млн руб. Найдем размах варьирования.
R = 43−6 = 37 млн руб.
Величину интервала найдем по формуле
h = 37: 5 = 7,4 млн руб.
Первый интервал будет таким: [6,0; 6,0+7,4) = [7,0; 13,4);
второй интервал: [13,4; 13,4+7,4) = [13,4; 20,8),
третий интервал: [20,8; 20,8+7,4) = [20,8; 28,2);
четвертый интервал: [28,2; 28,2+7,4) = [28,2; 35,6);
пятый интервал: [35,6; 35,6+7,4) = [35,6; 43,0).
Подсчитаем количество значений в каждой группе.
Для упрощения расчетов составим таблицу.
Группа Номер предприятия Выручка от продажи товаров, продукции, работ, услуг, млн. руб.
6−13,4 82 6
95 7
8 10
70 10
94 10
32 13
Итого 6 56
13,4−20,8 31 14
39 15
35 17
24 19
62 20
78 20
Итого 6 105
20,8−28,2 10 21
19 24
63 24
74 24
23 25
44 25
57 25
71 25
75 25
25 26
Итого 10 244
28,2−35,6 56 29
73 29
26 30
50 31
54 32
9 35
55 35
Итого 7 221
35,6−43 90 43
Итого 1 43
Всего 30 669
Получаем интервальный ряд распределения.
Группы по размеру выручки Число предприятий
6−13.4 6
13.4−20.8 6
20.8−28.2 10
28.2−35.6 7
35.6−43 1
Всего 30
Найдем по полученному ряду распределения средний размер выручки, а также долю малых предприятий с размером выручки более 25 млн руб. Среднюю найдем по формуле:
где n — объем выборки, m — количество интервалов, yi — середина i-го интервала.
Определим дисперсию найдем по формуле:
Составим вспомогательную таблицу.
Интервалы Частоты, mi Середина интервала, xi ximi (xi —)2mi
6−13.4 6 9,7 58,2 949,54
13.4−20.8 6 17,1 102,6 160,99
20.8−28.2 10 24,5 245 49,28
28.2−35.6 7 31,9 223,3 647,81
35.6−43 1 39,3 39,3 289,68
Всего 30 668,4 2097,31
Получим: = 668,4: 30 = 22,28 млн. р.
D = 2097,31: 30 = 69,91.
Вычислим среднее квадратичное отклонение:
млн. р.
Вычислим долю малых предприятий с размером выручки более 25 млн руб.
В это количество войдут полностью 4 и 5-я группа, а также часть 3-й группы.
Количество предприятий будет равно:
.
Доля предприятий составляет:
w = 12,32: 30 = 0,410 = 41,0%.
Определим с вероятностью 0,954 доверительный интервал, в котором можно ожидать средний размер выручки от продажи товаров, продукции, работ, услуг одного предприятия.
Найдем предельную ошибку выборки.
Используем для этого формулу:, где σ - среднее квадратическое отклонение, n — объем выборки, = 30: 100 = 0,3. Значение t найдем по таблице значений функции Лапласа. Для вероятности 0,954 значение t составляет 2.
Получаем: .
Запишем пределы, в которых будет находиться средний размер выручки в генеральной совокупности.
22,28 — 2,55 ≤ x ≤ 22,28 + 2,55 19,73 ≤ x ≤ 24,83.
Вычислим предельную ошибку в определении доли предприятий с размером выручки более 25 млн руб. Используем для этого формулу
или 15%.
Запишем пределы для доли:;
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя выручка в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 19,73 до 24,83 млн. р. Доля предприятий с размером выручки более 25 млн руб. находится в пределах от 26,0% до 56,0%.
Общий размер выручки от продажи товаров малых предприятий региона будет находиться в пределах:
19,73 100 ≤ X ≤ 24,83 100 1973 ≤ X ≤ 2483 (млн. руб.).
Число предприятий с размером выручки более 25 млн руб. будет находиться в пределах:
100 0,260 ≤ N ≤ 100 0,560 26,0 ≤ N ≤ 56,0.
По генеральной совокупности получаем следующие результаты:
Генеральная средняя: = 18,04 млн. р.
Генеральная доля предприятий с размером выручки более 25 млн руб.:
W = 0,24 = 24%.
Размер выручки предприятий: В = 1804 млн. р.
Число предприятий с размером выручки более 25 млн руб.: N = 24.
