Аналитические исследования динамики спинирующего релятивистского электрона в электромагнитных полях

На протяжении длительного времени в физике и технике не только не ослабевает, но и продолжает расти интерес к явлениям и процессам, протекающим в мире элементарных частиц. Ставятся эксперименты с применением пучков поляризованных электронов и позитронов высокой энергии, строятся циклические электронные ускорители и накопители, развивается технология наноструктур, проводятся обширные теоретические исследования по изучению вопросов отклонения фотона в гравитационном поле Солнца и черных дыр, тонкой структуры в спектрах атома и т. п., включая популярные в современной теоретической физике объекты типа струи и мембран.

Неотъемлемой и важной характеристикой элементарной частицы, определяющей ее свойства и поведение во внешних полях, является спин. Существуют два класса теорий, два основных способа описания спина частицы — квантовый [1] и классический [2]-[9]. Обе эти теории развиваются довольно интенсивно, взаимно обогащая друг друга и позволяя взглянуть на это явление с различных точек зрения. Приведем краткий обзор этих двух направлений.

Первая попытка квантового описания спина была сделана В. Паули [10] в 1927 г. Его идея заключалась в двухкомпонентном обобщении уравнения Шредингера для электрона с учетом двух степеней свободы. Однако наличие спина в этой теории по-прежнему оставалось дополнительным постулатом, а значение собственного магнитного момента вводилось эмпирически.

Первая простейшая форма описания поляризации релятивистских частиц была предложена К. Дарвином [11], согласно которому спин в системе покоя определяется средним значением вектора р h <�С>=2 <�ст>' где <�т — вектор, составленный из матриц Паули. Переход в лабораторную систему можно осуществить с помощью преобразований Лоренца [12].

Существенный шаг в развитии релятивисткой квантовой теории был сделан в 1928 г., когда П.А. М. Дирак [13] предложил четырехкомпонент-ное релятивистски-инвариантное уравнение, из которого базовые свойства электрона вытекают автоматически без каких-либо дополнительных предположений.

Однако, систематическое исследование спиновых свойств элементарных частиц в квантовой теории началось значительно позже с развитием теоретико-групповых методов. Решающий вклад в развитие этого направления был сделан в работах Е. П. Вигнера, В. Баргмана [14], (см. также [15]) и Ю. М. Широкова [16] (см. также [17]). В результате этих исследований было обнаружено, что спин и его кинематические свойства являются простым следствием релятивистской инвариантности квантовой теории относительно преобразований, представляющих собой пространственно-временные повороты в плоскости перпендикулярной четырехмерному вектору импульса р11. Для рассмотрения проекций спина на произвольное направление особенно удобен метод, предложенный в работах Ф. И. Федорова с сотрудниками [18], [19], где спиновые свойства элементарных частиц рассматриваются в рамках векторной параметризации группы Лоренца.

Общая теория релятивистских волновых уравнений последовательно развитая на теоретико-групповой основе позволила построить теорию элементарных частиц с любыми возможными значениями спина и массы. Библиография работ, посвященных произвольному спину весьма обширна. Наиболее полный перечень основной литературы можно найти в монографиях Ю. В. Новожилова [20], Ф. И. Федорова [18], А. А. Богуша [19], а также в [21].

Новый этап в развитии квантовой теории спина начался после открытия аномального магнитного момента электрона. Еще в 1941 г. В. Паули [22] показал, что в уравнение Дирака с внешним полем можно добавить релятивистски-инвариантный член, описывающий дополнительный к магнетону Бора (аномальный) магнитный момент. В начале казалось, что это абстрактное чисто теоретическое построение. Но в 1947 г. Г. Брейт [23], анализируя эксперименты Дж.Е.Найфе, Е. В. Нельсона и И. И. Раби [24] по измерению сверх тонкой структуры спектров водорода и дейтерия, высказал предположение, что магнитный момент электрона обладает аномальной частью:

Д = Мо + /V

Аномальный магнитный момент /1а можно связать с отличием g-фактора электрона от значения, равного двум:

9−2 Ма = -уМо

В 1948 г. Ю. Швингер [25] методами квантовой электродинамики вычислил значение аномального магнитного момента, оно оказалось равным а

А. = где, а — постоянная тонкой структуры.

Наличие аномального магнитного момента существенно влияет на спиновые свойства электрона в магнитном поле. Сначала Г. Менделович и К. М. Ксйз [26], затем и другие авторы [27], [28] заметили, что некоторые спиновые операторы, например оператор продольного спина {BP), с учетом аномального магнитного момента перестают быть интегралами движения. Позднее И. М. Тернов и В. С. Туманов [29] с применением последовательных методов квантовой теории вычислили частоту прецессии спина. Оказалось, что продольный спин прецессирует вокруг направления импульса с частотой, пропорциональной аномальной части магнитного момента. Для движения в плоскости круговой орбиты было получено д-2еН 2цаН Ша = ^—=

I то с п

В дальнейшем эти результаты легли в основу первых прецизионных экспериментов по определению g-фактора электрона [30] и других легких частиц [31].

Таковы основные этапы в развитии квантовой теории спина. Очевидно, что хронология и важность событий может быть выбрана иначе, в зависимости от целей конкретной работы, но мы ограничимся информацией более отвечающей теме диссертации, и перейдем теперь к рассмотрению основных этапов в развитии классической теории спина.

Первая модель, первая гипотеза спина была гипотеза вращающегося волчка, предложеная Г. Уленбеком и С. Гаудсмитом [321, [33] в 1925 г. как удобная классическая модель четвертого квантового числа, введенного В. Паули [34], [35] для объяснения свойств оптического электрона.

Согласно гипотезе Уленбека и Гаудсмита а) Собственный механический момент электрона равен /г/2, где h — постоянная Планка. б) Электрон должен также обладать магнитным моментом, равным магнетону Бора eh где е = — во — заряд электрона, то — масса покоя электрона. Иногда магнитный момент записывают в виде = g/J'QS, где у — g-фактор Ланде, s — спиновое число. При s = ½, д = 2.

Гипотеза Уленбека и Гаудсмита смогла объяснить ряд экспериментальных фактов по спектрам щелочных металлов и аномальному эффекту Зссмана.

Основы классической теории спина были заложены Я. И. Френкелем в том же 1925 г. [36], [37]. Я. И. Френкель заметил, что для полной характеристики магнитных свойств электрона, задания трехмерного вектора магнитного момента принципиально недостаточно. Он построил классическую теорию спина на основе антисимметричного тензора (опираясь на математический аппарат специальной теории относительности). таР = (d, m), где d — электрический дипольный, т — магнитный моменты.

С помощью вариационного принципа им было получено тензорное уравнение движения спина точечной частицы в виде

— та13 = ma" 'FP + (хат^ - .^mQ7)a7, к, г к = —, aT = —AkF^xp — х1') «im^, гщс Zee где Fl13 — тензор электромагнитного поля, точка обозначает производную по собственному времени.

Уравнение силы, действующей на частицу, учитывало влияние спина на траекторию движения и представлялось в виде

Аха — maf5ap) = -F^xp + ^daFPl) где Л = ?77,о — ^" ^apF^i т ~ собственное время.

В 1929 г. И. Е. Тамм [38] предложил использовать для описания спина пространственноподобный четырехмерный вектор спина Sa.

Впоследствии, классической теории спина было посвящено множество работ. Мы затронем лишь некоторые направления исследований, актуальные для данной диссертационной работы.

Большое число работ посвящено разнообразным структурно-кинематическим моделям спина. Сюда относятся классические модели точечной частицы, совершающей сложное «внутреннее» движение вокруг некоторого центра инерции. Собственный момент количества движения возникает в этих моделях вследствие неколлинеарности векторов скорости и импульса. Представителями этого направления кроме Я. И. Френкеля [36], [37] являются Х.Дж.Бхабха и Г. Ч. Корбен [39], [40].

Широкое распространение получила также выдвинутая Г. Хёльном и А. Папапетру [41] билокальная модель в виде двух точечных масс, вращающихся вокруг общего центра тяжести — Pol-Dipol-Teilchen. К различным вариантам кинематических моделей спина обращались многие авторы [42], [43].

Близкое по идейному содержанию направление составляют работы по структурной кинематике частиц с непрерывным распределением масс, совершающих «внутреннее» движение. Это гидродинамические теории спина Дж. Вейссенхоффа и А. Рабе [44], Т. Такабаяси [45] и др.

В рамках общей теории относительности классическая теория спина получила свое развитие в работах А. Папапетру [46], К. Мёллера [47], Л. Шиффа [48], Ю. Швингера [49], [50], Я. И. Смородинского [51] и др. Работы в этом направлении продолжаются и в нынешнее время [52], [53[.

Общей чертой большинства из перечисленных выше исследований является отсутствие каких-либо явных связей классической теории с квантовой теорией спина, поэтому часть из них имеет лишь исторический интерес.

На протяжении многих лет классическая и квантовая теории спина развивались, по-существу, независимо. По этой причине проблема соответствия этих теорий долгое время была открытой. Положение изменилось после появления в 1959 году классического спинового уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди [54](БМТ). В этом уравнении учитывался аномальный магнитный момент электрона. Последующие исследования в 1963;1965 гг. С. И. Рубинова и Дж.В.Келлера [55], К. Рафанелли и Р. Шиллера [56], М. Кольсруда [57] и др. показали, что уравнение Ба/ргмана,-Мишеля-Телегди в классическом пределе h —"¦ 0 следует из обобщенного уравнения Дирака с аномальным взаимодействием Паули (подобно тому как уравнения Ныотона следуют из уравнения Шредингера). Сложилась принципиально новая ситуация: классическая и квантовая теории спина стали развиваться параллельно, взаимно обогащая друг друга. Стало ясно, что многие, казалось бы, чисто квантовые эффекты поддаются простой интерпретации в рамках классической электродинамики частиц со спином (см. ниже).

В это же время складывается, так называемая, квазиклассическая теория спина. Квазиклассическим приближением уравнения Дирака, начиная с В. Паули [58] занимались многие авторы [7], [55]-[61].

Последовательные приближения квантовой теории к классической на разных уровнях квазиклассичности дает метод ВКБ [62], [59].

Развитая в работах И. М. Тернова и В. А. Бордовицина [7], [59] ква-зиклассичсская теория построена на собственновременном представлении уравнения Дирака. Большим преимуществом такого подхода является то. что все соотношения квазиклассической теории спина, включая уравнение БМТ, при h —0 получаются сразу в релятивистски-инвариантной форме. Аналогичное рассмотрение можно провести, используя собствснновремсн-ное уравнение Фока [63].

С 70-х годов XX в. стали появляться работы [64], [65], в которых намечается по существу классическое описание спина в исабслевой теории Янга-Милса. Этот метод не требует решения квантовых уравнений движения и оперирует лишь с классическими переменными частицы, являющимися решениями классических динамических уравнений в заданном внешнем поле. Частица в этом рассмотрении кроме пространственных и спиновых переменных характеризуется еще и изоспиновыми степенями свободы.

Развитие получили также классические методы описания спина на языке теории случайных процессов [66]. Ранее было установлено, что методы классических стахостических возмущений могут быть использованы для получения некоторых конкретных результатов квантовой электродинамики, например, для расчетов лэмбовского сдвига [67] и аномального магнитного момента [68].

Отметим также метод интеграла по путям для спина [69] и метод спиновых когерентных состояний [70].

Особый интерес представляют направления, связанные с радикальной модернизацией математического аппарата классической теории спина. Характерным примером является обобщенный П.А. М. Дираком [71] формализм классических скобок Пуассона.

С 80-х годов XX в. в рамках подхода, получившего название «псевдоклассическая механика», стало развиваться направление, согласно которому квантовая теория спина (включая уравнение Дирака) получается в результате обобщения классической механики на алгебру Грассмана [72]-[80] с ее последующим квантованием. Этот подход есть следствие развития такого фундаментального понятия физических систем как «суперсиммст-рия» [81]-[84].

Самое главное свойство супсрсимметрии состоит в том, что она весьма нетривиальным образом объединяет непрерывные преобразования (например, трансляции) с дискретными преобразованиями особого вида (типа отражения). При этом сохраняется формальная аналогия между этими двумя типами преобразований, имеющих существенно различную природу. Именно наличие этой аналогии и является отличительной чертой суперсимметрии.

В квантовой теории поля такая аналогия была подмечена уже давно — это аналогия между бозонными и фермионными операторами. Бозон-ные операторы соответствуют непрерывным преобразованиям, а фермиои-ные — дискретным. Формальная аналогия состоит в том, что для бозон-иых полей имеют место коммутационные отношения, а для фермиош-тых — антикоммутационные. С учетом этого различия многие формулы для бо-зонных и фермионных теорий поля обнаруживали удивительное сходство. Это сходство было отмечено еще при рождении квантовой механики (например, Дираком [71]), однако прошло почти полвека, пока в 70-х годах Ю. А. Гольфанд и Е. П. Лихтман [81], Д. В. Волков и В. П. Акулов [82], [83] и Ю. Весс и Б. Зумино [84] не заметили, что это сходство позволяет объединить в одну группу (названную «супергруппой») преобразования, соответствующие бозониым и фермионным операторам. Таким образом, появились первые теории поля, в которых бозоны и фермионы стали равноправными. Первый обзор на эту тему был выполнен Л. Корвиным, И. Нссманом, С. Штернбергом [85].

В 90-х годах XX в. наблюдается рост интереса к математическим аспектам суперсимметрии [86]-[88]. В работах О. Ахарони, А. Ханани и др. [86| и П. Рамонда [87] рассматриваются основные аспекты N=1, N=2-cynepcnM-метричных калибровочных теорий в трех измерениях, включая их муль-типлеты, аномалии и теоремы перенормировки. В статье А. В. Аминовой и С. В. Мочалова [88] авторы, рассматривая суперсимметрию как инфините-зимальное суперпреобразование, оставляющее инвариантной метрику суперпространства, определяют саму метрику как инвариант соответствующей супергруппы преобразований.

Исследуются проблемы нарушения суперсимметрии [89]-[91], в работе П. Фре, Л. Джирарделло и др. [90] приводятся примеры нарушения локальной суперсимметрии 1≠2-супергравитации с нулевой вакуумной энергией.

Квантовое релятивистское описание взаимодействующих частиц со спином на основе суперсимметрии рассматривается в [92].

Чем же так привлекательно оказалось свойство суперсимметрии, давшее толчок к бурному развитию суперсимметричной механики? До появления суперсимметричных теорий бозоны (например, фотоны) и фермионы (например, электроны) рассматривались как частицы, имеющие принципиально различную природу. Бозоны считались носителями «взаимодействий», а фермионы — носителями «материи». Это разделение особенно укрепилось с появлением калибровочных теорий [93]-[95], потому что в этих теориях бозонные поля являлись калибровочными полями, непосредственно связанными с группой симметрии теории, а фермионные поля вводились «руками». Вследствие этого свойства бозонные поля однозначно определялись симметрией теории, а фермионные поля могли принадлежать произвольным представлениям группы симметрии.

Только в суперсимметричных теориях впервые удалось объединить «материю» и «взаимодействие», точнее, убрать различие между ними. В этих теориях бозоны и фермионы объединяются в единые (супер)мультиплсты. Это свойство суперсимметричных теорий, конечно, вызвало большой интерес [96], [97].

Вторым важнейшим свойством супсрсимметричных теорий оказалось резкое сокращение расходимостей, которые до сих пор являются одной из нерешенных принципиальных проблем в квантовой теории поля. Более того, появились, наконец, первые теории поля вообще свободные от расходимостей в четырехмерном пространстве-времени.

Изучение суперсимметрии, представляет интерес и еще по двум причинам, которые будут достаточно полно раскрыты в данной диссертации: во-первых, суперсимметрия позволяет взглянуть по-новому на общеизвестные задачи квантовой и классической механики, широко использующиеся в различных областях, а, во-вторых, такой подход полезен и для развития самих суперсимметричных теорий, поскольку вводит в эти теории круг представлений, возникших благодаря большому опыту, накопленному при исследовании задач квантовой и классической механики.

Одним из базовых моментов суперсиммстричной механики является введение антикоммутирующих переменных. Классические механические системы с антикоммутирующими переменными не являются классическими в прямом смысле. Их обычно относят к псевдоклассической или до-квантовой механике (Р.Касалбуони 1976 [98], Ф. А. Бсрсзин и М. С. Маринов 1977 [74], П.Г. О. Фройнд 1986 [79]). Термин «псевдомеханика» или «псевдоклассическая механика» введен Р. Касалбуони [98] в 1976 г.

Идея антикоммутирующих координат появляется и развивается в пятидесятые годы в работах Дж.Л.Мартина [72], П. Т. Мэтыоса и А. Салама [99), и В. Тобокмана [100]. В шестидесятые годы наблюдается некий застой, здесь можно отметить, только работу А. О. Барута [101], но в начале семидесятых рост интереса к этой теме виден в работах А.Дж.Хансона и Т. Реггс [102], П. Грассбсргсра [103], Р. Касалбуони [98], Ф. А. Березина, М. С. Маринова [74]. Дальнейший рост интереса стимулировался динамическими исследованиями в супер симметрии [104] и супергравитации [105], (см. также [106]) и затем теорией суперструн [107], [108] с широким использованием 2″ 2-градуированных структур. Этот период продолжается и в восьмидесятые годы рождением новых моделей: Бринк-Шварц [109], Бринк-Ди Векъя-Хаве [75], де Азкарада-Лукирски [110],

Зигель [111], [112], Волков-Сорока-Ткач [113]. Упомянутые модели относятся к разным категориям. Классифицировать их можно по таким атрибутам как масса, алгебраические (стандартные или антикоммутиру-ющис) и геометрические характеристики внутренних степеней свободы (вектор, спинор, кручение).

Расширение фазового пространства релятивистских частиц с помощью коммутирующих или антикоммутирующих координат определяет симметрию и поведение модели во внешнем поле, а также ее свойства после квантования.

В дальнейшем мы будем использовать следующие понятия. Модели, включающие только стандартные координаты, будут называться классическими моделями. Они обычно имеют векторный или тензорный тип. Модели, включающие антикоммутирующие координаты, называются здесь псевдоклассическими. Модели с векторными антикоммутирующими степенями свободы, которые исследуются в данной диссертации, называются спиновыми (или титрующими) частицами, а модели, описывающие частицу в суперпространстве Минковского, называют суперчастицами.

Классические векторные частицы и спиновые частицы правильно согласуются с внешним полем, но только последние, которые являются, по крайней мере, Пуанкаре-инвариантными моделями, могут правильно квантоваться. Спиновые частицы являются, в некотором смысле, классическим пределом дираковской частицы. После первого квантования антикоммутирующие переменные отображаются в матрицы Дирака. Это общая особенность моделей спиновых частиц.

С другой стороны, расширение фазового пространства с помощью спинорных антикоммутирующих переменных приводит к моделям, которые являются супср-Пуанкаре-инвариантными. В отличие от моделей спиновых частиц, их первое квантование дает теорию, которая включает антикоммутирующие переменные. Как результат квантования мы получим не отдельную квантовую частицу со спином ½, а минимальный супермуль-типлет.

Согласно сказанному, отметим явное различие между квазиклассической и псевдоклассической теорией спина. Квазиклассичсская теория спина имеет свом первоисточником квантовую механику, переход к классическим моделям осуществляется различными методами и не носит систематического характера. Псевдоклассическая механика, не требует такого ограничения на физическую теорию и дает возможность строить теорию частицы со спином, не прибегая к квантовой механике, а действуя только в рамках классической электродинамики. Обращение к квантовой механике происходит скорее для контроля соответствия с уже имеющимися накопленными ею результатами. Следует отметить, что этот переходный момент от классической теории спина (в рамках псевдоклассической механики) к квантовой на уровне прикладных задач практически не исследован, и проделанное диссертационное исследование поможет не только по новому взглянуть на решение старых задач, но и укажет некоторые возможные точки прикосновения с квантовой механикой и пределы применимости этих двух теорий.

Все вышеизложенное со всей очевидностью говорит о том, что возможности классической теории спина до конца еще не изучены. Эти исследования являются весьма актуальными и в наши дни.

Дадим теперь краткий обзор содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения, списка литературы, включающего 169 источников, и предметного указателя. Работа изложена на 149 страницах, включая 86 рисунков, одну таблицу и одно приложение.

Заключение

Использование псевдоклассического подхода к исследованию спинового электрона в электромагнитных полях позволило по новому взглянуть на решения общеизвестных задач: движение электрона со спином в магнитном и электрическом поле, в поле электромагнитной волны, в кулоновском поле.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые применен псевдоклассический подход к описанию конкретных случаев движения релятивистского спинового электрона в электромагнитных полях и предложена методика исследования частиц со спином, которая строится на объединении понятия супервремеии, модели Ди Векъя-Равндала, решения методом нильпотентного возмущения (Ф.А.Березин) и процедуры усреднения (Ю.Р.Мусин).

Применение этой методики к решению ряда модельных задач движения электрона, дало следующие результаты:

— математически доказано равенство нулю члена, учитывающего спин-орбитальное взаимодействие в уравнениях движения релятивистского спинового электрона в постоянном и однородном магнитном или электрическом поле;

— математически доказано, что спин-орбитальное взаимодействие при движении электрона в поле плоской циклической электромагнитной волны, равно нулю, что полностью согласуется с результатами квантовой механики;

— получено аналитическое выражение для траектории релятивистского электрона в кулоновском ноле с учетом его спина. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие не равно нулю, а его учет приводит к трехмерному пространственному движению;

— получены аналитические выражения для угла и сечения рассеяния релятивистского электрона в кулоновском иоле с учетом его спина. Показано совпадение результатов, в случае малых углов рассеяния, с известной кван-товомеханической формулой Мотта, а для произвольных углов проведено численное сравнение, показывающее хорошее совпадение до угла рассеянияк/2.

Достоверность результатов обеспечена тем, что они опираются на хорошо разработанные понятия псевдоклассической механики и в предельных случаях совпадают с ранее полученными результатами исследования движения частиц во внешних полях в рамках классической и квантовой механик.

Научная и практическая ценность диссертации заключается в том, что полученные результаты могут непосредственно использоваться в дальнейшем при исследовании частиц со спином. В первую очередь, это обусловлено их возможным использованием для контроля численных расчетов в задачах о движении электрона в полях одиночных атомных ядер, в периодических полях ядер кристаллов, в полях ускорителей и накопителей.

Развитые в диссертации подходы и полученные с их использованием результаты могут быть полезны в исследованиях, проводимых в МГУ им. М. В. Ломоносова, ФИ РАН, РНЦ «Курчатовский институт», Томский ГУ им. В. В. Куйбышева и др.

Автор выражает глубокую благодарность профессору МГУ д.ф.-м.н. Гальцову Дмитрию Владимировичу за полезные замечания к диссертации, профессору МГУ д.ф.-м.н. Лобанову Андрею Евгеньевичу за обсуждение рассмотренных в диссертации вопросов, многочисленные консультации и советы.