Теоретико-модельные и алгебро-геометрические задачи для нильпотентных частично коммутативных групп

Интерес к частично коммутативным группам вызван многими замечательными свойствами этих групп. К этим свойствам можно отнести удобные нормальные формы, разрешимость большинства алгоритмических проблем, богатую подгрупповую структуру. Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах математики, в частности в компьютерных науках. Хорошим введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [26, 19].

Частично коммутативная группа полностью определяется заданием конечного неориентированного графа Г (без петель и кратных ребер) с множеством вершин X = {xi,., хп} и множеством ребер Е{Г) с помощью порождающих и определяющих соотношений. Графу Г соответствует свободная частично коммутативная группа которая имеет представление.

Fr = (Х XiXj = XjXi (xi, xj) в Е (Г)), то есть, соотношение коммутативности между порождающими элементами имеет место тогда и только тогда, когда вершины Х{ и Xj соединены ребром в графе Г. Свободную частично коммутативную группу часто также называют частично коммутативной группой.

Частично коммутативные группы линейны [29]. В [21] доказано, что частично коммутативные группы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы. В [33] найдено множество порождающих для группы автоморфизмов частично коммутативной группы. В [22] описаны централизаторы элементов в частично коммутативных группах. В [25] введены понятия параболической и квазипараболической подгрупп, и на этом языке описаны централизаторы частично коммутативных групп. В [24] построена теория ортогональности для частично коммутативных групп. С помощью этой теории получено много результатов, описывающих структуру частично коммутативных групп.

Понятие частично коммутативной группы можно ввести в многих многообразиях алгебраических систем, в частности в многообразии ггальпо-тентных Q-групп фиксированной ступени нильпотентности, где Q — поле рациональных чисел. В настоящей работе частично коммутативные группы определяются и исследуются в многообразии нильпотентных Q-групп ступени нильпотентности 2. Как и в многообразии всех групп, частично коммутативные группы в многообразии двуступенио нильпотентных Q-rpynn полностью определяются заданием конечного неориентированного графа Г, а потому соответствующую группу мы будем обозначать Gr.

В данной диссертации для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп решаются две основные задачи: первая из них связана с созданием основ алгебраической геометрии для данного многообразия групп, а вторая связана с проблемой универсальной эквивалентности для этих групп (решение проблемы В. Н. Ремесленникова, формулировку проблемы смотри ниже).

Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы, А можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над А. В классическом случае, когда, А является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией. Ведущей проблемой алгебраической геометрии над фиксированным полем является проблема классификации алгебраических многообразий. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию всех алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая геометрия над произвольными алгебраическими системами (не обязательно полями) — это новое направление в математике. На сегодняшний день оно представлено работами в основном по алгебраической геометрии над группами, где получены хорошие результаты. Основы алгебраической геометрии над группами были заложены в работах Г. Баум-слага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [14], А. Г. Мясникова, В.Н. Ре-месленникова [35] и Б. И. Плоткина [38, 39], в которых были интерпретированы главные идеи алгебраической геометрии в ее алгебраическом и логическом аспектах для случая групп.

Перечислим наиболее яркие успехи алгебраической геометрии над группами. Прежде всего, достаточно хорошо решена основная проблема алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы, причем, классификация координатных групп дана на языке свободных конструкций. Это достигнуто благодаря работам многих специалистов в теории групп, отметим среди них работы Р. Линдона [34], К. И. Аппеля [12], Р. Брайнта [16], Г. С. Маканина [2], А. А. Разборова [4, 40], В. Н. Ремесленникова [5], Р. И. Григорчука и П. Ф. Курчанова [27], 3. Селы [43], А. Мясникова, В. Ремесленникова и Д. Сербина [36, 37]. Завершающий результат был получен в замечательных работах О. Харлампович и А. Мясникова [30, 31, 32].

Достаточно серьезные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах О. Шапю [18], В. Н. Ремесленникова [6], В. Ремесленникова и Р. Штёра [41, 42], В. Н. Ремесленникова и Н. С. Романовского [7, 8], В. Н. Ремесленникова и Е. И. Тимошенко [9].

Проблема классификации групп с точностью до универсальной эквивалентности стала весьма популярной в последние годы. Отметим в этом направлении работы О. Шапю [18], В. Ремесленникова и Р. Штёра [41, 42], Н. С. Романовского [10, 11] и Ч. К. Гупты и Н. С. Романовского [28].

В.Н. Ремесленниковым была сформулирована следующая проблема. Пусть заданы два конечных графа Гх и Г2 и частично коммутативные группы и Gr2 в некотором многообразии групп. По произвольному конечному простому графу Т определяется экзистенциальная формула ф (Т) (определение формулы смотри в параграфе 1.1). Если фиксироваи граф Г, то обозначим ф (Г) = {ф (Т)| ф (Т) выполняется на Gr}.

Проблема В. Н. Ремесленникова состоит в следующем: группы G^ и Gt2 универсально эквивалентны тогда и только тогда, когда Ф (Г1) = Ф (Г2).

Одним из основных результатов данной диссертации является положительное решение данной проблемы в классе двуступенно нильпотентных Q-групп. Для решения этой проблемы понадобилось развить комбинаторную технику связанную с графами. Эта техника излагается в главе 1 диссертации.

Две основные цели данной работы были сформулированы выше, конкретизируем цели более детально. В данной работе мы ставим перед собой задачи: описать формулы выполняющиеся на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-группах, описать структуру централизаторов для этих групп, определить понятия алгебраической геометрии над частично коммутативными двуступенно нильпотентными (^-группами, классифицировать координатные группы и алгебраические множества, доказать необходимое и достаточное условие универсальной эквивалентности.

В качестве методов исследования использовались методы теории графов, методы алгебраической геометрии над алгебраическими системами и методы теории нильпотентных групп. Все результаты, полученные в данной диссертации, являются новыми. Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:

1. Для фиксированной частично коммутативной двуступенно нильпо-тентной Q-группы Gг описаны специальные экзистенциальные формулы, выполняющиеся на этой группе. Случай, когда граф Г имеет общий вид непосредственно следует из разбора двух специальных случаев, когда Г — линейный граф и когда Г — /с-циклический граф. Результаты, касающиеся случая, когда Г — линейный граф, принадлежат автору диссертации, а результаты, касающиеся fc-циклического графа принадлежат А. В. Трейеру.

2. Описана структура централизатора произвольного множества элементов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы на языке параболических и квазипараболических подгрупп. Результаты, касающиеся описание централизаторов одного элемента группы получены А. В. Трейером.

3. Доказан критерий универсальной эквивалентности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpynn.

4. Получено описание алгебраических множеств для систем уравнений от одной переменной и для невырожденных систем уравнений для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpyrin.

5. Доказано, что любые две неабелевые частично коммутативные двуступенно нильпотеитные Q-группы геометрически эквивалентны.

Работа имеет теоретический характер.

Результаты работы докладывались на международной математической конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2006 г. и 2008 г.), международной математической конференции «Эйлер и современная комбинаторика» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.), международной школе-семинаре «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах» (г. Омск, 2009 г.), а также на заседаниях Омского Алгебраического Семинара.

Результаты диссертации опубликованы в работах [45, 46, 47, 48, 49]. Работы [47, 48, 49] выполнены совместно с Александром Викторовичем Трей-ером при равном вкладе соавторов.

Диссертация изложена на 109 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, большая часть параграфов структурирована по разделам.

Список литературы

содержит 49 наименований.

1. Э. Ю. Даниярова. Основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли // Вестник Омского Университета, специальный выпуск, С. 8−40, 2007.

2. Г. С. Маканин. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 46(6) С. 1199−1273, 1982.

3. А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников. Изоморфизмы и элементарные свойства нильпотентных степенных групп // Докл. АН. СССР, 258(5), С. 1056−1059, 1981.

4. А. А. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779−832, 1982.

5. В. Н. Ремесленников. Е-свободные группы // Сиб. мат. журн., 30(6), С. 153−157, 1989.

6. В. Н. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой // Фундам. и прикл. мат., 7, С. 873−885, 2000.

7. В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский. О метабелевых произведениях групп // Алгебра и логика, 43(3), С. 341−352, 2004.

8. В. Н. Ремесленников, Н. С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601−621, 2005.

9. В. Н. Ремесленников, Е. И. Тимошенко. О топологической размерности u-групп // Сиб. мат. журн., 47(2), С. 414−430, 2006.

10. Н. С. Романовский. Делимые жёсткие группы // Алгебра и Логика, 47(6), С. 762−776, 2008.

11. Н. С. Романовский. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и Логика, 48(2), С. 258−279, 2009.

12. K.I. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912−918, 1968.

13. C. Bates, D. Bundy, S. Perkins and P. Rowley. Commuting Involution Graphs for Symmetric Groups // J. Algebra, 266, pp. 133−153, 2003.

14. G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups. I. Algebraic set and ideal theory // J. Algebra, 219(1), pp. 16−79, 1999.

15. R. Brauer and K.A. Fowler. On groups of even order // Ann. Math, 62, pp. 565−583, 1955.

16. R. Bryant. The verbal topology of a group // J. Algebra, 48, pp. 340−346, 1977.

17. C.C. Chang, H.J. Keisler. Model theory // North-Holland Publ. C., New York, 1973.

18. O. Chapuis. V-free metabelian groups // J. Symbolic Logic, 62, pp. 159 174, 1997.

19. R. Charney. An introduction to right-angled Artin groups // Geometriae Dedicata, 125, pp. 141−158, 2007.

20. E. Daniyarova, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics, 1, 2008.

21. C. Droms. Isomorphisms of graph groups // Proc. Am. Math. Soc., 100, pp. 407−408, 1987.

22. G. Dunchamp, D. Krob. Partially commutative Magnus transformations // Int. J. Algebra Comput., 3(1), pp. 15−41, 1993.

23. A.J. Duncan, I. V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Centraliser dimension and universal classes of groups // Siberian Electronic Mathematical Reports, 3, 2006. http://semr.math.nsc.ru/2006/V3/pl97−215.pdf.

24. A.J. Duncan, I. V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Orthogonal systems in finite graphs // Siberian Electronic Mathematical Reports, 5, pp. 151−176, 2008.

25. A.J. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // J. Algebra, 318(2), pp. 918−932, 2007. www.arxiv.org/math.GR/702 431.

26. E. Esyp, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups // Groups, Languages, Algorithms. Contemoprary Mathematics, 378, pp. 319−348, 2005.

27. R.I. Grigorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp. 159−171, 1992.

28. C.K. Gupta, N.S. Romanovskiy. The property of being equationally Noetherian for some soluble groups // Algebra and Logic, 46(1), pp. 28−36, 2007.

29. Т. Hsu, D. Wise. On linear and residual properties of graph products // Mich. Math. J., 46(2), pp. 251−259, 1999.

30. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine vatieties over free group I: irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz // J. Algebra, 200, pp. 472−516, 1998.

31. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine vatieties over free group II: systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra, 200(2), pp. 517−570, 1998.

32. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Algebraic Geometry over Free Groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213−318, 2005.

33. M.R. Laurence. A generating set for the authomorphism groups of a graph group // J. Lond. Math. Soc., II. Ser., 52(2), pp. 318−334, 1995.

34. R.C. Lyndon. Groups with parametric exponents. // Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518−533, 1960.

35. A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations. //J. Algebra, 234(1), pp. 225−276, 2000.

36. A.G. Myasnikov, V.N. Remeslennikov. Exponential groups 2: extension of centralizers and tensor completion of csa-groups // International Journal of Algebra and Computation, 6(6), pp. 687−711, 1996.

37. A. Myasnikov, V. Remeslennikov, D. Serbin. Regular free length functions on Lyndon’s free Z (?)-group Fzw // Contemp. Math., 378, pp. 37−77, 2005.

38. В. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties // Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 64−97, 1997.

39. B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties // Izrael J. Math., 96(2), pp. 511−522, 1996.

40. A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Edinburgh 1993, Cambridge University Press, pp. 269−283, 1995.

41. V. Remeslennikov, R. Stohr. On algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491−513, 2005.

42. V. Remeslennikov, R. Stohr. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group // Algebra Colloq., 11, pp. 191−214, 2004.

43. Z. Sela. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathematiques de 1'IHES, 93, pp. 31−105, 2001.

44. H. Servatius. Automorphisms of Graph Groups // J. Algebra, 126(1), pp. 34−60, 1989. Список работ автора.

45. А. А. Мищенко. Об универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Вестника Омского Университета специальное издание, С. 93−100, 2008.

46. А. А. Мищенко. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика, 48(3), С. 378−399, 2009.

47. А. А. Мищенко, А. В. Трейер. Выполнимость Е'-формул на частично коммутативных двуступенно нильпотечных Q-группах // Вестник Омского Университета. 1, С. 15−17, 2006.

48. А. А. Мищенко, А. В. Трейер. Структура централизаторов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы // Вестника Омского Университета спец. выпуск., С. 98−102, 2007.

49. А. А. Мищенко, А. В. Трейер. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Siberian Electronic Mathematical Reports, 4, С. 460−481, 2007.V.