Структура конечных SR-групп

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Конечными SR-группами1 называются группы, все элементы которых сопряжены со своими обратными и тензорное произведение любых двух неприводимых представлений которых содержит каждое представление не более одного раза (свойство простой приводимости). Класс SR-групп впервые был введен в рассмотрение лауреатом Нобелевской премии по физике Юджином Вигнером2 в работах [38] и [39]. Вигнер показал, что для конечной группы принадлежность к классу SR-групп эквивалентна обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп.

Здесь М — мощность множества М, у/д = {ж е G х2 = д}, Са{д) — централизатор элемента д. Таким образом, класс конечных SR-групп составляют в точности те группы, которые обращают неравенство (*) в равенство. В некоторых случаях это неравенство служит основным инструментом для выяснения вопроса о принадлежности данной группы к классу SR-групп, поскольку позволяет выяснять это, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложений их тензорных произведений.

Между тем, как можно будет убедиться из основного текста диссертации, с точки зрения объемов вычислений, установление справедливости тождества Виг-нера для данной группы — это по-прежнему трудоемкая операция, требующая внимательного изучения даже сравнительно просто заданной группы. Возможно, именно этим объясняется, что данный класс групп исследовался слабо. Однако, как отмечено в [10], необходимость изучения SR-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики.

В книге [2], стр. 250−251, А. И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-группах следующим образом:

Вопрос 1. Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?

В Коуровской тетради С. П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [3], стр. 61, вопрос 11.94):

Вопрос 2. Будут ли SR-группы разрешимы?

В теории конечных групп уже исследовались группы в которых любой элемент сопряжен со своим обратным. Такие группы были названы вещественными, так как все их неприводимые комплексные характеры вещественнозначны. Очевидно, что класс SR-групп является подмножеством этого класса групп. Среди тех работ.

1 От английского «simply reducible, то есть «просто приводимыми» .

2Нобелевская премия, но физике 1963 года Юджину Полу Вигнеру, «За вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии». Более подробная информация находится на сайте Нобелевского комитета: http://nobelprize.org/nobelprizes/physics/laureates/1963/ geG geG по этой теме, результаты которых будут использоваться в данной диссертации, можно отметить работы Берггрена [14] и [15].

В работе [10] С. П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями SR-групп. Представление SR-группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. Струнков показал, что если SR-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален. Причем в G содержится такая центральная подгруппа W, W = 2, что все неприводимые целые представления группы G являются компонентами представления, а полу целые — компонентами представления CG, где С ~ нетривиальное неприводимое представление группы W. Из этого результата в частности вытекает, что любая полуцелая группа является расширением группы порядка два, при помощи SR-группы, все представления которой целые, а также вещественная реализуемость любого представления SR-группы без центра.

В работе [37] исследовались числа решений некоторых уравнений в SR-rpynnax.

Необходимо отметить и возможные приложения SR-групп к алгебраической комбинаторике. Определение SR-групп указывает на их вероятную связь т.н. «соответствием Макки». Напомним, см. [9J, что с каждым представлением р группы G, можно связать некоторый граф представления Гр следующим образом. Пусть {pi,., pt} — набор неприводимых представлений группы G. Тогда имеется разложение.

Р ® Рз — ф ЩкРк, к где j, к Е {1, ., t}. Граф Гр = ГP (G) — это граф с множеством вершин ., pt} и с rrijk (направленными) ребрами из pj к pk¦ При этом пара противоположно направленных ребер заменяется на одно ненаправленное ребро. Доказано, см. [9], что граф ГP (G) связен тогда и только тогда, когда р точно на G. Также, граф TP (G) са-модуален (инвариантен относительно противоположной ориентации ребер) тогда и только тогда, когда характер р принимает только вещественные значения. Поэтому, исследование графов представлений, связанных с точными представлениямми конечных SR-групп, может представлять определенный интерес. Действительно, графы точных представлений SR-групп будут связными, самодуальными и без кратных ребер (хотя петли возможны), что может иметь комбинаторный смысл.

Возможно, более выпукло связь SR-групп с алгебраической комбинаторикой видна в определении схем отношений. Для более точных формулировок потребуется определение (мы следуем [1], стр. 61−62):

Определение 1.0.1. Пусть X — лтоо/сество мощности п и Щ, г Е {0, — подмножества в X х X, обладающие следующими свойствами:

1. R0 = {(ж, ж) | х G X};

2. X х X = R0 U. U Rd, R, П Rj = 0 длягф j;

3. lRi — для некоторого г' € {0, где lRi — {{х, у) {у, х) € Ri};

4. для i, j, к € {0,., d} число элементов z G X, таких, что (я, z) Е Ri, (у, z) Е Rj, является константой, если (х, у) Е Rkэта константа обозначается через.

5. Pjj = р^ для всех г, j, к;

6. г = г', тогда конфигурация % = (X, {-Rijo^ci), для которой выполнены свойства 1, 2, 3, 4 называется схемой отношений на X с d классами. Если дополнительно выполнено свойство 5, то такая схема отношений называется коммутативной, а если выполнено свойство 6, то такая схема называется симметричной.

Теперь мы можем определить некоторую схему отношений, связанную с транзитивной группой подстановок. Пусть G — транзитивная группа подстановок па множестве Q = {1,2,., п} и в — подстановочный характер. Пусть G действует на Q х Q таким образом, что (а, (З)9 = (а9,/39), для а, /3 G f2, g е G. Обозначим через А0, Ai, ., Ad орбиты действия G на Q х Q. Предположим дополнительно, что для каждой пары (х, у) 6 Aj, г 6 {0,., б?}, существует такой элемент h Е G, что xh = у, yh = х (группы с таким свойством называются щедро3 транзитивными, см. [34]). Положим X = Q, Ri = A j, тогда можно показать, см. пример 2.1(1), стр. 63, [1], что схема % = (Г2, является схемой отношений. Схема 71, определяемая действием G на Cl, является коммутативной симметричной, см. замечание (2) стр. 116, [1], тогда и только тогда, когда соответствующий подстановочный характер в не имеет кратностей, и каждая неприводимая компонента X характера 9 принимает на G значения в поле вещественных чисел. Итак, имеется явная параллель между определением SR-группы и определением коммутативной симметричной схемы отношений И.

Вопрос об орбитных кодах, связанных с SR-группами, также представляет интерес.

К сожалению, в настоящий момент, высказаться более определенно в отношении связей SR-групп с вышеуказанными объектами в алгебраической комбинаторике невозможно т.к. никаких исследований на эту тему, по-видимому, не проводилось.

Цель и методы работы.

Целью работы является исследование строения конечных SR-групп. В диссертации используются методы доказательств теории групп и теории характеров, в том числе теорема Классификации простых конечных групп. Для проведения вычислений в ряде случаев использовалась система компьютерной алгебры GAP, [22].

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. получен положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных SR-rpynn при дополнительном условии отсутствия у группы композиционных факторов, изоморфных знакопеременным группам или АГ>. Причем этот результат справедлив и для более широкого класса ASR-групп. Тем самым (частично) положительно решен вопрос 11.94 Коуровской тетради, [8];

3От английского «generosity» .

2. получено описание строения бипримарных SR-групп (порядка 2прт) некоторых классов по модулю подгруппы Фраттини, среди них: группы с циклической р-силовской подгруппой, группы с диэдральной 2-силовской подгруппой, а также сверхразрешимые группы сп<4;

3. определено строение SR-групп малых порядков. Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения IV» (Ярославль, 2006), на всероссийской конференции «Колмо-горовские чтения V» (Ярославль, 2007), на международной алгебраической конференции «Классы групп, алгебр и их приложения» посвященной 70-летию со дня рождения JI. А. Шеметкова, (Гомель, Беларусь, 2007), на международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

Публикация результатов.

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 1 статья в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 2 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Казарин JI. С., Янишевский В. В.). Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, оглавления, четырех глав (30 параграфов), приложения, заключения и списка литературы из 39 наименований. Текст диссертации изложен на 114 страницах.

7 Заключение.

В заключении предлагается несколько гипотез, формулировки которых являются развитием изложенных в диссертации результатов и которые описывают предполагаемое строение конечных SR-групп.

Гипотеза 1. Любая ASR-группа разрешима.

В силу справедливости теоремы 5.1.2 для доказательства гипотезы 1 остается доказать отсутствие композиционных факторов изоморфных группам и А^.

Гипотеза 2. Пусть G — сверхразрешимая SR-группа. Тогда.

Ф (<?) D{A{) х. х D (An) х Е0, где каждая А{ = Ерк для некоторых р > 2 и к, Eq — элементарная абелева 2-группа.

Гипотеза 3. Пусть G — конечная SR-группа, тогда.

Ф© ^ Nx х. х Nk х Go, где каждая Ni — несверхразрешимая SR-группа изоморфная Еры х D2(pn+i), для некоторых р и п, Go — сверхразрешимая SR-группа, Ф (С?о) = 1.

Теоремы 4.5.2 и 4.6.2 подтверждают справедливость гипотезы 3 в частных случаях.