Обратная задача дискретно-группового анализа линейных дифференциальных уравнений

С момента появления дифференциальных уравнений в математической практике проблема поиска их решений в замкнутом (аналитическом) виде остается актуальной, несмотря на появление мощного аппарата качественной, аналитической и численной теорий, а также электронных вычислительных средств. Причина этого кроется в первую очередь в потребности большинства прикладных наук в представлении решений модельных уравнений в виде точных аналитических формул с явно заданными зависимостями от параметров, имеющих ясный физический смысл.

На протяжении XX века интерес к точным методам решений то затухал, то снова возрастал, и к настоящему времени возникла ситуация, когда возможности классических методов уже явно исчерпаны, а количество сложных моделей (с большим числом параметров, имеющих неединственное решение и др.) резко растет. Методы классического группового анализа хорошо себя зарекомендовали в теории уравнений с частными производными, а применение их при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений чаще всего дает предсказуемый результат и является не слишком продуктивным. В конце XX века появился дискретно-групповой анализ [14], который оперирует с конкретным классом уравнений. При этом любой элемент класса определяется набором существенных параметров, которые и изменяются под действием преобразования, в то время, как структура уравнения остается инвариантной. Таким образом, дискретная группа преобразований является группой эквивалентности. Она позволяет расширить множество разрешимых уравнений в случае, если известно хоть одно разрешимое уравнение при каком-то выбранном значении существенного параметра.

Множество преобразований, оставляющих неизменным структуру уравнения, но меняющим набор существенных параметров, образуют группу. Элемент группы преобразует уравнение исходного класса в уравнение того же класса, и решение исходного уравнения в решение конечного. Множество всех уравнений данного класса образуют орбиту, если все элементы связаны между собой элементами группы.

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля с обычными краевыми условиями [у'(х)р (х)]' + г>(ж)[д (ж) + Аг (х)] = 0. В качестве существенного параметра выберем спектральный параметр А. Если при фиксированных краевых условиях удалось бы его изменять, то мы получили бы связь собственных функций оператора Штурма-Лиувилля, отвечающих различным значениям спектрального параметра. В работе строится преобразование Мёбиуса, которое в некоторых случаях позволяет реализовать решение поставленной задачи. При этом значения спектрального параметра образуют циклическую группу С^, которая при наложении краевых условий («правила отбора») может выродиться в псевдогруппу. Знание дискретной группы (псевдогруппы) позволяет восстановить весь спектр по одному известному значению (прямая задача дискретно-группового анализа).

Преобразование Мёбиуса основано на том, что Л ОДУ второго порядка связано с уравнением Риккати, которое инвариантно относительно дробно-линейного преобразования. При этом ключевым моментом является то, что существует «уравнение связи», которое связывает решения начального и преобразованного уравнения, соответствующие различным значениям параметра А.

Наличие 3-х независимых параметров преобразования позволяет при должном их подборе менять спектральный параметр А. Но в большинстве случаев это не реализуемо прямыми методами. Для этого в настоящей диссертации разработан дискретный аналог обратной задачи, заключающийся в следующем: пусть нам известны множество значений параметра, А и решения уравнения при различных значениях параметра А. Реализуем преобразование Мёбиуса с тремя независимыми параметрами преобразования так, чтобы решение начального уравнения преобразовывалось в решение конечного уравнения. При этом значения параметров преобразования нам не известны, но известно условие, названное «уравнением сдвига спектрального параметра» (далее УССП), которому параметры преобразования должны удовлетворять, чтобы такая трансформация была возможна. УССП является нелинейным уравнением третьего порядка относительно параметров преобразования. Если бы мы решили УССП относительно параметров, то получили бы желаемое изменение спектрального параметра. Это в большинстве случаев невозможно. Но, решения начального и конечного уравнения удовлетворяют «уравнению связи», которое зависит и от параметров преобразования. При этом относительно параметров преобразования это «уравнение связи» линейно, точнее сводится к линейному. Из него можем получить значения параметров преобразования, при которых возможна трансформация спектрального параметра. Очевидно, что найденные из уравнения связи параметры преобразования будут удовлетворять и УССП.

Таким образом, получаем алгоритм для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка. В некотором смысле он аналогичен обратной задаче теории рассеяния, в которой эволюция данных рассеяния представляется решением линейных дифференциальных уравнений. Заметим, что среди классов нелинейных уравнений, решаемых методом обратной задачи дискретно-группового анализа, имеются и «неприводимые», т. е. уравнения, порядок которых невозможно понизить известными к настоящему времени методами (напомним, что простейшим «неприводимым» уравнением является первое уравнение Пенлеве у" — 6у2 + х).

Впервые идея постановки обратной задачи дискретно-группового анализа балы выдвинута Кормилициной Т. В. и Зайцевым В. Ф. Были предприняты попытки построить общую теорию обратных дискретных задач. Но, в основном, были построены многочисленные примеры. Причинами относительных неудач явились: 1) выбор в качестве промежуточного уравнения 3-го порядка, что существенно осложнило алгоритм, и 2) отсутствие мощных систем аналитических вычислений на ЭВМ.

В настоящей работе выполнены общие исследования обратной задачи дискретно-группового анализа и результаты, полученные в ней, открывают путь к ее регулярному применению. Существенное видоизменение алгоритма, предложенные автором настоящей работы, позволило резко снизить трудоемкость вычислений. Применение теории обратных задач особенно перспективно для поиска решений нелинейных дифференциальных уравнений. В работе приведен широкий класс уравнений, найдено его решение.

Заметим, что еще в начале XIX столетия математики поняли, что зависимую переменную в дифференциальном уравнении (ДУ) далеко не всегда можно представить в виде конечной композиции известных к тому моменту функций. Тогда и были предприняты первые попытки увеличить количество математических функций за счет присоединения к ним новых, являющихся решениями дифференциальных уравнений. Это привело к мысли об исследования решения дифференциального уравнения и его свойств по его виду, так как известно, что решение является линией в фазовом пространстве — интегральной кривой. Подобный подход характерен для качественной теории дифференциальных уравнений. О. Коши предложил рассматривать решения дифференциальных уравнений как функции комплексной переменной. При этом независимая и зависимая переменные в дифференциальном уравнении предполагаются комплексными переменными и при исследовании дифференциального уравнения используются все достижения теории функций комплексного переменного. В основном, изучаемые в аналитической теории уравнения являются многочленами относительно зависимой переменной и ее производных, а коэффициенты — аналитические функции. Поведение решения и область его существования определяется точками, где нарушается аналитичность функции — особыми точками. В точках регулярности же решение определяется внутри некоторой окружности и задается элемент аналитической функции, удовлетворяющий ДУ, и все аналитические продолжения этого элемента на всю область тоже удовлетворяют этому ДУ согласно теореме о монодромии [48]. Поэтому аналитическая функция в целом есть также решение того же дифференциального уравнения [60], [5]. Оказывается, что решения ДУ могут являться многозначными функциями, поэтому приведем классификацию особых точек аналитических функцийрешений ДУ, которая впервые была предложена Пенлеве [4]. Эта классификация основана на числе значений, которые принимает функция при обходе вокруг особой точки.

Определение. Особая точка г = го функции ъи (г) называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции ги (г) меняется. В противном случае особая точка 2 = го функции ги (г) называется некритической.

Пусть п — наименьшее целое число (п > 1), такое, что после п-кратного обхода точки г — го значение функции ги (г) возвращается к первоначальному значению. Тогда т (г) выражается через г в виде.

1 2 и)(г) = а0 + а[г — + а2(г — го)" +. и точка го называется критической алгебраической точкой.

В случае если гп (г) представима в виде и>(г) ~ а-т (г¦ - + • • • + о-1(2 — + ао + •. •, то точка г — го называется критическим полюсом.

Если после однократного обхода значение функции совпадает с начальным, то такая особая точка называется особой точкой однозначного характера, а IV (г) представима рядом Лорана.

00 к=—оо.

В случае, если содержит логарифмические слагаемые, то особая точка является трансцендентной.

Каждый раз обход совершается по контуру (или ему гомотопному), не охватывающий других особых точек.

Рассмотренная классификация типов особых точек была дана без учета их расположения на комплексной плоскости. Немецкий ученый Л. Фукс разделил особые точки по их отношению к начальным условиям [26], поскольку одни особые точки решений могут зависеть от начальных данных, другие — нет.

Определение. Особые точки решений дифференциальных уравнений на комплексной плоскости, положение которых не зависит от начальных данных, определяющих решение, называются неподвижными особыми точками.

Определение. Особые точки решений дифференциальных уравнений, зависящие от начальных данных, называются подвижными особыми точками.

Важные результаты были получены Пенлеве и его учениками Гам-бье, Гарнье, Шази, касающиеся классификации уравнений 2-го порядка в зависимости от наличия подвижных особых точек. Он доказал, что отсутствие критических подвижных особых точек является признаком наличия решения ДУ.

Аналитическая теория дифференциальных уравнений развивалась параллельно с общей теорией. Начало ее развитию было положено в работах Коши, который для широкого класса уравнений доказал существование интегралов, которые не приводятся к вычислению интегралов от известных функций, а сами интегралы не выражаются конечными комбинациями известных функций, т. е. представляют собой некоторые аналитические функции комплексного переменного. Результаты Коши носили локальный характер. Поведение интегральных кривых изучалось лишь в области, определяемой начальными данными. Но этот метод не давал возможности изучить поведение интеграла как аналитической функции во всей области его существования.

Для линейного дифференциального уравнения показано, что его особыми точками могут быть только особые точки его коэффициентов. В окрестности регулярных особых точек решения ДУ второго порядка можно представить в виде пл = (ггк)К1[сю—сп (г — гк) + .],, >. где гк — особые точки коэффициентов, а К{, г = 1, 2 — характеристические показатели (показатели ветвления) решений. Правда, одно из решений может содержать логарифмическую особенность. Разность показателей ветвления |"х — К2 является инвариантным показателем решений, определяет их поведение в окрестности особой точки. При этом особыми точками ЛОДУ могут быть только особые точки коэффициентов самого уравнения. Автором данной работы разработан алгоритм изменения главного показателя особой точки — разности показателей ветвления решений — на целое число. При разработанном алгоритме появляется возможность менять и набор особых точек: преобразование Мёбиуса, изученное в данной работе, позволяет получать новые уравнения, отличающиеся от исходного наличием дополнительных произвольно расположенных ложных1) особых точек. Следовательно, конечное уравнение, отличающееся набором особых точек, может быть проинтегрировано в терминах известных специальных функций, гипергеометрических, к примеру. На основе хорошо изученных уравнений, таких как гипергеометрическое уравнение и его конфлюэнтной версии, уравнениях Эйри и Вебера, были построены более сложные, такие как уравнения Гойна2) и его конфлюэнтная модификация, и, следовательно их решения могут быть выражены в терминах известных специальных функция. Кроме этого, как само уравнение Гойна, так и все его конфлюэнтные версии, имеют широкие приложения в задачах теоретической и математической физики.

Так как преобразование Мёбиуса обладает групповыми свойствами, то обращая преобразование появляется возможность «стирать» ложные точки, упростить тем самым структуру римановой поверхности, задаваемой решениями ДУ. в книге Чибриковой Л. И. [61] они называются «кажущимися». Решения в окрестности ложных точек представляется Лорана (*), отсутствует логарифмическое слагаемое, а разность |"1 — «2! 6 При обходе вокруг особой точки интеграл переходит в интеграл • е2лгК{, г 1, 2. В случае ложной особой точки решение уравнения приобретет множитель е27,171 = 1, так как п? Ъ. Таким образом, ложная особая точка является точкой однозначного характера.

2'К числу наиболее фундаментальных трудов, посвященных уравнению Гойна, относится книга «Дифференциальные уравнения Гойна» под редакцией А. Ронво, «Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе особенностей» С. Славянова и В.Лайя. Среди работ, посвященных уравнениям класса Гойна, следует отметить работы Казакова А. Я., Экстона Г., Майера Р., Смирнова А. О., Беккера П. А., Чибриковой Л.И.

Согласно аналитической теории, если взять произвольную систему интегралов 11)1, то после обхода вокруг особой точки х получим интегралы которые будут выражаться через ги^ при помощи соотношений.

Щ = ацго 1 + а12гУ2, Щ = «21¹ + «22², что означает, что над фундаментальной системой начальных интегралов было произведено линейное преобразование с матрицей, А = [ачы1,2 • Аналогично, при обходе вокруг иной особой точки ?2 Фундаментальная система решений претерпевает преобразование с матрицей В — [^¿-Г^• Набор этих матриц образуют группу монодромии: при одновременном обходе вокруг двух особых точек г и гг линейное преобразование решений задается матрицей В А, при этом произведение матриц не коммутативно, но ассоциативно, а обход в обратном направлении задается линейным преобразованием с матрицей А~1 (рис. 1).

А00 = Аз~1А2−1А1−1.

Рис. 1: Обход аналитической функции вокруг 3-х особых точек и оо.

Эти факты позволяют изучать поведения интегралов при обходе ими особых точек, т. е. во всей комплексной плоскости. А определение группы монодромии есть основная задача интегрирования линейного дифференциального уравнения, поставленная в самом общем случае, так как по матрице монодромии можно определить поведение решения в окрестности особой точки.

Некоторые многозначные функции, имеющие заданные особенности, определяются в основном при помощи задания соответствующей группы монодромии. Поэтому к уравнению класса Фукса можно подойти и с других позиций. К примеру, приведем задачу: найти все многозначные функции с тремя особыми точками 0, 1 и со и заданной группой монодромии. Такая постановка приведет нас к построению гипергеометрического уравнения Гаусса, так как функции, удовлетворяющие поставленным выше условиям являются интегралами уравнения Гаусса, и, следовательно, могут быть выражены через гипергеометрические функции. Поставленную задачу можно обобщить, взяв большее число особых точек. Однако, когда в уравнении число особых точек больше 3-х, то в уравнении появляются акцессорные параметры, т. е. параметры, от которых не зависят характеристические показатели решений уравнения, но зависит группа монодромии. Пока нет методов, позволяющих по группе монодромии определить акцессорные параметры, а, следовательно, и само уравнение. В общем случае задача об определении функций, удовлетворяющих Л ОДУ и с заданным набором особых точек и группой монодромии была поставлена Гильбертом — эта проблема существования ЛОДУ, имеющих заданный набор особенностей и группу монодромии. Проблема получила название 21 проблемы Гильберта. Первые попытки в решении данной проблемы осуществил сам Гильберт, Племель.

В настоящий момент матрицы монодромии в полной мере известны только для гипергеометрического уравнения Гаусса и его конфлю-энтных версий, и являются «сердцевиной теории гипергеометрических рядов», они следуют из пяти формул Больца1). Свойства решений в окрестности каждой особой точки описываются Р-функцией Римана, но они не описывают полностью дифференциального уравнения на всей комплексной плоскости (при числе особых точек большим трех), так как решения полностью не определяются только лишь характеристическими показателями, но и акцессорными параметрами, входящими в коэффициенты уравнения. Этот недостаток могло бы устранить знание закона аналитического продолжения вдоль контура, не проходящего через особые точки уравнения, так как этому обходу соответствует линейное преобразование фундаментальной системы решений. Автором данной работы получены подобные формулы для уравнений класса Фукса с любыми 3 особыми точками и при произвольно расположенных на комплексной плоскости ложных особых точках. Следовательно, знание группы монодромии позволило бы описать полностью всю локальную теорию уравнений класса Фукса, но и глобальную теорию, поскольку стали известны законы аналитического продолжения на всю плоскость.

В случае уравнений класса Фукса с числом особых точек большим 3-х можно ставить сингулярные задачи Штурма-Лиувилля, в которых.

Подробнее см. в книгах Чибриковой Л. И. [61] и справочнике Бейтмена Г., Эрдейи А. [2] роль спектрального параметра играет акцессорный параметр. К примеру, в уравнении Гойна у" (г) + (2 + л + —) + (а/?п7 л № = г — 1 г —а/ — 1){г — а).

А — спектральный параметр. На концах промежутка строго фиксировано поведение решений. Осуществляется поиск Л^ для параметра Л, при котором решения ведут себя предписанным образом, к примеру, убывают, как показано, но графике ниже (рис. 2.) (предположили, что.

Рис. 2: Центральная двухточечная задача связи на конечном интервале с двумя особыми точками особые точки находятся на вещественной оси, в противном случае этого всегда можно добиться заменой независимой переменной).

Тогда на интервале гг], гДе и ?2 ~ особые точки, которые могут находиться и на бесконечности, выделяем решения с подходящим локальным поведением в конечных точках рассматриваемого интервала. Вообще говоря, для уравнения с п + 1 особыми точками можно ставить п-1−1 таких задач Штурма-Лиувилля, но они эквивалентны в том смысле, что любой интервал может быть переведен в [0, 1] заменой независимой переменной. К сожалению, задача Штурма-Лиувилля для уравнения класса Фукса решена лишь в нескольких частных случаях. Одним из важных результатов данной работы является то, что с помощью построенного преобразования Мёбиуса появляется возможность контролируемым образом менять значение спектрального параметра при увеличении числа особых точек, и это значение будет зависеть от скейлингова параметра новых ложных особых точек, т. е. от из расположения. С учетом этого обстоятельства появляются возможности для решенныя сингулярных задач Штурма-Лиувилля.

Однако, более общей, чем сингулярная задача Штурма-Лиувилля, является центральная двухточечная задача связи. Приведем формулировку этой задачи: пусть в окрестности регулярной особой точки найдены решения ^1(21,2:) и ^(¿-ь г), а два других решения найдены в окрестности особой точки г^- Эти решения связаны друг с другом матрицей перехода (связи)Л: V = АУ. Построить эту матрицу А, значит решить двухточечную задачу связи. Пока она решена только для уравнения гипергеометрического класса и выражается в терминах гамма-функций. Частным случаем является боковая задача связи, заключающаяся в нахождении матрицы, связывающей решения уравнения до и после обхода особой точки.

Для уравнения класса Фукса задача аналитического продолжения из окрестности одной особой точки в другую при фиксированном поведении в обеих точках сводится к определению матрицы связи. Матрицы связи, получаемые при этом и при обходе вокруг особой точки и составляют данные монодромии. Автором работы получены данные монодромии для уравнений с любыми 3 особыми точками и любым количеством произвольно расположенных ложных особых точек. Более того, в работе показан алгоритм, позволяющий менять данные монодромии при переходе от уравнений с разным набором особых точек.

Цели и задачи работы.

1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи дискретно-группового анализа.

2. Поиск некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений 3-го порядка, имеющих явное решение и нахождение этих решений.

3. Поиск наиболее общих преобразований ЛОДУ 2-го порядка.

4. Изменение локального поведения решений уравнений класса Фукса и получение информации об их глобальном поведении.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построение общего алгоритма решения обратной задачи дискретно-группового анализа.

2. Получение решения класса нелинейного дифференциального уравнения 3-го порядка.

3. Решение прямых задач Штурма-Лиувилля, разработка алгоритма изменения некоторых параметров в уравнениях гипергеометрического класса и его конфлюэнтных и биконфлюэнтных версиях.

4. Разработка алгоритма изменения показателей ветвления решений Фробениуса уравнения в окрестности особой точки.

5. Изменение набора особых точек уравнения за счет присоединения («стирания») ложных особых точек.

6. Интегрирование уравнений в окрестности особых точек в терминах известных специальных функций.

7. Получение информации о глобальном поведении (данных моно-дромии) для уравнений с двумя или тремя особыми точками любого типа и любым количеством произвольно расположенных на комплексной плоскости ложных особых точек.

8. Возможность контролируемым образом менять значение спектрального параметра уравнений класса Фукса с числом особых точек, большим трех.

Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались на:

• на научном семинаре ПОМИ им. Стеклова в марте 2003 г.,.

• научных конференциях «Герценовские чтения», проводившихся в апреле 2003 г. и в апреле 2004 г.

• на региональной международной конференции «Региональная информатика — 2004» в Санкт-Петербурге в июне 2004 г.,.

• на «Чеботаревских чтениях» в Казани в июне 2004 г.

• на международной конференции «Дни дифракции» в Санкт-Петербурге в июле 2004 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах [23], [49]-[54]. Результаты, полученные в совместной работе [23], принадлежат авторам в равной мере.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи / Пер. с англ. А. В. Михайловапод ред. В. Е. Захарова. М.: Мир, 1987. 480 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции /Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1967. Т.1. 296 с.

3. Болибрух А. А. 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова, 1995. Т.206(5).4| Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1941. 398 с.

4. Зайцев В. Ф., Исина Н. К. О нелокальных преобразованиях с повышением порядка // Методы сравнения и методы Ляпунова. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та, 1990. С.82−85.

5. Зайцев В. Ф., Кормилицына Т. В. О дискретной группе преобразований вырожденного гипергеометрического уравнения // Качественная теория сложных систем. ЛГПИ, Л.: 1986, С.128−132.

6. Зайцев В. Ф., Кормилицына Т. В. Дискретно-групповой подход к задаче ШтурмаЛиувилля // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: Изд-во Тульского политехнического инта, 1987. C.11-I4.

7. Зайцев В. Ф., Флегонтов А. В. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Методы и алгоритмы. Л.: Препринт ЛИИА АН СССР, № 84, 1988. 66 с.

8. Зайцев В. Ф., Флегонтов, А .В., Хакимова 3. Н. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Точные решения уравнений: Препринт № 105. ЛИИАН.Л., 1989. 61 с.

9. Захаров В. Е., Манаков C.B., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

10. Ибрагимов H. X. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики. Итоги науки и техники. Общая механика. М. 1975. Т.2. С.5−52.

11. Ибрагимов H. X. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1967.

12. Ибрагимов H. X. К групповой классификации дифференцильных уравнений второго порядка // ДАН ССР. 1968. 183, № 2 С.274 277.

13. Казаков А. Я. Симметрии конфлюэнтного уравнения Гойна // Труды научных семинаров ПОМИ РАН. Т.251. 2001. С. 55 71.

14. Казаков А. Я., Сирота Ю. Н. Труды научных семинаров ПОМИ РАН// Преобразование Мёбиуса для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Т.308 С.67−88.

15. Казаков А. Я., Славянов С. Ю. // ТМФ. 1996. Т.107. С.388−396.

16. Коллатц Л. Задачи на собственные значения / Пер. с нем. В. В. Никольского. М.: Наука, 1968. 503 с.

17. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 360 с.

18. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965. 272 с.

19. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971.

20. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984. 240 с.

21. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981. 384 с.

22. Л.1.м, Дж. Л.

Введение

в теорию солитонов / Пер. с англ.Н. Т. Пащенко, В. Е. Захарова. Могилев: Бибфизмат, 1997. 294 с.

23. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

24. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПБ.: Лань, 2003. 832 с.

25. Матвеев Н. М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. 314 с.

26. Михайлов П. С. Некоторые специальные функции. Л.: Наука, 1967. 65 с.

27. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974. 303 с.

28. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / Пер. с англ.И. Р. Габитовапод ред. А. В. Михайлова. М.: Мир, 1989. 322 с.

29. Новокшенов В. Ю.

Введение

в теорию солитонов. М. Ижевск, 2002. 96 с.

30. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

31. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений и механики // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 381 -393.

32. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1958 118. № 3, С.439 442.

33. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1966.43| Овсянников Л. В. Об отыскании группы линейного дифференциального уравнения второго порядка /'/' ДАН СССР 132, № 1. 1960, С. 44 47.

34. Привалов И. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного. М., 1967. 444 с.

35. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения Пер. с итал. Н. Я. Виленкина. 1953. Т.2. 346 с.

36. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976, 408 с.

37. Сирота Ю. Н. Обратная дискретно-групповая задача для линейных дифференциальных уравнений // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2004. СПб.: С.96−101.

38. Сирота Ю. Н. Преобразование Мёбиуса линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка // Труды математического центра имени Н. Л. Лобачевского. Т.24, 2004. С.98−105.

39. Сирота Ю. H. О дискретном аналоге обратной задачи // Тезисы конференции «Региональная информатика 2004». Санкт-Петербург. 2004. С.403−404.

40. Сирота Ю. Н. Приложения преобразования Мёбиуса // 13 с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, № 1078-В2004.

41. Сирота Ю. Н. Дискретно-групповая задача для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка /У 8с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, № 1079-В2004.

42. Сирота Ю. Н. Обратная дискретно-групповая задача уравнений гипергеометрического типа // 24 с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, № 1080-В2004.

43. Славянов С., Лай В. Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе особенностей. СПб.: Невский диалект, 2002. 312 с.

44. Славянов С. Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера. JL: Изд-во ЛГУ, 1991.

45. Смирнов В. И. Избранные труды. Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во СПбГУ. 280 с.

46. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Пер. с англ.A. Д. Мышкиса М., 1962. 351 с.59| Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Пер. с англ.B. В. Жариновапод. ред. А. Б. Шабата М.: Мир, 1977. 622 с.

47. Чиркунов Ю. А. Групповое свойство уравнений Ламе. /'/ Динамика сплошной среды. Вып. 14. Новосибирск, 1973, С.138 140.

48. Baiser W. Formal Power Series and Linear Systems of Meromorphic Ordinary Differential Equations. Berlin, Heidelberg, New York. Springer, 1999.

49. Becker P. A. Normalization integrals of orthogonal Heun functions // J. Math. Phys., Vol. 38, No. 7, July 1997.

50. Bobrowski D. Systemy dynamiczne z czasem dyskretnym. Zagadnienia deterministyczne. UAM. Poznari, 1998.

51. Exton H. A new solution of the biconfluent Heun equation // Rendieonti di Matematica, Serie VII Volume 18, Roma (1998), P.615−622.

52. Fedoryuk M. V. Asymptotic methods. Berlin, Heidelberg, Springer, 1993.

53. Flashka H., Newell A. C. Comm. Math. Phys. 1980. V.76, P.65 116.

54. Ishkanyan A., Suominen K.-A. Journ. Phys. A, 2003, v.36, L81-L85.

55. Maier R. S. Transforming the Heun equation to the hypergeometric equation, Part I: Polynomial transformations / / Submitted to SI AM Journal on Mathematical Analysis.

56. Its A. R., Novokshenov V. Yu. The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations. Leet. Notes in Mathematics, Berlin, Heidelberg, 1986, V.1191.

57. Kazakov A. Ya., Slavyanov S. Yu. // Meth. Appl. Analysis. 1996. Vol.3. №.73| Ronveaux A. Heun’s Differential Equation. OxfordNew YorkTokyo. Oxford: University Press, 1995.

58. Smirnov A. 0. Finite-gap solutions of the fuchsian equation // arXiv: math. CA /310 465 v2 29 Oct 2003.

59. Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1965.