Дробные В-производные Вейля j-бесселевых разложений и неравенство Берштейна для В-производных от четных j-многочленов Шлемильха

Производные и интегралы дробного порядка вводились и изучались многими известными и выдающимися математиками. К ним относятся и творцы дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц и Эйлер. В настоящее время дробное интегродифференци-рование является отдельным разделом математического анализа, становление которого обязано многим математикам позапрошлого, прошлого и настоящего веков, среди которых Лиувилль, Риман, Рисс, Грюнвальд, Летников, И. А. Киприянов, П. И. Лизоркин, С. Г. Самко, А. А. Килбас и многие другие. Хорошо известно и прикладное значение производных дробного порядка в различных задачах математики, физики, биологии, механики и техники. Дробная производная Вейля выделяется тем, что она приспособлена для работы с тригонометрическими многочленами, рядами и с периодическими функциями. Возникает вопрос о конструировании дробных производных, приспособленного для работы с рядами Фурье по различным собственным функциям дифференциальных операторов. Особый интерес при этом вызывают сингулярные дифференциальные операторы.

В этой диссертации исследуются дробные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя + р>—½. Применяются обычные схемы, по которым построены классические дробные производные Лиувилля, Маршо, Вейля. При этом роль преобразования Фурье выполняет преобразование Ганкеля, конечные разности заменены разностями, порожденными обобщенным сдвигом, а тригонометрические ряды — рядами по j-функциям Бесселя. Дробные степени оператора Бесселя соответственно называются дробными В-производными Лиувилля, Вейля, Маршо. Получен результат о совпадении этого вида дробных В-производных в классе гладких четных интегрируемых функций, на функциях из пространства Соболева.

Киприянова и в функциональных классах Липшица, порожденных обобщенным сдвигом. Исследования этих задач во многом опираются на работы Б. М. Левитана 40-х — 50-х годов прошлого века, посвященных изучению обобщенных сдвигов и j-функций Бесселя.

Построение дробных степеней оператора Бесселя, по типу производных Вейля, использует разложении функций по j-функциям Бесселя. Особенность последних заключается в том, что они четные. Для разложения произвольных функций в работе применяются функции Бесселя следующего вида AeV) P (x)=jp (x) — Aod>p = 2(p+i) 1(®)> ранее введенные И. А. Куприяновым и В. В. Катраховым при построении алгебры сингулярных псевдодифференциальных операторов в качестве ядра соответствующего преобразования Фурье-Бесселя. Для разложений Фурье-Бесселя и Дини по этим функциям получены аналог теоремы Б. М. Левитана о равномерной сходимости и теоремы о зависимости убывания коэффициентов Фурье от гладкости функций. Введены три типа В-ядер Дирихле, и оказалось, что многочлены по четным j-функциям Бесселя представляются в виде оператора обобщенной свертки (свертки, порожденной обобщенным сдвигом) с этими ядрами, при этом были установлены новые свойства обобщенного сдвига в пространстве четных локально интегрируемых функций, в частности свойство ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова, порожденного обобщенным сдвигом, в соответствующий весовой класс Лебега. Использование В-ядер Дирихле позволило доказать теорему о совпадении В-производных Маршо и Вейля в пространстве Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

В диссертации введены новые ряды типа обобщенных рядов Шлемильха, в которых функции Струве заменены нечетными j-функциями Бесселя 2(р+1) i (x) — Известно, что среди рядов по функциям Бесселя (Неймана, Каптейна, Фурье-Бесселя, Дини) ряды Шлемильха наиболее напоминают тригонометрические ряды Фурье, поскольку ряды Шлемильха порождены тригонометрическими рядами применением интегралов Шлемильха или Сонина. Для многочлена Шлемильха по четным j-функциям Бесселя получена интерполяционная формула для дифференцирования, осуществляемого сингулярным дифференциальным оператором Бесселя типа интерполяционной формулы Рисса, хорошо известной в теории тригонометрических многочленов, причем полученная формула оказалась следствием формулы Рисса для тригонометрических многочленов и не может получиться подобным образом для других многочленов, составленных из функций Бесселя. Как следствие этой формулы получены неравенства Бернштейна для В-производной и для В-производной дробного порядка. Последние построены по типу дробных производных Маршо и Вейля. При этом использовались схемы доказательств этого неравенства для дробных производных, развитые в работах P. Civin, W. Sewe и П. И. Лизоркина. Определены коэффициенты, с которыми эти неравенства оказываются точными в том смысле, что существуют функции, на которых достигаются равенства.

Рассмотренные в диссертации вопросы актуальны в современном научном знании, поскольку дают новые подходы к некоторым аспектам теории функций Бесселя, к теории рядов Фурье-Бесселя, Ди-ни, Шлемильха и это позволит найти новые приложения в сингулярных задачах дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. Введенные В-производные дробного порядка могут быть использованы при исследовании сингулярных граничных задач и во многих проблемах естествознания, где присутствует центральная или осевая симметрии.

Целью работы является построение разложений произвольной функции по j-функциям Бесселя, доказательство теорем об абсолютной и равномерной сходимости и о зависимости убывания коэффициентов Фурье по системе (в соответствующем смысле ортогональных) j-функций Бесселя от гладкости раскладываемой функции. На основе разложений по j-функциям Бесселя ввести дробные В-производные.

Вейля и исследовать связь этой производной с В-производными Марию и Лиувилля. Ввести ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя. Для четной составляющей рядов Шлемильха получить интерполяционную формулу, выражающую действие сингулярного оператора Бесселя на четный j-многочлен Шлемильха, и на основе этой формулы получить неравенства Бернштейна для В-производных и для дробных В-производных Вейля-Маршо.

В работе используются методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы, развитые в работах И. А. Киприянова и его научной школой при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Следующие результаты, полученные в работе являются новыми.

1. Для рядов по четным и нечетным j-функциям Бесселя получены теорема о равномерной сходимости (типа теоремы Б.М. Левитана), теоремы о порядке убывания коэффициентов рядов Фурье-Бесселя и Дини в зависимости от гладкости функции. Введены обобщенные ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя.

2. Введены дробные В-интегралы и В-производные Маршо и Вейля порядка, а € (0,2), причем порядку, а — 1 дробной В-производной отвечает оператор у—В, исследована связь В-производных Маршо с В-производными Лиувилля (последние известны и ранее, исследовались в работах И. А. Киприянова, В. В Катрахова, М. И. Ключанцева, Л. Н. Ляхова, С.С. Платонова). Получена теорема о совпадении этого вида дробных производных на j-бесселевых многочленах.

3. Введены пространства Липшица и Степанова, порожденные обобщенным сдвигом, получена теорема об ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова в пространство LJ (0,1). Для функций, представленных многочленами и рядами по четным j-функциям Бесселя введены В-производные Вейля, доказана теорема о совпадении действия В-производных Вейля и Впроизводных Маршо в классе функций Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

4. Получены представления В-ядер Дирихле для рядов Фурье-Бесселя и Дини по j-функциям Бесселя. Получена теорема о равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.

5. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог интерполяционной формулы Рисса для В-производной целого порядка.

6. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог неравенства Бернштейна для В-производных целого порядка и В-производных Вейля-Маршо произвольного порядка, а > 0 и обобщения этого неравенства в весовых функциональных классах Лебега и Степанова.

Работа носит теоретический характер и дает конструктивные решения содержательной математической задачи. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений с частными производными и математическом анализе.

Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах профессора Репникова В. Д., в Воронежской зимней математической школе, Воронежской весенней математической школе &bdquo-Современные методы в теории краевых задач", Воронеж, 2005; на международной научной конференции по топологическим и вариационным методам нелинейного анализа и их приложениям, Воронеж 2005; на международной конференции &bdquo-Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль, 2006; на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной памяти Г. И. Петровского, Москва, 2007; на международной конференции «Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования «Москва, 2007; на герценовских чтениях &bdquo-Некоторые актуальные проблемы математики и математического образования», Санкт-Петербург, 2008.

Основные результаты опубликованы в работах автора [32]-[46]. В работах [42], [44], [46] постановка задачи принадлежит В.Д. Репнико-ву, а доказательства основных результатов-диссертанту. В работе [40] JI.H. Ляхову принадлежит идея применения оператора Пуассона в роли оператора преобразования, все же результаты, включая формулу Рисса для четного многочлена Шлемильха, принадлежат автору. Из совместных работ [32], [45] в диссертацию вошли только результаты полученные автором лично.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, объединяющих в общей сложности 19 пунктов, и цитируемой литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации — 118 стр.

1. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В. Я. Арсении — М.: Наука, 1974. — 432 с.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн М.: Наука, 1974. — Т. 2 — 295 с.

3. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон Часть первая. — М.: ИЛ, 1947. — 780 с.

4. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Грандштейн, И. М. Рыжик М: ГИФМЛ. 1965. 1100 с.

5. Житомерский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных пргоизводных с дифференциальным операторами типа Бесселя // Математический сборник, 1955. Т. 36, N2. — С. 299 310.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд Т. 1. — М.: Мир. 1965. 615 с.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд Т. 2. М.: Мир. 1965. 538 с.

8. Киприянов И. А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения весовых классов функций / И. А. Киприянов // Тр. МИАН. 1967. Т. 8,9. С.130−213.

9. Киприянов И. А. Сингулярные краевые эллиптические задачи / И. А. Киприянов М.: Наука, 1997. -199 с.

10. Киприянов И. А. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов / И. А. Киприянов, В.В. Катра-хов // Мат. сборник, 1977. Т. 104, № 1. — С.49−68.

11. Киприянов И. А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига. II / И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев // СМЖ. 1970. Т. 11, № 5. — С.1060−1083.

12. Киприянов И. А. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных / И. А. Киприянов, В. И. Кононенко // Дифференциальные уравнения. 1969. — Т. V, № 8. С.1470−1483.

13. Киприянов И. А. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений / И. А. Кипрянов, В. И. Кононенко / / Дифференц.уравнения.— 1967.— Т. З, N1 — С.114−129.

14. Киприянов И. А. Об одном классе псевдодифференциаль ных операторов / И. А. Киприянов, JI.H. Ляхов // ДАН. 1974. Т.218, № 2. — С. 278−280.

15. Киприянова Н. И. Интерполяционная формула Р. Сайвина, связанная с обобщенным сдвигом / Н. И. Киприянова // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — VI », тезисы докладов. Воронеж, 1995. — С.42.

16. Коренев Б. Г.

Введение

в теорию бесселевых функций / Б. Г. Коренев М.: Наука, 1971. — 287 с.

17. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики /Н.С. Кошляков, Э. В. Глинер, М. М. Смирнов М.: Высшая школа, 1976. — 712 с.

18. Курант Р. Методы матиматической физики / Р. Курант, Д. Гильберт М.- Л.: ГИТТЛ, 1951. — Т.1. — 475 с.

19. Лебедев М. Н. Специальные функции и их приложения / М. Н. Лебедев М.- Л.: ГИФМЛ. 1963. — 359 с.

20. Левитан Б. М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б. М. Левитан // УМН, 1951, Т. 6, № 2. С. 102−143.

21. Левитан Б. М.

Введение

в спектральную теорию /Б.М. Левитан, И. С. Саргсян М.: Наука. 1970. — 671 с.

22. Лизоркин П. И. Оценка тригонометрических интегралов и неравенство Берштейна для дробных производных / П. И. Лизоркин // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. Т. 296, № 1. — С. 109−126.

23. Ляхов Л. Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л. Н. Ляхов // ДАН, 1990. Т. 315, № 2. — С. 291−296.

24. Математическая энциклопедия. Т. 3 М.: Советская энциклопедия, 1982. — С.1183.

25. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон М.: Наука, 1974. — 480 с.

26. Никольский С. М. Курс математического анализа. T. l / CiM. Никольский М.: Наука, 1973. — 431 с.

27. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский М.: Наука, 1977 — 436 с.

28. Платонов С. С. Аналоги неравенств Берштейна и Никольского для одного класса целых функций экспоненциального типа / С. С. Платонов // ДАН, 2004. Т.398, № 2. — С. 168−171.

29. Розет Т. А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике / Т. А. Розет М. Советское радио. -1956. — 164 с.

30. Репников В. Д. Некоторые уточнения теоремы о стабилизации решений уравнений теплопроводности / В. Д. Репников // Дифферент уравнения, 1998 Т.34, № 6 — С.812−815.

31. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, И.О. МаричевМинск, Наука и техника, 1987. 688 с.

32. Санина Е. Л. Неравенство Берштейна для В-производных jp-бесселевых многочленов / Е. Л. Санина // Функциональные пространства, теория приближенийж, нелинейный анализ. Международная конференция Москва, 2005. — С. 198.

33. Санина Е. Л. Неравенство Берштейна для В-произвождных jp-бесселевых многочленов Шлемельха / Е. Л. Санина // Вестник Липецкого государственного пед. ун-та. Т. 1. — Вып. 1. — Липецк, 2006. — С. 50−54.

34. Санина Е. Л. О рядах Шлемельха по нечетным функциям Бесселя / Е. Л. Санина // Вестник физ.-мат. фак-та Елецкого гос. ун-та им. И. А. Бунина.- Вып. 1. Елец, 2006 -С. 63−69.

35. Санина Е. Л. Теоремы сложения, обобщенный сдвиг и представление Пуассона для четных-нечетных j-функций Бесселя / Е. Л. Санина // Черноземный альманах научных исследований. Серия: «Фундаментальная математика». — № 1 (5). — Воронеж, 2007. С. 140−148.

36. Санина E.JI. О некоторых свойствах обобщенного сдвига в классе четных периодических / E.JI. Санина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 2. — Воронеж, 2007. — С. 88−92.

37. Санина E.JI. О рядах Шлемельха по нечетным j-функциям Бесселя / E.JT. Санина // Математические модели и операторные уравнения. Т. 4. — Воронеж, 2007. — С. 116−124.

38. Санина E.JI. Многочлены Шлемильха. Интерполяционная формула Рисса для В-производной и неравенство Берштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо / JI.H. Ляхов, Е. Л. Санина // ДАН, 2007. Т. 417. — № 5. — С. 592−596.

39. Санина Е. Л. Интерполяционная формула и неравенство Берштейна для В-производной многочлена Шлемильха / Е. Л. Санина //Черноземный альманах научных исследований. Серия: «Прикладная математика и информатика». — Воронеж, 2007. — № 2 (6). — С. 124−134.

40. Толстов Г. П. Ряды Фурье / Г. П. Толстов М.: Наука. 1980. — 381 с.

41. Трибель X. Теория интерполяции. Фкнкциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель М.: Мир, 1980. — 664 с.

42. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш М.: Наука 1968. — 344 с.

43. Civin P. Inequalities for trigonometric integrals / P. Civin // Duke Math. J. 1941. — Vol. 8, № 4 — P. 656−665.

44. Civin P. Inequalities for trigonometric integrals. Preliminara report. / P. Civin // Bull. Amer. Math. Soc. 1940. — P. 410.

45. Delzarte Par J. Sur une extention de la formule de Teylor. / Dezarte // Journ. de Math. 1938. — Т. XVII. — P. 213−231.

46. Fourier J. La Theorie Analytique de la Chaleury: Chez firmin didot pere et fils / J. Fourier Paris, 1822. — 466 p.

47. Hankel H. Die Fourier’schen Reihen und Integrale fur Cylinderfunktionen / H. Hankel // Math. Ann., VIII 1875. -P. 471−494.

48. Zygmund A. A remark on conjugate series / A. Zygmund // PLMS, 34 1932. — P. 392−400.

49. Sevell W.E. Generalized derivatives and approximationby polinomias / W.E. Sevell // Trans. Amer. Soc. 1937. — Vol. 14, № 1 — P.84−123.

50. Schlafli, Ibid., X (1876). P. 137−142.

51. Weyl H. Btmtrkungen zum begriff des Differential quotienten gebrochener Ordnung / H. Weyl / / Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich 1917 — Bd 62, № 1−2. P.296−302.

52. Young W.H. On series of Bessel functions / W.H. Young // Proc. London Math. Soc. (2), XVIII. 1920. — P. 163−200.