Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений на фракталах

В последние годы для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов широко используется теория фракталов-множеств с дробной пространственной размерностью [20],[21],[28],[35], [52]. Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела. При этом, согласно [29], фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы. В случае, когда трещины и сплошные пористые блоки представляются однородными взаимопроникающими континуумами, обычно используется модель Баренблатта—Желтова [4]-[6]. Между тем в реальных трещиноватых породах для характерных размеров, сравнимых с размерами блоков, трещины образуют систему, которую нельзя считать однородной [20]. В работе [28] рассмотрено уравнение многофазной фильтрации в случае, когда поровое пространство представляет собой фрактал с размерностью Хаус-дорфа — Безиковича df, погруженный в сплошную среду с размерностью с1(с1 > df, с? = 2,3). В случае, когда df = с1 система трещин превращается в сплошную среду и обычно используется вышеназванная модель БаренблаттаЖелтова.

В работе [28] также получено уравнение движения примеси в потоке однородной жидкости. дс Р 1 д т г<1/-1 г^с), (0.1) где с-концентрация примеси в водной фазе, D-коэффициент конвективной диффузии, u-скорость потока, m-пористость. При постановке начально — краевых задач для уравнения вида (0.1) следует различать случай слабого вырождения, когда 0 < df — 1<1,и случай сильного вырождения, когда 1 < df — 1 < 2.

В первом случае корректно поставлена задача Дирихле. В случае сильного вырождения необходимо ставить либо условие ограниченности.

Зи limrV = 0, a = df- 1, (0.2) r-«0 дг либо видоизмененную задачу Дирихле и lim -— = ?t), ol — 1, r-ю In г w lim ra1 = ?i (t), а > 1,.

Г—¥- 0 где u-искомое решение уравнения du I д (пди,. ,/ ч.

При численном решении задачи вместо условия ограниченности (0.2) в определенном классе коэффициентов уравнения и решения u (r, t) можно брать условие [40] г/(0, t) = 0.

Другой класс неклассических уравнений, дифференциальные уравнения дробного порядка, возникает при изучении также фильтрации жидкости в сильнопористой (фрактальной) среде [34],[43], [46]: ?" + /(*,*), (0.3) t.

1 д [ u (x, r) dr uQta и{х, i.

Г (1 -a) at J (tт)а о.

— дробная в смысле Римана-Лиувилля производная порядка а, 0 < а < 1, д.

Lu = ох k (x, t q (x, t) u.

Иногда уравнение (0.3) называют еще уравнением медленной диффузии (субдиффузии). При этом следует заметить, что порядок дробной производной связан с размерностью фрактала, а принципы вычисления фрактальной размерности изложены в работах [29],[51],[52]. Уравнения вида (0.1),(0,3), следуя [20], будем называть уравнениями на фракталах.

Из ранних работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка, отметим работу Pitcher Е, Sewell W. 54], в которой доказана теорема существования и единственности задачи Коши для уравнения v: xy = f (x, y).

К дифференциальному уравнению дробного порядка пришел также S. Mandelbrojt [53] (1925).

Бабенко Ю.А. в работе [3] для определения тепловых потоков на границе раздела двух сред примененил метод расщепления оператора уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную по ж и производную порядка ½ по t. Из более поздних работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка, отметим работу Нахушева A.M. [31]. Здесь изучена задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах т у" (ж) + а0(х)у' + Y^ a3(x)Doxuj{x)y + am+i (x)v = f (x)> (°-4) i=i где 0 < am <. < a2 < «i < 1, 1) ож-оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля дифференцирования порядка а. К задаче Штурма-Лиувилля.

Роу'{0) + до 2/(0) = г0, ргу'(1) + qiy (0) = п для уравнения (0.4) редуцируются прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

Задаче Коши для одного класса дифференциальных операторов дробного порядка посвящена работа Джрбашяна М. М., Нерсесяна А. Б. [17],[19], в которой доказана теорема существования и единственности задачи типа Коши для весьма общего линейного дифференциального уравнения дробного порядка.

Алероев Т.С. в работах [1] - [2] исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения и" (х) + a (x)V%xu = f (x), 0 < а < 1. Он показал, что при ?3 > 0 в классе С[0, l]f|C2(0,1) задача ЦО) + /Зи'(0) = и (1) = 0, f (x) = 0, а (х) = А не имеет отрицательных собственных значений, а задача сш (0) + ри'(0) = 0, аи (1) + ¡-Зи'(1) = 0, а (х) = А имеет не более чем счетное множество собственных чисел.

Еще раньше Нахушев A.M. [30] показал, что число, А является собственным значением последней задачи тогда и только тогда, когда, А является нулем функции Миттаг-Леффлера ?, 2а, 2(—А) (см. 18]).

Достаточно свежий материал, посвященный дифференциальным уравнениям дробного порядка содержится в [31], [33].

Ряд работ Вебера В. К. [10]-[15] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка в пространствах обобщенных функций.

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены так же работы Бабенко Ю. А. [3], Геккиевой С. [16].

Разностным методам решения дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы Шханукова М. Х. [47], ШхануковаЛафишева М.Х., Бечеловой А. Р. [48], Нахушевой Ф. М. [49].

Диссертационная работа посвящена разработке численно — аналитических методов решения дифференциальных уравнений на фракталах вида (0.1) и (0.3).

У коэффициентов уравнений (0.1),(0,3) при г = 0 порядка 1 < а < 2 имеются особенности, поэтому методика построения и исследования разностных схем, схем типа Роте имеют некоторую специфику. При, а = 1,2 эти моменты глубоко проработаны в работах [27], [35], [41], [42].

В случае, когда уравнение содержит дробную по времени производную порядка а, 0 < а < 1, возникают трудности, связанные с построением дискретного аналога дробной производной, с сохранением известного принципа экстремума для производных дробного порядка, с обоснованием устойчивости и сходимости разностных схем. В последнем случае мы имеем многослойные схемы для дифференциального уравнения дробного порядка.

При? = 0 у решения дифференциальной задачи имеется особенность, поэтому уже на этапе постановки начально-краевых задач необходимо проявлять осторожность.

В диссертационной работе, состоящей из трех глав и введения, получены следующие результаты:

1.Для обыкновенного дифференциального уравнения на фракталах построены разностные схемы и получены априорные оценки в равномерной метрике, откуда следует сходимость схемы со скоростью О (И2).

2.Для решения основных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на фракталах получены априорные оценки в естественных нормах с весом. Получены также дискретные аналоги априорных оценок, откуда следует сходимость метода Роте.

3.Для решения дифференциальных уравнений с частными производными на фракталах построены разностные схемы и методом стационарных неоднородностей получены априорные оценки, откуда следует сходимость схемы в равномерной метрике со скоростью О {к2 + т), к, т — параметры сетки.

4. Для решения обобщенного уравнения переноса дробного с вырождением порядка получена априорная оценка в естественных нормах с весом. Для основных краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка построены разностные схемы и методом стационарных неоднородностей получены априорные оценки в равномерной метрике, откуда следует сходимость схем со скоростью О (к2 + т).

Переходим к более детальному изложению содержания диссертации.

1. Алероев Т. С. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах.// Дифференциальные уравнения, 1982, т.18, № 2, с. 341.

2. Алероев Т. С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. //Дифференциальные уравнения, 1984, т.20, № 1, с. 171−172.

3. Бабенко Ю. А. Тепломассобмен. Метод расчета тепловых и диффузных потоков. Л., Химия. 1986, 144 с.

4. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М., Недра, 1972, 288 с.

5. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П. Об основных уравнениях фильтрации однородной жидкости в трещиноватых породах //ДАН СССР, 1960, т. 132, № 3, с. 545−548.

6. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах //ПММ, 1960, т.24, вып.5, с. 852−864.

7. Бечелова А. Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка. //Нелинейные краевые задачи математической физики их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1995, с. 42−43.

8. Бечелова А. Р. Построение разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка. // Нелинейные краевые задачи математической физики их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1995, с. 40−41.

9. Бэгли Р. Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием. // Аэрокосмическая техника, 1984, т.2, с. 84−93.

10. Вебер В. К. К общей теории линейных систем с дробными производными. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып.18, с. 301−305.

11. Вебер В. К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с. 119−125.

12. Вебер В. К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып.18, с. 306−312.

13. Вебер В. К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка.// Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. Университета. Серия мат. наук, 1973, вып 10, с. 7−14.

14. Вебер В. К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными и квазиасимптотика решений.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып.16, с. 346−356.

15. Вебер В. К. Структура общего решения системы уравнения у (а) = Ау, 0 < а < 1. // Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. Университета. Серия мат. наук, 1976, вып 11, с. 26−32.

16. Геккиева С. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени.// Докл. АМАН, 1994, т.1, № 1, с. 17−19.

17. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка.// Изв. АН. Арм. ССР, матем., 1986. т. 3, № 1, с. 3−29.

18. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования функций в комплексной области. М., Наука, 1966, 671 с.

19. Джрбашян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля.// Изв. АН. Арм. ССР, матем., 1970. т.5, № 2, с. 71−97.

20. Динариев О. Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин.// МЖГ, 1990, № 5, с. 66−70.

21. Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. //УФН, 1985, т.146, № 3, с. 493 506.

22. Кобелев В. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Романов Е.П.// Докл. РАН. 1998, т. 361, № 6, с. 755−758.

23. Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Романов Е.П.// Докл. РАН. 1999, т. 369, № 6, с. 332−333.

24. Кочубей А. Ю. Диффузия дробного порядка. // Дифференциальные уравнения, 1990, т. 26, с. 660−670.

25. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче для уравненияsign | у |т иххf иуу = 0. // Дифференциальные уравнения, 1976, т.12, № 1, с. 79−88.

26. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973, 407 с.

27. Макаров В. Л. Про формули сумарних зображень осесиметрич-ного потенцшалу для одше1 схеми твищеного порядку точность// ДАН УССР, 1970, № 5, с. 403−408.

28. Малыпаков A.B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией //ИФЖ 1992, т. 62, № 3, с. 405−410.

29. Мосолов А. Б., Динариев О. Ю. Автомодельность и фрактальная геометрия. // ЖТФ, 1987, т. 57, вып. 9, с. 1679−1685.

30. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. // ДАН СССР, 1977, т. 234, № 2, с. 308−311.

31. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик, 1995, 506 с.

32. Нахушев A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода.// Дифференциальные уравнения, 1994, т. 10, № 1, с. 100−111.

33. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 301 с.

34. Нигматуллин P.P. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией. Phs. stat. sol. b. 133, 1986.

35. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1997, 656с.

36. Самарский A.A.

Введение

в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, 437 с.

37. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М., Наука, 1973, 415 с.

38. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. Н., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника, 1987, 688 с.

39. Смирнов Б. М. // УФН, 1986, т. 149, № 2, с. 177−219.

40. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики М., Наука, 1966, 724 с.

41. Фрязинов И. В., Бакирова М. И. Об экономичных разностных схемах для уравнения теплопроводности в полярных, цилиндрических и сферических системах координат.// ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, № 2, с. 352−363.

42. Фрязинов И. В. О разностных схемах для уравнения Пуассона в полярной, цилиндрической и сферической системах координат.// ЖВМ и МФ, 1971, т.11, № 5, с. 1219−1228.

43. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные.// ЖЭТФ, 1995, т. 108, вып. 5(11), с. 1875−1884.

44. Шефер Д., Кефер К. // Фракталы в физике. Тр.6-го Международного симпозиума по фракталам в физике. (Триест, Италия, 1985), М.: 1988, с. 62−71.

45. Шогенов В. Х., Шхануков М. Х., Бештоев Х. М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Препринт. Сообщения объединенного института ядерных исследований. Дубна, 1997.

46. Шогенов В. Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные.// Докл. Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук, 1996, т. 1, № 3.

47. Шхануков М. Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной. // Докл. РАН, т. 348, № 6, с. 746−748.

48. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А. Р. Численное решение третьей краевой задачи для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка. // Сб. Нелокальные задачи и родственные проблемы мат. биологии. Нальчик, 1996, с. 103.

49. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф. М. Локально-одномерная схема первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в младших членах. // Вестник КБНЦ РАН, Нальчик, 1998, т. 1, № 1.

50. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф. М. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка и сеточные методы их решения. // Сб. избранных трудов 3 Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск, 1998, с. 37−44.

51. Mandelbrojt В.В. Fractals. Form, chance and dimension. San Francisco: Freeman, 1977, 365 p.

52. Mandelbrojt B. B The fractal geometry of nature. San-Francisco: Freeman, 1983, 468 p.

53. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione // Atti. Reale Accad. Naz. Lincei. Rend CI. Fis. mat. e netur. Ser 6, 1925, vol. 1, h. 151−156.

54. Pitcher E., Sewell W. Existence theorems for solution of differential equations of non-integral order. // Ibid. 1938, vol. 44, № 2, p. 100−107.

55. Дигурова A.M., Карсанова Ж. Т. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения на фракталах. // Вестник СОГУ. Естественные науки — Владикавказ, 1999, с. 10−12.

56. Дигурова А. М. Построение разностных схем второго порядка точности для одного класса уравнений на фракталах. //Сб. научных трудов. IV Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» — Кисловодск, 2000, т. 2, с. 21−23.

57. Дигурова A.M., Шхануков М.X. Краевые задачи для дифференциальных уравнений на фракталах и разностные методы их решения. // Тезисы докладов. Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и Индустриальной математике — Новосибирск, 2000. Часть I, с. 37−40.