Математические методы в экономике

Решение.

1. Переменными в модели являются:

объем производства типографской бумаги, т;

объем производства писчей бумаги, т.

Целью анализа является максимизация дохода, количественным выражением которого является запись: 5×1 + 8×2, тогда получим условие оптимизации целевой функции

(1)

При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход производственных факторов (мука, целлюлоза, каолин), а также ограничения на выпуск продукции.

Например, целлюлозы на выпуск изделий x1 и x2 тратится (в тоннах)

0,2×1 + 0,5×2 и эти затраты не должны превышать имеющегося запаса в 50 т, тогда получаем ограничение 0,2×1 + 0,5×2 ≤ 50. Аналогично записывая оганичения на другие мощности, получим систему:

Ограничениями на выпуск будут:

Записываем окончательную систему ограничений:

(2)

Т.о., получили математическую модель задачи линейного программирования: найти максимум целевой функции (1) при выполнении ограничений (2).

2. Графический метод. Рассмотрим задачу (1) (2). В ней только 2 переменные x1 и x2, поэтому ее можно решить графически на координатной плоскости x1Оx2.

Построим область допустимых решений (ОДР) выпуклый многоугольник, получающийся при пересечении полуплоскостей, заданных неравенствами (2). Полуплоскость, отвечающая I неравенству системы (2) 0,8×1+ 0,5×2  80, будет лежать под прямой, заданной уравнением 0,8×1 + 0,5×2 = 80 (нижняя полуплоскость). Аналогично построим полуплоскости, отвечающие II и III неравенствам.

Для неравенств IV и V берем верхние полуплоскости

В данном случае ОДР представляет собой треугольник АВС, образованный пересечением полуплоскостей под номерами I, IV и V (соответствуют номерам в системе (2)). ОДР изображен на рис. 1.