Численные методы

1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы А=. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.

Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен.

Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль.

Пусть

(1)

характеристический многочлен.

Заменяя в выражении (1) величину на, получим

. (2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор

. (3)

Умножим обе части выражения (2) на :

(4)

Положим

(5)

т.е.

(6)

Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде

(7)

или в виде

Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то ее корни являются коэффициентами характеристического многочлена (1).

Если известны коэффициенты и корни характеристического многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие собственные векторы по следующей формуле:

(8)

Здесь векторы, использованные при нахождении коэффициентов методом Крылова, а коэффициенты определяются по схеме Горнера

(9)

Используя все выше сказанное, развернем характеристический определитель матрицы А= методом Крылова.