Моделирование динамической реакции тонкостенных композитных конструкций в резонансных режимах нагружения

0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы.

Современные тонкостенные конструкции имеют достаточно плотный спектр собственных частот, и могут работать в широкой полосе частот возмущающих сил, что затрудняет использование традиционных методов отстройки от резонанса и применение различного рода демпфирующих устройств. Особенно это относится к конструкциям летательных аппаратов, где применение таких методов и устройств практически исключено. Отсюда решающее значение приобретает способность самой конструкции демпфировать опасные резонансные колебания, препятствуя появлению значительных перемещений и перегрузок. К сожалению, большинство конструкционных материалов (металлов и их сплавов) имеют весьма низкую демпфирующую способность, и для многих конструкций основной причиной рассеяния энергии оказывается трение в узлах соединения их отдельных элементов (конструкционное демпфирование), которое является трудно прогнозируемым фактором.

В связи с этим возрастает интерес к структурно неоднородным высоко демпфированным материалам, позволяющим целенаправленно влиять на прочность, жесткость и демпфирующую способность конструкции. Наиболее перспективным представляется направление, связанное с использованием композитных материалов, сочетающих в себе высокие прочностные, жестко-стные и демпфирующие свойства. Среди широкого многообразия композитных материалов для изготовления силовых элементов конструкций наибольшее применение имеют многослойные материалы, армированные высокопрочными и высокомодульными однонаправленными волокнами [3, 16, 27, 28]. Именно из таких материалов методами непрерывной намотки или укладки создаются типичные элементы тонкостенных конструкций — многослойные пластины, оболочки и панели.

Однако следует заметить, что, несмотря на значительный интерес к многослойным композитным материалам, проблема учета их демпфирующих свойств при моделировании резонансных колебаний реальных тонкостенных композитных конструкций до сих пор не имеет пригодного для практики инженерного решения [71]. Подавляющее большинство работ касается построения моделей частных элементов конструкций: композитных балок, гладких пластин и оболочек при определенных условиях нагружения и закрепления. В связи с этим уместно заметить, что оценка эффективности той или иной модели зависит от того, насколько пригодной является эта модель для расчета конструкции в целом. В настоящее время таким требованиям в полной мере удовлетворяют только конечно-элементные модели [73, 75].

Проблема определения динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных композитных конструкций включает два основных вопроса: моделирование упругих и демпфирующих свойств многослойных композитов с целью построения матриц жесткости и матриц демпфирования материала, и построение разрешающих уравнений для определения резонансной реакции конструкции.

При моделировании упругих свойств многослойных композитов обычно исходят из эффективных характеристик жесткости отдельного композитного слоя. Если волокна слоя образуют в его поперечном сечении некоторую регулярную структуру, то для определения отмеченных характеристик возможен микроструктурный подход, состоящий в выделении представительного элемента данной структуры и последующем анализе его полей напряжений и деформаций [13, 19, 21, 91, 93]. При расположении волокон случайным образом возможен вариационный подход, позволяющий дать верхнюю и нижнюю границы эффективных механических характеристик композита [90, 91]. На практике для представления упругих свойств волокнистого слоя часто используются более простые (но менее точные) модели, основанные на замене структурно неоднородного слоя квазиоднородным ортотропным материалом [3, 16] и применении процедуры осреднения, приводящей к так называемым формулам смесей [6]. Таким образом, вопрос моделирования упругих свойств композитов на уровне отдельного слоя может считаться практически решенным. Поэтому основное внимание в диссертации уделено определению характеристик жесткости пакета произвольно уложенных композитных слоев, что позволяет варьировать данные характеристики, меняя схему укладки слоев.

Ситуация с моделированием демпфирующих свойств многослойных композитных материалов волокнистой структуры является менее ясной. Прежде всего, необходимо решить вопрос выбора физических уравнений, определяющих демпфирующие свойства волокнистого слоя. Эти уравнения обычно разделяют на уравнения вязкоупругих тел и уравнения гистерезисного типа [55, 60, 64, 70]. В первом случае утверждается, что нелинейная часть напряжений зависит от скорости (частоты) деформирования материала, во втором — от амплитуды деформации. Многочисленные опыты с металлами и их сплавами [2, 9, 60, 61] показали, что в области напряжений, представляющих интерес при расчете конструкций, наиболее существенна амплитудная зависимость. Работ по исследованию рассеяния энергии в волокнистых композиционных материалах существенно меньше [46, 87, 88], но в них так же утверждается отмеченная амплитудная зависимость.

Подавляющее число работ по моделированию демпфирующих свойств многослойных материалов, относятся к материалам, составленным из чередующихся жестких и мягких слоев, причем материал слоев считается изотропным [1, 25, 26, 27, 28, 31, 70 и др.]. Работ, посвященных моделированию дис-сипативных свойств армированных и в частности волокнистых материалов существенно меньше. По-видимому, это пока один из немногих разделов механики композитных материалов, где можно перечислить все имеющиеся работы. Достаточно полный обзор таких работ дан в монографии [28]. Перспективны модели, построенные на микроструктурном подходе, основанном на выделении представительного элемента объема структурно неоднородного материала, как это делается, например, при определении характеристик жесткости армированных композитов [13, 21, 91]. Но изучение этого вопроса еще далеко от завершения [71]. Поэтому на практике часто используют более простые модели, построенные на уже упомянутых выше формулах смесей для определения осредненных характеристик демпфирования волокнистого слоя, как это сделано, например, в работах Яковлева А. П. [87, 88]. Однако автор данных работ делает не вполне корректное допущение о том, что контакт любого волокна с матрицей является идеальным, т. е. отсутствует их относительное проскальзывание. Между тем известно, рассеяние энергии при циклическом деформировании волокнистых композитов обусловлено в основном конструкционным трением на границе составляющих фаз [36, 37, 66]. А поскольку области границы, где имеется относительное проскальзывание волокна и матрицы, распределены случайным образом, то модель рассеяния энергии в волокнистом композите необходимо строить в вероятностной постановке. Однако этот вопрос требует отдельной серьезной проработки, поскольку в литературе пока не рассматривается.

Наиболее реальным и удобным для практического применения является предлагаемый в диссертации теоретико-экспериментальный подход, основанный на данных измерения демпфирующей способности композитного слоя и использовании их для построения физических уравнений несовершенно упругого слоя и пакета слоев в целом [42, 77, 82]. Для измерения демпфирующей способности слоя можно использовать известные методики и установки [38, 60, 61], применяемые в экспериментальных исследованиях рассеяния энергии традиционных материалов.

Перейдем ко второму вопросу — построению разрешающих уравнений для моделирования резонансной реакции тонкостенных композитных конструкций. В немногочисленных работах, где рассматривается данный вопрос, для построения данных уравнений традиционно используются аналитические методы [27, 28, 70], возможности которых ограничиваются рамками простейших конструктивных элементов (стержнями, балками, пластинами и оболочками простой формы). Основным методом решения разрешающих уравнений остается асимптотический метод Крылова-Боголюбова-Митропольского [10]. Причем, как правило, ограничиваются только первым приближением данного метода.

Метод конечных элементов в моделировании резонансных колебаний тонкостенных композитных конструкций (несмотря на его перспективность) пока еще не находит должного практического применения. Причина этого кроется в отсутствии необходимых компонент для реализации данного метода — подходящих физических уравнений, методов получения матриц гистерезисно-го демпфирования конечных элементов из многослойных волокнистых композитов, корректных методов учета амплитудной зависимости демпфирующей способности материала при решении систем разрешающих уравнений.

Наиболее реальный путь выхода из данной ситуации состоит в использовании концепции комплексного модуля упругости [14, 65, 73, 75]. Это позволяет, как показано в диссертации, построить комплексную матрицу жесткости композитного конечного элемента: вещественная часть данной матрицы определяет жесткость элемента, мнимая — его демпфирующие свойства. Отсюда появляется возможность перейти от дифференциальных уравнений движения конечно-элементной модели конструкции к системе квазилинейных алгебраических уравнений относительно синфазных с вектором нагрузки и отстающих от него на угол я-/2 (ортофазных) компонент узловых перемещений, полностью определяющих динамическую реакцию данной модели [81, 83, 86].

Нелинейность данных уравнений обусловлена тем, что матрицы гистере-зисного демпфирования конечных элементов формируются с учетом характеристик демпфирования композитных слоев, а последние зависят от амплитуд деформаций данных слоев, определяемых после решения системы разрешающих уравнений. Поэтому решение данной системы необходимо итерировать. При решении физически нелинейных задач типичен подход, состоящий в использовании данных конца текущей итерации для начала следующей итерации [29, 44]. Однако при учете гистерезисных потерь данный алгоритм не обеспечивает сходимости итерационного процесса [81, 83, 86]. В связи с этим в главе 2 диссертации предложена рекуррентная формула, сдвигающая назад узловые перемещения конца текущей итерации с использованием назначаемого параметра сдвига, что обеспечивает достаточно быструю сходимость итераций.

0.2. Цель диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состоит в моделировании напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций из многослойного композиционного материала, армированного однонаправленными волокнами, при колебаниях в резонансной зоне. Достижение этой цели предполагает:

• построение матрицы обобщенных жесткостей пакета однонаправленно армированных композитных слоев для моделирования упругих свойств материала;

• построение гистерезисного оператора пакета несовершенно упругих композитных слоев для моделирования его демпфирующих свойств;

• формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов для определения динамической реакции тонкостенных композитных конструкций;

• разработку итерационного алгоритма решения полученной системы уравнений;

• построение матриц жесткости, матриц масс и матриц гистерезисного демпфирования конечных элементов, выбранных для моделирования тонкостенных композитных конструкций;

• проведение численных экспериментов по оценке достоверности разработанных моделей.

0.3. Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, в которых рассмотрены вопросы моделирования упругих и демпфирующих свойств многослойных композитных материалов, армированных однонаправленными волокнами, и определения динамической реакции при резонансных колебаниях тонкостенных конструкций, изготовленных из данных материалов.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ.

1. Построены математическая модель упругих свойств пакета однона-правлено армированных произвольно уложенных композитных слоев и комплексный гистерезисный оператор для моделирования его демпфирующих свойств.

2. Получена система разрешающих уравнений метода конечных элементов для моделирования стационарных колебаний тонкостенных композитных конструкций с учетом демпфирующих свойств материала. Разработан итерационный алгоритм решения полученной системы уравнений. Приведен численный пример, иллюстрирующий быструю сходимость алгоритма.

3. Получены соотношения для вычисления синфазных и несинфазных компонент (по отношению к вектору нагрузки) амплитуд напряжений композитных элементов с возможностью вычисления их для всего пакета композитного слоев и отдельно для каждого его слоя.

4. Обоснован выбор конечных элементов для моделирования безмо-ментного напряженно-деформированного состояния тонкостенных композитных конструкций типа крыла самолета: обшивка представляется треугольными квадратичными элементамистенки лонжеронов и нервюрчетырехугольными полу квадратичными элементамиполки лонжеронов и нервюр и стрингеры — ферменными квадратичными элементами.

5. Получены матрицы жесткости, матрицы гистерезисного демпфирования и матрицы масс отмеченных конечных элементов. Отмечено, что четырехугольный полуквадратичный элемент в расчетах тонкостенных конструкций ранее не применялся. Особенность элемента состоит в неизотропной аппроксимации его перемещений: линейной аппроксимации по высоте и квадратичной в другом направлении, что позволяет существенно сократить общее число узловых перемещений конечно-элементной модели конструкции по сравнению с известным квадратичным элементом.

6. Обоснован выбор математического пакета MATLAB 6.5 для численной реализации разработанных моделей и алгоритмов.

7. Проведены численные эксперименты по апробации и оценке достоверности разработанных конечных элементов. Достоверность подтверждается сравнением полученных результатов с имеющимися численными решениями, а так же с решениями, полученными на основе моделей, для которых можно получить надежные, проверенные практикой численные результаты.

8. Определена динамическая реакция при резонансных колебаниях композитного треугольного крыла из материала КМУ-8. Результаты получены с использованием зарегистрированной авторской программы, составленной на языке программирования математического пакета MATLAB 6.5. Полученные результаты качественно соответствуют представлениям о напряженно-деформированном состоянии элементов рассматриваемого крыла и в совокупности удовлетворяют условию энергетического баланса в течение цикла колебаний.