Аппроксимация типа Мюнца-Саса

Работа посвящена исследованию полноты систем экспонент в различных функциональных пространствах на полупрямой.

Известная теорема Вейерштрасса о плотности в пространствах №{О, 1) и С[0,1] алгебраических полиномов может быть переформулирована как утверждение о полноте системы степеней {хп: п = 0,1,.} в соответствующих пространствах.

В 1914 г. Мюнц рассмотрел более общую систему цп? Ж и нашел условие ее полноты в пространствах L2(0,1) (когда —½ < < /?i <-ц2 < ., iin —> +оо) и когда 0 < /?1 < /?2 <�••.). В своей работе [16] (см. также [1]) Мюнц доказал, что в случае пространства Со[0,1] полнота имеет место тогда и только тогда, когда.

Появление пространства Со[0,1] вместо С[0,1] вызвано тем, что в данном случае все функции системы (1) обращаются в 0 в точке х — 0- можно заменить Со на С, присоединив к системе (1) функцию, тождественно равную единице.

Если ограничиться выше указанными требованиями к последовательности то для пространств Ь2 и Со теорема Мюнца обладает полной завершенностью. Однако, вполне естественно рассмотреть не только произвольные вещественные, но и комплексные показатели, а также всю шкалу пространств Ьр (0,1), накладывая на показатели степеней в начале лишь условие принадлежности всех функций системы (1) пространствам 1Р и СоОчевидно, эти условия таковы:

Именно эту общую ситуацию при р = 2 рассмотрел Сас [22] (см. также [1]), доказавший, что если Re/in > —½, то система (1) полна в L2(0,1) тогда и х^Упек.

1).

Со[0,1] = {/еС[0,1]: /(0) = 0}.

Re/in > —1/р, 6 LP, Re цп > 0,? С0. только тогда, когда.

Re fin + ½ i + ы" =0° оо. и Со[0,1] (идущая от теорем Мюнца и Caca) может быть переформулирована (замена х = ехр (—¿-)) как задача описания полных систем из экспонент в пространствах LF — Lp (0, +оо) и Со — пространстве непрерывных на [0, со) функций с sup-нормой, для которых.

По виддмому переформулировка в таком явном виде впервые появилась в [18] в книге Пэли и Винера. Начиная с этого момента будем иметь дело только с системой (2). Преимущество такой постановки задачи объясняется возможностью применения аналитических методов и методов функционального анализа, дающих наиболее полные результаты, хотя при этом мы вынуждены и ограничиться показателями р ^ 1.

Развитию данной тематики способствовали работы Р. Пэли и Н. Винера, Н. Левинсона, Л. Шварца и других математиков.

Отправной точкой в нашем изложении будет условие.

Верна следующая теорема (см. [19]).

ТЕОРЕМА А. Условие (3) достаточно для полноты системы (2) в LP, р ^ 2 и в Со, и необходимо для ее полноты в W, 1 ^ р ^ 2.

В частности, система (2) полна в L2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (3).

Утверждение данной теоремы при р = 2 — это теорема Caca [22], переформулированная для системы (2). Условие (3) при 1 ^ р < 2 не является достаточным (М. Грам, [13], [14]), а в случае пространства Со не является необходимым (А. Зигель, [21]). Вопрос о необходимости условия (3) при р > 2 открыт.

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — Москва: Наука. — 1965 г.

2. Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы {е-А*4 | ReAn > 0} в пространствах С0(Е+) и LP (R+), р>2. // Математические заметки. — 2008 г. — том 83, вып. 6. — стр. 831−842.

3. Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы | ReAn > 0} в пространствах Co (R+) и LP (R+), р > 2. // Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж: ВГУ. — 2007 г. — С. 249.

4. Краснобаев И. О. Условие на мнимые части точек последовательности как критерий полноты системы экспонент в пространствах СО и Lp. // Материалы международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара: Книга. — 2010 г. — С. 183.

5. Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы экспонент в пространстве L^,—1 < а < 0.//" Депонированные научные работы", № 12, 2010. Москва: ВИНИТИ 20.10.2010, № 607-В2010.

6. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. Москва: Физматлит. — 2005 г.

7. Седлецкий A.M. К проблеме Мюнца-Саса для пространства CjO, lj//Тр. МЭИ. — 1975 г.—Вып. 260. С. 89−98.

8. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — Москва: Наука. — 1985 г.

9. Boas R.P. Entire functions. — New York: Academic Press. — 1954.

10. Carleson Lennart A representation theorem for the Dirichlet integral//Math. Z. — 1960. — V.73. — P. 190−196.

11. Caughran J.G. Zeros of analytic functions with infinitely differentiable boundary values//Proc. Amer. Math. Soc. 1970. — V.24. — P.700−704.

12. Grum M. On the theorems of Miintz and Szazs// J. London Math. Soc. — 1956—V.31. — P.433−437.

13. Grum M. On the theorems of Miintz and Szazs. Corrigendum and Addendum// J. London Math. Soc. — 1957.-V.32. P.517.

14. Levinson N. On the Szdsz-Muntz theorem. // J. Math. Anal. Appl. — 1974. — V.48. — P.264−269.

15. Miintz Ch. Uber den Approximationssatz von Weierstrass H.A. Schwartz Festschrift. — Berlin: Hermann, 1914. P.303−312.

16. Nelson, J.D. A characterization of zero sets for A°°//Michigan Math. J. — 1971. — V.18. — P. 141−147.

17. Paley R. and Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1934.

18. Schwartz L. Etude dcs sommes d’exponentielles reelles. — Paris: Hermann, 1943.

19. Shapiro H.S. and Shields A.L., On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces// Math. Z. — 1962—V.80. — P. 217−229.

20. Siegel A. On the Muntz-Szasz theorem for G0,1]// Proc. Amer. Math. Soc. —1972. —V.36. P. 161−166.

21. Szazs O., Uber die Approximation stetiger Functional durch lincare Aggregate von Pote.nzc.ri // Math. Ann.- 1916. V.77. — P.482−496.

22. Taylor B.A. and Williams D.L., Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc// Michigan Math. J.1971. V.18. — P. 129−139.