Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных алгебр

Изучение автоморфизмов и дифференцирований алгебр и колец имеет очень давнюю историю, [1], [5]-[8], [15], [19], [22] и др. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр стали систематически изучаться с 90-х годов. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры, А — это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент a? А как некоторый автоморфизм алгебры Д зависящий, вообще говоря, от а.

Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцированияпоследние, как известно, образуют кольцо Ли, обозначаемое через Der А. Далее, Laut, А — совокупность локальных автоморфизмов, a Locder, А — совокупность локальных дифференцирований алгебры А.

D. Larson и A. Sourour [20] доказали, что автоморфизмы и антиавтоморфизмы комплексной матричной алгебры М (п, С) исчерпывают ее локальные автоморфизмы. Дифференцирования кольца М (п, К) над коммутативным кольцом К с единицей исчерпывают локальные дифференцирования, [24]. Близки к тривиальным также локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования параболических (в частности, треугольных) подалгебр в М{п.К), [10], [16], [18], [24]. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [11] для подалгебры треугольных матриц в М (3, С) с попарно совпадающими элементами на каждой диагонали.

Проблемы описания локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований исследовались для полупростых Банаховых алгебр, операторных алгебр, супсралгебр и др., [9], [ 11]-[14], [17], [23], [26] - [28].

К классическим нильпотентным алгебрам относится алгебра NT{n, К) нижних нильтреугольных п х п матриц над К, то есть матриц с нулями на главной диагонали и над нейкогда К — поле, ее автоморфизмы еще в 1952 году описали R. Dubish и S. Perlis. Пусть К — произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. В 1983 году в [4] описаны автоморфизмы алгебры R = NT{n: К), а также ассоциированной с ней алгебры Ли А (І?) — описание Der R и Der A® дано в [21], [25].

Открытыми остаются следующие вопросы.

Проблема (А). Выявить нетривиальные локальные автоморфизмы алгебр R, А® и описать Laut R, Laut A®.

Проблема (Б). Выявить нетривиальные локальные дифференцирования алгебр R, А® и описать Boeder R, Locder A®.

Цель диссертации — исследовать проблемы (А) и (Б).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 40 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

1. Автоморфизмы классических групп // Сб. перевод, ин. ст. (ред. Мерзляков Ю. И.) — М.: Мир. 1976. 264 с.

2. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре // СПб.: Лань, 2007.

3. Левчук В. М., Минакова Е. В. Элементарная эквивалентность и изоморфизмы локально-нильпотентных матричных групп и колец // Доклады РАН. 2009. Т.425. № 2. С. 165−168.

4. Левчук В. М. Связи унитреуголыюй группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сиб. матем. журн. 1983. Т.24. № 4. С.543−557.

5. Мерзляков Ю. И. Линейные группы // В сб. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ. 1978. Т.16. С. 35−89.

6. Bcidar К., Chebotar М. On Lie derivations of Lie ideals of prime algebras // Israel J. Math. 2001. Vol. 123. P. 131−148.

7. Beidar К. I., Martindale III W. S., Mikhalev A. V. Rings with generalized identities // Marcel Dekker, Inc., New York. 1996. 522 p.

8. Bresar M., Chebotar M., Semrl P. On derivations of prime rings // Comm. Algebra. 1999. Vol. 27. № 7. P. 3129−3135.

9. Bresar M., Semrl P. Mappings which preserve idempotents, local automorphisms and local derivations // Canad. J. Math. 1993. Vol. 45. № 3. P. 483−496.

10. Chengjun H., Sheugzhao H. Local automorphisms of nest algebras // Indian J. Pure Appl. Math. 2001. Vol. 32. № 11. P. 1667−1678.

11. Crist R. Local automorphisms // Proc. AMS. 2000. Vol. 128. P. 1409−1414.

12. Crist R. Local derivations on operator algebras //J. Funct. Anal. 1996. Vol. 135. P. 72−92.

13. Fosner A. A note on local automorphisms // Czech. Math. J. 2006. Vol. 56. № 3. P. 981−986.

14. Hadwin D., Li J. Local derivations and local automorphisms // J. Math. Analysis and Appl. 2004. Vol. 290. P. 702−714.

15. Hahn A. J., James D.G., Weisfeiler B. Homomorphisms of algebraic and classical groups: a survey. // Can. Math. Soc. Conf. Proc. 1984. № 4. P. 249−296.

16. Han D., Wei S. Local derivations of nest algebras // Proc. AMS. 1995. Vol. 123. № 10. P. 3095−3100.

17. Kadison R. Local derivations // J. Algebra. 1990. Vol. 130. P. 494 509.

18. Kim Sang Og, Kim Ju Seon. Local automorphisms and derivations on Mn 11 Proc. AMS. 2004. Vol. 132. № 5. P. 1389−1392.

19. Kuzucuoglu F., Levchuk V. The automorphism group of certain radical matrix rings //J. Algebra. 2001. Vol. 243. P. 473−485.

20. Larson D. R., Sourour A. R. Local Derivations and local automorphisms of B (H) // Proc. Sympos. Pure Math. 1990. Vol. 51. P. 187−194.

21. Levchuk V. M., Radchenko 0. V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings //J. Algebra and Appl. 2010. Vol. 9. № 5. P. 717−724.

22. Martindale III W.- Miers C. Herstein’s Lie theory revisited // J. Algebra. 1986. Vol. 98. P. 14−37.

23. Molnar L. Local automorphisms of operator algebras on Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 1867−1874.

24. Nowicki A., Nowosad I. Local derivations of subrings of matrix rings // Acta Mathematica Hungarica. 2004. Vol. 105. № 1−2. P. 145−150.

25. Ou S., Wang D., Yao R. Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring // Linear Alg. Appl. 2007. Vol. 424. P. 378−383.

26. Semrl P. Local automorphisms and derivations on B (H) // Proc. AMS. 1997. Vol. 125. P. 2677−2680.

27. Semrl P. Local automorphisms and derivations of operator algebras // Clas. Mat. Ser. III. 1984. Vol. 19 (39). № 1. P. 135−138.

28. Wang X. Local derivations of a matrix algebra over a commutative ring // J. Math. Research and Exposition. 2011. Vol. 31. № 5. P. 781−790.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

29. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков // Известия вузов. Математика. 2013. № 2. С. 40−48.

30. Елисова А. П., Зотов И. Н., Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Известия ИГУ, Иркутск. 2011. Т.4. № 1. С. 9−19.

31. Елисова А. П. Локальные дифференцирования и автоморфизмы нильпотентных алгебр матриц малых порядков // Вестник СибГАУ. 2012. т. С. 17−21.

32. Елисова А. ГІ. Локальные автоморфизмы алгебры нильтре-угольных матриц над кольцом // Материалы Всерос. конф. «Алгебра, логика и методика обучения математике». Красноярск: КГПУ. 2010. С. 37−42.

33. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы нильпотентных матричных алгебр над кольцами // Тезисы докл. Межд. конф. «Алгебра, логика и приложения». Красноярск: СФУ. 2010. С. 35−37.

34. Елисова А. П. Нетривиальные локальные автоморфизмы кольца NT (n, К) нильтреугольных матриц над ассоциативно коммутативными кольцами // Материалы всерос. симпозиума «Абе-левы группы». Бийск: БГПУ. 2010. С. 31−33.

35. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования алгебр нильтреугольных матриц // Тезисы докл. Межд. конф. по теории колец, Новосибирск: ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН. 2011. С. 8−10.

36. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы лиевых алгебр нильтреугольных матриц малых размерностей // Тезисы докл. Межд. молодежной школы-конф. «Современные проблемы математики». Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 33−35.

37. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования нильпотентных алгебр матриц // Тезисы докл. Межд. конф. «Алгебра и линейная оптимизация». Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 65−66.

38. Елисова А. П. Локальные автоморфизмы и дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Материалы VII Всс-сибир. конгресса женщин-математиков, Красноярск: СФУ. 2012. С.59−61.

39. Elisova A. Local automorphisms and derivations of nilpotent matrix algebras // Int. Conf. on algebra, Kyiv, Ukrainian National Academy of Sciences. 2012. P. 46.