Динамика коротких волновых пакетов и солитонов огибающей в нелинейных диспергирующих средах

Данная работа посвящена исследованию динамики волновых пакетов и солитонов огибающей высокочастотного поля как в изотропных, так и в анизотропных нелинейных диспергирующих средах.

Исследование распространения высокочастотных волновых пакетов в нелинейных диспергирующих средах является одной из фундаментальных проблем современной теории нелинейных волн, активно разрабатываемой в течение последних десятилетий. До недавнего времени теоретические исследования данной проблемы проводились в рамках второго (параболического) приближения теории дисперсии нелинейных волн. В этом приближении огибающая y/[x, t) волнового пакета.

Ф = ys (x, t) exp (i (o0t-ik0x), распространяющегося в изотропной среде, описывается хорошо известным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ).

Частота со и волновое число к удовлетворяют нелинейному дисперсионному соотношению со = со{к, у/^ j, V^ = (дсо/дк)^ - линейная групповая скорость, q =-(д2о)/дк2) — параметр линейной дисперсии.

V /|*=*0>М =о •>.. •: •, второго порядка, а = г — параметр кубичной нелинейности. Все параметры уравнения (1) могут быть найдены из разложения нелинейного дисперсионного соотношения.

Г*-Л (~ ^ со-0)п = део,, ч 1(д2а),. ч2 до) I. | дк У удк м.

2) в окрестности центральной частоты со0 и центрального волнового числа к0 до членов второго порядка малости по параметру у: г 4 d>Y2 Ak, , со J к где, А со и Ak — ширины частотного и пространственного спектров волнового пакета. Само уравнение (1) может быть получено из дисперсионного соотношения (2) с помощью простых операторных преобразований: &> - <�у0 <=> -idJdt, к-ка<^> id/dx. Возможность такой реконструкции НУШ делает второе приближение довольно привлекательным для решения различных задач и к настоящему времени это приближение изучено достаточно подробно [1−4]. В частности, в рамках НУШ существует хорошо известное солитонное решение [4]:

Интерес к данному решению обусловлен возможностью использовать оптические солитоны огибающей в качестве базовых импульсов для передачи информации в волоконно-оптических линиях связи. Первые экспериментальные наблюдения солитонов в оптических линиях связи были опубликованы в работе [40]. Обратим внимание, что солитонное решение (4) существует при одинаковых знаках коэффициентов кубичной нелинейности и линейной дисперсии второго порядка aq> 0. Особая привлекательность данного решения заключается в том, что любое начальное возмущение в рамках НУШ эволюционирует с течением времени при t-* оо к системе подобных солитонов [2], откуда следует, что солитонное решение (4) является единственно устойчивым локализованным решением. Взаимодействие двух солитонов (4) различной амплитуды является упругим и изучено к настоящему времени довольно подробно как точными аналитическими [2], так и приближенными методами [5].

Распространение волновых пакетов в неоднородных нелинейных диспергирующих средах в рамках НУШ с неоднородным аддитивным потенциалом U (x): Л.

4) t 5.

2/f— + Vg —1 + + 2ay, 2? + 2U (x)W = 0 (5) dt 8 dx J dx2 11 w анализировалось в работах [6, 59]. В случае линейного профиля неоднородного потенциала U = px было найдено солитонное решение [59]. Для произвольного профиля неоднородного потенциала было получено уравнение движения центра «масс» волнового пакета:

00 ДГГ 1 +0° +0° х (0=~- Мтпл' = ИИ'*" No= (в).

•^осо У* -00 -00 где две точки обозначают вторую производную по времени. Полученное уравнение движения центра «масс» волнового пакета напоминает уравнение движения материальной точки в потенциальном поле. При достаточно плавном изменении потенциала на масштабе волнового пакета функцию производной потенциала в (6) можно вынести из-под знака интеграла со значением в точке центра «масс». В этом случае приходим к одному из замечательных результатов второго (квазиоптического) приближения теории дисперсии нелинейных волн для неоднородных сред: уравнение движения нелинейного пакета волн в плавнонеоднородной среде аналогично уравнению движения материальной частицы в потенциальном поле: ч t) = q.

7) dx.

Если принять, что величина U играет роль потенциала силы F = -(ди/дх)щ, действующей на некоторую эффективную частицу, то массой" этой частицы будет величина m = /q.Подобная аналогия позволила перенести хорошо известные результаты механики на движение протяженных волновых пакетов: ускорение таких пакетов не зависит от их протяженности, интенсивности и фазовой модуляции, а определяется лишь неоднородностью среды. Отсюда, в частности, следует, что в однородной среде протяженные волновые импульсы движутся без ускорения.

Второе приближение теории дисперсии нелинейных волн корректно описывает эволюцию волновых пакетов при их достаточно узком временном, А со и пространственном спектрах Ак, а также при достаточно слабой нелинейности v"l. Однако в настоящее время в ряде прикладных задач возникает интерес к исследованию распространения коротких, порядка нескольких длин волн, волновых пакетов в нелинейных диспергирующих средах [7−11,43−46]. В оптике это обусловлено нахождением и исследованием нового класса коротких оптических солитонов, являющихся базовыми импульсами для передачи информации в нелинейных волоконно-оптических линиях связи [7,8,43,44]. Это позволит напрямую решить проблему увеличения информативной емкости волоконно-оптических линий связи: чем короче базовый импульс, тем большее число этих импульсов может быть передано через линию в единицу времени без их перекрытия, то есть без потери и искажения информации. В физике плазмы подобный интерес обусловлен задачей нагрева мишени мощными короткими электромагнитными импульсами [9]. В гидродинамикезадачей распространения коротких интенсивных цугов поверхностных волн на глубокой воде [10,11].

В качестве еще одного направления исследования возможностей сокращения временных масштабов базового импульса, помимо формирования коротких солитонов огибающей, необходимо отметить изучение нелинейной динамики импульсов, состоящих всего из нескольких колебаний волнового поля [см. например 53−56]. Прогресс в современной лазерной физике сделал возможным создание импульсов протяженностью до 2-х колебаний светового поля [51]. Подобные импульсы в литературе принято называть предельно короткими, подразумевая под этим число осцилляций поля, а не протяженность самого импульса. При этом привычное понятие огибающей импульса теряет смысл, равно как и метод медленно меняющейся огибающей светового импульса.

Для волновых пакетов протяженностью в несколько длин волн ширина временного и пространственного спектров не мала и второе приближение теории дисперсии уже не справедливо. В этом случае, необходимо учитывать члены более высокого порядка малости. В связи с этим в последнее время активно разрабатываются высшие приближения теории дисперсии [12, 29, 45−47]. Наибольшее распространение получило следующее за параболическим третье приближение теории дисперсии нелинейных волн в изотропных кубично нелинейных средах. Однако уже в третьем приближении полная реконструкция уравнения для огибающей волнового пакета из разложения нелинейного дисперсионного соотношения невозможна. Это связано с тем, что в разложении возникают члены, связанные с нелокальностью и нестационарностью нелинейности. В то же время, ограничиваясь дифференциальной формой эволюционного уравнения и удерживая члены до третьего порядка малости по параметру v, можно представить его в общем виде [7,8]:

V /.

Уравнение (8) содержит в левой части члены второго порядка, а в правой.

— третьего порядка малости по параметру v. Слагаемые в круглых скобках в правой части (с параметрами р и ц) отвечают, в частности, зависимости групповой скорости волн от их интенсивности /j2 (параметры нелинейной дисперсии) и впервые были учтены в [13]. Анализ этих слагаемых был впервые проведен в работе [14]. Действительно, положив в (8) q = a = у = О, уравнение (8) сводится к следующему выражению: а, -Г?" 0где <�д = р + 2ц. Отсюда следует, что участки волнового импульса различной интенсивности движутся с различными групповыми скоростями: = = Данный эффект получил в дальнейшем название self-steeping". Слагаемое с третьей пространственной производной называют линейной дисперсией третьего порядка. Оно отвечает отклонению дисперсионного соотношения со-о)к, у/|2j в окрестности центральной частоты й)0 и центрального волнового числа к0 от квадратичной параболы (линейная аберрация или линейная дисперсия третьего порядка). Уравнение (8) также было получено для волновых пакетов в нелинейных волоконно-оптических линиях связи из уравнений Максвелла в работе.

15]. При этом выводе в уравнении были отброшены все члены более высокого порядка малости относительно параметра v3. При О уравнение (8) описывает негамильтонову подсистему исходной гамильтоновой системы, описываемой уравнениями Максвелла. Одним из следствий этого является то, что хотя для волнового пакета в рамках (8) сохраняется его энергия djdt dx = 0, но при /лф О изменяется его импульс.

16]:

Р = П Ltf-yM*, {Щ.

2iV дх где у/ - поле, комплексно-сопряженное полю у/. Изменение импульса поля из (8) определяется уравнением dP^aVi р. оо где <�р — фаза пакета ^ = это явление связано с описанием исходной системы взаимодействующих в среде полей разных типов (например, электромагнитного и звукового) уравнением, учитывающим поле только одного типа. Для более корректного описания динамики электромагнитных волновых пакетов требуется учет существующих в среде полей других типов.

Уравнение (8) является базовым уравнением третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородной изотропной среде, описывающим динамику огибающей y/{xtt} одномерного волнового пакета. Это уравнение иногда называют нелинейным уравнением Шредингера третьего порядка (НУШ-3) и оно широко используется при анализе распространения коротких волновых импульсов в нелинейных диспергирующих средах, в частности, в нелинейных волоконно-оптических линиях связи [51]. Нелинейное уравнение Шредингера инвариантно к замене переменных rojc, что позволяет использовать его для решения как начальных, так и граничных задач.

К настоящему времени стационарные нелинейные волны исследовались в некоторых частных случаях НУШ-3 как численно, так и аналитически. В работах [17,18] найдены солитонные решения с модулированным волновым числом при распространении в точке нулевой линейной дисперсии второго порядка (ZDP) и без учета членов нелинейной дисперсии (/? = // = О). Точный анализ НУШ-3 методом обратной задачи рассеяния [2], позволяющий находить N-солитонные решения, проводился в работах [19−22] в следующих случаях: при a = q = 0 и действительной функции у/, когда НУШ-3 сводится к модифицированному уравнению.

Кортевега-де Вриза (МКдВ) — решения в этом случае получены в [19]- при ju — 0 и цР = Ъуа (условия Хироты), когда (8) сводится к уравнению Хироты, проанализировано в [20]- при q = 1, а = 1, Р = Ьу, = (8) сводится к уравнению Сасы-Сатсумы (SSE), проанализированному в [21]. В случае так называемого дифференцированного НУШ (derivative NSE) первого типа, отвечающего условиям, а = у = 0 и Р = (л, найдено солитонное решение в [22], N-солитонные решения исследовались в работах [57, 58]. Нелокализованные стационарные волны — солитоны на подложке, были описаны в рамках НУШ-3 в работах [23, 24].

Другой аналитический метод, применяемый к анализу нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка в случаях, когда метод обратной задачи рассеяния не проходит, основан на сведении исходного уравнения к системе обыкновенных однотипных дифференциальных уравнений. Так, в [6] найдено солитонное решение в случае дифференцированного НУШ (derivative NSE) второго типа, отвечающего условиям // = у = 0. Солитонные решения с модулированным волновым числом найдены в.

НУШ-3 в пренебрежении линейной дисперсией третьего порядка (^ = 0) в работах [15,25,41,42], а также методом возмущений при условии малости параметра линейной дисперсии третьего порядка в [23,26]. Солитонные решения с немодулированным волновым числом найдены в НУШ-3 в следующих трех случаях: в точке перегиба линейной дисперсионной характеристики (q = 0) в работах [27,28]- при наличии неоднородного потенциала в виде линейного профиля и при выполнении условий Хироты [33] (обобщение хорошо известного солитона Чена) — при произвольных коэффициентах уравнения [25,15]. В последнем случае солитонное решение имеет вид:

12) где @ = j3 + 2ju — результирующий параметр нелинейной дисперсии. Решение (12) существует в средах с одинаковыми знаками параметров 0 и у. у&->0, когда эффект самоукручения, вызванный нелинейной дисперсией, компенсируется эффектом линейной аберрации, вызванной линейной дисперсией третьего порядка. В работе [30] было показано, что солитонное решение (12) является единственным устойчивым локализованным решением НУШ-3: при выполнении условия существования соли-тонного решения любой локализованный импульс эволюционирует со временем к системе подобных солитонов плюс линейной квазипериодической волне.

К настоящему времени взаимодействие солитонов (12) в рамках НУШ-3 исследовано, в основном, численными методами [31, 50]. В работе [31] было показано принципиальное отличие этого взаимодействия от взаимодействия солитонов в рамках классического НУШ, а именно нарушение упругого характера взаимодействия, выражающегося в несовпадении параметров солитонов до и после взаимодействия и в наличии излучения части волнового поля из области взаимодействия. Численно была также показана возможность существования связанных солитонных решений (бризеров) [16]. В материалах первой главы данной диссертации аналитически описан эффект образования связанных состояний при взаимодействии двух солитонов в рамках НУШ-3, показана зависимость характера взаимодействия от знаков параметров нелинейной дисперсии. Также показана возможность усиления солитона (12) внешним волновым полем той же природы — эффект, отсутствующий в классическом параболическом приближении. Результаты этих исследований опубликованы в.

Большой интерес вызывает также исследование динамики нестационарных волновых пакетов в рамках нелинейного уравнения Шредин-гера третьего порядка как в однородных, так и в средах с различными профилями неоднородного потенциала. В работе [11] экспериментально исследовалось поведение коротких интенсивных волновых пакетов на поверхности глубокой воды, при этом была показана неадекватность описания такой динамики в рамках классического НУШ. В [12] так же рассматривалось поведение коротких интенсивных волновых пакетов на глубокой воде. Было показано соответствие реального поведения пакетов и аналитического описания этого поведения в рамках третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн, приводящего к уравнению Диета [10]. Аналитические исследования динамики нестационарных волновых пакетов были проведены в работах [15,25] с использованием метода моментов. Были получены соотношения для скорости и ускорения центра «масс» волнового пакета. В частности, ускорение для волнового пакета в однородной среде описывается следующим выражением:

— энергия волнового пакета. Ускорение центра «масс» волнового пакета в рамках НУШ-3 принципиально отличается от ускорения в рамках класси.

32]. где • = ?//.