Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением

1. В настоящей диссертации изучаются дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Наличие разностных операторов приводит к тому, что подобные уравнения относятся к нелокальным задачам.

Интерес к нелокальным задачам объясняется значительными теоретическими достижениями в данном направлении, а также важными приложениями, возникающими в теории плазмы [1], биофизики, теории диффузионных процессов [65, 66], теории многослойных пластин и оболочек [31,77].

Нелокальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались в работах А. Зоммерфельда, Я. Д. Тамаркина, М. Пиконе, A.M. Кролла и др.

В 1969 году A.B. Бицадзе и A.A. Самарский [1] рассмотрели возникающую в теории плазмы нелокальную задачу следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике D = {х G М2 : — I < х < I, 0 < Х2 < 1} и непрерывная в D функция и (х, х^), удовлетворяющая условиям и (х 1, 0) = ipi{xi), и (х 1, 1) = (^2), -I < X1 < г, ж2) = <�Рз (я2), ж2) = u (0, ж2), 0 < х2 < 1, где </?2, уз — заданные непрерывные функции. Решение данной задачи приведено в работе [1], оно основано на сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и использовании принципа максимума. Для произвольной области и общих нелокальных условий такая задача была сформулирована как нерешенная [43,71].

Такого типа задачи получили дальнейшее развитие в работах Н.В. Жи-тарашу и С. Д. Эйдельмана [13], Я. А. Ройтберга и З. Г. Шефтеля [41], A.B. Бицадзе [2], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [16], К. Ю. Кишкиса [20], А. К. Гущина и В. П. Михайлова [10,11] и др.

Основы общей теории для эллиптических уравнений порядка 2 т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А. Л. Скубачевского и его учеников [8,9,32,50,52−55,58,59,68−70,75,77]. С нелокальными задачами для эллиптических дифференциальных уравнений тесно связаны краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений впервые построена в работах A.JI. Скубачевского и его учеников в течение последних 30 лет (А. JI. Скубачев-ский [44,77], Л. Е. Россовский [42], Р. В. Шамин [56,57], Гуревич П. Л. [67] Е. М. Варфоломеев [3] и др.). Важность создания этой теории мотивируется принципиально новыми свойствами таких уравнений, а также важными приложениями. Применение этой теории позволило получить новый класс секториальных операторов удовлетворяющих гипотезе Т. Като (Р. В. ТТТя,-мин [62]), получить новые достаточные условия существования многолепестковых вращающихся волн в нелинейных лазерных системах [79] и д.р.

Параболические функционально-диффеенциальные уравнения с преобразованием временной переменной рассматривались в работах В. В. Власова [5,6].

Интерес к эллиптическим уравнениям с вырождением возник после работы М. В. Келдыша [19]. Эта статья стала отправной точкой для исследований многих математиков и сыграла важную роль в развитии теории вырождающихся дифференциальных уравнений. М. В. Келдыш впервые показал, что при определенных условиях часть границы (многообразие вырождения) свободна от краевых условий. В дальнейшем подобными задачами занимались многие математики: O.A. Олейник [28], М. И. Вишик [4] и другие. Работы Г. Фикеры [61] O.A. Олейник [29] явились началом нового этапа в развитии теории эллиптических уравнений с вырождением. Данной тематике посвящены работы Е. В. Радкевича [40], A.M. Ильина [15], в работе O.A. Олейник и Е. В. Радкевича [30] приведен подробный обзор работ посвященных уравнениям с неотрицательной характеристической формой, статья В. П. Глушко, Ю. Б. Савченко [7] посвящена вырождающимся эллиптическим уравнениям высокого порядка.

2. Новизна результатов.

Интерес к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением вызван тем, что к таким уравнениям сводятся эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактных множествах (с непустой внутренностью), рассмотренные A.B. Бицадзе, A.A. Самарским [1]. В отличие от эллиптических задач с нелокальными условиями на многообразиях (упоминавшиеся выше), также рассмотренных в этой работе эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактах не нашли дальнейшего развития в научной литературе, за исключением, работ А. JI. Скубачевского [44,51,77]. Таким образом, на данный момент метод сведения таких задач к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением является единственным методом исследования.

В этих работах рассматривались дифференциально-разностные операторы с вырождением, являющиеся композицией сильно эллиптического дифференциального оператора и неотрицательного разностного оператора с вырождением. Были получены энергетические неравенства, построено фридрихсово расширение рассматриваемого оператора, а также изучены спектральные свойства и гладкость обобщённых решений. В частности, было показано, что решение может не принадлежать пространству Соболева даже при бесконечно гладкой правой части, однако, проекция решения на образ разностного оператора обладает определённой гладкостью, но не во всей области, а в некоторых подобластях.

В настоящей работе впервые рассматривается вырожденные дифференциально-разностные операторы второго порядка общего вида (в случае нескольких вырожденных разностных операторов и переменных коэффициентов) .

Изучается уравнение вида и д.

— Е яГ^-ег = /(*) (х е Я с к*) (0.1) г, 3=1 с краевым условием и{х) = 0 (х.

0.2) где Ягз — разностные операторы, действующие в пространстве и определенные по формуле.

М — конечное множество векторов /1 из К" с целочисленными координатами, аф 6 С, Ъгз — Ь^-вещественнозначные М-периодические функции, М — аддитивная группа, порожденная Л4.

Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов:

1. получение априорных оценок решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;

2. исследование разрешимости эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;

3. исследование гладкости обобщенных решений.

Впервые получены априорные оценки решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с вырождением в случае нескольких разностных вырожденных операторов и переменных коэффициентов. В отличие от случая с одним разностным оператором и сильно эллипическим дифференциальным оператором при получении априорных оценок нельзя воспользоваться положительной определенностью дифференциального кем оператора. Это приводит к дополнительным трудностям и необходимостью наложения дополнительных условий.

При изучении гладкости также возникают дополнительные трудности. В частности, заменой неизвестной функции и> = Ли не удается свести дифференциально-разностное уравнение к эллиптическому дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями и в дальнейшем применить теорему о гладкости обобщенного решения эллиптического дифференциального уравнения. В работе получены новые теоремы о гладкости обобщенных решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением с несколькими разностными операторами и переменными коэффициентами.

3. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// ДАН СССР. — 1969. — Т. 185. — С. 739−740.

2. Бицадзе A.B. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280. т. С. 521−524.

3. Варфоломеев Е. М. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов второго порядка// УМН— 2006;т. 61-вып. 1-С. 173−174.

4. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области//Матем. сб.—35(77):3—1954.—С. 513−568.

5. Власов В. В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве//УМН— 49:3(297)-1994.-С. 175−176.

6. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом простран-стве//Матем. сб.-186:8- 1995,-С. 67−92.

7. Глушко В. П., Савченко Ю. Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал.— 23— ВИНИТИ, M —1985.— С. 125−218.

8. Гуревич П. Л. Нелокальные эллиптические задачи в двугранных углах и формула Грина // Докл. АН. 2001. Т. 379, № 6. С. 735−738.

9. Гуревич П. Л. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в двугранных углах // Мат. заметки. 2002. Т. 72, вып. 2. С. 178−197.

10. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1994. Т. 185. № 1. С. 121−160.

11. Гущин А. К., Михайлов В. П. Об однозначной разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения // Докл. АН. 1996. Т. 351. № 1. С. 7−8.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Том 2.—М.:Мир, 1966.

13. Житарашу Н. В., Эйдельман С. Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений // Математические исслед. 1971. Т. 6. Вып. 2(20). С. 63−73.

14. Иванова Е. П., Скубачевский А. JI. Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка// Депонировано в ВИНИТИ, № 3646−81, 1981.

15. Ильин А. М. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Матем. сб.-50(92):4- 1960." С. 443−498.

16. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 5. С. 795−804.

17. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2059;2071.

18. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

19. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. —1951. — 77.— С. 181−183.

20. Кишкис К. Ю. Об индексе задачи Бицадзе-Самарского для гармонических функций // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 1. С. 105−110.

21. Ковалева O.A., Скубачевский A.JI. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах с весом // Мат. заметки. 2000. Т. 67. Вып. 6. С. 882−898.

22. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971.

23. Лионе Ж., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

24. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Lp-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Тр. ММО. — 1978. — Т. 37. — С. 49−93.

25. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.—М.: Наука, 1976.

26. Моисеев Е. И. О спектральных характеристиках одной нелокальной краевой задачи. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 5. С. 864−872.

27. Моисеев Е. И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 12. С. 2082;2093.

28. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на ганице области//ДАН СССР— 87— № 6— 1952, — С. 885−888.

29. Олейник О. А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой//Матем. сб.—69(111):1—1966.— С. 111−140.

30. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой, —М.: ВИНИТИ, 1971.

31. Онанов Г. Г., Скубачевский A.JI. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела // Прикладная механика. 1979. Т. 15. № 5. С. 39−47.

32. Подъяпольский В. В. Полнота и базисность по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 4. С 568−569.

33. Попов В. А. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the 17th Crimean Autunm Mathematical Symposium. 2007. — C.73−77.

34. Попов В.A. Априорные оценки решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением//Тезисы XLIV всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва, РУДН — 2008 г. — С. 19.

35. Попов В. А. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением//Тезисы III межд. конф. посвященная 75-летию Л. Д. Кудрявцева. 2008;С. 301−302.

36. Попов В. А., Скубачевский A.JI. векториальные дифференциально-разностные операторы с вырождением //ДАН—2009, Т. 428, № 4, — С. 450−453.

37. Попов В. А., Скубачевский A.JI. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением //Современная математка. Фундаментальные направления., М.: РУДН — 2010. 36.-С. 125−142.

38. Попов В. А., Скубачевский A.JI. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением //Современная математка. Фундаментальные направления., М.: РУДН-2011, — 39.-С. 130−140.

39. Радкевич Е. В. Гладкость решений первой краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой//УМН-24:3(147)-1969/-С. 233−234.

40. Ройтберг Я. А., Шефтель З. Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13, № 1. Р. 165−181.

41. Россовский Jl. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. заметки. 1996. — Т. 59, № 1. — С. 103−113.

42. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925;1935.

43. Скубачевский А. JI. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением // Тр. Моск. мат. об-ва. —1997. — 59. — С. 240−285.

44. Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// ДАН СССР. 1989. — Т. 307, № 2. — С. 287−291.

45. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. -1986. -Т. 129(Т. 171), № 2. -С. 279−302.

46. Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифф. ур-я. — 1990. — Т. 26. — С. 119−131.

47. Скубачевский А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифф. ур-я. 1991. — Т. 27. — С. 128−139.

48. Скубачевский А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифф. ур-я. — 1989. — Т. 25, № 1. С. 127−136.

49. Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром // Мат. сб. 1983. Т. 121 (163). № 2(6). С. 201−210.

50. Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические краевые задачи с вырождением// Дифференциальные уравнения. Т. 19, № 3, 1983,. С.457−470.

51. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы // Мат. сб. 1986. Т. 129 (171). № 2. С. 279−302.

52. Скубачевский А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 1. С. 127−136.

53. Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. т. С. 120−131.

54. Скубачевский А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 128−139.

55. Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разносного уравнения // Мат. заметки -1999. Т. 66. — № 1. — С. 145−153.

56. Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. Параболические дифференциально-разносные уравнения второго порядка// ДАН —2001. — Т. 379. — № 5. С. 735−738.

57. Скубачевский АЛ. Неклассические краевые задачи. I //Современная математка. Фундаментальные направления. М.:РУДН —2007. — 26.— С. 3−132.

58. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II //Современная математка. Фундаментальные направления. М.:РУДН —2009. — 33, — С. 3−179.

59. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград. 1917.

60. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболи-ческих уравнений второго порядка // Математика — 1963. — 7, № 6. — С. 99−121.

61. Р. В. Шамин О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Мат. сб. — том 194 — 2003 вып. 9 — С. 141−156.

62. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестн. МГУ. Сер. мат. и мех. 1982. № 6. С. 12−21.

63. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandlungen des Internat. Math. Kongr. Zurich. 1932. Bd. 1. P. 132−151.

64. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations // Ann. of Math. 1952. V. 55. P. 468−519.

65. Feller W. Diffusion processes in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. V. 77. P. 1−30.

66. Gurevich P. L. Solvability of the boundary-value problem for some differential-difference equations// Funct. Differ. Equ. — 1998. — T. 5, № 1−2. — C. 139−157.

67. Gurevich P.L. Nonlocal problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula // Mitteilungen aus dem Mathem. Seminar Giessen, Math. Inst. Univ. Giessen, Germany. 2001. Heft 247. P. 1−74.

68. Gurevich P.L. On the Green formula for nonlocal elliptic problems // Abstracts of International Conf. «Differential Equations and Related Topics» dedicated to the Centenary Anniversary of I.G. Petrovskii, Moscow, MSU. 2001. P. 159−160.

69. Krall A.M. The development of general differential and general differential-boundary systems // Rocky Mountain J. of Math. 1975. V. 5. P. 493−542.

70. Picone M. Equazione integrale traducente il piu generale problema lineare per le equazioni differenziali lineari ordinarie di qualsivoglia ordine // Academia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni. 1932. V. 15. P. 942−948.

71. Skubachevskii A.L. On the stability of index of nonlocal elliptic problems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1991. V. 160. № 2. P. 323−341.

72. Skubachevskii A. The first, boundary-value problem for strongly elliptic differential-difference equations //J. Differential Equations —1986. — 63, №. 3.-C. 332−361.

73. Skubachevskii A. Elliptic functional differential equations and applica.-tions. — Basel: Birkhaser, 1997.

74. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Rus. J. Math. Physics. 1995. — T. 3, № 3. — C. 327−360.

75. Skubachevskii A.L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics// «Nonlinear Analysis-v.32, N2, — 1998. — P.261−278.O A1.' /.

76. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodinamischen Erklarung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen // Proc. Intern. Congr. Math. (Rome, 1908). 1909. V. 3. Reale Accad. Lincei. Roma. P. 116−124.