О некоторых обратных задачах спектрального анализа

Обратными задачами спектрального анализа в самом общем смысле называются задачи восстановления оператора (или его неизвестной части) по известным спектральным характеристикам. В зависимости от типа оператора, структуры его спектра и характера исходных спектральных данных обратные задачи спектрального анализа различаются своими постановками. Наибольший интерес представляют обратные задачи, которые допускают единственное решение. В связи с этим особое значение приобретают теоремы единственности.

В настоящей диссертации рассматриваются обратные задачи двух видов: I) определение неизвестной части оператора (обыкновенного дифференциального порядка %Vd (Иг?/*,) или более общего типа) по одному спектру- 2) определение неизвестной общей части двух разных операторов (указанных выше) по их спектрам. В задачах такого вида используется относительно небольшой набор спектральных данных (один или два спектра), наиболее естественных с физической точки зрения, поэтому они могут цредставлять интерес для решения прикладных задач математической физики.

4.°. Остановимся более подробно на некоторых результатах, полученных ранее в теории обратных задач для обыкновенных дифференциальных операторов.

Один из первых результатов в этой области для дифференциальных уравнений 2-ого порядка был получен В. А. Амбарцумяном в 1929 г. в работе l~, в которой он показал, что если собственные значения краевой задачи.

О^Х^ЗГ) (0.1) Ij^OH уЧя-З-о (0.2) с непрерывным вещественным потенциалом ^(х) равны «го С},(х)==0,.

Следующий шаг в теории обратных задач для операторов Штурма.

Лиувшшя на конечном отрезке был сделан Боргом в 1946 г. в [2]. Основной результат этой работы может быть сформулирован следующим образом: собственные числа и УРавнения (0"1) при граничных условиях, + и, у '(игиНуСЮ-о (14 fit ЛЛ±-* соответственно, однозначно определяют функцию (^(х)при. даншх i Л. н. (Отметим, что Борг накладывал некоторые ограничения на. В вышеприведенной формулировке теорема была доказана Л. АЛудовым [, зЗ). Борг также показал, что потенциал C^tx), удовлетворяющей условию =, определяется однозначно спектром уравнения (0.1) при граничных условиях (0.2) или уо>= уи""0 (0.3) и что в общем случае один спектр не определяет функцию (х) однозначно. В работе [2 ] был предложен также метод построения уравнения (0.1) по двум спектрам. Однако при этом предполагалось, что существует уравнение вида (0.1) такое, что данные последовательности ij^h^fo*" его спектры.

Обратная задача для синуулярного дифференциального уравнения 2-ого порядка впервые была изучена А. Н. Тихоновым в 1949 г. в работе [43 в связи с некоторыми математическими проблемами электроразведки (см. также [б})• В работе ?43 было доказано, что если функция И (хД) является при А<0 решением задачи. где Jp (x) — кусочно-аналитическая функция, Jp (x"j3o>0), то Jp (x) однозначно определяется значениями функции R (JO-= J иСоЛ^ при А<0. Теорема единственности аналогичного типа была доказана также в ?53 •.

В 1950 г. В. А. Марченко показал, что спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля определяет этот оператор однозначно [бЗ".

Почти одновременно с работой В. А. Марченко Крейн М. Г. опубликовал серию статей [^7,83 и др., в которых, в частности, изучалась задача построения регулярного оператора Штурма-Лиувилля по двум спектрам.

В 1951 г. И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан в работе [ 9″ } указали способ построения оператора 2-го порядка по его спектральной функции, а также получили необходимые и достаточные условия для того, чтобы монотонная функция Jp (x> могла быть спектральной функцией такого оператора.

Вопросы о построении дифференциального оператора 2-ого порядка по одному и двум спектрам (регулярный и сингулярный случай) рассматривались также в работах Б. М. Левитана и М. Г. Гасымова [jEO— тез.

Отметим также ряд статей по обратным задачам спектрального аанализа для уравнений 2-го порядка, в которых доказаны теоремы единственности решения обратных задач в различных постановках (см. [17−22Л).

Работы советских математиков А. Н. Тихонова, В. А. Марченко, И. М. Гельфанда, М. Г. Гасымова, Б. М. Левитана, М. Г. Крейна, Л.Д.Фадде-ева (см. [4−16], [25−303), а также зарубежных ученых Борга [2~, Левинсона [22, 31}, Хохштадта [241, 'Холда [231 и др. позволили создать достаточно полную теорию обратныых задач спектрального анализа для оператора Штурма-Лиувилля как в регулярном, так и в нерегулярном случаях. Однако распространить эту теорию на случай дифференциальных уравнений более высоких порядков ш. всегда. у> .-удается. ':. Например, операторы преобразования вольтеррового вида, используемые при решении обратных задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка в методе Гельфанда-Левитана, не всегда существуют для операторов более высокого порядка, как было показано в работах [32−361. Однако в случае уравнений специального вида, полиномиально зависящих от спектрального параметра, такие операторы существуют С 37 J .

Одна из первых работ по теории обратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений порядка больше двух на конечном отрезке была опубликована в 1925 г. [381. В этой работе показано, что для самосопряженного выражения. 4-ого порядка один и тот же спектр может соответствовать целому семейству граничных условий, и, следовательно, в общем случае один спектр не определяет однозначно такой оператор. В работах С39−43Цдля обыкновенных дифференциальных операторов порядка больше двух, найдены различные наборы спектральных данных, которые однозначно определяют соответствующий оператор. Так, например, в ?423 показано, что для однозначного восстановления оператора W, -ого порядка достаточно задать 4 спектров).

И.Г.Хачатрян в Ц441 (см. также С45Л) рассмотрел вопрос о восстановлении комплекснозначного симметричного потенциала СрО—С^(ЗГ-х), С^(Д)€ L^C^JT), по спектру {^пЛТ* краевой задачи: (-i^^^-v^WUCX^^Cx", (0.4).

17/5. (0.5).

В этой работе найдены достаточные условия на заданную последовательность комплексных чисел {^п^Г* и такой класс функций, в котором при этих условиях существует только один потенциал fyCx}, порождающий собственные значения • Кроме того, показано, что даже при выполнении условия симметрии С^Сх) потенциал fy (ot) в общем случае спектром задачи (0.4), (0.5) не определяется однозначно.

В работе Садовничего В. А. и Дубровского В. В. [461 рассматривался случай абстрактных самосопряженных операторов, определенных в гильбертовом пространстве И" функций, заданных на множестве X и квадратично интегрируемых на X По MepeJ4.

Предполагалось, что самосопряженный оператор ^ с простым дискретным спектром возмущается ограниченным самосопряженным оператором J?, который реализуется как оператор умножения на функцию рСзс) и не меняет дискретности и простоты спектра. В (46} рассматривался вопрос об определении |р (х) по спектру оператора. Авторы [463 нашли такой класс функций, в котором решение этой обратной задачи (в предположении, что оно существует), единственно.

В [47] доказан ряд теорем единственности для операторов, порожденных обыкновенным несамосопряженным дифференциальным выражением произвольного порядка на конечном отрезке и неразделенными граничными условиями общего вида. В [48] показано, что коэффициенты самосопряженного дифференциального выражения четвертого порядка, удовлетворяющие некоторым условиям симметрии, однозначно определяются по спектрам двух краевых задач, порожденных этим выражением на конечном отрезке, и разными наборами краевых условий (теорема единственности).

Из работ зарубежных математиков, посвященных обратным задачам для уравнения четвертого порядка с дискретным спектром, отметим работы [49−553, в которых в качестве исходной информации использованы различные наборы спектральных данных (спектр и нормировочные числа, три спектра и т. д.).

2Л Перейдем теперь к более точной постановке задач, которые рассматриваются в диссертации, и формулировке результатов.

Диссертация состоит из введения, глав I, П и дополнения к главе П. Основные результаты диссертации изложены в главе П и дополнении к ней. Глава I носит вспомогательный характер.

1. Чудов Л.A., Обратная задача Штурма-Лиувилля, Математ. сб., 1949, т. 25(67), 1Ь 3, 451−454.

2. Тихонов А. Н., О единственности решения задачи электроразведки, Докл. АН СССР, 1949, т. 69, 1^ 6, 797−600.

3. Тихонов А. Н, К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований, Журнал вычислит, математики и математ. физики, 1965, т. 5, Jg 3, 545−547.

4. Марченко В. А, Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка, Докл. АН СССР, 1950, т. 72, Ш 3, 457−460.

5. Крейн М. Г., Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля, Докл. АН СССР, I95I, т. 76, Jg I, 21−24.

6. Крейн М. Г., Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи. Докл. АН СССР, 1954, т. 94, В 6, 987−990.

7. Гельфанд М. М., Левитан Б. М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции, Изв. АН СССР, сер. ма-тем., I95I, т. 15, J^ 4, 309−360.

8. Левитан Б. М., Об определении дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля по двум спектрам, Докл. АН СССР, 1963, т. 150, Ш 3, 474−476.

9. Гасымов М. Г., Об обратной задаче для уравнения Штурма-Лиувил- - ля, Докл. АН СССР, 1964, т. 154, .й 2, 254−257.

10. Левитан Б. М., Гасымов М. Г., Определение дифференциального уравнения по двум спектрам, Успехи мат. наук, 1964, т. 19(116), вып. 2, 3−63.

11. Левитан Б. М., Об определении оператора Штурма-Лиувилля по одному и двум спектрам, Изв. АН СССР, сер. мат., 1978, т.42, Ш I, 185−199.

12. Гасымов М. Г., Определение уравнения Штурма-Лиувилля с особенностью по двум спектрам. Докл. АН СССР, 1965, т.161, Ш 2, 274−276.

13. Садовничий В. А., Е^цинственность решения обратной задачи для уравнения второго порядка с нераспадающимися краевыми условиями, Вестник? ЛГУ, сер. матем., 1974, В I, I43-I5I.

14. Садовничий В. А., Теорема единственности решения обратной задачи спектрального анализа в случае дифференциального уравнения с периодическими граштчными условиями, Дифф. уравн., 1973, т. 9, JJ^ 2, 271−277.

15. Юрко В. А., Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями, Матем. зам., 1975, т. 18, Ш 4, 569−576.

16. Карасева Т. М., Об обратной задаче Штурма-Лиувилля для неэрми- -109-това оператора, Матем. сб., 1953, т. 32(74), В 2, 477−483. 22. &trtn-4Gftt^ ^ .% Сткме Siwim-йтляШ ^" w^iriyJloifi.

17. ЖМ О.Ж. Vk imviu Зишп-йоитШ оМип ш1к 24. 'ЙосМаобб %. ,№ inmhu. Siumi-iLmmtk i^^i^y Стип. Oft рал£. OUi-d CUbbUti tXl (Xi:li., 19?5,tr.^(«fJ⁵/6,-/5-:f25.

18. Тихонов А. Н, Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т. 39, J,^ 5, 195−198.

19. Алимов Ш. А., О работах А. Н. Тихонова по обратным задачам для уравнения Штурма-Лиувилля, Успехи мат. наук, 1976, т. 31, в.6, (192), 84−88.

20. Фадеев Л. Д, Обратная задача квантовой теории рассеяния, в сб.: «Современные проблемы математики», т. З, ВИНИТИ (Итоги науки и техники), М., 1974, 93−180.

21. Марченко Б. А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, К, «Наукова дугжа», 1977, 331.

22. Фадеев Л. Д, Обратная задача квантовой теории рассеяния. Успехи матем. наук, 1959, т. 14, в.4, 57−119.

23. Агранович З. С., Марченко В. А., Обратная задача теорий рассеяния,!., Из д-во ХГУ, 1960. 31. isivimm^df- (кьШ ап1шатш> &^ Шboimicd ша Til. Sibk.dM.-<^-i^- a?(iol., 4949, гб', Mo9,' 2.9.

24. Сахнович Л. А., Об ббратной задаче для уравнения четвертого порядка, Матем. сб., 1962, т.56(98), в.2, 137−146.

25. Сахнович Л. А., Метод оператора преобразования для уравнений высших поря. цков, Матем. сб., 1961, т.55(97), в. З, 347−360. -но26. Сахнович Л. А, Обратная задача для дифференциальных операторов поря,.]-ка гит^ с аналитическими коэффициентами, Матем, сб., 1958, т. 46(88), 61−67.

27. Сахнович Л. А., Необходимые условия наличия оператора преобразования для уравнения четвертого поря, цка, Успехи мат. наук, 1961, т. 16, AS 5, 199−205.

28. Мацаев В. И., О существовании оператора преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков, Докл. АН СССР, I960, т. 130, J& 3, 499−502.

29. Гасымов М. Г, Маггеррамов A.M., О существовннии операторов преобразования для дифференциальных уравнений высокого порядка, полиномиально зависящих от параметра. Докл. АН СССР, 1977, т. 235, Яз 2, 259−262.

30. Ч) ож^ %. С, Ли %осклйШ1 9(Ш ыМиуь е| ih %1аШс Воя, кАт&АХл ЛоутпJicdk-, i^^5, цц, i o i — u a.

31. Лейбензон З. Л., Спектральные разложения отображений систем краевых задач. Труды Московск. мат. об-ва, I97I, т.25,15−58.

32. Лейбензон З. Л., ^^цинственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка ЦУ 2 и преобразования таких операторов, Докл. АН СССР, 1962, т.142, Ш 3, 534−537.

33. Лейбензон З. Л., Обратная за. цача спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков, Труды Московс. дгатем. об-ва, 1966, т. 15, 70−144.

34. Баранова Е. А., О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков по системе их спектров, Докл. АН СССР, т.205, Ш 6, 1972, I27I-I273.

35. Страхов В, А., О некоторых вопросах теории обратных задач для дифференциальных операторов, Матем. зам., 1977, т.21, В 2, -Ill-I5I-I60.

36. Хачатрян И. Г., О восстановяении дифференциального уравнения по спектру, Препринт II 73, М., ШЁЛ Ш СССР.

37. Хачатрян И. Г., О восстановлении дифференциального уравнения по спектру, Функц. анал. и его прилож., 1976, т. 10, в.1, 93−94.

38. Садовничий В. А., Дубровский Б. В., О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром, Диф. уравн., 1979, т.15, В 7, I206-I2II.

39. Кангужин Б. Е., Некоторые вопросы теории обратных задач. Диссертация к.ф.-м.н., М., 1982.

40. Юрко В. А, О восстановлении дифференциальных операторов четвертого порядка, Диф.уравн., 1983, т. 19, В II, 20I0−20I2. 49. 1Уa^oKolon, Он Ш^luiim в| inbw>t Ш^ьоЛмл ргеЙет^.

41. IK Ъ (ХШЬ)У1. Oft ihx U/fti^ltHtM Q| LnWAt U (pl'b (Uwi эХдШШ^.

42. Ч. dit^LYim, Oft ifte. iaivud ITLkatccm. е (Cmiical УЬаи,.

44. Маркус A. С, Мацаев В. И., Об асимптотике спектра операторов, близких к нормальным, Функц. анализ и его прилож., 1973, т.13, в. 3, 93−94.

45. Маркус А. С, Мацаев В. И., Теоремы рравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики. Труды Моск.мат.об-ва, 1982, т. 45, I3I-I8IC.

46. Костюченко А. Г., Саргсян И. Г., Распределение собственных значений. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы, М., Наука, 1979, 400?.

47. Бирман М. Ш., Сологляк М. З., Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. Итоги науки и техники. Сер.: математический анализ, ВИНИТИ, 1977, т. 14, 5−58.

49. Садовничий В, A., Дубровский В. В., Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формуле регуляризованных следов и о дзета-функции операторов, Диф. уравн., I977, T. I3,JS7,I264-I27I.

50. Данфорд Н., Шварц Д Е. Т., Линейные операторы, т. 3, М., Мир, 1974, 661с.

51. Садовничий В. А., Дубровский В. В., О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов. Формулы следовиз-для дифференциальных операторов в частных производных, Диф. уравн., 1977, т.13, 3 II, 2033;2042.

52. Като Т., Теория возмущений линейных операторов, М., «Мир», 1972, 7401.

53. Рисе. Р., СекефальБИ-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, М., «Ivfep», 1979, 587 л.

54. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, М.," Наука", 1969, 526 ?.

55. Сахнович Л. А, Асимптотика спектра ангармонического осцилля- • тора, Теорет и матем. физ., I98I, T.47,JJ3 2, 266−276.

56. Муртазин Х. Х., Амангильдин Т. Т., Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля, Матем сб., 1979, т. ПО, М, 135−149. 69. 5loo (?ia ^ %.•&- Sokzuna^шпиМ di CkMtijid ,"^ £лг. mU-topctm^.'','(960, U). тх-ъ, '^H-XL.

57. Градштейн И. О., Рыжик И. М, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М., Физматгиз, 1963, НООс,.

58. Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементыы функционального анализа, М., ГИТТЛ, I95I, 360с.

59. Станкевич М. И., Об одной обратной задаче спектрального анаш^- за для обыкновенного дифференциального оператора четного порядка, Вестник МГУ, серия: мат., мех, I98I, I 4, 24−28.

60. Станкевич М. И., Восстановление операторов некоторого класса по одному и двум спектрам, Вестн. МГУ, серия: мат., мех., 1984, |й 5,15-^7.

61. Станкевич М. И., Восстановление обыкновенного дифференциального уравнения 2яого порядка по двум спектрам, Диф.уравн., 1984, т.20, В 5, 895−897.