Волновые уравнения и поля на группе де Ситтера

Как известно, в течении последних двадцати лет пространства де Ситтера и анти-де Ситтера различных размерностей оказались в центре внимания всей теоретической физики высоких энергий. В первую очередь это связано с соответствием между супергравитацией в пятимерном пространстве анти-де Ситтера и Лг = 4 суперсимметричной теорией поля в четырех измерениях. Пространство анти-де Ситтера оказалось наиболее подходящим многообразием, на котором получены непертурбативные результаты в теории суперструн и на котором естественным образом строится теория полей высших спинов. В свою очередь, пространство де Ситтера тесно связано с проблемами современной космологии, являясь по сути теоретической базой инфляционной космологии. С другой с гороны, пространство-время де Ситтера М. само по себе и квантовая теория поля на этом многообразии является предметом интенсивного исследования главным образом в связи с задачей построения квантовой теории гравитации в искривленных пространствах [196, 111, 76, 133, 107, 145, 92]. Пространство-время понимается как четырехмерный гиперболоид Н4, наделенный глобальной топологией постоянной отрицательной кривизны и вложенный в объемлющее пятимерное пространство IR1,4 (пространство де Ситтера). Как известно, гиперболоид Н4 является однородным пространством группы де Ситтера SOo (l, 4), являющейся группой вращений пространства R1'4. В связи с построением квантовой теории поля на М.4 = НА естественным образом возникает задача определения физических полей в терминах функций представлений класса 1 на однородном пространстве Нл группы SOo (l, 4), т. е. задача определения волновой функции как поля на группе де Ситтера. Аналогичная задача для трехмерного гиперболоида Н3 и других однородных пространств группы Пуанкаре была поставлена и частично решена в работах [139, 187, 87, 203, 176, 88, 177, 236, 149] главным образом в связи с объединением пространственно-временных и внутренних симметрий элементарных частиц. Как известно, одним из методов решения данной проблемы является поиск некоторой объединяющей группы, которая включала бы в себя группу Пуанкаре V и группу (или группы) внутренних симметрий (SU (2). SU (3) и т. д.) как подгруппы [94]. Однако в этом подходе неясен физический смысл объединяющей группы. Наиболее естественный путь решения данной проблемы был предложен в работе [140], где было показано, что модели элементарных частиц с внутренними степенями свободы могут быть описаны на многообразиях большей размерности, чем пространство-время Минковского (однородные пространства группы Пуанкаре). Квантовополевые теории на группе Пуанкаре исследовались в целом ряде работ на протяжении сорока лет (191, 180, 103, 83, 185, 241, 192, 135, 150, 155). Рас-смо i рение полевых моделей на однородных пространствах естественным образом приводит к обобщению понятия волновой функции (поля на группе Пуанкаре). Общий вид этих полей тесно связан со структурой представлений групп Лоренца и Пуанкаре [33, 52, 98, 150] и допускает следующую факторизацию: f (x, z) = фп (х)фп (х), где х € Т, (подгруппа трансляций), а функции фп{z) образуют базис пространства представления группы Лоренца. При этом четыре параметра xtl задают позицию то-чечноподобного объекта, в то время как остальные гпесть параметров z? Spinf (l, 3) определяют ориентацию в квантовом описании ориентированного (протяженного) объекта [152, 153]. К необходимости введения протяженных объектов в квантовой теории поля приводит рассмотрение вопросов теории измерений. Как известно, петлевые расходимости функций Грина квантовой теории поля берут свое начало от сопоставления этих функций неизмеримым и, следовательно, нефизическим точечноподобным величинам. Никакая физическая величина не может быть измерена в точке, но можег быть измерена в некоторой области, размер которой ограничен разрешением измерительною оборудования [79]. Учет разрешения измерительного оборудования естественным образом приводит к рассмотрению физической величины как протяженного объекта, функция которого описывается полем 'ф (а) = {х, дф) на однородном пространстве некоторой группы, где х? Т&bdquo-, д G Spin+(p, g), п = p + q. Так, в 90-х гг. Сигал доказал сходимость квантовой 'теории поля, в частности квантовой электродинамики, на однородном пространстве R1 х S3 конформной группы [226, 227], где 5″ 3 — трехмерная вещественная сфера. В настоящей работе поля, волновые уравнения и квантовая теория ноля строятся на группе де Ситтера, поскольку, гхо всей видимости, пространство де Ситтера точнее всего описывает геометрию реального мира [50].

Более того, эти поля (обобщенные волновые функции) были введены независимо несколькими авторами [35, 91, 268, 71] главным образом в связи с построением релятивистских волновых уравнении (так называемое Z-описание релятивис гского спина [150]). Как известно, волновая функция является решением релятивистского волнового уравнения. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений на однородных пространствах группы де Сшптера, решениями которых являются обобщенные волновые функции, зависящие от параметров группы де Ситтера SOo (l, 4).

Как известно, дискретные симметрии играют фундаментальную роль в стандартной квантовой теории поля в пространстве-времени Минковского. Однако исторически сложившаяся практика определения дискретных симметрий из анализа релятивистки-пнвариантных уравнений не дает возможности построения полной и последовательной теории дискретных преобразований, прежде всего, на пространствах представлений группы Лоренца и соответственно группы Пуанкаре. В рамках стандартного подхода, исключая хорошо изученный случай спина j = ½ (уравнение Дирака), остается совершенно неясной ситуация с определением дискретных симметрии для полей с высшим спином j > ½. Данная ситуация, безусловно, является свидетельством отсутствия полностью удовлетворительного формализма для описания полей с высшим спином (ни подход Рариты-Швингера [209], ни подход Баргмана-Вигнера [91], ни формализм Вайнберга [264] не свободны полностью от внутренних противоречий и трудностей, таких как нефизический спектр масс, непричинное распространение при включении взаимодействия, потеря гиперболичности и т. д.). Более того, Ли и Вик [183] утверждают, что «ситуация совершенно неудовлетворительна с фундаментальной точки зрения». Первая попытка выхода из создавшейся ситуации (к сожалению, оставленная физиками без должного внимания) была предпринята Гельфандом, Мин-лосом и Шапиро [33]. В подходе Гельфанда-Минлоса-Шаниро дискретные симметрии представляются внешними инволютивными автоморфизмами группы Лоренца и определяются на пространствах всех конечномерных представлений этой группы. Существуют также другие реализации дискретных симметрий посредством внешних автоморфизмов (см. [195, 180, 64]). В последнее время идеи Гельфанда-Минлоса-Шапиро получили развитие в работах Бухбиндера, Гитмана и Шелепина [108, 149], где дискретные симметрии, представляемые как внешними, так и внутренними автоморфизмами, распространяются на пространства представлений группы Пуанкаре. 3.

Главной целью диссертационного исследования является построение квантовопо-левой теории на однородных просгране гвах группы де Ситтера. В соответствии с основной целью следует выделить девять целевых задач.

Во-первых, следует описать и классифицировать однородные пространства группы 80о (1,4) с точностью до подгрупп 8О0(1,3) (группа Лоренца), БО (4) (максимальная компактная подгруппа группы 80о (1,4)) и 811(2), 811(1,1). Эта задача решается в первой главе посредством определения всех однородных пространств вида Л4 — 80о (1,4)/Н, где Н 6 80о (1,4) — так называемый стабилизатор точки (стационарная подгруппа). Дается список однородных пространств группы 8О0(1,4), включающий симметрические римаиовы и неримановы пространства. Аналогичное рассмотрение проводится для важного класса однородных пространств М. = 8О0(1,3)/Я и М. — БО (4:)/Н, соответствующих подгруппам 8О0(1,3) и 80(4).

Во-вторых, следует дать явный вид функциям, которые определяются на однородных пространствах группы де Ситтера, в терминах сферических функций представлений класса 1 относительно стабилизатора Н. Эта задача решается во второй главе. В данном случае исходным пунктом исследования является аналогия между универсальными накрытиями групп Лоренца и де Ситтера, которая была впервые установлена Такахаши [234] (см. также работу Штрема [233]), а именно: универсальным накрытием группы 80о (1,4) является 8рт+(1,4) ~ 8р (1,1) и спинорная группа 8рт+(1,4) описывается в терминах 2×2 кватернионных матриц. С другой стороны, универсальным накрытием группы Лоренца 80о (1,3) является 8рт+(1,3) ~ 8Ь (2,С), где спинорная группа 8рт+(1,3) описывается в терминах 2×2 комплексных матриц. Эта аналогия позволяет применить (с некоторыми ограничениями) теорию представлений группы Лоренца [33, 51] к группе 80о (1,4). Приводится дальнейшее развитие аналогии Такахаши Штрема (кватернионное описание группы 8О0(1,4)). Показывается, что для группы 8рт+(1,4) ~ Эр (1,1) имеются кватернионные углы Эйлера, которые содержат комплексные углы Эйлера группы 8рт+(1,3) ~ 8Ь (2, С) как частный случай. Дифференциальные операторы (операторы Казимира и Лапласа-Бельтрами) определяются на группе 8р (1,1) в терминах кватерниоииых углов Эйлера. Сферические функции на группе 80о (1,4) понимаются как функции представлении класса 1, реализуемых на однородных пространствах группы 80о (1,4). Сферические функции на группе Лоренца 80о (1,3) изучаются в п. 2.1 как для конечномерных, так и 4 бесконечномерных представлений [254, 242, 247, 21, 17]. Сферические функции на группе 80(4) изучаются в п. 2.2. Показывается, что для универсального накрытия 8рт (4) ~ 811(2) 0 811(2) группы 80(4) существуют двойные углы Эйлера [256]. Следует отметить, что все гиперкомплексные расширения (комплексные, двойные, ква-тернионные) обычных (вещественных) углов Эйлера группы 811(2) прямо следует из алгебраической структуры спинорных групп Эрт +(р, д), которая описывается в рамках алгебр Клиффорда С1Т>Л [246] (в приложении, А дана подробная классификация групп Ярт +(р, 2.3.3. Переходя к неоднородной группе де Ситтера 0о (1,4) = 80о (1,4) ©-Т5, где Т5 — группа пятимерных трансляций, следует рассматривать поля на более широких однородных пространствах, являющихся прямыми произведениями пространства К1'4 и однородных пространств группы 80о (1−4). Поля на таких многообразиях определены в п. 2.4. Развитый во второй' главе формализм позволяет определить поле ф (ос) — (ж, ц ф) на группе де Ситтера, где параметры х е Тъ задают позицию, а я 6 8рт+(1,4) ~ 8р (1,1) — ориентацию протяженного объекта. Как известно, в стандартной квантовой теории поля полевые операторы определяются посредством интеграла Фурье от функции, которая, в общем случае, является решением некоторого релятивистского волнового уравнения. Этот интеграл является интегралом Фурье на группе четырехмерных трансляций, Т4. С другой стороны, гармонический анализ на группах представляет собой обобщение обычного Фурье-анализа, т. е. разложения функции по системе тригонометрических функций. С этой позиции обычный Фурье-анализ следует рассматривать как 5 гармонический анализ на группе SO (2). Аналогичная задача разложения квадратично интегрируемой функции /(q) по системе гиперсферических функции (базисных функций неприводимого представления группы SOo (l, 4)) рассматривается в п. 2.4.1. В п. 2.5 рассматривается внутреннее произведение над однородной группой де Сит-тера SOo (l, 4). Ключевым моментом в исследовании сходимости группового усреднения является метод определения матричных элементов представлений U (g) группы SOo (l, 4) посредством теоремы сложения для обобщенных сферических функций, развитый в работах [256, 23, 258]. Главным преимуществом данного способа определения матричных элементов является явная факторизация матричного элемента (согласно разложению Картана) относительно подгрупп, входящих в исходную группу. Так, для группы SOo (l, 4) матричные элементы могут быть факторизованы как относительно SO (4) (максимальная компактная подгруппа), так и относительно SOo (l, 3) (группа Лоренца). Данная факторизация позволяет разделить переменные в интеграле, задающем групповое усреднение для внутреннего произведения, т. е. вычислить отдельно интегралы по компактным и некомпактным подгруппам. В качестве примера вычисляется внутреннее произведение для iV-частимного случая. Показывается, чго сходимость внутреннего произведения определяется асимптотическим поведением гипергеометрических функций [25]. Приводится подробное вычисление внутреннего произведения для 2-частичного случая над четырехмерным гиперболоидом. .

В-третьих, рассмотрение полей на группе де Ситтера в терминах обобщенных волновых функций естественным образом приводит к задаче построения волновых уравнений на однородных пространствах этой группы. Эта задача решается в третьей главе. В п. 3.1 строится лагранжев формализм и волновые уравнения на 15-мерном групповом многообразии Мъ = IR1'4 хбщ неоднородной группы де Ситтера О0(1,4). Варьирование диракоподобного лагранжиана приводит к двум системам волновых уравнений: иятипараметрической системы, зависящей от параметров подгруппы трансляций Т5, и 10-параметрической системы уравнений, зависящей, в свою очередь, от 10 параметров однородной группы SOq (1,4). Далее эта система рассматривается на подмногообразии М.8 = M^xS^, где Sc — двумерная комплексная сфера. В п. 3.2 ставится краевая задача для сферы Эта задача является естественным обобщением классической краевой задачи Дирихле для шара [48]. Решения волновых уравнений ищутся в виде рядов по присоединенным гиперсферическим функциям, которые определяются на сфере т. е. па поверхности комплексного шара [243, 18, 244, 248]. Как известно, комплексный шар изометричен шестимерному бивекторному пространству Е6, т. е. пространству параметров однородной группы Лоренца 80о (1,3) (о связи между спинорными группами и бивекторными пространствами см. п. А.5.1). Найденные решения описывают поля вида (?, 0) © (0. /), где I — вес неприводимого конечномерного представления, который в согласии с интерпретацией Внгнера [265, 266] задает снин частицы. Определяются волновые уравнения для бесконечномерных представлений. В п. 3.3 и п. 3.4 рассматриваются важные частные случаи, соответствующие полям (½, 0) Ф (0,½) и (1.0) © (0,1), так называемые поля Дирака и Максвелла [249, 250, 19, 20, 253]. Решение для поля Максвелла находится в представлении Римана-Зильберштейна [263, 226, 96], которое, в свою очередь, естественным образом приводит к квантовой электродинамике Майораны-Оппенгеймера [190, 204, 197, 127, 148, 169, 22 Т, 147, 135, 255]. При этом безмассовое поле (1,0)© (0,1) рассматривается в рамках унитарного бесконечномерного представления группы Лоренца. В согласии с теоремой Наймарка [51] представление подгруппы 8и (2) содержится в представлении &-, р главной серии представлений группы ЗОо (1,3) не более чем один раз. Таким образом, фотонное поле представляется бесконечномерным представлением бл. р, в которое погружено конечномерное представление (1,0) © (0,1). Далее, в связи с задачами квантования свободных полей Дирака и Максвелла возникает более общая задача определения метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Снттера. Эта задача решается в п. 3.4. Как известно, фундаментальной проблемой квантовой теории поля является проблема расходимостей интегралов Фейнмана. Как уже отмечалось выше, это следует из сопоставления функций Грина точечноподобным объектам. В рассматриваемой квантовой электродинамике обобщенные волновые функции, соответствующие протяженным (ориентированным) объектам, задаются полями на однородных пространствах группы де Ситгера. В п. 3.5 рассматривается взаимодействие между полями Дирака и Максвелла на однородном пространстве А4%- Вводится аналог формулы Дайсона для ¿-¡-'-матрицы на пространстве Показывается, что элементы ¿-" -матрицы задаются сходящимися выражениями (аналогами интегралов Фейнмана на М.%). Ограничение неоднородной группы де Ситтера до аффинной подгруппы позволяет определить вейвлет-нреобразование 7 для обобщенных волновых функций. Связь с вейвлетами и когерентными состояниями Клаудера-Баргмана-Сигала открывает широкое поле для приложений развитой в предыдущих главах теории в таких областях как физика фазовых переходов, ре-нормализационная группа и критические явления, стохастическая динамика и т. д. [26, ?, ?, ?, ?].

В-четвертых, поля вида (1,0) ® (0,1) являются частными случаями более общих’полей (¿-ьУ © Ь) у которые описываются в рамках тензорных представлений группы 80о (1,3). Эти поля соответствуют произвольным спиновым цепочкам, включающим в себя схемы зацеплений Бабы-Гельфанда-Яглома как частный случай. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений для полей вида (/^/г) © (/о, /1) и нахождения их решений. Эта задача решается в п. 3.5-п. 3.8. Решения ищутся в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям, которые определяются на поверхности комплексного шара [257].

В-пятых, как уже отмечалось выше, дискретные симметрии обобщенных волновых функций ^{(у) = (ж, д ф) следует рассматривать в терминах инволютивных автоморфизмов подгруппы вращений Эрт +(р, в рамках которой задается ориентация протяженного объекта. Другим альтернативным подходом является алгебраическая схема описания дискретных симметрий, предложенная автором в [237, 239, 12, 16, 14, 241, 245, 246] и рассматриваемая в настоящей диссертации, где дискретные симметрии представляются фундаментальными автоморфизмами алгебр Клиффорда, в частности, автоморфизмами алгебры Клиффорда, ассоциированной с универсальной накрывающей собственной группы Лоренца 8рт+(1,3) ~ 8и (2)<8>8и (2). Так, инверсии пространства Р соответствует автоморфизм Л —> Л* (инволюция), обращению времени Т — антиавтоморфизм Л —> Л (реверсия), а комбинации РТ — антиавтоморфизм, А —> Л*, где Л — произвольный элемент алгебры Клиффорда (X. Элементам конечной группы, образованной дискретными преобразованиями, сопоставлены фундаментальные автоморфизмы алгебр Клиффорда. В свою очередь, множество фундаментальных автоморфизмов дополненное тождественным автоморфизмом, образует конечную группу Аи1(С?), для которой в силу теоремы Веддербарна-Артина существует матричное представление. Центральную роль играет изоморфизм {1,Р, Т, РТ} ~ АиЬ (СЕ). Как известно, другой важной дискретной симметрией является зарядовое сопряжение.

С. В отличие от преобразованийР, Т, РТ операция С не является пространственно-временной дискретной симметрией. Это преобразование впервые появляется на пространствах представлений группы Лоренца и его природа существенным образом отличается от природы остальных дискретных симметрий. По этой причине в данной работе зарядовое сопряжение представляется псевдоавтоморфизмом, А —> А, который не является фундаментальным автоморфизмом алгебры Клиффорда СЛ. Все сгпшор-пые представления псевдоавтоморфизма, А —> А приведены в п. 4.1.

Введение

преобразования, А —> А позволяет расширить группу автоморфизмов Аи1,(С?) алгебры С£. В п. 4.2 показывается, что автоморфизмы, А —> А*, А —" А, А —> А*, А —> А, А А*, А, А и, А —> А* образуют конечную группу восьмого порядка (расширенная группа автоморфизмов Ех^СГ) = {Ы,*, Группа Ех^С?) является генерирующей группой полной СРТ группы {±1, ±-Р, ±-Т, ±-РТ, ±-С, ±-СР, ±-СТ, ±-СРТ}. В п. 4.3-п. 4.5 находятся спинорные представления преобразований, А —> А*, А —А и, А —> А*, соответственно.

В-шестых, в связи с определением группы Ех1-(С?) возникает задача изучения ее групповой структуры. Эта задача решается в п. 4.7. Показывается, что существуют 64 различные реализации группы Ех1-(С?). Устанавливается связь групп ЕхЬ (С?) с экстраспециальными конечными группами.

В-седьмых, как, известно, ортогональная группа О (р, д) вещественного пространства Шр,(1 представляется полупрямым произведением 0(р, д) ~ Оо (/-, д) © {1, Р, Т, РТ}. В свою очередь, универсальным накрытием группы 0(р, д) является группа Клиффорда-Липшица Рш (р, .

В-восьмых, развитый метод позволяет изучать дискретные симметрии и их групповые структуры для физических полей без обращения к анализу релятивистских 9 волновых уравнений. Первой задачей, естественным образом возникающей в данном контексте, является исследование СРТ группы для спинорного поля в пространстве де Ситтера [251, 252]. Эта задача решается в п. 4.8. СРТ группы рассматриваются в пространствах М4'1 и М1'4 с взаимно обратными сигнатурами (+,+,+,+,—) и (—,—,—,—,+), соответственно. Различие сигнатур индуцирует различие алгебр, ассоциированных с этими пространствами. Так, для алгебры С^д, ассоциированной с пространством К4'1, имеет место изоморфизм 0?4д ~ С4, где С4 — алгебра Дирака, а для алгебры С£ 1,4, ассоциированной с пространством М1'4, справедливо разложение — СО. 1, з © гДе 1,3 алгебра пространства-времени Минковского. В п. 4.8.3 изучается СРТ группа и универсальное накрытие для полной группы де Ситтера 0(4,1). Та же задача исследуется в п. 4.8.4 для группы 0(1,4) в пространстве М1'4. Показывается, что обе СРТ группы изоморфны друг другу. В свою очередь, для алгебры ОДд существует гомоморфное отображение е —" где еС2^ — С^з/Кеге — фактор-алгебра, Кеге — ядро гомоморфизма е. При отображении с СРТ группа исходной алгебры редуцируется на одну из своих подгрупп. Дискретные симметрии на фактор-представлениях алгебры ассоциированной с пространством М1,4, изучаются в п. 4.8.5.

В-девятых, развитый метод позволяет изучать дискретные симметрии и их групповые структуры для физических полей без обращения к анализу релятивистских волновых уравнений. Первой задачей, естественным образом возникающей в данном контексте, является исследование СРТ группы для спинорного поля в пространстве де Ситтера [251, 252], а также построение СРТ групп для полей произвольного сгшна.

Определение полной системы представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца, каждое представление которой ассоциировано с соответствующей алгеброй Клиффорда, позволяет применить на этой системе периодичность Атьи-Ботта-Шапиро. В п. 4.10 показывается, что в случае комплексных представлений действие супергруппы Брауэра-Уолла, связанной с периодичностью, но модулю 2 комплексных алгебр Клиффорда, эквивалентно суперсимметрии, т. е. это действие переводит фермионы в бозоны и обратно. В случае вещественных представлений имеет место более высокоградуированная периодичность по модулю 8, а связанная с ней супергруппа Брауэра-Уолла приводит к новой симметрии, ранее неизвестной в физике частиц, теоретическое предсказание которой является центральным пунктом четвертой главы.

Теоретическая и методологическая основа диссертации состоит из трех блоков: теория представлений групп и специальные функции, теория релятивистских волновых уравнений и теория алгебр Клиффорда. Методы теории представлений групп и теории специальных функций использовались автором в первых двух главах при исследовании матричных элементов представлений группы де Ситтера и ее подгрупп. Наибольшее влияние на это исследование оказали методы, изложенные в основополагающих работах Виленкина и Климыка [28, 29, 260, 45, 46, 173]. Следует также отметить работы Миллера и Талмана по теории специальных функций [198, 235]. К этому кругу вопросов естественным образом примыкают задачи гармонического анализа на однородных пространствах [50, 229, 224, 42, 43, 215, 262]. Методы теории релятивистских волновых уравнений использовались автором в третьей главе при исследовании волновых уравнений на однородных пространствах. Теоретическая и методологическая основа третьей главы опирается главным образом на методы, развитые в работах Гельфанда, Яглома, Минлоса и Наймарка [31, 33, 51] но теории релятивистски-инвариантных уравнений. Следует отметить, что первым «волновым» уравнением на однородном пространстве было рассмотренное авторами книги [33] уравнение, инвариантное относительно группы трехмерных вращений, решения которого искались в виде ряда по присоединенным сферическим функциям на поверхности двумерной вещественной сферы (однородное пространство группы SU (2)). Следует отметить также работы Багрова и Гитмана [89] по поиску точных решений релятивистских волновых уравнений. Методы теории алгебр Клиффорда используются в четвертой главе, а также в приложении, А [155, 156]. Теоретическая и методологическая основа этих разделов опирается на работы Рашевского [58, 59], в которых впервые было дано глубокое и систематическое изложение теории автоморфизмов алгебр Клиффорда. К теоретическим основам четвертой главы следует отнести работы Широкова [72, 73] и Дабровского [126] по групповой структуре дискретных преобразований, а также работы Салингароса и Брадепа по теории экстрасиециальных конечных групп [219, 104]. Общий математический фундамент четвертой главы и приложения составляют монографии Шевалле [118], Портеуса [206, 207], Будинича и Траутмана [110], Крюмей-ролля [122] и Лоунесто [186].

По мнению автора научная новизна полученных результатов состоит в следующем.

• Определение матричных элементов и сферических функций представлений групп 80о (1,3), 80(4), Э0о (1,4) посредством гиперкомплексных углов спи-норных групп 8рш+(1,3) ~ ЭЬ (2, С), 8рт (4) ~ 8и (2) <8) 811(2), врт+(1,4) ~ 8р (1,1) и теоремы сложения обобщенных сферических функций.

• Исследование сходимости внутренних произведений ДГ-частичных состояний квантовой системы в терминах гиперсферических функций.

• Построение обобщенных волновых функций и волновых уравнений для полей вида (/, 0) © (0,1) на однородных пространствах групп 8О0(1,4), О0(1,4) = 80о (1,4) 0Т5 и нахождение их решений в виде рядов по присоединенным гиперсферическим функциям, определенным на поверхности комплексного шара.

• Определение метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера.

• Построение аналога квантовой электродинамики на однородном пространстве.

М8.

• Построение волновых уравнений для произвольных спиновых цепочек, т. е. для полей вида (?1, ?2) © (?2, к), на однородных пространствах групп 8О0(1,4), Оо (1,4) и нахождение их решений в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям.

• Представление базовых дискретных симметрий квантовой теории поля, таких как инверсия пространства Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С инволютивными автоморфизмами алгебр Клиффорда.

• Исследование групповой структуры дискретных преобразований методами теории алгебр Клиффорда.

• Определение СРТ групп для полей произвольного спина и расширение универсальных накрывающих ортогональных групп.

• Предсказание циклических зависимостей по модулю 8 в физике частиц, определяемых действием супергруппы Врауэра-Уолла на системе представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца.

• Определение СРТ структур на фактор-представлениях спинорных групп.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной конференции «Квантовая теория поля и гравитация» (Томский педагогический университет, Томск, 5−9 июля 2010 г.), на международной Боголюбовской конференции «Проблемы теоретической и математической физики» (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 21−27 августа 2009 г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томский государственный университе т, Томск, 22−25 сентября 2008 г.), на шестой сибирской конференции «Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем» (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 15−21 июля 2007 г.), на международной конференции 'Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28 мая — 2 июня 2007 г.), на второй международной конференции «Суперинте-грируемые системы в классической и квантовой механике» (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 27 июня — 1 июля 2005 г.), на семинаре «Симметрии и интегрируемые системы» (Объединенный, институт ядерных исследований, Дубна, 15 октября 2004 г., руководитель семинара А. Н. Сисакян), на пятой сибирской конференции «Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем» (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 14−20 июня 2004 г.), на четвертой сибирской конференции «Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем» (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28−31 июля 2002 г.), на IV Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 1−4 декабря 2001 г.), на межотраслевой научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 17−18 ноября 2000 г.), на межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса» (Анжеро-Судженский филиал Кемеровского государственного университета, Анжеро-Судженск, 18 ноября 2000 г.). на третьей сибирской конференции «Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем» (Институт математики СО РАН, Новосибирск. 20−22 июня 2000 г.), на международной конференции «Геометрия и приложения» (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13−16 марта 2000 г.), на IV международной конференции «Геометризация физики» (Казанский госуниверситет, Казань, 4−8 октября 1999 г.).

По теме диссертационной работы автором опубликованы 39 научных работ общим объемом 1154 страницы, в том числе: статей — 31, из них в рекомендованных ВАК журналах — 11 статей общим объемом 345 страниц.

Заключение

.

Построение квантовой теории поля на однородных пространствах группы де Сит-тера, а также исследование групповой структуры дискретных преобразований обобщенных волновых функций, на протяжении всей работы являлось главной темой настоящего диссертационного исследования. Перечислим теперь основные результаты, полученные в ходе предпринятого исследования.

• Определены гиперкомплексные углы Эйлера для спинорных групп 8рт+(р, д). Как частный случай введены кватернионные углы для группы 8рт+(1,4) ~ 8р (1,1) (универсальное накрытие однородной группы де Ситтера 30о (1,4)), комплексные углы для группы 8рт+(.1,3) с^ ЭЬ (2, С) (универсальное накрытие однородной группы Лоренца 8О0(1,3)) и двойные углы для группы Эрт (4) ~ Би (2) ® 811(2) (универсальное накрытие группы 80(4)).

• Определены однородные пространства для групп 8О0(1,4) и ее иодгрухгп 80о (1,3) и ЭО (4) в зависимости от стабилизатора Н.

• Введены гиперсферические функции на однородных пространствах группы 80о (1,3) как функции представлений класса 1 относительно стабилизатора Н. Установлены рекуррентные соотношения между этими функциями. Найден явный вид гиперсферических функций основной и дополнительной серий бесконечномерных представлений группы 80о (1,3).

• Определены гииерсферические функции на однородных пространствах группы 30(4). Показано, что матричные элементы представлений группы Э0(4) выражаются в виде ряда от произведений двух гипергеометрических функций.

• Исследована структура дифференциальных операторов на группе Эр (1,1). Операторы Лапласа-Бельтрами и Казимира группы Эрт+(1,4) ~ 8р (1,1) выражены через кватернионные углы.

Введены гиперсферические функции конечномерных представлений тта однородных пространствах группы SO0(l, 4). Установлено, что матричные элементы представлений группы SOo (l, 4) допускают факторизацию относительно подгрупп SO0(l, 3) и SO (4). Показано, что в этом случае гиперсфер>Их1еские функции выражаются в виде ряда от произведений трех ги пер геометра ч ее к их функций.

Найден явный вид гиперсферических функций основной серии бесконечномерных представлений группы SOo (l, 4) в базисе Диксмье-Штрема. Дана классификация однородных пространств неоднородной группы де Сит-тера Оо (1,4) — SO0(l, 4) О Т5 в зависимости от стабилизатора однородной группы S0o (l, 4). Определены обобщенные волновые функции на этих пространствах.

Сформулирована основная задача гармонического анализа на однорсущ ых пространствах группы 0о (1,4).

Введен лагранжев формализм и полевые уравнения на 15-м ер и ом. групповом многообразии Мъ = К1'4×6ю группы О0(1,4). Определены волновые уравнения для полей вида (1,0)® (О, I). Поставлена краевая задача для комплексного шара в подмногообразии A4S. Найдены решения волновых уравнений дЛЯ ио лей (1,0)ф (0,1) в виде рядов rio присоединенным гиперсферическикг функциям определенным на поверхности комплексного шара.

Определены волновые уравнения для основной серии бесконечномерных представлений группы SOo (l, 3).

Найдены точные решения для полей (½, 0) ф (0,½) и (1, 0) ф (О, 1) на однородном пространстве Л48.

Определен метод вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера. Введены пространства Фока для бозеи ферми-частиц нормальные произведения и хронологические операторы квантованных полей — Проквантованы поля (½, 0) Ф (0,½) и (1,0) ф (0,1). > Введен аналог ¿-/-матрицы на многообразии Л48. Сформулирована квантовая электродинамика на многообразии Показано, что элементы ¿-" -матрицы задаются сходящимися интегралам и (аналогами интегралов Фейнмана на Л4%).

Определены волновые уравнения для произвольных спиновых цепочек, включающих в себя схемы зацеплений Бабы-Гельфанда-Яглома как частный случай. Найдены решения для полей (/1, /о) © (72, ?1) в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям.

Зарядовое сопряжение С представлено псевдоавтоморфизмом Л —> Л алгебры Сп, задающим комплексное сопряжение на совокупности комплексных алгебр Клиффорда. Найдено строение спинорного представления псевдоавтоморфизма Л —" Л.

Введена расширенная группа автоморфизмов Ех1:(0?) = {Ы,*. ,*, алгебры СО.

Определено строение спинорных представлений автоморфизмов Л —" Л*, Л ~".

Исследована структура группы ЕхЬ (С?). Показано, что существуют 64 различных реализаций групп Ех1(СГ). Установлена связь групп ЕхЬ (С?) с экстраспециальными конечными группами.

Дано расширение универсальных накрытий ортогональных групп (СРТ структуры), соответствующее расширению от группы фундаментальных автоморфизмов АхЛ ((У) до Ех1-(0?).

Определена СРТ группа для спинорного поля в пространстве де Ситтера. Исследованы СРТ группы для спинорных полей в гиперпространствах Е4'1 и К1'4 с взаимно обратными сигнатурами (+, +,+,+,—) и (—,—,—,—,+), соответственно. Показано, что обе СРТ группы изоморфны друг другу. Исследованы СРТ группы полей высшего спина (1,0) © (0,1), (3/2,0) ® (0,3/2) и (1,½) ф (½, 1).

Определены действия супергрупп Брауэра-Уолла, приводящих к периодическим зависимостям, но модулю 2 и модулю 8 в физике частиц, на комплексных и вещественных представлениях универсальной накрывающей собственной группы Лоренца.

Изучена СРТ группа, на фактор-представлениях алгебры О? ассоциированной с пространством М1,4.

Изучены СРТ группы на фактор-представлениях спинорных групп.

• Определены фактор-представления универсальной накрывающей собственной группы Лоренца и сопоставлены эти представления частицам с нарушенными дискретными симметриями.

Рассмотрим теперь возможности дальнейшего развития и обобщения полученных результатов. Во-первых, требуется дальнейшее развитие квантовой теории поля на однородных пространствах группы де Ситтера, включая также и другие группы, например, представляет большой интерес рассмотрение квантовополевых моделей на однородных пространствах конформной группы. Как показал Сигал [63], алгебра Ли неоднородной группы Лоренца может быть получена деформацией из конформной алгебры Ли о (4,2). В свою очередь, конформная алгебра Ли является «жесткой», т. е. не может быть получена деформированием другой алгебры Ли. 15-мерная алгебра о (4, 2) является алгеброй Ли некомпактной вещественной ортогональной группы 0(4,2) в шестимерном пространстве (эта группа локально изоморфна Би (2,2)). Более того, для конформной группы 0(4,2) выполняется условие энерго-положительпости, в отличие от групп 0(5,1) и 0(3,3). Во-вторых, метод определения матричных элементов и сферических функций представлений групп на основе гиперкомплексных расширений Зрш+(р, д) и теоремы сложения сферических функций, развитый в настоящей диссертации для групп 8О0(1,3). БО (4) и 8О0(1- 4), допускает естественное обобщение и для более сложных групп, таких как группа анти-де Ситтера, конформная группа и т. д. С другой стороны, как было показано выше, существует тесная взаимосвязь между гиперкомплексными углами групп Эрт +(р, д), кольцами делений алгебр СР* и гипергеометрическими функциями многих переменных. Эта связь позволяет ввести в теорию представлений групп гипергеометрические функции многих переменных, такие как функции Аггаеля, Лауричеллы и т. д., а также рассматривать эти функции, следуя терминологии [28, 29], как функциональный аспект теории представлений соответствующих групп. В-третьих, развитый в диссертации метод построения волновых уравнений на однородных пространствах и нахождения их решений в виде рядов по гиперсферическим функциям следует распространить на остальные однородные пространства группы де Ситтера из списка, приведенного в п. 2.4, в первую очередь, на групповое многообразие = х ©-ю неоднородной группы О0(1,4) (наиболее сложный и интересный случай). С этой целью следует рассмотреть волновые уравнения на ЛЛъ как для конечномерных, так и бесконечномерных представлений группы.

80о (1,4). С другой стороны, поля вида (1, 12) Ф 12) как наиболее общие схемы зацеплений и соответствующие им волновые уравнения включают в себя распадающиеся и нераспадающиеся волновые уравнения как частные случаи. Как известно, ноля высшего спина и, соответственно, составные «элементарные» ' частицы могут быть описаны в рамках зацепляющихся представлений группы 80о (1,3) (цепочки Бабы-Гельфанда-Яглома). Стабильная составная частица соответствует нераспадающемуся уравнению, которое определяется в рамках зацепляющегося представления, и напротив, нестабильные частицы описываются распадающимися уравнениями. С физической точки зрения указанная взаимосвязь представляется наиболее интересным и перспективным развитием предложенного в диссертации метода. В-четвертых, дальнейшим развитием и обобщением алг ебраической схемы описания дискретных симметрий, предложенной в диссертации, будет рассмотрение СРТ групп с учетом фазовых множителей.