Вычисление норменных рядов в формальных модулях Хонды и спаривания Гильберта в формальных модулях Любина-Тейта над многомерным локальным кольцом

Диссертационная работа содержит два раздела. Первый посвящен изучению норменных рядов, возникших в связи с необходимостью обобщения соотношения Стейнберга на спаривания с формальными модулями. Пусть ко — одномерное локальное поле нулевой характеристики (конечное расширение поля р-адических чисел (фр), содержащее группу /1дг корней степени N из 1. Хорошо известно, что символ норменного вычета Гильберта {•, ¦^о х^о ~~^ fлN удовлетворяет соотношению Стейнберга см., например,[18]). С помощью отображения взаимности спаривание Гильберта можно обобщить на формальные модули. Для мультипликативной группы соотношение (1) принимает вид для любого элемента, а из формального модуля. Наиболее близкими по структуре к мультипликативной группе являются формальные группы Любина-Тей-та. В 1978 г. С. Ленгом (см. [28]) была сделана попытка обобщить свойство (1) на формальные группы Любина-Тейта. Но, далее, в работе [11] И. Б. Фе-сенко и С. В. Востоковым было показано, что любое спаривание, которое удовлетворяет соотношению (2) для любой формальной группы Любина-Тейта, является вырожденным, т. е. соотношениее Стейнберга в виде (2) верно не для всех формальных групп. Пусть.

• Fформальная группа над кольцом целых О^ поля ко.

• 7Го — простой элемент.

• [7Го] - соответствующая изогения формальной группы, [7г^]-ее А^-ая стеа, 1 — а)^ — 1, о^ОД.

1) а, = О.

2) пень.

• к — конечное расширение поля /со, содержащее группу Wp корней изо-гении [ttq],.

• Шк — максимальный идеал кольца целых поля к.

• F (S.'Як) — соответствующий формальный модуль.

В.А. Колывагиным (см. [19]) был указан метод построения таких рядов г (Х) из XOkQ[[X]], что г'(0) € О*ко и для любого расширения к, содержащего все корни изогении [7^] имеет место: r (a), a) pN = О для всех, а из Р (Шк) — Такие ряды г были названы Nнорменными. Пусть д (Х) — аХ + С12Х2 +. некоторый ряд из и, а — обратим в.

Ок0. Рассмотрим ряд s (X) = П^еКсг^] v)). В [19, Предложение 1.3] было показано, что ряд s (X) принадлежит C/^ffX]] и имеет вид г9([" Ло^](Х)), где гд (Х) — определен однозначно для ряда д (Х) и является Nнорменным. Таким образом был предложен способ построения Д^-норменных рядов, но неизвестно все ли TV-норменные ряды могут быть получены таким образом.

В настоящей работе изучаются норменные ряды для аддитивного формального аргумента, т. е. рассматриваются ряды ip (X), для которых {c?,(f (a))F, N — О ПРИ всех, а из формального модуля. В данной работе норменными степени N будем называть именно такие ряды (а не относительно мультипликативного аргумента, как в работе [19]). Абсолютно норменными будем называть ряды, которые являются норменными степени N при всех N ^ 1. С. В. Востоковым и Р. Перлисом изучались норменные ряды для формальных групп Любина-Тейта (см. [13]), в их работе были получены необходимые и достаточные условия норменности ряда, а в работе [15] результаты работы [13] обобщаются на случай мультипликативной группы многомерного локального поля. В настоящей работе (см. главу 2) тем же образом, что и в.

13], [15] исследуются норменные ряды для формальных групп Хонды. Найдены необходимые и достаточные условия норменности заданного ряда как в случае одномерного так и в случае многомерного локального поля с полем вычетов характеристики р > 2. Для пмерного локальное поля К, условия норменности ряда имеют следующий вид:

Теорема 1. Ряд <£>{Х) Е ХС? т[[Х]] является абсолютно норменным для Г тогда и только тогда, когда ряд удовлетворяет условию при всех т ^ 1.

Здесь Т — абсолютно неразветвленное подполе п-мерного поля К, 1р — логарифм Артина-Хассе, Н — высота формальной группы. Более аккуратно эта теорема будет сформулирована и доказана в главе 2.

Как уже упоминалось, исследование норменных рядов производится на основе явных формул для спаривания Гильберта. Проблема нахождения явных формул для спаривания Гильберта имеет длинную историю, которая началась с работы Артина и Хассе [23] 1928 года, в которой были получены явные формулы для символа Гильберта в круговом расширении Кп = (0)р (Сп), СпП = Для паР (а> Сп) и (а, Сп — 1), где, а — главная единица. Для (а, Сп) эта формула имеет вид.

Сп) = с-^1"где Тг = Тг^/х, р > 2. Еще одной фундаментальной работой, связанной с получением явной формулы спаривания Гильберта, стала работа И.Р. Шафа1.

Ут{с1т) ^ Урк (т) ревича [22], которая послужила толчком к появлению серии работ, посвященных явным формулам различных спариваний. Явные формулы для произ-вольного (одномерного) локального поля были независимо получены Сергеем Владимировичем Востоковым в 1978 г (см. [б]) и Хельмутом Брюкнерном в 1979 г. (см. [24]) при р > 2. Чуть позднее явные формулы были получены и для р = 2. Далее методы работ [22],[6] стали применять и для получения явных формул обобщения спаривания Гильберта для группы точек формального модуля. В работах [7], [8] и [9] были получены явные формулы для обобщенного спаривания Гильберта с формальным модулем Любина-Тейта для случая произвольного одномерного локального поля (в том числе и для четной характеристики поля вычетов (см. [9])). Пусть.

• Fформальная группа Любина-Тейта над кольцом С^, соответствующая элементу Щ).

•? — первообразный корень изогении [7Г^].

Явная формула для спаривания Гильберта (•, ' к* х F (Шí-fc) —> IVр имеет следующий вид: а,.

Тг гее Фа>р ¦

О (3).

Здесь Фар — некоторая функция от, а и /3, заданная в явном виде, хнекоторый многочлен (при р > 2 он равен 1)(см. [8]), а 2 — ряд, при подстановке униформизующей дающий Далее С. В. Востоковым и О. В. Демченко в работе [12] были получены явные формулы для спаривания с формальным модулем Хонды для одномерного локального поля. Найденные в [12] явные формулы будут использоваться в настоящей работе при изучении норменных рядов в одномерном случае, мы напомним их в главе 2.

В 70-х годах А. Н. Паршин и К. Като начали изучение многомерных локальных полей и связали многомерную локальную теорию полей классов с алгебраической Т^-теорией. Пусть.

• Кп-мерное локальное поле.

• К&ъ — его максимальное абелево расширение.

• КпРК — топологический /Г-функтор Милнора.

Согласно многомерной локальной теории полей классов, существует канонический гомоморфизм (отображение взаимности) ф: КпК ->¦ {КлЪ/К).

В случае, если поле К содержит группу корней АГ-й степени из 1, при помощи гомоморфизма ф можно естественным образом определить спаривание КпК х К* —> ддг (см. [10]). В [10] была получена явная формула для символа Гильберта в многомерном локальном поле нулевой характеристики с полем вычетов характеристики р > 0(см. [10]).

Для спаривания Гильберта с формальным модулем Хонды явные формулы были найдены в [14] и обобщены на формальные группы, определенные над кольцом целых аполя в работе [5]. При изучении норменных рядов в многомерном случае будем пользоваться формулами из [5].

В работе [21] результаты, хорошо развитой для одномерных локальных полей, теории формальных групп Любина-Тейта были обобщены на случай многомерного локального поля. Пусть теперь Т*1- формальная группа Любина-Тейта над кольцом целых О к п-мерного локального поля К с логарифмом А (Х). Пусть.

• ?1,., ¿-п — локальные параметры поля К, причем А (Х) — ¿-^^(Х9)? О к [[А']] (для группы Р элемент ?1 определяется с точностью до ?2^а:(см. [21])).

• Ь — конечное расширение поля К, содержащее группу Ур корней изо-гении.

• F (9Л) — формальный модуль на группе точек максимального идеала кольца целых поля Ь.

В настоящей работе получена явная формула для символа Гильберта (•,: х F (ШÍ-) —>¦ 1Ур для многомерного локального поля Ь с последним полем вычетов нечетной характеристики, имеющая вид (3). Эта формула является обобщением формулы, полученной в [7]. В работе используется, неоднократно примененный раннее в работах, посвященных норменному спариванию, способ получения явных формул. Напомним кратко его суть. Сначала в формальном модуле группы точек формальной группы строится так называемый базис Шафаревича, который играет очень важную роль в арифметике локального поля. Он определяет разложение элемента из формального модуля с точностью до корней выделенной изогении формальной группы. Впервые этот базис был построен Шафаревичем в 1950 г для мультипликативной группы с использованием функции Артина-Хассе (см. [22]) и в дальнейшем использовался для получения явных формул закона взаимности С. В. Востоковым в [6]. При переходе к формальным модулям необходимо обобщение базиса Шафаревича. Для одномерных формальных групп Любина-Тейта такой базис был построен С. В. Востоковым в 1979, для групп Хонды базис был построен О. В. Демченко (см. [17]). Затем в явном виде строится спаривание. Для этого сначала определяется вспомогательное спаривание на модуле кривых Картье, для которого проверяются основные свойства (аддитивность, независимость, инвариантность). После чего, при помощи вспомогательного спаривания, на том же множестве, на котором определен символ Гильберта (КмК х ^(9Л)), в явном виде можно определить спаривание, которое не зависит от выбора локальных параметров и от способа разложения в ряды по локальным параметрам. Затем проверяется совпадение построенного спаривания с символом Гильберта на элементах базиса Шафаревича. Далее, используя уже проверенные свойства построенного спаривания, нетрудно показать, что построенное спаривание совпадает с символом Гильберта на всех элементах и, тем самым, дает для него явную формулу. Подробную библиографию по явным формулам для символа Гильберта можно найти в [25] или [30].

1. С. С. Афанасьева, Г. К. Пак, «Норменные ряды для формальных групп Хонды», Зап. научн. сем. ПОМИ, 388 (2011), 5−16.

2. С. С. Афанасьева «Норменные ряды для многомерных формальных групп Хонды», Зап. научн. сем. ПОМИ, 400(2012), 5−19.

3. Афанасьева С. С., Беккер Б. М., Востоков С. В. «Символ Галъберта в многомерных локальных полях для формальной группы Любина-Тейта», Вопросы теории представлений алгебр и групп. 23, Зап. научн. сем. ПОМИ, 400, ПОМИ, СПб., 2012, 20−49.

4. Бенуа Д. Г., Востоков С. В. «Арифметика группы точек формальной группы», Вопросы теории представлений алгебр и групп. 1, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 191, Наука, СПб., 1991, 9−23.

5. Бондарко М. В., Востоков С. В.,, Лоренц Ф. «Спаривание Гильберта для формальных групп над а-кольцами», Вопросы теории представлений алгебр и групп. И, Зап. научн. сем. ПОМИ, 319, ПОМИ, СПб., 2004, 5−58.

6. Востоков С. В. «Явная форма закона взаимности», Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:6 (1978), 1288−1321.

7. Востоков С. В. «Норменное спаривание в формальных модулях», Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:4 (1979), 765−794.

8. Востоков С. В. «Символ Гильберта для формальных групп Любина-Тей-та Г. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 114 (1982), 77−95.

9. Востоков С. В., Фесенко И. Б. «Символ Гильберта для формальных групп Любина-Тейта II». Зап. научн. семин. ЛОМИ, 132 (1983), 85−96.

10. Востоков С. В. «Явная конструкция теории полей классов многомерного локалъногоп поля», Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:2(1985), 283−308.

11. Востоков С. В., Фесенко И. Б., «Об одном свойстве спаривания Гильберта», Матем. заметки, 43:3 (1988), 393−400.

12. Востоков С. В. .Демченко О. В. «Явная формула спаривания Гильберта для формальных групп Хонды», Вопросы теории представлений алгебр и групп. 7, Зап. научн. сем. ПОМИ, 272, ПОМИ, СПб., 2000, 86−128.

13. Востоков С. В., Перлис Р. «Номерные ряды для формальных групп Люби-на-Тейта», Вопросы теории представлений алгебр и групп. 8, Зап. научн. сем. ПОМИ, 281, ПОМИ, СПб., 2001, 105−127.

14. Востоков С. В., Лоренц Ф. «Явная формула символа Гильберта для групп Хонды в многомерном локальном поле», Матем. сб., 194:2 (2003), 3−36.

15. Востоков С. В., Пак Г. К. «Норменные ряды в многомерном локальном поле», Вопросы теории представлений алгебр и групп. 10, Зап. научн. сем. ПОМИ, 305, ПОМИ, СПб., 2003, 60−83.

16. Демченко О. В., Новое в отношениях формальных групп Любина-Тейта и формальных групп Хонды. Алгебра и анализ, 10, вып 5(1998), 77−84.

17. Демченко О. В., «Формальные группы Хонды: арифметика группы точек», Алгебра и анализ, 12:1 (2000), 132−149.

18. Ивасава К. «Локальная теория полей классов», М., Мир, 1983.

19. Колывагин В. А. «Формальные группы и символ норменного вычета», Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:5 (1979), 1054−1120.

20. Ленг С. Алгебра, Мир, М., 1968.

21. Мадунц А. И., «Формальные группы Любина-Тейта над кольцом целых многомерного локального поля «, Вопросы теории представлений алгебр и групп. 8, Зап. научн. сем. ПОМИ, 281, ПОМИ, СПб., 2001, 221−226.

22. Шафаревич И. Р. «Общий закон взаимности» // Мат. сб. 1950. Т. 26 (68), № 1. С. 113−146.

23. Е. Artin, H. Hasse, «Die beiden Erganzungssatze zum Reziprozitatsgesetz der ln-ten Potenzreste im Korper der ln-ten Einheitswurzeln». Abh. Mathem. Seminar, Hamburg, 6 (1928), 146−162.

24. Fesenko I.В., Vostokov S. V. «Local fields and their extensions: a constructive approach Providence», Rh Amer. Math. Soc., 1993.(Transl. Math. Monogr. V.121.).

25. Henniart G. «Sur les lois de reciprocite.» I. J. reine und angew. Math. 329 (1981), 172−203.

26. Honda T. «On the theory of commutative formal groups «J. Math. Soc. Japan 22(1970), 213−243.

27. Lang S. «Cyclotomic Fields.» Heidelberg: Springer, 1978 (РЖМат. 1979. 11A312K).