Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Исследование решений некоторых уравнений в частных производных на основе оценок векторных полей

Диссертация: Исследование решений некоторых уравнений в частных производных на основе оценок векторных полей
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Задачам исследования функциональных классов, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа посвящены работы Г. Вейля, Э. Б Быховского, Н. В. Смирнова (,), С. Г. Крейна (), С. Л. Соболева, Р. Темама (). Развитие идей, заложенных в и применение полученных результатов к изучению различных математических задач гидродинамики, начатое трудами J. Leray (-), продолжилось в работах J… Читать ещё >

Содержание

  • 0. 1. Актуальность проблемы и обзор литературы
  • 0. 2. Содержание, структура работы и методика исследования
  • 0. 3. Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность работы
  • 1. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
    • 1. 1. Необходимые сведения из функционального анализа
    • 1. 2. Определение функциональных пространств
    • 1. 3. Эволюционные уравнения в гильбертовых пространствах
  • 2. ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
    • 2. 1. Представления вектор-функций в звездных областях
    • 2. 2. Основные неравенства
    • 2. 3. Следствия оценок при р =
  • 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
    • 3. 1. Постановка задач
    • 3. 2. Существование и свойства решений
  • 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ПОДОБЛАСТЯХ
    • 4. 1. Метод слабой проводимости
    • 4. 2. Двумерные краевые задачи
    • 4. 3. Краевые задачи для эллиптического уравнения 95 дивергентного вида
  • 5. НЕКОТОРЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
    • 5. 1. Разрешимость начально-краевых задач и свойства решений
    • 5. 2. Изучение соответствующих задач с использованием векторного 125 и скалярного потенциалов

    • Исследование решений некоторых уравнений в частных производных на основе оценок векторных полей (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

    Системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащие дифференциальные операторы векторного анализа (rot, div, grad), находят применение в различных разделах фундаментальной и прикладной науки, например, в гидродинамике, электродинамике сплошных сред ([64], [65], [66], [75], [105], [110], [120], [139], [149]). Эллиптические уравнения дивергентного вида и соответствующие им параболические и гиперболические уравнения описывают стационарные и нестационарные процессы теории теплопроводности, диффузии частиц, волновые явления.

    Большинство имеющих практический интерес задач допускают лишь приближенное решение с применением вычислительной техники. При разработке, обосновании и анализе алгоритмов численного решения этих задач, изучении вопросов оптимального управления распределенными системами, важную роль играет теоретическое исследование корректности соответствующих начально-краевых и краевых задач. ([1] -[4], [24], [31], [35], [37], [67], [86], [98], [115]-[117], [119], [122], [135], [141], [143], [151], [159] [164], [174], [180]).

    При изучении вопросов корректности постановок различных задач, построения численных схем и их обоснования, при исследовании задач оптимизации, важную роль играют свойства классов функций, в которых рассматриваются проблемы разрешимости.

    Задачам исследования функциональных классов, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа посвящены работы Г. Вейля [19], Э. Б Быховского, Н. В. Смирнова ([17], [18]), С. Г. Крейна ([62]), С. Л. Соболева [127], Р. Темама ([138]). Развитие идей, заложенных в [19] и применение полученных результатов к изучению различных математических задач гидродинамики, начатое трудами J. Leray ([170]-[172]), продолжилось в работах J. Heywood, [166], [167], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, А. А. Киселева ([56], [71], [76], [131]) В. Н. Масленниковой, А. А. Дезина, М. Е. Боговского, М. А. Тимошина ([16], [87] - [91]), А. Т. Плотницкого [109], Ю. А. Дубинского ([32], [33]).

    Важнейшую роль при изучении корректности обобщенных формулировок краевых и начально-краевых задач играют различные неравенства, такие, как неравенства Фрид-рихса, Пуанкаре, Корна (неравенства такого типа часто в литературе называются неравенствами Корна).

    В задачах гидродинамики и электродинамики однородных сред используется неравенство, связывающее норму вектор-функции, касательная или нормальная составляющая которой на границе области равна нулю, норм ее ротора и дивергенции в пространстве L2'. м|| ^ c (j|rot «I + ||div к ||), (0.1) где положительная величина С зависит только от характеристик области.

    В работах [17], [18] эта оценка установлена для соленоидальных функций с использованием свойств интеграла типа потенциала, в [109], [138] она доказана на основе полученного в [34] неравенства, связывающего нормы функции, ее ротора, дивергенции и градиента. Зависимость константы в неравенстве (0.1) от геометрии области рассматривалась М. П. Галаниным, Ю. П. Поповым в [24].

    С помощью оценки (0.1) доказывается, в частности, вложение пространств функций с суммируемыми ротором и дивергенцией в пространства Соболева.

    Достаточно широко в литературе освящен вопрос, связанный с изучением различных задач для систем уравнений, содержащих дифференциальные операции векторного анализа, имеющих приложения в электродинамике и магнитной гидродинамике.

    В работах [5]-[7] строятся решения стационарных и нестационарных краевых задач для уравнений Максвелла в пространстве обобщенных функций. Фундаментальные решения для уравнений Максвелла рассматриваются также в [80].

    Для описания электромагнитного поля при функциональной зависимости общего вида в{й), d (e) Самохиным А. Б. в работе [118] строится система сингулярных интегральных уравнений.

    Исследование дифференциальных свойств решений задач гидродинамики опирается обычно на стандартную технику для эллиптических систем ([25], [61], [78], [102], [104], [125], [145], [150], [157], [158]) и связано с получением для решения априорных оценок в пространствах Соболева более высокого порядка и в пространствах Гельдера ([121], [130], [132]). Для применения указанной схемы исследования к задачам для системы уравнений Максвелла в работах [11]-[15], [26], [92], [93], [179] рассматривается расширение операторов электродинамики и погружение тем самым исходной задачи в эллиптическую задачу большей размерности. Корректность определения оператора Максвелла в негладких областях в связи с задачей колебания полого резонатора обсуждалась в работах М. III. Бирмана и М. 3. Соломяка ([11]-[15]). В работах С. И. Матюкевича ([92], [93]) получено асимптотическое представление решения системы уравнений Максвелла вблизи особенностей границы.

    Изучение нестационарных проблем обычно включает в себя исследование поведения решения на бесконечном интервале времени ([96], [97], [177], [178], [181]). Значительные результаты в этом направлении дает рассмотрение полугруппы, порождаемой оператором задачи ([55], [95], [153]-[155]).

    Во многих имеющих практический интерес случаях рассматривается система уравнений Максвелла квазистационарном магнитном приближении ([64], [79], [117], [137], [169]). При этом тип системы меняется с гиперболического на параболический и задача, как и в стационарном случае, допускает обобщенную формулировку в виде интегрального тождества.

    Разрешающие соотношения, полученные в результате постановки задач в виде вариационных принципов и интегральных тождеств, могут служить исходными для применения методов Ритца и Галеркина, что обеспечивает единство инструментальных средств при решении комплексных физических проблем в сплошных средах.

    Одним из требований, предъявляемым к вычислительным алгоритмам, является свойство однородности ([115], [141]), позволяющее вести расчет во всей области по одним и тем же формулам, не выделяя явно какие-либо особенности решения. При наличии в расчетной области непроводящих включений базисные функции при дискретизации должны удовлетворять условию rot" = О в диэлектрике. Вопрос о построении однородных вычислительных алгоритмов решения задач для квазистационарной системы уравнений Максвелла в среде с непроводящими включениями, рассматривается в работе [24] Га-ланина М. П., Попова Ю. П. Для стационарных электродинамических задач в [51] был предложен метод слабой проводимости, позволяющий искать решение во всей области. Применение этого метода к двумерным стационарным задачам рассмотрено в данной работе.

    Существенной проблемой численного решения стационарных и квазистационарных задач электродинамики является проблема учета условия соленоидальности вектора магнитной индукции, не позволяющего использовать классические базисные функции при дискретизации функциональных пространств. Этот вопрос обсуждался в связи с задачами динамики вязкой несжимаемой жидкости и его решение связано с введением специальных аппроксимирующих пространств либо с организацией итерационных процессов ([58], [59], [138], [159], [166]).

    Преодолеть трудности, связанные с наличием соленоидальности, можно с помощью метода искусственной сжимаемости, который заключается в добавлении к исходной системе члена вида y’graddivw ([138]). Метод аппроксимации нестационарных уравнений Навье — Стокса системой типа Коши-Ковалевской на основе метода искусственной сжимаемости предложен Г. М. Кобельковым ([58], [59]). Аналогичный подход к задачам для системы уравнений Максвелла позволяет получить обобщенные постановки краевых задач, при которых в стационарном случае условие соленоидальности является свойством решения ([50]), а в квазистационарном экспоненциально устойчиво.

    В реальных ситуациях коэффициенты систем уравнений, описывающих различные физические процессы, могут зависеть от различных характеристик физико-механических полей, что приводит, в частности, к зависимости коэффициентов от пространственных координат ([99], [118], [120], [136], [137], [144], [148]). Например, уравнения Максвелла приходится изучать совместно с уравнениями механики сплошных сред (уравнения магнитной гидродинамики, магнитотермоупругости) или с кинетическими уравнениями для функций распределения заряженных частиц. Во всех этих случаях задача определения электромагнитных полей является частью решения более сложных, как правило, нелинейных задач.

    Система уравнений Максвелла в ферромагнитной среде, где д — известная положительная функция рассмотрена А. А. Березовским, Т. А. Плотницким в [10]. Решение начально-краевой задачи при определенных условиях на функцию (I ищется методом Бубнова-Галеркина.

    В случае негладких коэффициентов системы разрешимость в классическом смысле рассматриваемых задач может не иметь места и на первый план выходит изучение их обобщенных постановок ([5]-[7], [21], [23], [63], [68], [70], [76]-[78], [91], [162], [167], [168], [170]-[172]). При этом оценки типа (0.1) не могут быть непосредственно применены для исследования корректности постановок, что приводит к серьезным проблемам при изучении обобщенных формулировок задач. В частности, в системе уравнений Максвелла используются дифференциальные операции вида rot ми diver й, где коэффициент о не является гладкой функцией. В этом случае оценки нормы и в пространствах Соболева через нормы rot и и diva й, вообще говоря, не имеют места.

    В работах О. А. Ладыженской, И. И. Рохкинда, В. А Солонникова ([73], [75], [114], [131]) рассматриваются задачи дифракции и магнитной гидродинамики с кусочно-непрерывными коэффициентами. При этом обобщенные задачи формулируются в виде интегральных тождеств, справедливость которых влечет выполнение условий согласования на границах различных сред. Исследование дифференциальных свойств решений поставленных задач ведется внутри областей, в которых коэффициенты являются непрерывными функциями ([131]).

    Задачи для системы уравнений Максвелла с кусочно-постоянными коэффициентами магнитной и диэлектрической проницаемости исследуются в работе Г. Дюво, Ж. JL Лионса [34]. Решения задач ищутся в пространствах суммируемых функций й таких, что rot /л~хй е Ь2. Принадлежность решений пространству Соболева Н1 устанавливается в областях постоянства коэффициентов.

    Случай неоднородной неизотропной среды, в которой /л, е — матрицы измеримых функций, рассматривается М. Ш. Бирманом в [12]. Вводятся в рассмотрение пространства функций и таких, что divsu е Ь2, где s — матрица функций, определяются ортогональные разложения пространства Ьг с эквивалентной нормой. Вопрос о существовании априорных оценок типа неравенства Корна изучается при условии гладкости коэффициентов.

    В статье [39] А. В. Калининым получены неравенства, связывающие при различных краевых условиях (равенство нулю на границе тангенциальной компоненты й или нормальной компоненты v) скалярное произведение вектор-функций в Ьг, норму в L2 ротора одной из них и дивергенцию другой: и, v)£ C (j|rotu||j|v| + ||divv||H|), (u, v)<- c (j|rot?|||v|| + ||divv|H + [rot"||||divv||). (0.2).

    Неравенства (0.1) являются их следствием при й = v. Применяемые к функциям й = Н, v = /иН оценки (0.2) позволили доказать разрешимость краевых задач для систем уравнений в частных производных, возникающих, в частности, при изучении системы уравнений Максвелла, единственным требованием к коэффициентам которой была их существенная ограниченность ([50], [52]).

    Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена широким спектром прикладных задач, которые изучаются с помощью систем дифференциальных уравнений с коэффициентами общего вида, содержащих операции векторного анализа и важность теоретического изучения этих задач в связи с построением численных алгоритмов решения задач оптимального управления.

    Цель исследования.

    Целью настоящей диссертации является исследование корректности постановки краевых и начально-краевых задач для некоторых систем уравнений в частных производных с негладкими коэффициентами, содержащих дифференциальные операции векторного анализа, с помощью оценок, связывающих скалярные произведения вектор-функций и Ip-нормы их ротора и дивергенции.

    0.2. Содержание, структура работы и методика исследования.

    Структура и объем диссертации

    Работа состоит из введения, пяти разделов и списка литературы из 181 наименования. Общий объем диссертации — 157 страниц.

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    .

    В диссертации рассматривались краевые и начально-краевые задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных с негладкими коэффициентами, содержащие дифференциальные операции векторного анализа. В частности, в указанный класс задач попадают некоторые задачи для системы уравнений Максвелла.

    Основной целью работы являлось исследование корректности обобщенных постановок рассматриваемых задач, изучение асимптотического поведения решений краевых задач в зависимости от коэффициентов системы и решений начально-краевых задач при t-> oq.

    Отметим основные результаты, полученные в диссертации.

    Доказаны используемые в работе новые оценки скалярных произведений векторных полей через нормы их ротора и дивергенции в /^-пространствах.

    Рассмотрены различные обобщенные постановки краевых задач и начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла, коэффициенты ц, б, ст которойсамосопряженные, положительно определенные линейные операторы, действующие в {Ь2 (о)}3. В том числе, сформулированы такие задачи определения Н, что условие соленоидальности вектора jjH является свойством решения в стационарном случае и экспоненциально устойчиво в квазистационарном.

    Предложены новые калибровочные соотношения, позволяющие сформулировать в виде интегральных тождеств задачи определения векторного магнитного потенциала.

    Доказана однозначная разрешимость поставленных задач. Изучена связь между задачами в терминах векторного магнитного потенциала при различных калибровочных соотношениях. Установлена эквивалентность задач в терминах векторного магнитного потенциала эквивалентным постановкам в терминах напряженности магнитного поля.

    Рассмотрены задачи для стационарной системы уравнений Максвелла в области, содержащей непроводящие включения. Метод слабой проводимости, заключающийся в замене непроводящих включений слабопроводящими, применен к трехмерным задачам с различными краевыми условиями и к двумерным плоским задачам, обобщен для эллиптических дифференциальных уравнений дивергентного вида с произвольным числом независимых переменных.

    Доказана асимптотическая устойчивость решений стационарных задач. Получены оценки скорости стабилизации решений.

    Показать весь текст

    Список литературы

    1. В.И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. М.: ИВМ РАН, 2003.
    2. А.П., Дмитриев В. И. О задаче Коши для уравнений Максвелла в анизотропной проводящей среде// Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд. МГУ, 1975. Вып. 24. — С. 23−37
    3. Г. В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости// Сибирский математический журнал, 2004. Т. 45, № 2. — С. 243−263.
    4. Г. В. О разрешимости однородной начально-краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики идеальной жидкости// Динамика сплошных сред, 1982. Т. 57. С. 3−20.
    5. Л.А. Обобщенные решения нестационарных краевых задач для уравнений Максвелла// ЖВМ и МФ, 2002. Т. 42. № 1. — С. 76−88.
    6. Л.А., Саутбеков С. С. Метод обобщенных функций при решении стационарных краевых задач для уравнений Максвелла// ЖВМ и МФ, 2000. Т. 40, № 4.-С. 611−622.
    7. Л.А., Саутбеков С. С. Фундаментальные решения уравнений Максвелла// Дифференциальные уравнения, 1999. Т.35. № 1. С. 125−127.
    8. С.Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск: Наука, 1983.
    9. Н.С., Кобельков Г. М., Чижонков Е. В. Эффективные методы решения уравнений Навье Стокса// Численное моделирование в аэрогидродинамике. — М.: Наука, 1976. С. 37−45.
    10. А.А., Плотницкий Т. А. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики проводящих сред// Краевые задачи электродинамики проводящих сред/ Под ред. Ю. А. Митропольского. Киев: Изд. ИМ АН УССР, 1976. — С. 139−148.
    11. М.Ш. Три задачи теории сплошных сред в многогранниках// Записки научных семинаров ПОМИ. Т.200. Вып. 24. С. 27−37.
    12. М.Ш., Соломяк М. З. Ьг-теория оператора Максвелла в произвольных областях// Успехи математических наук, 1987. Т. 42, № 6. С. 61−76.
    13. М.Ш. Об операторе Максвелла в областях с ребрами// Записки научных семинаров ЛОМИ, 1985. Т. 147, вып.17.- С. 3−9
    14. М.Ш. Оператор Максвелла для резонатора с входящими ребрами// Вестник ЛГУ. Сер.1, 1986. № 3. С.3−8.
    15. М.Ш., Соломяк М. З. Оператор Максвелла в областях с негладкой границей// Сибирский математический журнал, 1987. Т.27, № 1. С.23−76.
    16. М.Е. Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad// Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. С. 5−40.
    17. Э.Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально-проводящей границы// Вестник ЛГУ, 1957. № 13. С. 50−66.
    18. Э. Б., Смирнов Н. В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа// Труды МИАН СССР, 1960. Т.59. С. 5−36.
    19. Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала// Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.
    20. М.И. Метод ортогональных и прямых разложений в теории эллиптических дифференциальных уравнений// Математический сборник, 1949. Т. 25 (67). С. 189 234.
    21. B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976.
    22. И.И., Юдович В. И. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости// Математический сборник, 1961. Т.53. С. 393−428.
    23. X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
    24. М.П., Попов Ю. П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: Наука, Физматлит, 1995.
    25. Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
    26. И. С., Крейн С. Г., Куликов И. М. Краевые задачи для уравнений Максвелла// Доклады АН СССР, 1972. Т. 207, № 2. С. 321−324.
    27. Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953.
    28. Л., Грюнбаум Б. Кли В. Теорема Хелли и ее применения. М.: Мир, 1968.
    29. А.А., Зеленяк Т. И., Масленникова В. Н. О некоторых математических задачах в гидродинамике// Дифференциальные уравнения с частными производными. -Новосибирск: Наука, 1980. С. 21−31.
    30. К.С., Чечурин B.JL Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986.
    31. Ю.А. Об одном ортогональном разложении Lp в и его приложении к задаче Стокса//Доклады РАН, 2000. Т.374, № 1. С. 13−16.
    32. Ю.А. Об одном ортогональном разложении Соболевских пространств и краевой задаче типа задачи Стокса// Доклады РАН, 2000. Т.373, № 6. С. 727−730.
    33. Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
    34. О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
    35. В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных методов// Труды МИ АН СССР, 53, 1959. С. 64−127.
    36. В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.
    37. К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967.
    38. А.В. Некоторые оценки теории векторных полей// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление 1997. Т. 20, № 1. С. 3238.
    39. А.В., Калинкина А. А. Некоторые оценки векторных полей и их применение в электромагнитной теории/ Нижегород. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. — Н. Новгород, 2002. 29 с. — Деп. в ВИНИТИ № 8-В 2002.
    40. А.В., Калинкина А.А. Lp-оценки векторных полей// Известия вузов. Математика. -2004. № 3. С. 26−35.
    41. А.В., Калинкина А.А Оценки векторных полей и стационарная система уравнений Максвелла// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 2002. Вып. 1 (25). С. 95−107.
    42. А.В., Калинкина А. А. Вариационные формулировки квазистационарных задач электродинамики// Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2003. С. 114−115.
    43. А.В., Калинкина А. А. Квазистационарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 26. С. 21−38.
    44. А.В., Калинкина А. А. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения// Современные методы качественной теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XIV» -Воронеж: ВГУ, 2003. С. 61−62.
    45. А.В., Калинкина А. А. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения// VIII Нижегородская сессия молодых ученых: Тезисы докладов. — Н. Новгород: Изд. Гладкова О. В., 2003. С. 28−29.
    46. А.В., Морозов С. Ф. Стационарные задачи для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1997. С. 24−31.
    47. А.В., Морозов С. Ф. Стационарные электромагнитные поля в неоднородных средах с непроводящими и слабо проводящими включениями// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1999. № 1 (20). -С. 48−62.
    48. А.В., Морозов С. Ф. Система уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 2001. № 1 (23). С. 97−106.
    49. JI.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М., Наука, 1984.
    50. .В. Оценки при t→оо решений краевых задач для одной системы уравнений газовой динамики// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1976. Вып. 27.- С. 45−51.
    51. А.А., Ладыженская О. А. О существовании и единственности решения для нестационарной задачи вязкой несжимаемой жидкости// Известия АН СССР, сер. математическая, 1951. Т. 21, № 5. С. 655−680.
    52. Г. В. Электродинамика полых систем. Л.: Изд-во ВКАС, 1949.
    53. Г. М. О численных методах решения уравнений Навье Стокса в переменных скорость-давление// Вычислительные процесы и системы. — М.: Наука, 1991. Вып. 8. С. 204−236.
    54. Г. М. Симметричные аппроксимации уравнений Навье — Стокса// Математический сборник, 2002. Т. 193, № 7. С. 87−108.
    55. Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Изд-во АН СССР, 1951.
    56. А.И. Об ограниченности в Lp производных от решений эллиптических дифференциальных уравнений// Математический сборник, 1956. Т. 38 (80). С. 339 372.
    57. С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики//Доклады АН СССР, 1953. Т. 93. № 6. С. 969−972.
    58. С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. -М.: Наука, 1967.
    59. А.Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз, 1962.
    60. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988.
    61. Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. — М.- Л.: Гостехиздат, 1961.
    62. П.А., Аринчин С. А. Численный расчет электромагнитных полей. — М.: Энергоатомиздат, 1984.
    63. О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
    64. О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.
    65. О.А. О решении нестационарных операторных уравнений различных типов. Доклады АН СССР, 1955. Т. 102, № 2. С. 207−210- Математический сборник, 1956. Т. 39 (81), № 4. С. 491−552.
    66. О.А. Об однозначной разрешимости в целом трехмерной задачи Коши для уравнений Навье-Стокса при наличии осевой симметрии// Записки научного семинара ЛОМИ, 1968. Вып.7. С. 155−177.
    67. О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гостехиздат, 1953.
    68. О.А. О решении общей задачи дифракции// Доклады АН СССР, 1954. Т.96, № 3. С. 427−429.
    69. О.А. Решение «в целом» краевой задачи для уравнений Навье Стокса в случае двух пространственных переменных// Доклады АН СССР, 1958. Т.123, № 3. — С. 427−429.
    70. О.А., Солонников В. А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости// Труды МИАН СССР, 1960. Т.59.-С. 115−173.
    71. О.А., Солонников В. А. О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье-Стокса. — Записки научного семинара ЛОМИ, 1976. Т.59, вып.9. С. 81−116.
    72. О.А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1963.
    73. О.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1964.
    74. Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.
    75. Латова А. Ю, Чудинович И. Ю. Граничные уравнения в задачах нестационарной дифракции электромагнитных волн// Дифференциальные уравнения, 1997. Т. 33, № 9. -С. 1191−1198.
    76. А.Д., Урюков Б. Д. Импульсные ускорители плазмы высокого давления. -Новосибирск: Изд. ИТФ СО АН СССР, 1990.
    77. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.
    78. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
    79. В. Г. Пространства С. Л. Соболева. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.
    80. А.М., Лунева Л. А., Макаров И. А. О роли лоренцевой калибровки в уравнениях электродинамики// Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки, 2002. № 1. С. 118−123.
    81. Г. И., Агошков В. И. Ввведение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
    82. В.Н., Боговский М. Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей// Сибирский математический журнал, 1983. Т. 24, № 5. С. 159−171.
    83. В.Н., Боговский М. Е. Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики// Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1986. С. 129−137.
    84. В.Н., Боговский М. Е. О плотности финитных соленоидальных векторных полей// Сибирский математический журнал, 1978. Т.19, № 5. С. 10 921 108.
    85. В.Н., Боговский М. Е. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей// Сибирский математический журнал, 1981. Т.22, № 3. С. 91−118.
    86. В.Н., Тимошин М. А. Обобщенные решения с первыми производными из Lp в задаче обтекания для системы Стокса// Сибирский математический журнал, 1994. Т. 35, № 1. С. 135−162.
    87. С.И. О нестационарной системе Максвелла в клине// Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер.1, 2000. Вып. 1. С. 35−43.
    88. С.И. О нестационарной системе Максвелла в областях с ребрами //Алгебра и анализ, 2003. Т. 15, вып. 6. С. 86−140.
    89. В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
    90. А.Б., Юдович В. И. Асимптотическая устойчивость стационарного режима протекания идеальной несжимаемой жидкости// Сибирский математический журнал, 2002. Т. 43, № 4. С. 840−857
    91. Ф.Х. Об убывании решений первой смешанной задачи для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса в области с некомпактной границей// Математический сборник, 1992. Т. 183, № 10. С. 123−144.
    92. Ф.Х. О скорости убывания сильного решения первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса в областях с некомпактными границами// Математический сборник, 1993. Т. 184, № 4. С. 139 — 160.
    93. В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. -М.: Наука, 1967.
    94. В.В., Никольская Т. И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983.
    95. С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. -М.: Наука, 1977.
    96. Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977.
    97. Обен Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.
    98. Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1981.
    99. О.А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами// Известия АН СССР, серия математическая, 1961. Т. 25, № 1. С. 3−20.
    100. О.А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд. МГУ, 1990.
    101. М.А. О задаче Стокса с модельными краевыми условиями// Математический сборник, 1997. Т. 188, № 4. С. 127- 144.
    102. И.М. Об асимптотической оценке решений первой краевой задачи в полупространстве для уравнений движения вязкой вращающейся жидкости// Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. М.: УДН, 1983. С. 64−85.
    103. К. Об асимптотике решений стационарной системы уравнений Навье-Стокса в области типа слоя// Математический сборник, 2002. Т. 193, № 12. С. 69 104.
    104. Т.А. О некоторых свойствах операторов векторного анализа в пространствах С. Л. Соболева// В сб. Краевые задачи электродинамики проводящих сред/ Под ред. Ю. А. Митропольского. Киев: Изд. ИМ АН УССР, 1976. — С. 149−165.
    105. Ю.П. К расчету магнитодинамических ударных волн, ионизирующих газ// ЖВМиМФ- 1970.Т.10, № 5.-С. 1238−1248.
    106. В. Я., Фридман Н. Б. Об уравнениях Навье-Стокса с разрывными коэффициентами// Записки научного семинара ЛОМИ, 1973. Т. 38, № 7. С. 137−148.
    107. В.Я., Эпштейн Б. С. Проекционные сеточные схемы для решения уравнений Навье-Стокса в ортогональных криволинейных системах координат// Вестник ЛГУ, 1974. Т. 3,№ 13. С. 46−53.
    108. ИЗ. Рихтмайер Р. Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
    109. И.И. Нестационарная дифракция электромагнитных волн// Вестник ЛГУ, 1958. № 7. с. 109−124.
    110. А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1978.
    111. А.А., Николаев Е. С. Методы решений сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
    112. А.А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М.: Наука, 1980.
    113. А.Б. Интегральные уравнения для нестационарных задач электродинамики в материальных средах// Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38, № 9. С. 12 881 290.
    114. А.Б. Метод решения внутренних задач электродинамики// Дифференциальные уравнения, 1997. Т. 33, № 9. С. 1291−1292.
    115. В.Н. О стационарных задачах магнитной гидродинамики неньютоновских сред// Сибирский математический журнал, 1992. Т. 33, № 4. С. 120−127.
    116. .С., Губатенко В. П. Аналитические решения электродинамических задач. — М.: Наука, 1988.
    117. А.Г. Обоснование метода исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением// ЖВМ и МФ, 1963. Т. З, № 5. С. 953−955.
    118. И.М. О краевых задачах для уравнения Максвелла// Математический сборник, 1954. Т. 35, № 3. С. 369−394.
    119. Л. Н. Оценки в Lp решений эллиптических систем// Доклады АН СССР, 1958. Т. 123, № 4. С. 616−619.
    120. С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
    121. С.JI. Об одной новой задаче математической физики// Известия АН СССР, серия математическая, 1954. Т. 18, № 1. С. 3−50.
    122. С.Л. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений// Математический сборник, 1937. Т.2, № 3. С. 465−500.
    123. С.Л. Плотность финитных функций в пространстве Lpm(En)// Сибирский математический журнал, 1963. Т. 4, № 3. С. 673−682.
    124. В.А. О дифференциальных свойствах решения первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса// Труды МИ АН СССР, 1964. Т. 73.-С.221−291.
    125. В.А. О некоторых стационарных краевых задачах магнитной гидродинамики// Труды МИ АН СССР, 1960. Т. 59. С. 174−187.
    126. В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса// Труды МИ АН СССР, 1964. Т. 70. С. 213−317.
    127. В.А., Щадилов В.Е Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье-Стокса// Труды МИ АН СССР, 1973, Т. 125. С. 196−2101.
    128. В.А. О краевой задаче с разрывными краевыми условиями для уравнений Стокса им Навье-Стокса в трехмерном случае// Алгебра и анализ, 1993. Т. 6, № 3. С. 252−270.
    129. Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.
    130. Дж.А. Теория электромагнетизма. — М.- Л.: Гостехиздат, 1 948 137. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.
    131. Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.
    132. Р. Математические задачи теории пластичности,— М.: Наука, 1991.
    133. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
    134. А.Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах// ЖВМ и МФ, 1961. Т.1, № 1. С. 5−63.
    135. А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
    136. О. Б. Математические модели для расчета электрических и магнитных полей. Киев: Наукова думка, 1964.
    137. В. В., Головин А. М., Потапов В. С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М.: Изд.-во МГУ, 1988.
    138. Н.Н. О регулярности решений многомерных эллиптических уравнений и вариационных задач//Доклады АН СССР, 1960. Т.130, № 6. С. 1206−1209.
    139. Н.Н. О невозможности Wq2 оценок для многомерных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами// Записки научных семинаров ЛОМИ, 1961. Т. 5. С. 250−257.
    140. Д.К., Вулих Б. З., Уральцева Н. Н. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л.: Изд.-во ЛГУ, 1981.
    141. Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. Электродинамика. М.: Мир, 1966.
    142. X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964.
    143. З.Г. Оценки в Lp решений эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, удовлетворяющих общим граничным условиям и условиям сопряжения// Доклады АН СССР, 1963. Т. 149, № 1. С. 48−51.
    144. Е.В. Об одной системе уравнений типа магнитной гидродинамики// Доклады АН СССР, 1984. Т. 278, № 5. С. 1074−1077.
    145. Е.В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса// Вестник МГУ, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1995. № 2. С. 12−17.
    146. В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости// ЖВМ и МФ, 1963. Т. 3, № 6. С. 1032−1066.
    147. В.И. Периодические движения вязкой несжимаемой жидкости// Доклады АН СССР, 1960. Т. 130. С. 1214−1217.
    148. В. И. Двумерная нестационарная задача протекания идеальной несжимаемой жидкости через заданную область// Математический сборник, 1964. Т. 64, № 4. С. 562−588.
    149. Д.М. О существовании нормальной производной решения задачи Дирихле// Вестник Ленинградского университета: Сер. матем., мех. и астрономии, 1956. № 13, Вып.З. С.147−150.
    150. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I// Comm. Pure Appl. Math., 1959. V. 12. P. 623−727.
    151. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II// Comm. Pure Appl. Math., 1964. V. 17.-P. 35−92.
    152. Agoshkov V., Bardos С., Buleev S. Solution of the Stokes problem as an inverse problem// Computational methods in applied mathematics. V. 2,2002. № 36. P. 213−232.
    153. Browder F. E. Nonlinear elliptic boundary value problems// Bull. Amer. Math. Soc., 1963. V 69. P. 862−874.
    154. Fois C., Temam R. Structure of the set of stationary solutions of the Navier Stokes equations// Comm Pure Appl. Math., 1977. V. 30. P. 149−164.
    155. Friedrichs К. O. Differential forms on Riemannian manifolds// Comm. pure and appl. math. 1955.-V. 8.-P. 551−590.
    156. Girault V. Raviart P. Finite element methods for Navier-Stokes Equations. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New-York/ Tokyo, 1986.
    157. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems. New York: Springer, 1984.
    158. Gunzburger M. D., Meir A. J., Peterson J. S. On the existence, uniqueness and finite element approximation of solution of the equations of stationary, incompressible magnetohydrodynamics// Math. Como. 1991. V. 56, № 194. P. 563- 583.
    159. Heywood J. G. The exterior nonstationary problem for the Navier Stokes equations// Acta Math., 1972. V. 129. P. 11−34.
    160. Heywood J. G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow, Acta Math., 1974. 136, 1974, P. 443−450.
    161. Kato T. Strong Lp-solutions of the Navier-Stokes equations in Rm, with applications to weak solutions// Math. Z. 1984. V. 187. P. 471−480.
    162. Kawashima S., Shizuta Y. Magnetohydrodynamic Approximation jf the Complete Equations for an Electromagnetic Fluid. II// Proc. Japan Acad. 1986. V 62. Ser. A, № 5.-P. 181−184.
    163. Leray J. Etude de diverses equations integrals nonlineaires et de quelques problemes que pose l’hydrodynamique// J. Math. Pures et Appl., 1933. V. 12. P. 1−82.
    164. Leray J. Essai sur les mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parois// J. Math. Pures et Appl., 1934. V. 13. P. 331−418.
    165. Leray J. Essai sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta Math., 1934. V. 63.-P. 193−248.
    166. Lions J.-L., Stampacchia G. Variational inequalities// Comm. Pure Appl. Math., 1967. V. 20. P.493−519.
    167. Meir A. J., Schmidt P. Analysis and numerical approximation of a stationary MHD flow problem with nonideal boundary// SIAM J. Numer. Anal. 2000. V. 36, № 4. P. 1304−1332.
    168. Schmidt G. Spectral and scattering theory for Maxwell’s equations in an exterior domain// Arch. Rat. Mech. Anal., 1968. V. 28. P. 284−322.
    169. Sermange M., Temam R. Some mathematical questions related to the MHD equations// Comm/ Pure Appl. Math., 1983. V. 36. P. 635−664.
    170. Schonbek M. E. L2 decay for weak solutions of the Navier-Stokes equations// Arch. Hation. Mech. and Anal. 1986. V. 88. P. 209−222.
    171. Schonbek M. E. Large time behavior of solutions to the Navier-Stokes equations// Comm. Partial Differential Equations. 1986. V. 11 P. 733−763.
    172. Week V. Maxwell’s boundary value problem on Riemannian manifolds with nonsmooth boundaries// J. of Math, analysis and appl., 1974. V. 46, № 2. P. 410−437.
    173. Wiedmer M. Finite element approximation for equations of magnetohydrodynamics// Math. Сотр. 1999. V. 69, № 229. P. 83−101.
    174. Wiegner M. Decay results for weak solutions of the Navier-Stokes equation// J. London Math. Soc. 1987. V.36. P. 303−313.
    Заполнить форму текущей работой

    Пора сдавать?