Аналоги алгебры Орлика-Соломона и связанные с ними операды

1. История поставленных задач.

В 1969 году в заметке В. И. Арнольда [1] были вычислены когомологии группы крашеных кос на п нитях. Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости является пространством К (тг, 1) для этой группы, и в заметке [1] вычислены когомологии этого пространства, реализованного в виде дополнения в арифметическом векторном пространстве С" конфигурации плоскостей {гг- = zj}. (Здесь и далее мы будем обозначать эту конфигурацию через Апi, имея в виду, что она состоит из зеркал соответствующей системы корней.) Оказывается, что алгебра когомологий этого пространства квадратичнаеё обычно называют алгеброй Орлика-Соломона в честь П. Орлика и JI. Соломона, изучавших аналогичные алгебры для различных конфигураций гиперплоскостей в конце 1970;х годов [29].

Конфигурационное пространство упорядоченных наборов п точек плоскости гомотопически эквивалентно га-му пространству топологической операды маленьких 2-дисков, поэтому гомологии этих дополнений образуют алгебраическую операду. В работе Коэна [15] было показано, что эта операда изоморфна операде Герстенхабера, которая описывает алгебраические структуры, возникающие на комплексе Хохшильда ассоциативной алгебры. В совокупности эти результаты означают, что компоненты операды Герстенхабера канонически изоморфны двойственным пространствам к соответствующим алгебрам Орлика-Соломона.

Операда Герстенхабера является нечётным аналогом операды Пуассона, описывающей алгебраические структуры на кольце функций на пуас-соновом многообразии. Двойственные пространства к компонентам операды Пуассона тоже образуют семейство ассоциативных алгебр, которые естественно называть чётными алгебрами Орлика-Соломона OS+(n) (в отличие от антикоммутативных алгебр Орлика — Соломона, эти алгебры коммутативны). Эти алгебры подробно изучены в работе Матьё [28]. Интересно, что они связаны с геометрией вещественной конфигурации гиперплоскостей A, ji: это градуированные версии алгебр Гельфанда-Вар-ченко [3] локально постоянных функций на дополнениях к соответствующим конфигурациям.

Доказательства результатов Коэна и Арнольда независимы друг от другадоказательства Матьё перерабатывают информацию о чётных алгебрах Орлика-Соломона (устроенных довольно несложно) в информацию об операде Пуассона.

Обобщения алгебр Орлика-Соломона даются двойными алгебрами Орлика — Соломона и их чётными версиями. Эти алгебры были определены несколько лет назад Б. JI. Фейгинымих некоммутативные варианты изучались А. Н. Кирилловым [23]. Б. JI. Фейгин предложил также гипотетические формулы размерности и характера для этих алгебр. После сказанного выше не очень удивительно, что эти алгебры связаны с естественными удвоениями операд Герстенхабера и Пуассона. Существенное отличие от уже известного случая состоит в том, что эту связь приходится привлекать для исследования самих алгебр. В то время, как алгебры Орлика-Соломона и их чётные версии являются кошулевыми, а их определяющие идеалы имеют обладают квадратичным базисом Грёб-нера, удвоенные алгебры не обладают этими свойствами. Это означает, что задача вычисления размерности и ряда Гильберта такой алгебры не сводится к аналогичной задаче для мономиального вырождения соотношений этой алгебры, и потому является довольно нетривиальной. Единственное известное на данный момент решение этой задачи опубликовано в данной работе и использует результаты теории операд.

Другая причина изучения бигамильтоновой операды такова. Как известно, представление симметрической группы в п-й компоненте операды Пуассона изоморфно регулярному представлению. Этому же представлению изоморфно представление симметрической группы в алгебре её ко-инвариантов — факторалгебре алгебры многочленов от п переменных по идеалу, порождённому симметрическими многочленами, которые равны нулю в начале координат. Естественное удвоение этой алгебры — алгебра диагональных коинвариантов симметрической группы, т. е. фак-торалгебра алгебры полиномиальных функций на п точках плоскости по идеалу, порождённому инвариантами, равными нулю в начале координат. Первые нетривиальные результаты об этой алгебре были получены несколько лет назад М. Хайманом [21] с помощью довольно тонких результатов о геометрии схемы Гильберта п точек на плоскости. Дальнейшие исследования показали, что различные интерпретации этой алгебры приводят к прояснению нетривиальных связей разных областей математики (см., например, [17], [20]). Гипотеза Б. JI. Фейгина состояла в том, что новую интерпретацию этой алгебры можно получить с помощью удвоения операды Пуассона — бигамильтоновой операды. Оказалось, что эта гипотеза неверна, но, что особенно удивительно, неверна лишь частично. А именно, размерность алгебры диагональных коинвариантов совпадает с размерностью пространства бигамильтоновой операды и двойной чётной алгебры Орлика-Соломона, но представление симметрической группы в алгебре диагональных коинвариантов отличается от представления в компоненте бигамильтоновой операды (которое изоморфно представлению в двойной чётной алгебре Орлика-Соломона). Эти утверждения тоже являются следствиями результатов диссертации.

Ещё одна мотивировка происходит из теории деформаций. Согласно Ливернэ и Лодэю [26], с помощью деформаций операды Пуассона можно обсуждать задачи деформационного квантования пуассоновых структур [11]. Поэтому интересно изучать деформации бигамильтоновой операды, которые потенциально могут быть полезны в задачах деформационного квантования бигамильтоновых структур, важного для интегрируемых систем.

Заключение

.

1. Возможные обобщения.

Обобщения наших результатов могут развиваться в направлении увеличения числа групп образующих — три согласованных скобки, тройная чётная алгебра Орлика-Соломона и т. д. Приведём здесь без доказательства теорему, доказанную автором в [35].

Теорема 15. Для любого к операда к согласованных скобок и «к-гамилъ-тонова» операда кошулевы.

Квадратично двойственная к операде к согласованных скобок всегда является теоретико-множественной операдой и имеет простое описание. Если обозначить эту операду через ^Ьш^, то размерность пространства^omjt (n) равна Замкнутой формулы для коэффициентов ряда, обратного соответствующей экспоненциальной производящей функции относительно композиции, нам не известно.

Мы не знаем удовлетворительного определения чётных алгебр Орлика-Соломона с к наборами образующих. Мы предполагаем, что можно определить соотношения в этих алгебрах так, чтобы возникающая коопе-радная структура давала &—гамильтонову операду, но соотношения уже не будут квадратичными и будут несколько менее прозрачны.

2. Перспективы дальнейших исследований.

2.1. Геометрические описания двойных алгебр.

Во введении к данной работе мы привели геометрические описания для алгебры Орлика-Соломона (когомологии дополнения к комплексной конфигурации гиперплоскостей) и чётной алгебры Орлика — Соломона (градуированная версия алгебры локально постоянных функций на дополнении к вещественной конфигурации гиперплоскостей). Естественно задать вопрос, существуют ли столь же наглядные описания соответствующих двойных алгебр — например, в терминах геометрических данных, связанных с конфигурациями гиперплоскостей. На данный момент ответ на этот вопрос неизвестен.

2.2. Связь с диагональными коинвариантами.

Существует ли глубокое объяснение того, что и размерность алгебры OS^n), и размерность алгебры диагональных коинвариантов для п точек на плоскости равна (n + l)71−1? Единственный известный план прояснения этой связи описан в работе А. Н. Кириллова [23], где определён некоммутативный аналог алгебры OS^in), для которого алгебра OS^in) и, предположительно, алгебра диагональных коинвариантов являются фак-торалгебрами. Возможно, что изучение этой алгебры приведёт к определению удвоенных операторов Данкла [16], и это новое семейство коммутирующих операторов будет полезно в теории интегрируемых систем.

2.3. Другой аналог алгебры Орлика-Соломона.

Как мы отмечали выше, двойные алгебры Орлика — Соломона и двойные чётные алгебры Орлика-Соломона не являются кошулевыми. Вычисления А. Н. Кириллова [23], проведённые с помощью компьютерной программы bergman [10], показывают, что среди ненулевых чисел Бетти этих алгебр встречаются b4,5 = 2 для алгебры OS^fi) и 63⁴ = 1 для алгебры 052(3). В работе [23] предложен вариант удвоения алгебры Орлика-Соломона, который предположительно даёт кошулеву алгебру. А именно, рассмотрим алгебру OS^n), множество образующих которой то же, что у 0² (п), а множество соотношений получается из соотношений 05 г (п) выбрасыванием соотношения Xijyij = 0.

Гипотеза ([23]). Алгебра 05 г (п) кошулева, dimOS^n) = 2n (n+ 1) п~2.

Замечание 10. Напомним, что 2п (п + 1) п-2 — гипотетическая размерность алгебры тридиагоналъных коинвариантов [21].

Замечание 11. Алгебры OS^in) и 052(п) во многом похожи. А именно, соотношения в них можно описать так. Положим Zij = Xxij + fiyij. Соотношения в алгебре 05^" (п) (соотв., 052(п)) означают, что для любых коэффициентов X, р элементы z^ удовлетворяют соотношениям алгебры OS+(n) (соотв., OS (n)J. Во втором случае соотношение хцУц — О теряется из-за антикоммутативности.

Мы хотим обсудить в этом разделе ещё две задачи в рамках данного сюжета, не получившие пока полного решения. Это задача вычисления кратностей неприводимых представлений симметрических групп в компонентах операды пары согласованных скобок и бигамильтоновой операды, а также задача вычисления размеров деформации бигамильтоновой операды, описанной нами выше.

2.4. Кратности неприводимых представлений.

Напомним комбинаторное правило вычисления кратностей неприводимых представлений в случае операды Ли.

Теорема 16 ([24]). Кратность неприводимого представления группы Sn, отвечающего диаграмме Юнга X из п клеточек, в пространстве J? ie (n), равно количеству стандартных таблиц Юнга Т формы X, заряд с (Т) которых сравним с 1 по модулю п. Здесь с (Т) — сумма всех чисел г, для которых г + 1 располагается ниже i в Т.

Мы предполагаем, что похожее правило вычисления кратностей верно и в случае операды пары согласованных скобок.

2.5. Деформационное квантование.

Мы надеемся, что наши результаты могут быть полезны в изучении деформационного квантования бигамильтоновых систем (ибо с помощью операд можно устанавливать, наличие какой алгебраической структуры надо ожидать на квантовом объекте).