Синтез квазиоптимальных полиномиальных систем управления простой структуры

Технический прогресс в различных сферах народного хозяйства выдвигает высокие требования к качеству выпускаемой продукции и, соответственно, к качеству работы систем управления (СУ) производственными агрегатами и оборудованием. Так как современные производственные объекты являются, как правило, многомерными и нелинейными по своей природе, то использование их линеаризованных моделей при синтезе управляющих устройств (УУ) далеко не всегда позволяет обеспечить требуемые уровни устойчивости и точности протекания технологических процессов при изменении рабочих режимов агрегатов в широких пределах или в условиях действия возмущений значительной мощности (амплитуды). Это определяется тем, что линейные модели, для которых разработаны эффективные методы синтеза, адекватно описывают поведение объекта управления (ОУ) лишь в малой окрестности установившегося режима. Все более широкое применение нелинейных СУ, обеспечивающих высококачественное функционирование промышленных объектов при изменении их переменных состояния в широких интервалах, в том числе и в состояниях, близких к предельным, оптимальным, вызывает необходимость развития методов их анализа и синтеза.

В данном направлении к настоящему времени достигнуты значительные результаты. Это, например, работы В. В. Солодовникова, Е. П. Попова, В. А. Бессекерского, A.A. Вавилова, Е. И. Хлыпало, В. В. Яковлева, С. Е. Душина и др. в области частотных методов расчета и проектирования нелинейных систем. Это работы В. М. Матросова, В. Д. Фурасова, В. М. Кунцевича, М. М. Лычака по синтезу нелинейных систем с применением аппарата функций Ляпунова (ФЛ). Широкие возможности для синтеза систем, в том числе и для нелинейных, открываются с позиций решения обратных задач динамики (А.Е. Барбашин, П. Д. Крутько, Л.М. Бойчук). Серьезные результаты получены в теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (теории АКОР), связанной с именами A.M. Летова, Р. Калмана, A.A. Красовского, В. И. Зубова, А. Г. Александрова, Ю. П. Петрова и др. Новые подходы и методы синтеза нелинейных систем предлагает синергетическая теория управления A.A. Колесникова. Первый, основной вывод, вытекающий из анализа указанных работ, можно сформулировать следующим образом. В настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления. Причинами этого являются: невыполнение для них принципа суперпозицииразнообразие классов функций, используемых для описания динамики нелинейных ОУ и УУразнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования СУ и при переходах с режима на режимразличные уровни сложности управляемых объектов, характеризуемые многомерностью, многосвязностью, многоконтурностью и т. д.- отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Неизвестны также простые, инженерные методы проектирования систем управления для многих практически важных классов нелинейных объектов. В связи с этим задача синтеза нелинейных многомерных СУ отнесена акад. A.A. Красовским, A.A. Колесниковым к центральной проблеме современной теории управления.

Второй вывод заключается в следующем. Несмотря на развитие численных и качественных методов анализа и синтеза нелинейных систем различных классов, существовала и существует необходимость получения аналитических, пусть даже приближенных, решений задач конструирования регуляторов для нелинейных объектов, важных для приложений классов. Выделение таких классов объектов имеет большое теоретическое и практическое значение в связи с тем, что аналитические методы являются наиболее предпочтительными с точки зрения общности получаемых решений, простоты их использования, экономии машинного времени при их нахождении или анализе. Отмеченные особенности аналитических решений, позволяющих относительно легко исследовать свойства системы при изменении ее параметров в широких пределах, определяет целесообразность применения последних методов в практике проектирования и наладки систем автоматического управления.

Достаточно широкий класс нелинейных ОУ образуют многомерные стационарные объекты с нелинейными характеристиками полиномиального вида от их фазовых координат. В связи с тем, что при описании нелинейных характеристик динамических объектов (систем) используются полиномы, в дальнейшем указанные объекты и системы называются полиномиальными.

Указанные динамические модели с полиномиальными нелинейностями, на взгляд автора, очень широко используются для описания процессов различной природы. Для обоснования этого базового утверждения приведем примеры из разных областей науки и техники, в которых применяются полиномиальные модели динамики. 1. Устройства электромеханики: в соответствии с обобщенной теорией электрических машин (Г. Крон, Р. Парк, A.A. Горев, И.П. Копылов) динамика всех типов электрических двигателей и генераторов постоянного и переменного токов описывается дифференциальными уравнениями с квадратичными нелинейностями, причем эти нелинейности отражают физическую сущность процессов преобразования электрической энергии в механическую и наоборот. 2. Объекты химической технологии: для моделей динамики химических реакторов также характерны квадратичные нелинейности, определяющие в соответствии с законом действующих масс скорость химической реакции двух исходных веществ через произведение их концентраций. 3. Объекты биологии и экологии: большинство современных математических моделей, описывающих динамику популяций, связано с моделями, предложенными Лоткой и Вольтерра, в которых присутствуют произведения фазовых координат системы. Полиномиальные модели находят использование также и в других областях, например, при моделировании и управлении процессами в летательных аппаратах (работы А. А. Красовского и его учеников). При этом важно подчеркнуть, что выделенный класс полиномиальных объектов можно значительно расширить, включив в него объекты с нелинейными характеристиками, являющимися непрерывными действительными функциями, после предварительной аппроксимации их полиномиальными зависимостями. Заметим, что при описании динамики вышеперечисленных полиномиальных объектов, как правило, ограничиваются учетом квадратичных и/или кубических нелинейностей, более того, полиномиальную нелинейность более высокой степени, как правило, можно свести к квадратичной или кубической путем расширения фазового пространства (введением вспомогательных координат, являющихся произведением исходных). Рассмотрение полиномиальных объектов с нелинейностью не выше третьей степени составляет первую отличительную особенность диссертационной работы.

Анализ возможных постановок задач управления, вытекающих из трех основных способов формализации требований к качеству движения синтезируемых систем, привел к выводу, что первый способ, состоящий в задании первичных показателей качества переходных процессов, и второй, заключающийся в представлении желаемого движения системой дифференциальных уравнений, практически невозможно использовать при конструировании нелинейных многомерных СУ. Первый способ формализации в общем случае нельзя применять к нелинейным системам вследствие зависимости характера их переходных процессов от вида входных воздействий и начальных условий данных систем. Применение же второго способа к многомерным объектам встречает серьезные трудности, связанные с заданием структуры системы дифференциальных уравнений с большим числом параметров, описывающей желаемые движения. В связи с этим, наиболее приспособленным для применения к сложным нелинейным многомерным ОУ, является способ формализации, основанный на введении оптимизируемого функционала (критерия качества) интегрального типа. Его достоинства состоят в следующем. Во-первых, использование интегральных критериев качества, в частности квадратичных функционалов, позволяет определить требования к переходным процессам СУ заданием значений их весовых коэффициентов, число которых может быть значительно меньше числа параметров системы дифференциальных уравнений, описывающей желаемые движения синтезируемой многомерной системы, и меньше числа первичных показателей качества, определяемых для каждой координаты многомерного объекта. При этом практически произвольный выбор весовых коэффициентов обеспечивает синтезируемой системе фундаментальное свойство — свойство асимптотической устойчивости. Во-вторых, дальнейший целенаправленный перебор данных коэффициентов, как правило, удовлетворяет разумные требования к первичным показателям качества систем, к времени переходного процесса, перерегулированию и т. д. Более широкие возможности в этом направлении обеспечивают функционалы с интегрантами полиномиального вида, содержащими слагаемые четвертой степени, которые для электромеханической системы, рассматриваемой в прикладной главе диссертации, имеют большой физический смысл — смысл квадратичных отклонений соответствующих мощностей или энергий. Использование при синтезе систем критериев с полиномиальными интегрантами четвертой степени, что является второй отличительной особенностью диссертационной работы, позволяет, например, придать электроприводу повышенное быстродействие, близкое к оптимальному. И в-третьих, главное достоинство данного способа формализации задач управления заключается в том, что он позволяет использовать для синтеза УУ сложными объектами результаты теории оптимального управления (JI.C. Понтрягин, Р. Беллман, Р. Калаба, В. М. Тихомиров, В. Ф. Кротов, В. И. Гурман, Р. Габасов, Ф. М. Кирилова и др.), и теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (A.M. Летов, Р. Калман, A.A. Красовский, A.A. Колесников, А. Г. Александров,.

Ю.П. Петров, Р.Т. Янушевский), которые являются базовыми составляющими современной теории автоматического управления. Следует подчеркнуть, что методы АКОР находят все расширяющееся применение в прикладных задачах управления различными сложными производственными объектами. Это связано с такими достоинствами данных методов, как их общность, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникла необходимость решения задачи АКОР по интегральному критерию с интегрантом степенного вида, частным случаем которого является обобщенный квадратичный функционал качества. При постановке задачи АКОР учитывается, что кроме неконтролируемых возмущений, случайным образом меняющих отклонения фазовых координат системы от заданного режима работы, объекты находятся под действием так называемых возмущений волновой структуры, динамика которых описывается устойчивыми решениями линейных дифференциальных уравнений. Предполагается, что эти возмущения в случайные моменты времени скачком изменяют свои значения, причем соседние скачки разделены достаточно продолжительным интервалом времени, соизмеримым со временем переходных процессов проектируемой СУ. На этом основании для синтеза регулятора, противодействующего данному возмущению, используются методы теории управления детерминированными объектами.

Решение указанной задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты при действии указанных возмущений, как показал анализ существующих работ, представляет серьезную теоретическую проблему, а с учетом широкого распространения указанных объектов — также и практически важную проблему. Для ее решения неизвестны теоретически законченные, относительно простые методы. Так, например, широко известный метод синтеза A.A. Красовского к данной задаче неприменим, так как использует специальный критерий обобщенной работы. При использовании же метода динамического программирования, эта задача решается аналитически только для объектов первого порядка. При более высоких порядках объектов известные методы (степенных рядов, малого параметра, рядов Вольтерра) в большей степени имеют теоретическое значение, чем прикладное, так как оптимальное управление представляется в форме многомерных степенных рядов с большим числом слагаемых. Для полиномиальных объектов порядка п указанные ряды имеют п линейных.

2 3 слагаемых (обратных связей), п квадратичных, п кубических (без учета их симметрии) и т. д., которые не только трудно рассчитать, но и тем более, технически реализовать, особенно на элементах аналоговой техники. Эту ситуацию Р. Беллман образно назвал «проклятием многомерности». В связи с этим метод динамического программирования практически невозможно применять к объектам выше третьего порядка.

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникает необходимость в разработке метода синтеза квазиоптимальных управлений простой структуры, имеющей сравнительно небольшое число обратных связей. Целесообразность получения простой структуры закона ОС вызвана стремлением как сократить общее время проектирования СУ и, соответственно, связанные с ним затраты, так и стремлением улучшить ряд технико-экономических показателей проектируемых систем (уменьшить габариты, вес, стоимость, повысить надежность управляющих устройств). В работе анализируется один из вариантов решения этой актуальной задачи, причем под простой структурой закона управления полиномиальным ОУ понимается полиномиальная функция невысокой (минимальной) степени, содержащая наименьшее число членов старшего порядка, достаточное как для обеспечения устойчивости в «целом» синтезируемой системы (основного свойства оптимальной СУ), так и заданных показателей качества управления. Исключение из закона ОС составляющих высоких степеней, а также части слагаемых (некритичных с точки зрения устойчивости) той степени, на которой полином «усекается», связано с тем, что члены указанных степеней наиболее многочисленны и сложны в технической реализации, вместе с тем практически не влияют на формирование управляющего сигнала в области малых отклонений. Указанное понимание простой структуры полиномиального управления согласуется с известным определением простой системы как системы, не содержащей избыточных элементов (Солодовников В.В., Бирюков В. Ф., Мозжечков В.А.).

Использование короткого полинома (простой структуры регулятора), составляющие которого рассчитываются и реализуются сравнительно просто, естественно, может привести к некоторой потере качества управления. Но, ввиду медленной сходимости степенных рядов учет большого (предельно допустимого с практической точки зрения) числа членов ряда незначительно повышает точность приближения функции Беллмана (Ляпунова), определяющей закон обратной связи и, соответственно, качество регулирования. Поэтому расчет закона ОС в виде полинома высокой степени имеет смысл, главным образом, с точки зрения расширения области устойчивости синтезируемой СУ. Однако, как показывается в диссертации, существует возможность получения законов ОС простой структуры, обеспечивающих асимптотическую устойчивость СУ в «целом». Отметим, что устойчивость в «целом» важна как с точки зрения практики (СУ может попасть в режимы работы, близкие к аварийным), так и теории управления, ввиду определенной сложности получения оценок областей устойчивости нелинейных СУ.

Итак, согласно вышесказанному актуальна задача: для рассматриваемого класса ОУ выбрать минимальную степень полиномиального закона ОС, рассчитанного методом степенных рядов (Альбрехт Э.Г., Красовский A.A.) в соответствии с выбранным функционалом качества, и, соответственно, минимальное число его старших членов, коррекцией которых можно обеспечить асимптотическую устойчивость СУ в «целом», при этом коррекция должна осуществляться с минимальной потерей качества регулирования. В результате, синтезируемая система становится оптимальной в «малом» и асимптотически устойчивой в «целом» при использовании небольшого числа обратных связей.

Разработка указанного подхода позволит снять остроту проблемы «проклятия многомерности» и рассчитывать реализуемые законы квазиоптимального управления для объектов относительно высокого порядка, например, сконструировать квазиоптимальный по быстродействию закон управления следящим электроприводом (СП) радиолокационной станции (РЛС), работающей в динамически напряженном режиме поиска цели.

Цель работы состоит в модификации метода синтеза квазиоптимальных нелинейных систем (метода степенных рядов), позволяющей получить простую структуру законов управления многомерными полиномиальными объектами, обеспечивающих асимптотическую устойчивость систем в «целом" — в разработке квазиоптимального закона управления простой структуры приводом РЛС.

В направлении достижения указанной цели в диссертации поставлены следующие задачи.

1. Разработать простые в использовании, имеющие аналитический характер критерии анализа положительной определенности однородных полиномов (форм) четвертой степени, удобные для анализа устойчивости полиномиальных СУ.

2. Разработать методики анализа положительной определенности полиномов, являющихся суммой форм второй, третьей и четвертой степени.

3. Разработать методику построения качественной функции Ляпунова (ФЛ), позволяющей свести анализ устойчивости в «целом» систем управления рассматриваемого класса к анализу положительной определенности суммы форм не выше четвертой степени.

4. С использованием разработанных критериев и методик модифицировать метод степенных рядов применительно к синтезу полиномиальных систем управления рассматриваемого класса с целью придания им свойства асимптотической устойчивости в «целом» за счет коррекции членов старшей степени синтезируемых законов управления простой структуры.

5. применить разработанные метод и методики синтеза к проектированию следящего электропривода радиолокационной станции.

Объектом исследования являются нелинейные системы управления с полиномиальными характеристиками.

Предметом исследования является метод синтеза полиномиальных квазиоптимальных законов управления простой структуры, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в «целом» синтезируемых систем управления.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы теории устойчивости (методы построения ФЛ для нелинейных систем), теории дифференциальных уравнений, методы теории оптимального управления, теории матриц. При исследовании электромеханической системы — следящего привода РЛС применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальные исследования.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся следующие результаты исследований:

— аналитические критерии и методики проверки положительной определенности (ПО) и положительной полуопределенности (ППО) вещественных форм четвертой степени от двух и трех аргументов, а также суммы вещественных форм второй, третьей и четвертой степени от того же числа аргументов, необходимые для анализа устойчивости полиномиальных СУ;

— методика построения специальной функции Ляпунова для канонических полиномиальных систем исследуемого класса, позволяющей выявить негрубые достаточные условия асимптотической устойчивости в «целом» таких систем;

— метод синтеза закона управления в виде полинома третьей степени с минимальным числом кубических ОС, обеспечивающего квазиоптимальность движений рассматриваемых СУ в «малом» и их асимптотическую устойчивость в «целом»;

— нелинейный закон управления следящим электроприводом РЛС;

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена математическими доказательствами теоретических результатов, применением разработанного метода для синтеза квазиоптимальной СУ следящим приводом РЛС на базе двигателя постоянного тока, результатами цифрового моделирования систем управления реальными объектами и экспериментального исследования СП.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, лежащие в основе предлагаемых метода и методик синтеза нелинейных систем.

1. Введено диагональное представление форм четвертой степени — способ записи указанных форм, удобный для анализа их ПО (ППО) с помощью критерия Сильвестра. Разработана методика расчета наилучших значений специальных параметров, делающих диагональное представление однозначным;

2. Для анализа ПО (ППО) суммы форм, зависящих от двух аргументов, предложен переход к соответствующей квадратичной форме с ц-диагональной матрицей коэффициентов;

3. Для суммы форм 2-й, 3-й и 4-й степени получены условия преобладания значений крайних ПО форм 2-й и 4-й степени над значениями формы 3-й степени в каждой точке фазового пространства, в случае, когда форма 3-й степени не содержит одночлены (мономы), образованные «тройкой» аргументов;

4. Разработана методика построения специальной ФЛ для нелинейных канонических систем исследуемого класса. Данная функция отвечает основному признаку качественной ФЛ — применение ее к анализу устойчивости линейной части системы приводит к получению соответствующих условий Рауса-Гурвица;

5. Доказано утверждение о том, что для придания асимптотически устойчивой в «малом» СУ рассматриваемого класса асимптотической устойчивости в «целом», необходимо и достаточно скорректировать лишь коэффициенты членов старшей (третьей) степени полиномиальной функции управления;

6. Для объектов исследуемого класса предложен метод синтеза закона управления в виде полинома третьей степени. Закон обеспечивает квазиоптимальность движений СУ в «малом», их асимптотическую устойчивость в «целом», и содержит минимальное (с учетом найденных аналитических условий устойчивости) число кубических ОС;

7. Получен квазиоптимальный закон управления следящим приводом РЛС, имеющий простую в вышеуказанном смысле структуру.

Практическая ценность. Практическая значимость разработанного в диссертации метода получения квазиоптимальных управлений простой структуры определяется такими факторами как 1) применением при синтезе СУ нелинейных моделей ОУ, которые в сравнении с линейными моделями более достоверно описывают физические процессы многих производственных объектов и существенно расширяют область использования исследуемых систем- 2) получаемые с его помощью законы управления проще и/или обеспечивают лучшие показатели качества синтезируемых СУ в сравнении со стандартными полиномиальными и известными линейными законами- 3) разработанные метод и методики отличаются относительной простотой и аналитическим характером, что делает их предпочтительными в инженерных расчетах. Результаты работы могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании современных устройств автоматического управления, а также разработке САПР указанных устройств.

Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре электротехники и электрооборудования (ЭиЭО) Тульского государственного университета (ТулГУ). Полученные результаты использованы при проектировании СУ ЭП в.

Тульском филиале ФГУП «КБМ», а также внедрены в учебном процессе ТулГУ, о чем имеются соответствующие акты.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Москва, 2006), Международных конференциях «Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий» (Москва, 2004, 2005), Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения» (Саратов, 2005) и Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами» (Тула, 2005).

Публикации. По результатам выполненных исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка на 138 наименований, приложения. Материал изложен на 170 страницах. Работа содержит 32 рисунка и 1 таблицу. Диссертация соответствует пунктам 1, 4, 7 Паспорта специальности 05.13.01. ,.

ВЫВОДЫ.

1. Для ЭП РЛС сформулирована и приближенно решена задача АКОР по критерию качества, содержащему составляющую четвертой степени от выходной угловой координаты. Показано, что в синтезированной СУ за счет использования соответствующих линейных и кубических обратных связей можно обеспечить апериодические переходные процессы с быстродействием, близким к предельному.

2. На основании ММСР было произведено упрощение полиномиального квазиоптимального закона управления м, (X) приводом РЛС с незначительной коррекцией коэффициентов оставленных мономов таким образом, чтобы СУ удовлетворяла все предъявляемым к ней требованиям. В результате получен закон управления щ (х), содержащий, по сравнению с законом щ (Х), значительно меньше нелинейных членов. Синтезированный закон управления и2{Х) удовлетворяет всем требованиям технического задания и принят к использованию в разработках Тульского филиала ФГУП «КБМ». I.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Результаты диссертации развивают метод степенных рядов, используемый для аналитического конструирования квазиоптимальных регуляторов применительно к полиномиальным объектам рассматриваемого класса и решают научную задачу разработки полиномиальных законов управления простой структуры, обеспечивающих квазиоптимальность синтезируемой СУ в «малом» и ее асимптотическую устойчивость в «целом». Решение указанной задачи позволяет уменьшить время проектирования СУ, стоимость, вес, габариты регулятора как технического устройства при несущественной потере качества регулирования, а также время расчета управляющего воздействия при реализации закона ОС на однокристальных ЭВМ, вместе с тем, повышает надежность работы СУ.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Введено диагональное представление форм 4-й степени — способ записи форм, удобный для анализа их ПО с помощью критерия Сильвестра и последующего анализа устойчивости синтезируемых полиномиальных СУ. Разработана методика расчета наилучших значений специальных параметров, делающих диагональное представление однозначным. На основе анализа диагонального представления разработаны два простых в применении аналитических критерия проверки ПО (ППО) форм 4-й степени, соответственно, от двух и трех аргументов.

2. Предложены две аналитические методики проверки ПО (ППО) суммы форм 2-й, 3-й и 4-й степени. Первая применяется в случае, когда формы зависят от двух аргументов. Вторая методика применяется к рассматриваемой сумме форм, зависящих от произвольного числа аргументов, если форма третьей степени не содержит члены, образованные «тройкой» аргументов (одночлен состоит из произведения трех различных аргументов). Разработанные методики вместе с указанными в пункте 1 критериями позволяют исследовать устойчивость в целом полиномиальных СУ рассматриваемого класса, поскольку для них как ФЛ, так и ее полную производную можно построить в виде указанных функций (форм).

3. Разработана методика построения специальной функции Ляпунова, позволяющей получить в аналитическом виде негрубые достаточные условия асимптотической устойчивости СУ исследуемого класса. Доказано утверждение 2, из которого следует, что для придания устойчивой в «малом» СУ свойства асимптотической устойчивости в «целом» достаточно скорректировать лишь кубические (старшие) коэффициенты функции управления.

4. С использованием указанной в п. 3 методики и доказанного утверждения 2 разработан модифицированный метод степенных рядов (ММСР). В нем, в отличие от стандартного метода степенных рядов, алгоритм построения закона ОС дополнен анализом аналитических условий асимптотической устойчивости в «целом» синтезируемой СУ, что позволяет исключить избыточные с точки зрения устойчивости старшие члены закона управления, а коррекцией коэффициентов оставшихся членов обеспечить требуемое значение функционала качества. Таким образом, ММСР позволяет осуществить синтез систем управления объектами из исследуемого класса, обладающих свойством квазиоптимальности движений в «малом» и асимптотической устойчивости в «целом», при использовании небольшого числа нелинейных ОС закона управления. Метод применяется в учебном процессе ТулГУ, о чем свидетельствует соответствующий акт использования.

5. На основании ММСР произведено упрощение полиномиального, квазиоптимального по быстродействию закона управления электроприводом РЛС, синтезированного методом A.A. Красовского по функционалу качества, содержащему составляющую четвертой степени от регулируемой координаты. В результате получен закон управления простой структуры, содержащий, в сравнении с исходным законом, значительно меньше кубических обратных связей. Полученный упрощенный закон прошел практическую апробацию на лабораторном стенде, разработанном на кафедре ЭиЭО ТулГУ. Данный закон управления был также опробован в макетном образце привода горизонтального наведения установки «Гром» (НИР «Блокировка») и принят к использованию в разработках Тульского филиала ФГУП «КБМ», о чем свидетельствует соответствующий акт реализации.