Определение реакции опор твёрдого тела

Рассчётно-графическая работа С-7

«Определение реакции опор твёрдого тела»

Результаты вычислений приведены в таблице:

При нахождении получилось, что значение составляющей по оси отрицательно. Это значит, что при расставлении действующих на данную систему сил было выбрано неверное направление. В итоге правильное построение будет выглядеть следующим образом:

«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её траектории».

1. Скорость

В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:

=>

Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:

После дифференцирования получим:

Найдём полную скорость точки в момент времени :

2. Ускорение

В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:

=>

Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:

После дифференцирования получим:

Найдём полное ускорение точки в момент времени :

С другой стороны ускорение можно найти по формуле:

где

тангенциальное ускорение (касательная составляющая полного ускорения), а нормальная составляющая полного ускорения, которые можно найти по формулам:

где — радиус кривизны траектории в искомой точке.

— 0,0058 при =2 с.

Тогда найдётся по формуле:

Подставив значения, получим:

Найдём уравнение движения точки. Для этого выразим из второго уравнения переменную времени () и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Получившееся уравнение () является гиперболой.

Найдём начальное положение точки. Для этого подставим в уравнения значение .

Чтобы определить в какую сторону происходит движение необходимо подставить в уравнение движения время, отличное от (например).

движение происходит по левой ветви гиперболы в направлении, указанном на рисунке.

Расставим на графике движения векторы скорости, ускорения и векторы полной скорости и ускорения:

Дано:

m₁ = m

m₂ = 2m

m₃ = 9m

R₃ = 0,3 м

i_3? = 0,2 м

? = 30

f = 0,12

? = 0,25 см

s = 1,5 м

Найти:

V₁ = ?

Решение:

По теореме об изменении кинетической энергии системы:

(т.к. система состоит из абсолютно твердых тел и нерастяжимых нитей) Кинетическая энергия системы равна:

Сумма работ внешних сил:

м/с

Интегрирование дифференциальных уравнений

Д-1 вар. 9

Лыжник

Vв

h

d

Дано

=15;; ?=0,1 ?=0,3 ;?=45?

h=42 ?

Найти Va, Vв

Решение

mX=Xi 1 Fтр=fN

mX=Gsin-Fcoпр N=Gcos

mX=Gsin-fGcos

X=gsin-fgcos

X=(g (sin-fcos) t+ C₁

X=(g (sin-fcos)/2) t²+ C₁t+ C₂

При нормальных условиях: t=0 x=0

X=Vв X= C₂=0; C₁=Va

X=g (sin-fcos) t+ C₁ X= (g (sin-fcos)/2) t²+С₁*t

X=Vв X=L

Vв=g (sin?-?*cos?)?+Va2

L= ((g (sin?-?*cos?)?)/2)? +С₁*t

Рассмотрим движение лыжника от точки В до точки С, составим дифференциальное уравнение его движения.

Mx=0 my=0

Начальные условия задачи: при t=0

X0=0 Y0=0

X0=Vв*cos?; Y0=Vв*sin?

Интегрируем уравнения дважды

Х=C3 Y=gt+C4 2

X= C3t+ C5 Y=gt /2+C4t+C6

при t=0

X=C3; Y0=C4

X=C5; Y0=C6

Получим уравнения проекций скоростей тела.

X=Vв*cos?, Y=gt+Vв*sin?

и уравнения его движения

X=Vв*cos?*t Y=gt /2+Vв*sin?*t

Уравнение траектории тела найдем, исключив параметр t из уравнения движения получим уравнение параболы.

Y=gx /2(2Vв*cos?) + xtg?

Y=h x=d h=tg?*d d=h/tg?

Найдём Vв из уравнения 2 2 2

Y=gx /2(2Vв*cos?) + xtg?

Vв=18м/с и найдём Va

Vв=g (sin?-?*cos?)?+Va

Va=11,3м/с

Ответ: Va=11,3м/с Vв=18м/с

Задание Д.3

Исследование колебательного движения материальной точки

Дано:

Найти: Уравнение движения

Решение:

Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение. Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:

гдесумма проекций на ось сил, действующих на груз.

Таким образом

Здесь ,

где — статическая деформация пружины под действием груза; -перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону .

Статическую деформацию пружины найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза:

т.е.

Откуда

Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:

или после преобразования

Разделив все члены уравнения на получим:

Введем обозначения:

Получаем, что

Имеем неоднородное уравнение

где — общее решение, соответствующего однородного уравнения;

— частное решение данного неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частное решение неоднородного уравнения:

Общий интеграл

Для определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для :

и используем начальные условия задачи.

Рассматриваемое движение начинается в момент, когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза.

Таким образом, при

Составим уравнения и для :

Откуда

Тогда уравнение движения груза примет вид:

Ответ:

Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.

Дано:

Найти: Скорость .

Решение:

На механическую систему действуют внешние силы: — сила сухого трения в опоре А; - силы тяжести тел 1, 2 и 3; -сила нормальной реакции в точке А; -реактивный момент в опоре В.

Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат

(1)

где — проекции вектора количества движения системы на оси координат; - суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.

Количество движения системы тел 1, 2 и 3

(2)

где

. (3)

Здесь — скорости центров масс тел 1, 2, 3; - соответственно переносные и относительные скорости центров масс.

Очевидно, что

(4)

Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4)

(5)

где — проекция вектора на ось ;

Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси

(6)

Знак «- «соответствует случаю, когда, а знак «+» — случаю, когда .

Подставляя (5) и (6) в (1), получим

(7)

Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим

при; (8)

при. (9)

где

Рассмотрим промежуток времени, в течении которого тело 1 движется вправо. Из (8) следует, что

где Спостоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при

.

При скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому .

Найдем значения и :

Т.е.,. Значит, тело при начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии:; (10)

Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при

(11)

При получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда

.

Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1:

при (12)

; при, (13)

где

Из (12) и учитывая, что получаем, при

откуда или

Из (13) и учитывая, что получаем, при

При находим

Ответ: .