Определение вероятности событий

ЗАДАНИЕ № 1. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий Среди 10 документов, поступивших в офис, два оформлены с ошибками. Для проверки наудачу взяли 4 документа. Какова вероятность того, что среди них окажется:

а) хотя бы один неверно оформленный документ, б) только один неверно оформленный документ.

a) Воспользуемся классической формулой Р (А)=,

Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 документов взять четыре, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 4: .

Событие «выбран хотя бы один неверно оформленный документ» — это появление одного из двух несовместных событий А1="выбран один неверно оформленный документ и три верно оформленных" и А2="выбраны два неверно оформленных и два верно оформленных документа" .

Данная выборка — неупорядоченная, без повторений.

Вероятность первого события:

Вероятность второго события:

Вероятность события «выбран хотя бы один неверно оформленный документ» определяется как сумма несовместных событий А1 и А2:

b) Воспользуемся классической формулой Р (B)=,

Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 документов взять четыре, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 4:. Вероятность того, что лишь один документ будет оформлен неверно — это совместное появление событий «один документ оформлен неверно» и «три документа оформлены верно» .

Т.е., число благоприятных исходов .

Т.к. данная выборка — неупорядоченная, без повторений, то:

ЗАДАНИЕ № 2. Теорема полной вероятности события Радиолампа поступает с одного из двух заводов с вероятностью 0,4 и 0,6 соответственно. Вероятность бесперебойной работы лампы составляет: для лампы первого завода — 0,1; второго завода — 0,2. Найти вероятность того, что лампа работает бесперебойно.

Рассмотрим гипотезы:

Н1 — лампа поступила с первого завода, Н2 — лампа поступила со второго завода.

Тогда из условия Р (Н1)=0,4; Р (Н2)=0,6.

Событие, А — лампа работает бесперебойно.

По условию Р (А/Н1)=0,1; Р (А/Н2)=0,2.

Следовательно, по формуле полной вероятности Р (А)=0,4· 0,1+0,6·0,2=0,16.

ЗАДАНИЕ № 3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа В поселке из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 300 имеют холодильники.

По формуле Муавра-Лапласа:

где:

ц (x) — функция Гаусса, определяется по таблицам,

p=0.8 — вероятность появления события, q=1-p,

n=400 — число испытаний,

k=300 — число появлений события в n испытаниях.

по таблицам найдем: ц (-2.5)= ц (2.5)=0.0175

Искомая вероятность равна: .

ЗАДАНИЕ № 4. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины

4. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:

Составить функцию распределения F (x) и изобразить ее график. Вычислить М (Х), Д (Х), х.

Условие нормировки: 0.2+0.3+0.1+0.2+0.2=1.

Если x из (-?;1], то F (x)=P (X

если x из (1;4], то F (x)=P (X

если x из (4;5], то F (x)=P (X

если x из (5;7], то F (x)=P (X

если x из (7;8], то F (x)=P (X

если x из (8;+ ?), то F (x)=P (X

Следовательно,

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Dx=M[X2]-mx2

Dx=30.1−4.9=25.2.

Среднее квадратическое отклонение:

уx = = =5.02.

ЗАДАНИЕ № 5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение. Выборочные характеристики статистического распределения

По данному статистическому распределению выборки вычислить:

а) выборочную среднюю, б) выборочную дисперсию, с) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Построить полигон частот или гистограмму.

а) Выборочная средняя:

.

б) Выборочная дисперсия:

.

с) Выборочное среднее квадратическое отклонение:

.

вероятность событие формула распределение Полигон частот: