Диссертация посвящена проблеме распространения акустических импульсов малой амплитуды в средах, обладающих частотно-зависимым поглощением и дисперсией фазовой скорости. Поскольку поглощение и связанная с ним частотная дисперсия проявляется в той или иной мере практически во всех реальных средах, то это явление играет значительную роль для различных научных и технических приложений, так или иначе связанных с использованием как акустических, так и электромагнитных импульсов. В частности, проявлением дисперсионно-диссипативных свойств является то, что форма и амплитуда импульсов изменяется по мере их распространения, что позволяет использовать это обстоятельство как для диагностики свойств среды, так и для правильной интерпретации передаваемого сигнала.
Таким образом, в рассматриваемой проблеме можно выделить прямую и обратную задачу. Прямая задача состоит в описании распространения импульсов в средах с известными параметрами поглощения и дисперсии, а обратная — в восстановлении дисперсионно-диссипативных свойств среды по динамике формы распространяющегося импульса.
Актуальность прямой задачи связана прежде всего с приложениями, в которых для изучения какого-либо объекта используется излученное им самим или отраженное от него волновое поле. В качестве примеров таких приложений можно назвать локационное зондирование различных объектов в океане, дефектоскопию и интроскопию различных материалов, акустический каротаж, ультразвуковую медицинскую диагностику и др. Отметим, что разрешающая способность методов импульсного локационного зондирования тем выше, чем меньше длительность импульса, однако именно короткие импульсы подвергаются наиболее сильному искажению вследствие дисперсии. Поэтому важно отделить структуру волнового поля связанную с исследуемым объектом от особенностей, связанных с дисперсионно-диссипативными свойствами среды.
Прямая задача имеет важное значение также и для передачи информации. В этой связи переход от способа передачи информации, основанного на амплитудно-частотной модуляции квазимонохроматических волн, к использованию последовательностей коротких импульсов с широким спектром и высокой скважностью, в принципе позволяет существенно увеличить скорость передачи информации. Однако поглощение и дисперсия, оказывающие наиболее сильное влияние на распространение коротких импульсов создают определенные трудности на этом пути.
Другая группа приложений связана с обратной задачей. Поскольку частотная дисперсия в среде определяется релаксационными процессами, происходящими на молекулярном или микроструктурном уровне, решение обратной задачи может быть использовано для определения параметров, характеризующих молекулярные или микроструктурные свойства сред, а также кинетику соответствующих релаксационных процессов. Такими величинами могут быть, например, параметры спектра времен релаксации ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964;Новик, Берри 1975;Кельберт, Чабан 1986;Кельберт, Сазонов 1987;Максимов 1996]). Таким образом, импульсная диагностика ([Кельберт, Сазонов 1987;Нигул 1981;Нигул 1984;Максимов 1996]), основанная на решении обратной задачи может служить инструментом молекулярной акустики и дополнением к традиционной акустической спектроскопии.
Заметим, что в англоязычной литературе использование закономерностей динамики формы импульса для определения каких-либо дисперсионных характеристик среды часто называют спектроскопией во временной области (time domain spectroscopy) (см. например [Roberts, Petropoulos 1996]).
Хотя в обычных условиях импульсная диагностика по-видимому может служить лишь дополнением к традиционным спектроскопическим методам, существуют задачи, в которых у импульсных методов есть значительные преимущества ([Кельберт, Сазонов 1987;Максимов 1996;Roberts, Petropoulos 1996]). Для традиционной спектроскопии обычно требуется сложный комплекс измерений в широком частотном диапазоне. Причем в процессе измерений необходимо поддерживать стационарные условия в течение относительно длительного времени. Это обстоятельство осложняет применение спектроскопии для диагностики быстропротекающих процессов и неустойчивых сред или сред, находящихся под воздействием быстроменяющихся внешних условий. В таких случаях импульсные методы могут иметь существенные преимущества.
Примерами задач, в которых целесообразно использовать импульсные методы диагностики могут служить задачи мезомасштабной диагностики атмосферы ([Иванченко, Николаев 2000]) и океана ([Кельберт, Сазонов 1987]). В этих задачах при проведении спектроскопических измерений возникает весь отмеченный выше комплекс сложностей, в тоже время импульсные измерения могут быть проведены сравнительно просто.
Следует отметить особую роль коротких импульсов в задачах импульсной диагностики. В таких задачах, так же как и в задачах локационного зондирования, важно отделить особенности динамики импульса, определяемые средой, от особенностей определяемых его начальным профилем. В работе [Максимов 1996] показано, что в случае когда длительность импульса много меньше чем характерные времена происходящих в среде релаксационных процессов, его динамика определяется главным образом дисперсионными свойствами среды и практически не зависит от его первоначальной формы. Это обстоятельство делает короткие импульсы удобным диагностическим инструментом.
Заметим также, что корректная постановка и решение обратной задачи — задачи импульсной диагностики — в значительной мере определяется возможностью нахождения решения прямой задачи, явно зависящего от параметров, характеризующих дисперсионно-диссипативные свойства среды. В этом случае обратная задача может быть поставлена как задача отыскания таких значений параметров, при которых решение прямой задачи было наиболее близко к профилю импульса, полученному экспериментально. Общность такой постановки определяется возможностью достаточно общего описания дисперсионно-диссипативных свойств реальных сред.
Таким образом, с точки зрения диагностики, важно получить такое описание дисперсионных свойств, которое, с одной стороны, может быть: охарактеризовано макроскопическими параметрами, применимыми к широкому классу сред, а с другойважно чтобы эти параметры допускали физически понятную молекулярную или микроструктурную интерпретацию.
Способы описания дисперсионных свойств сред.
Реальные среды обладают широким разнообразием дисперсионно-диссипативных свойств и существует разнообразные подходы к их описанию в рамках различных моделей. При этом описание дисперсионно-диссипативных свойств среды, проявляющихся в особенностях распространения коротких импульсов, также оказывается модельно зависимым.
Остановимся на основных подходах, используемых для описания дисперсионно-диссипативных свойств сред ([Коган 1963]).
Эмпирическое описание.
Наиболее простым способом такого описания является прямое использование экспериментальных кривых частотной зависимости коэффициента поглощения и фазовой скорости, полученных в результате прямых спектроскопических измерений в определенной ограниченной области частот. Эти данные в дальнейшем могут быть экстраполированы на всю оставшуюся область частот в рамках той или иной модели, удовлетворяющей принципу причинности, что обычно достигается учетом дисперсионных соотношений Крамерса — Кронинга (см. например [Ландау, Лифшиц Т. VIII 1992]). Такой способ не требует информации о физической природе механизмов, ответственных за дисперсионно-диссипативные свойства. Однако свойства среды, выявленные таким способом, являются: чисто эмпирическими, и, не могут быть использованы для другой среды, или той же среды, но находящейся в других условиях.
Примеры теоретического обоснования и использования этого подхода можно найти в работах [Дерягин 1931; Гинзбург 1955; Горшков 1957; Азими и др. 1968; Губкин 1984; Lamb 1962].
Механические модели.
Другой подход к описанию дисперсионно-диссипативных свойств основан на моделировании реологии среды, т. е. ее механического поведения под влиянием внешнего воздействия. Несмотря на то что, ни закон Гука, ни закон вязкого течения Ньютона в отдельности в точности не описывают механическое поведение значительной части реальных сред даже в линейном приближении, качественное, а иногда и количественное согласие с экспериментами часто удается получить в предположении, что процессы упругого и вязкого деформирования протекают в среде одновременно. Механическое поведение материала при таком подходе может быть смоделировано совокупностью последовательно и параллельно соединенных упругих элементов (пружинки), подчиняющихся закону Гука и вязких элементов (демпферы, поршни), подчиняющихся закону вязкого течения Ньютона ([Работнов 1977; Новик, Берри 1975; Аскадский 1973]), а также сосредоточенных масс в качестве инерционных элементов ([Achenbach, Chao 1962; Новик, Берри 1975; Николаевский 1985]), если реакция материала имеет также и инерционные свойства.
Наиболее простые модели такого типа это совокупность упругого и вязкого элементов, соединенных последовательно (модель Максвелла) или параллельно (модель Кельвина-Фойгта), а также их обобщение — трехэлементная модель стандартного неупругого тела ([Новик, Берри 1975; Аскадский 1973]), представляющая собой модель Кельвина-Фойгта последовательно соединенную с пружиной. Эти модели как правило лишь качественно описывают поведение неупругих сред. Однако более сложными моделями такого типа, состоящими из большего числа элементов можно эффективно описать поведение целого ряда материалов ([Николаевский и др. 1970; Аскадский 1973; Новик, Берри 1975; Работнов 1977]).
Все возможные механические модели можно рассматривать как частные случаи общего подхода, положенного в основу наследственной теории упругости. Этот подход был предложен Больцманом ([Аскадский 2001]), который исходил из того, что если тело ранее испытывало деформацию, то повторная деформация до той же величины потребует меньшего напряжения, причем это уменьшение напряжения тем больше, чем больше длилась первичная деформация. Далее предполагается, что описанный выше эффект суммируется при многократном воздействии. Таким образом, состояние среды в текущий момент времени оказывается зависимым от суммы возмущений во все предшествующие моменты. Это наиболее общее предположение о локальной реакции линейной среды на возмущение, может быть выражено в виде интегрального уравнения наследственного типа (уравнения Вольтерра) [Работнов 1979; Ландау, Лифшиц Т. УШ 1992] с релаксационными ядрами, описывающими дисперсионные свойства среды.
Вид релаксационных ядер в рамках наследственной теории упругости подбирается, как правило, из эвристических соображений. Такие ядра обычно должны быть положительными, монотонно убывать с ростом времени, удовлетворять критерию «затухающей памяти» [Работнов 1979; Локшин, Суворова 1982], а также аппроксимировать по возможности большее количество экспериментальных зависимостей и быть удобными для интегрирования. В литературе рассматривается ряд модельных релаксационных ядер: экспоненциальное, ядро Абеля, дробно-экспоненциальное ядро Работнова и др. (см. например [Коган 1966; Работнов 1979; Локшин, Суворова 1982, Nigul 1983]). Параметры таких ядер обычно не поддаются явной физической интерпретации. Хотя следует отметить, что определенные соображения в пользу выбора той или иной формы ядра в некоторых случаях могут быть приведены. Механические модели, таким образом, можно рассматривать как метод получения экспоненциальных релаксационных ядер.
Как отмечено в работе [Работнов 1979], способ построения релаксационных ядер, основанный на построении механических реологических моделей, обладает тем преимуществом, что релаксационные ядра построенные на его основе не противоречат законам термодинамики, хотя, по мнению автора [Работнов 1979], «было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы».
Однако, при всех своих достоинствах подход, основанный на наследственной теории упругости, также является в определенной мере феноменологическим, опосредованным образом учитывающим реальные процессы происходящие в среде при деформировании на молекулярном или микроструктурном уровне. В рамках такого подхода априори трудно определить могут ли свойства конкретной среды быть описаны данным релаксационным ядром. И хотя параметры релаксационных ядер представляют собой некоторые характеристики среды, прямая связь этих параметров с ее микроструктурными характеристиками, как правило затруднена.
Заметим также, что в электродинамике общая линейная связь между напряженностью и электрической индукцией или поляризацией (см. например [Ландау, Лифшиц, Т. VIII 1992; Гинзбург, 1967; Виноградова и др. 1990; Ермаченко 1998] и др.) также описывается уравнением наследственного типа (уравнением Вольтерра). Таким образом, математически задача о распространении электромагнитного импульса в линейной среде, дисперсия в которой определяется уравнением состояния наследственного типа, также оказывается эквивалентной задаче о распространении акустического импульса в среде с уравнением состояния, описываемым в рамках наследственной теории упругости. ([Кельберт, Сазонов 1987; Виноградова и др. 1990] и ДР-).
Микроскопические модели релаксационных механизмов.
Качественно иной подход к описанию дисперсионных свойств среды основан на моделировании процессов, происходящих в среде на молекулярном или микроструктурном уровне под влиянием макроскопического внешнего воздействия.
В рамках этого подхода моделируются элементарные процессы, происходящие с микроструктурным элементом среды при макроскопическом воздействии, после чего результат тем или иным образом усредняется по объему среды.
Дисперсионно-диссипативные свойства многих сред были эффективно описаны в рамках этого подхода. В многоатомных газах дисперсия, как показано Кнезером [Kneser 1913] и др., определяются релаксационными процессами передачи энергии между внешними (поступательными) и внутренними (вращательными и колебательными) степенями свободы молекулы. Такие процессы обычно называют кнезеровскими (см. например [Красильников, Крылов 1984]). В газе возможны и другие релаксационные процессы ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984; Мезон 1969]), в частности, процессы установления химического равновесия и др. Разнообразные релаксационные процессы возможны в жидкостях и в твердых телах ([Красильников, Крылов 1984; Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Кельберт, Сазонов 1991; Новик, Берри 1975]). В частности в жидкостях также возможны кнезеровские релаксационные процессы, различного рода химическая релаксация (например процессы диссоциации молекул электролита), структурная релаксация, связанная с изменением ближнего порядка в расположении молекул, релаксация пузырьков в жидкостях с пузырьками газа, а также другие релаксационные процессы, причем многие из них часто происходят одновременно. Различные релаксационные процессы как на молекулярном, так и на микроструктурном уровне возможны в жидких кристаллах [Капустин, Капустина 1986], стеклах и полимерах [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964]. В твердых кристаллических телах ([Новик, Берри 1975; Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Кожевников 1997; Мамин 2001; Ерофеев, Ромашов 2002]) возможны релаксационные процессы, связанные с дислокациями в кристаллах, фазовыми переходами и др.
Однако, если для многоатомных газов как правило удается построить простые и достаточно адекватные микроскопические модели релаксационных процессов, то для жидкостей и твердых тел микроскопическое описание процессов релаксации часто представляет собой очень сложную задачу. ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984] и др.).
При этом важно также отметить, что во многих жидких и твердых средах (например в полимерах, вязких жидкостях, жидких кристаллах и др.) одновременно может протекать большое количество как различных так и однотипных релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации. ([Михайлов, Соловьев, Сырников 1964; Красильников, Крылов 1984; Исакович, Чабан 1988]).
Отметим также, что частотная дисперсия фазовой скорости электромагнитных волн в различных средах может быть интерпретирована в рамках микромоделей релаксационных процессов на молекулярном уровне. Наиболее известными в электродинамике моделями являются модель Дебая полярных диэлектриков [Debye 1929], и модель Лоренца неполярных диэлектриков [Lorentz, 1952].
Модель Лоренца описывает релаксации поляризации молекул неполярного диэлектрика на основе уравнений динамики отдельных связанных электронов [Lorentz, 1952; Гинзбург 1967; Ермаченко 1998]. В этой модели предполагается, что движение электрона может быть описано уравнением гармонического осциллятора с затуханием.
Такое же уравнение описывает релаксацию в жидкости с пузырьками газа или в кристаллах с дислокациями ([Новик, Берри 1975; Накоряков, Покусаев, Шрейбер 1983; Красильников, Крылов 1984; Буланов 2001]).
Дисперсия в полярных диэлектриках была описана Дебаем ([Debye 1929]), как релаксационный процесс теплового разупорядочивания ориентации дипольных молекул, упорядоченных электромагнитным импульсом. В этой модели считается, что тепловая релаксация поляризации происходит по экспоненциальному закону ([Виноградова и др. 1990]), аналогично средам с релаксацией кнезеровского типа. В результате частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента поглощения в модели Дебая имеют вид аналогичный тем, что возникают в многоатомных газах вследствие кнезеровских релаксационных процессов.
Иногда модель Дебая используют как феноменологическую модель, аналогично механическим моделям, рассмотренным выше. Так, например, для аппроксимации экспериментальных данных по диэлектрической проницаемости мускульной ткани использовалась модель Дебая с двумя и пятью эмпирически подобранными временами релаксации. [Hurt 1985].
Адекватные микроскопические модели по-видимому наиболее полно описывают дисперсионные свойства соответствующих сред. В тоже время, как оказалось, разные микроскопические модели приводят в линейном приближении к математически эквивалентным уравнениям, описывающим процессы релаксации (например, отмеченные выше различные по своей природе релаксационные процессы кнезеровского типа и др.). Более того, характеристики релаксационных процессов в линейном приближении как правило не зависят от деталей той или иной модели, а определяются такими комбинациями их микроскопических параметров, которые могут быть интерпретированы, например, как характерные времена соответствующих релаксационных процессов.
Термодинамический подход.
Определенной альтернативой микроскопическим моделям является подход, предложенный Мандельштамом и Леонтовичем [Мандельштам, Леонтович 1937]. Он с одной стороны учитывает реальные релаксационные процессы происходящие в среде при возмущении, а с другой позволяет не вникать в микроскопические механизмы этих процессов.
Этот подход основан на описании отклика среды на возмущение в линейном приближении квазиравновесной термодинамики. В этом случае предполагается что состояние термодинамического равновесия среды полностью определяется ее основными термодинамическими переменными (например давлением, плотностью и температурой). Внешнее возмущение (распространяющийся импульс) выводит среду из состояния термодинамического равновесия. При этом релаксация внутренних параметров происходит значительно медленнее чем изменение основных термодинамических переменных и можно считать, что среда в каждый момент времени находится в состоянии неполного равновесия, характеризуемого помимо основных термодинамических переменных, еще и текущими значениями внутренних параметров.
Примерами таких внутренних параметров могут быть степень диссоциации молекул, распределение энергии между внутренними и внешними степенями свободы молекул многоатомного газа, концентрация дислокаций и др.
Релаксация среды в целом описывается как совокупность различных релаксационных процессов, каждый из которых, независимо от его физического механизма, характеризуется двумя параметрами: временем релаксации и мощностью, выражаемыми через термодинамические характеристики среды. В этом случае уравнение состояния является уравнением наследственного типа с релаксационным ядром в виде суммы затухающих экспонент, каждая из которых описывает отдельный релаксационный процесс. Это ядро аналитически эквивалентно тому, которое получается из механических моделей, обобщающих стандартное неупругое тело, а также из многих микроскопических моделей. В частности, релаксационное ядро такого типа возникает в модели Кнезера релаксационных процессов в многоатомных газах, поэтому все релаксационные процессы, описываемые экспоненциальными ядрами часто называют кнезеровскими ([Кельберт, Сазонов 1987]).
Термодинамический поход Леонтовича и Мандельштама в настоящее время является общепринятым при описании множества релаксационных процессов в различных средах. Изложению этого подхода и его применению для описания свойств многих сред уделено значительное место в ряде фундаментальных монографий. В частности, в работе [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964] проведено описание на основе термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича основных типов молекулярных и микроструктурных релаксационных процессов возможных в жидкостях и газах, а в монографии [Новик, Берри 1975] приведена термодинамическая интерпретация разнообразных релаксаций в кристаллических твердых телах.
Таким образом, в рамках термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича удается описать дисперсионные свойства различных сред в терминах релаксационных процессов, эффективно на макроскопическом уровне учитывающих проявление микроструктуры среды, не углубляясь при этом в микроскопические механизмы этих процессов.
В фундаментальных монографиях [Михайлов, Соловьев, Сырников 1964;Новик, Берри 1975] даже утверждается, основываясь на известных в то время экспериментальных работах, что в рамках подхода Леонтовича Мандельштама могут быть по-видимому описаны практически все релаксационные процессы по крайней мере в газах и жидкостях. Исключение, по мнению этих авторов, составляли только релаксационные механизмы, связанные с дислокациями в кристаллах.
Проблема единого описания релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода.
Однако, при всей общности подхода Леонтовича-Манделыптама, существуют среды релаксация которых не описывается суперпозицией экспоненциальных релаксационных процессов. Это, во-первых, микронеоднородные среды, в которых дисперсия является не только частотной, но и пространственной [Исакович 1979; Кельберт, Чабан 1986], а также среды с резонансной релаксацией. В качестве примера можно привести жидкости с пузырьками газа [Накоряков, Покусаев, Шрейбер 1983; Красильников, Крылов 1984; Бескаравайный, Ковалев, Поздеев 1983, Буланов 2001], кристаллы с дислокациями [Новик, Берри 1975, Михайлов, Соловьев, Сырников 1964, Ерофеев, Ромашов 2002], твердые стекла при низкой температуре, системы связанных частиц со спином, помещенных в магнитное поле и др. [Исакович, Чабан 1988], а также, неполярные диэлектрики [Lorentz, 1952] (для электромагнитных волн).
Обычно среды с резонансной релаксацией рассматриваются отдельно от общего термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича. Например, в работе [Кельберт, Чабан 1986] предложено независимо рассматривать три типа релаксации кнезеровскую, резонансную и релаксацию диффузного обмена.
Если ограничиться только средами с локальным откликом на внешнее возмущение (т.е. средами без пространственной дисперсии), то все линейные среды можно разбить на два класса: среды с экспоненциальной релаксацией, свойства которых описывается в рамках подхода Леонтовича-Манделыптама и среды с резонансной релаксацией. К последним относится, в частности, модель Лоренца [Lorentz, 1952], которая по существу является одним из примеров микромоделей, не сводящихся к термодинамическому описанию.
Однако из общих соображений неясно, почему релаксация в резонансных средах не может в линейном приближении быть описана в рамках квазиравновесной термодинамики.
Таким образом, обобщение термодинамического подхода на случай резонансной релаксации является актуальной задачей, поскольку такое обобщение открывает путь к построению единой теории релаксации произвольных линейных сред с локальным откликом на возмущение.
Наличие же достаточно общего описания дисперсионно-диссипативных свойств сред, в свою очередь, позволяет в общем виде поставить как прямую задачу — задачу об определении закономерностей распространения импульсов в произвольной линейной среде, так и обратную — задачу об определении параметров такой среды по динамике формы распространяющегося импульса, т. е. задачу импульсной диагностики сред.
Распространение импульсов в диспергирующих средах.
Для решения как прямой, так и обратной задачи важно иметь аналитические соотношения, описывающие динамику профиля импульса в пространственно-временной области. Несмотря на то, что в рамках линейной теории импульс во временной области дается интегралом Фурье от его спектральных компонент, выражения для которых сравнительно нетрудно получить аналитически, соотношения между параметрами среды, координатой и временем в пространственно-временном представлении, описывающим динамику импульса, оказываются нетривиальными и представляют основной интерес при решении как прямой, так и обратной задачи.
Для квазимонохроматических импульсов (импульсов огибающей), такие выражения могут быть получены в рамках классической теории дисперсии (см. например [Вайнштейн 1976; Виноградова, и др. 1990] др.). Однако дисперсия квазимонохроматических импульсов определяется главным образом, частотной зависимостью фазовой скорости и коэффициента поглощения лишь вблизи несущей частоты. Короткие же импульсы содержат широкий спектр частот и соответствующая теория для них оказывается неприменимой.
Когда же длительность импульса оказывается сравнимой по величине с характерными временами релаксационных процессов получение явно зависящих от времени аналитических выражений для профиля импульса, вообще говоря, представляет собой весьма сложную задачу. Для решения этой задачи используются как точные, так и различные приближенные методы.
Асимптотические методы.
Традиционным способом получения пространственно-временного представления импульса является применение асимптотических методов, в частности, метода перевала. По-видимому, впервые для анализа распространения синусоидальной волны с передним фронтом по среде, описываемой моделью Лоренца, этот метод был применен Зоммерфельдом [Sommerfeld 1914] и Бриллюеном [Brillouin 1914]. Последовательное изложение этого ставшего теперь классическим анализа имеется в монографии Бриллюена [Brillouin 1960], где воспроизведены также и оригинальные статьи. Важные уточнения в методику Зоммерфельда и Бриллюена были внесены Бирвалдом [Bearwald 1930]. Методика теоретического исследования импульсов в диспергирующих средах предложенная в этих работах активно развивается и в настоящее время. [Oughstun, Sherman 1988; Oughstun, Sherman 1989; Shen, Oughstun 1989; Oughstun, Sherman 1990; Oughstun, Laurens 1991; Oughstun, Sherman 1994; Oughstun 1995; Oughstun, Balictsis 1996; Oughstun, Balictsis 1997; Xiao, Oughstun 1998, Barakat, Baumann 1969; Кельберт, Чабан 1986; Кельберт, Сазонов 1988; Кельберт, Сазонов 1991].
Современная техника использования метода перевала для асимптотического анализа динамики импульса в среде Лоренца развита в серии работ Остена, Шермана и их коллег: [Oughstun, Sherman 1988; Oughstun, Sherman 1989; Shen, Oughstun 1989; Oughstun, Sherman 1990; Oughstun, Laurens 1991; Oughstun, Sherman 1994; Oughstun 1995; Oughstun, Balictsis 1996; Oughstun, Balictsis 1997; Xiao, Oughstun 1998]. По сравнению с классическими работами Зоммерфельда и Бриллюена в этих работах основное внимание уделяется более точной аппроксимации зависимости перевальной точки как от пространственной и временной переменных, так и от параметров среды. Кроме того для получения равномерной асимптотики во всей области параметров используется прифронтовое разложение. В целом авторам указанных работ удается получить более точное воспроизведение динамики импульса в области его диспергирования.
В работах [Barakat, Baumann 1969; Кельберт, Чабан 1986; Кельберт, Сазонов 1988; Кельберт, Сазонов 1991] метод перевала использовался для асимптотического анализа распространения импульсов различной начальной формы в среде с одним кнезеровским релаксационным процессом.
Несколько иная идея вычисления обратных преобразований Лапласа или Фурье заключается в разложении подынтегральной функции тем или иным образом в асимптотический ряд с дальнейшим интегрированием нескольких первых членов этого ряда. Этот подход в том или ином виде использовался в работах [Trizna, Weber 1982; Varoquaux, Williams, Avenel 1986; Wyns, Foty, Oughstun 1989; He, Storm 1996; Karlsson, Rikte 1998; Xiao, Oughstun 1998]. Как правило разложение проводилось при частоте стремящейся к бесконечности, и, таким образом, первые проинтегрированные члены ряда описывали прифронтовую часть импульса, определяемую высокочастотными компонентами спектра. Этим обстоятельством ограничивается применимость такого подхода. В работе [Karlsson, Rikte 1998] помимо этого использовалось еще и низкочастотное разложение, что позволило правильно описать относительно низкочастотную часть импульса (предвестник Бриллюена).
Еще один асимптотический подход заключается в замене на больших расстояниях от источника исходного интегро-дифференциального уравнения уравнением более простого диффузионного типа [Roberts, Petropoulos 1996; Roberts, Petropoulos 1999]. Функция Грина для такого уравнения также может быть получена в явном виде и использована на больших расстояниях от источника. Результаты полученные в этом подходе согласуются с результатами, полученными методом перевала. [Roberts, Petropoulos 1999].
Все упомянутые выше работы посвящены распространению импульса в средах с одним или, в некоторых случаях, двумя релаксационными процессами ([Xiao, Oughstun 1998]). Однако, как уже отмечалось, в реальных средах может одновременно протекать множество релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации (СВР). Таким образом, для описания распространения импульсов в реальных средах необходимо разработка подходов, учитывающих наличие широких и даже непрерывных СВР.
Ввиду отсутствия до последнего времени общего подхода к проблеме описания распространения импульса в среде с произвольным СВР в ряде работ предпринимались попытки получить описание динамики различных частей импульса в различных асимптотических пределах. Так в работах [Blake 1974; Leander 1991] и [Leander 1993] для среды Максвелла с произвольным СВР получены прифронтовые асимптотики. Асимптотики больших времен и расстояний для импульсов в среде с произвольным СВР рассматривались в работах [Blake 1974; Дунин, Максимов МТТ 1988].
Однако отдельные асимптотики не позволяют описать эволюцию импульса в целом для среды с произвольным СВР, особенно в области его диспергирования. А такая постановка вопроса является весьма актуальной для задач импульсной акустодиагностики релаксационных сред.
В работе [Дунин, Максимов 1988] предложен подход к аналитической аппроксимации профиля короткого импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов, пригодный для всей области распространения. Он основан на построении выражения, переходящего в соответствующих пределах в высокочастотную (прифронтовую) асимптотику и в низкочастотную асимптотику, соответствующую большим расстояниям от источника и от фронта импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов. Коэффициенты этой аналитической аппроксимации выражены через три первых момента СВР <тк >, к = 0,1,2,3.
Однако в работе [Максимов 1996] показано, что информация о параметрах спектра времен релаксации среды (о пяти моментах СВР < г* >, к = -2,-1, 0,1, 2) содержится в особенностях профиля импульса как вблизи фронта, исчезающих на больших расстояниях, так и вдали от него. Поэтому важно иметь равномерное описание полного профиля импульса во всей области его диспергирования в терминах указанных параметров СВР. Использование такой аппроксимации позволяет в практической плоскости ставить задачу определения моментов СВР по экспериментально измеренной динамике профиля импульса.
Точные решения.
Преимущество точных аналитических решений для импульса в пространственно-временной области в задачах диагностики по сравнению с асимптотическими представлениями связано прежде всего с тем, что такие выражения описывают все особенности распространения импульса на всех этапах распространения и в любой части профиля, причем с явной зависимостью от параметров среды. Особый интерес представляют функции Грина задачи, поскольку динамика коротких импульсов прямо описывается их функцией Грина.
Однако до настоящего времени удалось получить только два точных решения для функции Грина короткого импульса для среды с одним экспоненциальным релаксационным процессом (модель стандартного неупругого тела) (см. например [Morrison 1956; Вайнштейн 1976; Дунин 1986], предельными случаями которого являются среды Кельвина-Фойгта [Зверев 1950; Carpenter 1967] и Максвелла [Berry 1958], а также для среды СВР вида 1/г [Дунин, Максимов 1990], выраженную через гипергеометрическую функцию в случае малой дисперсии фазовой скорости. Отметим также, что функции Грина для сред с Е и Ei памятью, полученные в [Нигул 1983], оказываются эквивалентными двум предыдущим случаям. На этом список известных автору точных решений исчерпывается.
Вместе с тем значительный интерес представляла бы функция Грина для среды с двумя релаксационными процессами. Помимо теоретической важности этой задачи для понимания динамики импульса в средах с распределенным СВР, простейшим примером которых является такая среда, эта задача имеет и практическое значение, в частности, для акустики океана, так как в морской воде дисперсия и поглощение, связаны главным, образом с двумя релаксационными процессами при диссоциации солей MgS04 и В (ОН)з. (см. например [Житковский 1995]).
Столь же важным является и поиск функции Грина для среды Лоренца с резонансной релаксацией, что позволило бы снять вопрос о равномерном описании динамики короткого импульса в такой среде, возникающий в различных асимптотических подходах [Oughstun, Sherman 1994].
Таким образом, для понимания закономерностей распространения коротких импульсов в релаксационных средах важным является поиск новых аналитических фундаментальных решений в пространственно-временной области.
Распространение импульсов в неоднородных средах.
Следует заметить, что на практике создавать одномерные импульсы часто бывает достаточно сложно, и соответствующее описание оказывается приближенным. В тоже время, довольно обычными являются источники, излучающие сферические и цилиндрические волны. Закономерности распространения сферических и цилиндрических импульсов в однородной релаксационной среде рассматривались в работах [Кукуджанов 1963; Blake 1974; Кельберт, Сазонов 1987; Дунин, Максимов МТТ 1988; Кельберт, Сазонов 1991; Рохлин 1995], однако, даже в этом более простом случае найдены лишь асимптотики отдельных частей профиля импульса, а точных решений до последнего времени получено не было.
В силу этого представляет определенный интерес выяснить, как сказывается неодномерность геометрии излучения на динамике изменения профиля импульса, распространяющегося в неоднородной релаксационной среде.
Все упомянутые выше работы, посвященные распространению импульсов, касались только однородных сред. В неоднородных средах помимо частотной дисперсии, связанной с микроструктурой среды, возникает также и пространственная дисперсия, определяемая неоднородностью. Таким образом, как для прямой задачи так и для задачи импульсной акустической диагностики среды на практике важно уметь описывать совместное влияние на форму распространяющегося импульса диспергирующих свойств среды, связанных с релаксацией и с пространственной неоднородностью. Такая задача может быть актуальна, например, в случае температурно-неоднородной среды, или при моделировании динамики импульсов, распространяющихся в газовой атмосфере, неоднородность плотности в которой определяется полем тяжести.
Идея общего подхода к описанию распространения импульсов в неоднородной среде с дисперсионно-диссипативными свойствами была высказана в работе [Шемякин 1955] и эффективно развита в работах [Дунин, Максимов МТТ 1988; Дунин, Максимов 1990; Максимов 1993; Максимов 1994]. Суть подхода заключается в разделении (факторизации) пространственно неоднородных свойств среды и ее дисперсионно-диссипативных свойств. Если такое разделение оказывается возможным, то решение задачи сводится к свертке решения упругой неоднородной задачи и фундаментального решения плоской задачи для дисперсионно-диссипативной среды.
Этот же подход использован в работе [Максимов 1994] для получения точных решений, описывающих распространение плоского импульса в экспоненциально неоднородной среде, с релаксаций описываемой моделью Максвелла. Представляет интерес обобщить решение этой задачи с учетом реальной неодномерности распространения импульса в атмосфере. Кроме того, интересным представляется оценить влияние температурных неоднородностей в океане по методике описанной в работе [Максимов 1993] на динамику распространения коротких импульсов с целью их дистанционной диагностики импульсными методами.
Экспериментальные результаты.
Реальный смысл различные теоретические построения, в том числе и касающиеся распространения импульсов, приобретают тогда, когда они могут быть сопоставлены с экспериментом. В этой связи следует упомянуть несколько экспериментальных работ, которые подтверждают теоретические результаты.
Аналитическое выражение функции Грина во временной области было с успехом использовано для интерпретации результатов экспериментов по распространению коротких импульсов в уксусной кислоте [Андреев, Сапожников, Тимофеев 1994; Зенкова, Зозуля 2001].
Здесь следует заметить, что для интерпретации более ранней экспериментальной работы [Carome, Parks, Mraz 1964] по распространению импульсов конечной длительности в уксусной и пропановой кислоте, терахлориде и дисульфиде углерода использовалось численное суммирование рядов Фурье через которые был выражен источник [Carome, Fleury, Wagner 1964]. А в работе [Moffett, Beyer 1970] использовался подход [Blackstock 1967], основанный на классической теории дисперсии, для интерпретации результатов по распространению конечного импульса с узким спектром в терахлориде углерода. В обоих подходах удалось получить приемлемое согласие с экспериментальными профилями, но оба они, в отличии от [Андреев, Сапожников, Тимофеев 1994; Зенкова, Зозуля 2001] не позволяют получить из экспериментальных профилей важные параметры среды, такие, например, как время релаксации.
Таким образом, из приведенного выше обзора следует, что в вопросе распространения коротких импульсов в реальных дисперсионно-диссипативных средах существует ряд нерешенных проблем, представляющих как фундаментальный научный интерес, так и практический интерес для различных приложений, в частности, для акустодиагностики сред.
Цель работы.
Целью работы является теоретическое исследование закономерностей распространения коротких импульсов малой амплитуды в релаксационных средах с локальным откликом, т. е. средах дисперсионно-диссипативные свойства которых обуславливаются экспоненциальными и резонансными релаксационными процессами. При этом основное внимание уделено решению следующих проблем:
1. Описание распространения коротких импульсов в однородных средах, обладающих спектром времен релаксации в терминах экспериментально измеряемых параметров СВР.
2. Поиск точной функции Грина для среды с двумя релаксационными процессами.
3. Поиск точной функции Грина точечного и линейного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла.
4. Единое описание релаксационных и резонансных свойств сред в рамках термодинамического подхода Леонтовича-Манделыптама.
5. Поиск точной функции Грина, описывающей динамику коротких импульсов в средах с резонансной релаксацией и исследование закономерностей распространения короткого импульса в такой среде.
Научная новизна.
Научная новизна приводимых в диссертации результатов состоит в том, что впервые получены точные пространственно временные представления функций Грина ряда задач, а именно для среды с двумя релаксационными процессами, среды с единственным процессом резонансной релаксации, изотермической атмосферы с релаксационными свойствами Максвелла для точечного и линейного источников. Для среды с произвольным СВР построена новая аналитическая аппроксимация профиля импульса с использованием экспериментально измеряемых параметров его динамики. Впервые дано обобщение термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича при учете альтернативной формулировки принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера. На этой основе впервые выведено универсальное уравнение состояния линейных сред с локальным откликом и дана его механическая интерпретация. Для среды с одним процессом резонансной релаксации проведено исследование возможных типов динамики короткого импульса и впервые дана их полная классификация.
Положения выносимые на защиту.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Новая аналитическая аппроксимация пространственно-временной функции Грина одномерной среды с произвольным спектром времен релаксаций (СВР), использующая экспериментально измеряемые моменты СВР.
2. Новое точное пространственно-временное представление функции Грина одномерной среды с двумя экспоненциальными релаксационными процессами, его анализ и упрощенная аналитическая аппроксимация.
3. Новые точные пространственно-временные представления функций Грина линейного и точечного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла и их анализ.
4. Новое универсальное уравнение состояния сред с линейным локальным откликом, выведенное путем обобщения термодинамического подхода Манделыптама-Леонтовича при учете альтернативной формулировки принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера, и его механическая интерпретация.
5. Новое точное пространственно-временное представление функции Грина одномерной среды с одним процессом резонансной релаксации, описываемым в рамках обобщенного уравнения состояния.
6. Новая полная классификация допустимых форм эволюции короткого импульса, распространяющегося в однородной среде с одним процессом резонансной релаксации, в рамках обобщенного уравнения состояния сред с линейным локальным откликом.
Научная и практическая значимость.
Полученные результаты имеют значение как для моделирования динамики профиля импульса в релаксационных средах так и для решения задач импульсной диагностики.
Новая аппроксимация временного представления функции Грина для сред с СВР может быть использована для моделирования распространения акустического импульса в релаксационных средах со сложной реологией. При этом зависимость параметров аппроксимации только от экспериментально определяемых моментов СВР позволяет использовать ее для целей импульсной диагностики сред.
Эта аппроксимация также может быть применена для моделирования динамики коротких импульсов в пространственно неоднородных релаксационных средах, там где получение точных решений представляет принципиальную сложность, а численные методы расчета не достаточно эффективны.
В частности в диссертации произведен расчет динамики импульса в морской воде с локальным понижением температуры на небольшом участке распространения и показано, что это приводит к заметному изменению профиля импульса по сравнению с однородной средой даже в случае когда относительная длина неоднородного участка и величина понижения температуры порядка нескольких процентов.
Новое точное временное представление функции Грина для сред с двумя экспоненциальными релаксационными процессами также может быть использовано для моделирования динамики импульса и для определения релаксационных параметров сред (времен релаксации и относительных мощностей релаксационных процессов). Это точное временное представление позволяет подробно исследовать эволюцию профиля импульса на расстояниях, сравнимых с дисперсионной длиной. Кроме того, это точное представление позволяет оценить эффективность аппроксимации функции Грина для СВР.
Точные временные представления функций Грина точечного и линейного источника в экспоненциально неоднородной среде с релаксацией, описываемой моделью Максвелла, демонстрируют одновременное влияние пространственной и частотной дисперсии, а также геометрии излучения на динамику формы распространяющегося импульса. В частности показано, что в зависимости от соотношения между релаксационными свойствами среды и пространственной дисперсией, связанной с неоднородностью, динамика импульса может быть либо релаксационной, либо дисперсионной. Более того, при определенных соотношениях параметров, дисперсия, обусловленная неоднородностью среды и дисперсия, связанная с ее релаксационными свойствами могут полностью компенсировать друг друга. Эти временные представления функций Грина могут быть использованы для моделирования распространения импульсов в простой модельной изотермической атмосфере.
Теоретическое значение обобщенного уравнения состояния заключается в том, что им полностью исчерпывается описание линейного локального отклика сред в состояниях близких к термодинамическому равновесию. Это позволяет, помимо прочего, ставить задачу построения общей теории распространения импульсов малой амплитуды в таких средах. В свою очередь на основе такой теории потенциально возникает возможность ставить задачу импульсной диагностики сред с линейным локальным откликом в общем виде.
Обобщенное уравнение состояния не только описывает единым образом (в условиях своей применимости) все используемые в настоящее время модельные среды, но и множество модельных сред, не рассматриваемых ранее.
Новое аналитическое представление во временной области функции Грина плоского источника в среде с одним процессом резонансной релаксации, описываемым в рамках обобщенного уравнения состояния, может быть использовано для моделирования распространения импульса в среде с процессом резонансной релаксации наиболее общего вида. В аналитической структуре этого представления удалось как отдельные слагаемые выделить ранее описываемые лишь асимптотически предвестники Зоммерфельда и Бриллюена и описать их формирование на расстояниях сравнимых с дисперсионной длиной.
Анализ этого временного представления позволил связать области значений параметров, характеризующих релаксационные свойства сред с динамикой профиля распространяющегося в такой среде импульса. Построенная на этой основе классификация сред с резонансной релаксацией имеет значение для задач импульсной диагностики.
Апробация.
Результаты работы докладывались на IV, X, XI сессиях Российского акустического общества (1995,1999,2001) — Fourth International Congress on Sound and Vibration (1996) — III Международной научно-технической конференции «Современные методы и средства океанологических измерений» (1997) — 16 International Congress on Acoustics and 135th Meeting of Acoustical Society of America (1999) — Третьем совещании по магнитной и плазменной аэродинамике в аэрокосмических приложениях (2001) — 141 Meeting of Acoustical Society of America (2001) — International Photonic Research 2001; семинарах «Акустика неоднородных сред» научной школы проф. Рыбака (2000, 2002) — научных сессиях МИФИ 1999,2000,2001,2003.
Публикации.
По теме диссертации в научных журналах и трудах конференций опубликовано 26 работ [Maksimov, Larichev 1996; Ларичев, Максимов 1997;1, Ларичев, Максимов 19 972, Ларичев, Максимов 1997;3, Ларичев, Максимов 1998; Maksimov, Larichev 1998; Larichev, Maksimov 1998; Ларичев, Максимов 1999;1, Ларичев, Максимов 1999;2,.
Ларичев, Максимов 1999;3- Larichev, Maksimov 1999;1- Larichev, Maksimov 1999;2- Larichev, Ларичев, Максимов 2000;1- Ларичев, Максимов 2000;2- Ларичев, Максимов.
2000;3- Ларичев, Максимов 2001;1- Ларичев, Максимов 2001;2- Ларичев, Максимов.
2001;3- Maksimov 2001;1- Larichev, Maksimov 2001;2- Ларичев, Максимов 2002; Ларичев, Максимов 2003;1- Ларичев, Максимов 2003;2] в том числе 7 работ в ведущих научных журналах по данной тематике.
Структура и объем.
Структурно диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа содержит 164 страниц, в том числе 115 стр. текста, 54 рисунка, 8 страниц библиографии.
Заключение
.
В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:
1. Получена новая аналитическая аппроксимация профиля короткого импульса в среде с произвольным спектром времен релаксации. Параметры аппроксимации выражены через экспериментально определяемые моменты СВР.
2. Получено новое точное пространственно-временное представление функции Грина короткого импульса в среде с двумя экспоненциальными релаксационными процессами.
3. Получены новые точные функции Грина линейного и точечного источников в неоднородной среде с экспоненциальным распределением плотности вдоль одной из координат, дисперсионно-диссипативные свойства которой описываются моделью Максвелла.
4. На основе термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича получено новое обобщенное уравнение состояния сред с линейным локальным откликом. В основе обобщения лежит альтернативная формулировка принципа симметрии кинетических коэффициентов Онзагера для величин с различной симметрией по отношению к инверсии времени.
5. Дана механическая интерпретация обобщенного уравнения состояния произвольной среды с линейным локальным откликом и представлена универсальная механическая ячейка таких сред.
6. Исследованы все допустимые в рамках обобщенного уравнения состояния частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента поглощения и проведена их классификация.
7. Получено новое аналитическое представление во временной области функции Грина плоского импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации в виде суммы упругого предвестника, предвестника Зоммерфельда и предвестника Бриллюена.
8. На основе нового аналитического представления функции Грина определены и классифицированы все возможные типы динамики короткого импульса в среде с одним процессом резонансной релаксации и установлена их связь с частотными особенностями поведения фазовой скорости и коэффициента поглощения.
