1.
Актуальность темы
и и объект исследованияДиссертация посвящена направлению в юории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которое ишенсивно развивается в последние десятилетия — системам вида.
F (t, x (t), x'(t)) = 0, teT= [to, ti) (1) t, x, x') G V = {(t, x, y) G R2n+1: teT, \тx\ < K0, ||у — y\ <
Кi}, F: V —* R"), неразрешенным отосительно проишодной искомом вектор-функции х: Т —* R" и тождес i вен, но вырожденным в области определенияdct^^^so V (t, x, y)ep. (2).
Изучаются вопросы разрешимости и некоюрые качественные свой ства таких систем как в общей постановке (1), так и в линеином случае.
A{t)x'(t) + B{t)x{t)=f{t), dot A (t) = 0, teT. (3).
Для линейных нестационарных систем с матрицей переменною рапы при производной изучаются свойства устойчивости в смысле Ляпунова, управляемости и наблюдаемости, а также проблема разрешимости в обобщенном смысле.
Кроме того, рассматриваются некоторые аспеюы теории вырожденных линейных систем с непрерывно-дискретным временем и систем ОДУ с отклоняющимся аргументом.
A{t)xt) -I B (t)x (t) + D{t)x{tа) = /(0, t G [f0> +oo), (4) x{t) = i}>{t), te[t0-o, t{y], (5) da !(/) = 0 па [/(«I тс), а = const > О.
В niicpaiypc дчя обозначения сис П’М вида (1) < условием (2) испочь-«)наю (Ь множссшо названий дифференциалыю-алпбраичес кие уравнения (differential-algebraic equations (DAIis)) [GP83, GM86], сишуляр-ные (истемы (singular) |Боя80, Carii80a, Dai89], системы ОДУ, неразрешенные опюс шельпо производных [Чис86], вырожденные (degenerate) [1м>я88, KY99], неявные (implicit) [Carn84j или полуявные (semi-explic it [Саш95Ь], semi-state [Baj86]) t ис юмы, де (криторпые (descriptor) системы [Ми198, Сам91] и др)1ие.
Стремление разграничить исследования систем ОДУ, вырождающихся на дискретном множестве, (иетем дифференциальных уравнений с операюрными коэффициентами и систем, тождеаненно вырожденных в области определения, привело к тому, что в настоящее время в англо-я зычной чшературе термин мдифференциалык)-ал1ебраические уравнения" потеснил все другие названия и вошел AMS Subject Classification Эю обьнсияе1ся тем, что в приложениях модель вида (1),(2) часто нред< ывчжм собой сииему взаимосвязанных дифференциальных и ал-1ебраиче (ких уравнений, и в предельных случаях- (ctdF (t, x, s')/dx' ф О и 0F (t, x, x')/dx' = О в Р, превращается соответственно либо в < ж к’му ОДУ, разрешимую опккик’лыю производной согласно теореме о неявной функции, либо и с ис к’му алюбраических уравнений 1.
Мерой неразрешенноеги АДС относительно прои зводной искомой вектор-функции служит целочисленная величина г (0 < г < п), называемая индексом.
В работах Иркутской школой ма1ематиков (Ю Е Бояринцев, В Ф Чие-I яков, М В Булатов) дня систем (1) с условием (2) усюялось название а. и ебро-дифференциальные системы (АДС) Приде1) живая (ь 1радиций, аиюр и (пользует именно этот термин для обозначения объект своих исследовании.
Росг интереса к исследованиям в области АДС (тимулируекя проб к’млмн математческсно моделирования во многих прикладных обла-с 1я нории авюмагпчсс кот регулирования, ошимальном управчении со смешанными oi раннчепиямп, теории злекфоннмх cei п элемрпче-с кп цепей, механике, химпче с коп кинешке, iпдродинамике и iсилен ех.
Н лисп рглшш термин «апн Прайме скор >ра1ши1ше» пош1мается к расширенном (пк к но- .итн fipaii’ii (кимп по ф. и) мснакяся любые конечнпе рлшнния, а не ю и ко }р тис ния, млавл! п кпопиномами пике |ВС88, Сен71, BB8. J, Mik%, СВР96, C"uii8(J, Саш82, EF98| В последние юды в различных приложениях начали проводи 1ься исследования качественного поведения процессов, описываемых АДС [TJI498, Мих92, МТ97, GF95, RR00].
3d последние 25−30 лет теория АДС превратилась в быстро развивающуюся область современной математики. Опубликованы согии работ, посвященные исследованию АДС и численным методам их решения (см, например, библиси рафию в книгах [Чис9б, ВСР96, RR02]) В то время как лшература, но приближенным методам решения АДС уже трудно обозрима, проблемы изучения вопросов разрешимости и качественных с войств АДС (устойчивость, управляемое iь, наблюдаемость и др) представлены фра1 ментарно и пе носят *аконченно1 о и систематическо1 о характера Как будет видно из приведенною ниже краткого обзора, втом смысле доел аточно полно исследованы линейные системы с постоянными коэффициентами И шестные из литературы результаты для линейных нестационарных или пелннеиных АДС получены при довольно жестких ограничениях. 1) постоянство рангов матриц, описывающих систему, 2) низкий индекс неразрешенное&trade-, 3) специальная структура В связи с этим на настоящий момент весьма актуальной задачей теории является получение результаты по общим вопросам и качественным свойствам АДС без ограничений 1) — 3).
Еще 15−20 лет назад считалось, что в приложениях встречаются лишь самые простые случаи АДС индекса 1 и 2 (см., например, [Боя80]) На cei одняшпий день у специалистов, работающих в области АДС, не возникает сомнений в том, что на практике довольно часто приходится решать системы индекса 3 и выше Примерами Moiyr служить с истемы, моделирующие различные электронные схемы, pa6oiy роботов-манипуляюров и многие другие объекты [CG95, Lam04, CWI].
В некоторых работах из прикладных областей можно пайти указания на то, что на практике действительно возникают математические модели, описываемые нелинейными АДС с весьма сложной внутренней структурой (с м приме]) 1, приведенный и конце ралдела 1 2) Правда, такие с исюмы ыч не аналнзируюкя в силу снсутствия развитою аппарата Подтверждением с к. ианному может служить, например, монография Е И Ушакова [Уша88], посвященная вопросам устойчивости электриче-с ких сис I ем и сия мнным с ними задачам теорет ическои электротехники.
Необходимость исследования возможностей построения обобщенных рспкшш обусловлена itu, чю веледепше особенноеiей ЛДС, коюрые обс>ждакшя ниже, для сущее пювания классичес кою решения краевой, в частности, начальной задачи для (и< 1емы (3) фебусмся, чтобы cooihoi-ств}ющие краевые или начальные условия были заданы согласованным образом Кроме того, при отсуп пши гладкости входных данных можег оказаться, что (ш тема не имеет решения в классе С1 (Г). В то же время в ряде важных приложений (задачи оптимальною управления, для которых условие Клебша-Лежапдра нарушаемся на всей эксхремали, задачи правления с импульсными режимами и др) Э1И условия не выполняются Одним ш выходов в такой ситуации являемся расширение класса решений с тем, чтобы поставленная задача была разрешима при любых заданных краевых ити начальных условиях и при более слабых ipe6o-ванпях на гладкость правой части В диссертации предлаиимся искать решение в проиранстве обобщенных функций типа Соболева-Шварца. Такое рас ширение класса решений оправдано, и частности, тем, чю, как показано в разделе 2 4, последовательность классических решений задачи Коши для ЛДС с постоянными коэффициентами.
Ax'(t) + Bx{t) = f{t), t? [0, +oo), (G) потученных мемодом возмущения, сходится к обобщенному решению той же структуры, каковой обладав решение, построенное в диссертации.
На фоне увеличения числа работ по АДС и функционально-дифференциальным уравнениям в оiдельности почти нет исследовании, но ЛДС с обгоняющимся api умет ом Это связано не только с тем, что и сейчас далеко не во всех вопросах, касающихся АДС как таковых, достигнута предельная ясность, но и с тем, что при изучении ЛДС с отклонением возникают дополнительные трудности, требующие построения специаль-поп 1еории Некоторые из приложений таких систем указаны в [Сат91]. Зачас тую при моделировании различных фи зических процессов именно чсм эффекы запаздывания позволяет достичь адекватное ги с экспериментальными данными Иллюстрацией этому заявлению служит модель nai реван’лыюю 1ракта паровою котла, состоящею из ipex последова-те н. ных к’пмообменников [СК81, ЛТ05], приведенная и примере 1 раз-де id 4 3.
При изучении разрешимое in начальной задачи (4),(5), мы ней збежно е ю 1кпемся с ироблемон согласования начальной функции (5) с входными данными ИК1СМЫ (4) Допусшм, чюш’мешы входных данных в задаче (4),(5) — достаточно ыадкие функции на своих облас 1ях опре-де'леиия Меюд шаюв [Элс64] сведсч поиск решсиия задачи (4),(5) к последовательному решению вырожденных задач Коши для АДС 1ипа (3) Условие непрерывности jroio решения может порождать на каждом шаге нссслласоваиные начальные данные, вследствие чею мдача (4),(5) будет неразрешима в классе С ([?о ~ ст,+оо)). Вэтом случае актуальной становится проблема построения обобщенною решения задачи (4),(5), коюрая также рассматривается в диссерыции.
Возрастающая комплексное гь изучаемых человеком фи мческих процессов требует нос iроения математических моделей, адекватно отражающих неоднородное п> в природе рассматриваемого процесса или в методе его изучения. Термин «гибридные системы «обычно применяется к системам, описывающим объекты с существенно различающимися характеристиками, например, содержащие в основной динамике непрерывные и дискретные переменные, детермепированные и случайные величины и т.н. В диссерхации рассмахривается линейная система уравнений с непрерывно-дис кретныч временем, неразрешенная относительно про-и шодной непрерывной сосывляющей искомой вектор-функции В виде 1акои АДС, названной в диссертации вырожденной гибридном системой, может быть преде ывлепа, в частости, динамическая межохраслевая си-иема, основанная на модели В В Леонтьева [Лео97], которая описывает непрерывный процесс производства продукции и связанный с ним дискретный процесс замены оборудовании.
2. Специфические свойства алгебро-дифференциальных систем. По своим свойствам АДС сущес1венно отличаюия от сисхем ОДУ, разрешенных относи юльно поизводиой (в нормальной форме). Эта специфика обуславливает не только необходимость поиска принципиально новых теоретических подходов, но и переосмысления многих базовых понятий классической теории ОДУ, таких как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и i п Величину, характеризующую меру нерафешепностп рассматриваемой АДС относшелыю производной искомой вектор функции, приняю называть гшдексом Различные авкь ры по-рашому опреде 1я! от это пошпие [CJM86, Саш81, Боя80] О юм, чю понимаемся под индексом АДС в дпссерыции, будеч сказано ниже.
Особенное гн АДС upon i нос iрир>см прое кчшшми примерами.
1 Htm п (прерывной .ншисииогтпи решения птп входных данных' прои знольно малые и сколь yi одно гладкие возмущения матриц dF (t, х, х')/ От', 0F (t, x, х')/дх могу г меня ib размерное i ь пространства решений АДС даже в линейном случае Пример 1 Система.
7) f (Л — ['(Л.
I (0).
Возмущенная система.
О 1 О О (?$). «О, имеет одиопарамсчрическое семейство решений, в частности, при f (t) = о, /2(0 = 1 где с — произвольное число и з R Очевидно, что если с Ф 0, то ||x?(f) -z (0llc® -» оо при е -> О.
2 Пространство решений АДС (daoice линейных) моо/сет быть бесконечномерным •.
Пример 2 [Боя80] Вектор-функция x (t) = ((1 + t) t t’f при любом / = 0,1,2, является решением системы 111 1((+1)) At) — (J ?) s (0 = о, t е г = М. (В).
3 Неоднородная система моэюет оказаться несовместной на интервале Т Ксли задать правую часть для системы (8) в виде [f{t), /2(f))T) то полученная неоднородная АДС будет иметь решение только в случае, келда компоненты вектора правой части связаны равенством l (i + t) f2(t)-fl (t)} = f2(t), teT 1 Постав генная задача К огни х (10) = х0.
0) может быть неразрешима для заданного вектора Хо G R". В частной и, !адача (7),(9) будет имегь решение лишь при одном значении.
Условия, которым должны удовлетворять входные данные начальной или краевой задачи для АДС, для того чюбы последняя была разрешима, называются условиями согласования Равенство (10) в данном случае представляет собой условие согласования для задачи (7),(9).
5 Для существания решения в пространстве С!(Т) может оказаться необходима диффсренцируемостпь входных данных системы вплоть до порядка п включительно (п — размерность системы). В частности, компоненты правой части системы (7) должны удовлетворят!, включеб Свойства АДС существенно отличаются от свойств систем уравнений, у которых матрица OF/dx' выроэюдается на множествах меры ноль из области определения. В частности, для линейных систем вида (3) последнее соотвсчствует вырождению матрицы A (t) в изолированных точках tj б Т, j = 1,2,. rank A (t) = п в точках t е’Г: t ф tp и rank A (t) < п при t = Точки tj являются особыми, поскольку в них нарушаются условия теоремы о сущес 1вовании и единственности решения В ном смысле для АДС си! уация является гораздо более сложной, гак как ючки перемены ранга мацэицы OF/dx' не несут информации о поведении решений в этих точках даже в линейном случаеособые точки могут как совпадать так и не совпадать с точками перемены ранга этой матрицы.
Пример 3 Расемсприм две системы.
W /i (0. е С2{Т), v[t) и w[t) в1>1бирают (я в пространстве С°°(7') по правилу v (t) = 0, ес. ш w (t) ф 0 Функции w (t) и v (t) обращаюкя в ноль либо по очереди, чпбо одновременно, вследствие чею раш iaipn-цы при производной равен либо 0, либо 1 на различных подмножес 1вах.
Ю) ниям m G с 1(Т), Ш) е с 2(Г).
11) интервала T, причем структура *ihx иодмножсс ш можем бьпь выбрана (ко п> >юдно сложной, вплоть до (лруктуры множества Кантора.
В первой из этих систем ючки перемены раша Мсирицы при иро-ишодной являются особыми В то же время система (11) имеем на Т единс ] венное решение }" [ Л (0 — «(0/1(0)' и ()1црсшусг операюр, приводящии эту сис 1ему к разрешенному от носи ic. ibho производной виду 1 -tf{t)(±(о «,(0 L~[-At) 1 /W И*) 0.
В связи с этим возникает весьма сложная задача сепарирования систем, у которых измение раша матрицы OF/dx' влечем нерегулярность поведения решений, or тех, у которых несмотря на указанное непостоянство ранга поведение решений регулярно нет ветвлений, ухода на бесконечное I ь, непродолжимости и т. п.
Для анализа вопросов разрешимости АДС вида (1) в диссертации привлекаются так называемые г-продолженные системы (г < п) fr{l, x{t), x'(t), ., x^(t)) = Q. (12).
Под r-нродолженной системой можно понимать совокупность АДС (1) и г ее ночных производных по t.
Дчя линейных АДС вида (3) можно показать, что особыми являются не ючки перемены раша матрицы A (t), а точки перемены раша ма1рицы г (дГг дТт дТг.
1 Г — Ох' Ох" дх (г+11).
Дтя нелинейных АДС эта проблема еще сложнее на некоторых мно-жес гнах из об час in определения (не обязательно нулевой меры) ранг Maipinu. i Гг (/, г, х', ,/(гП') может метпься, а решения тем не менее1 вец I себя ре1улярио Именно переход оi матрицы Гг (/, х, х'т, к Мсирице Vr{t, rj), коюрыи осущес 1вляется в дне с ерыцин, позволяем на пае i оящпп момент осущес шитьэю разделение и iем самым с) щес ibchho расширить кчасс сие iем дос iyrnn>ix для анализа Матрица Гг (?, г/) — это матрица, полученная из Гг подстановкой в последнюю неявной функции? = £(М/)> удовлетворяющей системе (12) По постронию посюянство ранга матрицы Tr (t, х, х',. влечет ча собой постоянство раша матрицы rr (t, T}) Обратное в общем случае мепа не имеет (см пример 5 введении).
7 Особенно сложными для анализа и численного решения являются сущ ((твпто оырожд (иные АДС Под существенно вырожденными си-(к’мами в диссертации понимаются системы вида (1), у которых матрица Якоби функции F (t, x, y).
0F (t, x, у) 0F (t, x, y) J (t, x, y)=^—^~-, —— j (13) имеет неполный ранг на некотором mhoiообразии Ц = {{t, x, y) € R2n+I • h (t, х, у) = ()}, то ее ib rank J (t, х, у) <тг V (f, х, у) G Srank J (t, х, у) = п V (i, х, у) € V S,.
14) где S ~ проекция облас ти V на мноюобразие Ц. Одним из стимулов к расе мотрению систем такого copia послужила статья [БИ02], посвященная особым решениям нелинейных конечных, в частности, алгебраиче-с ких уравнении.
Если решение x,(t) задачи Коши для АДС (1) с условиями (2),(14) удовлетворяет для любого t € Т включению (t, x,(t), x[(t)) € 7i, то дли таких систем принципиально неприменимы имеющиеся на настоящий момент разностные методы решения.
Пример 4. Общее решение АДС имеет вид Xi (t) = X2(t) = fj^, г = const, поэтому любые согласованные начальные данные должны удовлетворять условию zi (0) = :г2(0).
При прибтпжениом решении указанной АДС такими известными ме-Iодами как ФДН нчи сплайн-коллокация ириходння решать систему нелинейных конечных уравнении отпоетелыю разностных приближении решения, например,.
-^ = /(х1+1), 1 = 0,1,2,.
Пию п> зовам" для решения последней меюд Ньютона нельзя, поскольку ма1рица A/h — с?/(хи)/0т будем необратима для любою г.
Такою же рода iрудное! и возникают и при применении меюда Ныо-I она и функциональных upot ipaiu гвах Модифицированный метод Ныо-юна-Канюровича с согласованным начальным приближением Х]о (t) = х2и (t) не дает возможное! и на каждом uuaie ш = 1,2,. единственным образом найти xm (t), поскольку левая часть второго уравнения обращается в тожде-с гвенпый ноль.
8 Изучение АДС с отклоняющимся аргументом вида (4),(5) кроме указанных выше особенностей осложняется спецификой, присущей (истемпм duifxfiept нциально-разностных уравнений.
При изучении проблемы существования и единивенности решения задачи (4),(5) ее тес i венным образом возникаем вопрос о возможности преобразования уравнений (4),(5) в явную сиоему обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Х (,(0 = /(«). '&euro-Т = [to,+00), (15) при t < ti> x (t) определяется условием (5)), для ко юрой уже имеются 1еорсмы существования Сравнительно проел ым в этом смысле является случай, когда в системе (4) матрицы A (t) и B (t) таковы, что на интервале Т определен линейный дифференциальный оператор ?, и при эюм для любой дос! аточно гладкой на Т (функции x (t) выполняется тождество.
Такие (не темы автор называет ptгулярными Если коэффициенты сис ie-мы (4) являются пек юянными, то существование опера юра? обеспечиваемся рег}.1ярнск тыо ма1ричпою пучка Л, А В.
Оптация си п. но осложняемся, если оператор? не сущсс iвсг 15 зтом с.1чае система (1) называется ш регулярной При «ом возникаем ряд xm (t) = s.
C[A (t)r'(t) + B (t)s (t) = x'(t) + D (t)x (t), t G T. (16) особенней, гс и, вызванных н>м, чю и процессе преобразования (1),(5) и (15),(5) с}щес i венную ро п> начинает шрам" сiрукiура матрицы D (t) Л именно.
1) уравнение (15) может оказался порядка выше первою (/ > 1);
2) в общем случае с ис 1ема (15),(5) будет нейтральною или опережающе-к) типа (s > /),.
3) решение системы (1),(5) в каждой ючке t Е Т может зависеть не только от значений коэффициентов и правой чае ih в предшествующих точках, но и ог значении этих функции в iочках t > t,.
4) для существования решения задачи (4),(5) может оказаться необходимым, чюбы начальная функция ip (t) удовлетворяла ограничениям вида о.
1де (п хгс)-матрицы G}{t) и векторg (t) определяются входными данными задачи.
Возникновением особенной и 3) димуется необходимость задания системы (4) не на конечном промежутке, а на полупрямой, что в совокупности с 2) объясняет, почему в диссертации требуемся, чюбы входные данные были бесконечно дифференцируемыми функциями.
3.
Цель и задачи исследования
Целью работы является создание аппарата, позволяющего исследовав классы АДС произвольно высокого индекса перазрешепности, к которым не применимы суще-с твующие на нас гоящии момент методики, а также исполь зованиеного аппарата для получения результаюв, но разрешимое 1и и качественным свойствам 1аки классов спегем.
В рамках указанной цели были поставлены следующие*задачи.
1 Обосновать возможность преобразования нелинейной АДС вида (1) к нормальной форме н доказать теорему о существовании решения задачи Кошн (l),(i)) в общих предположениях, не накладывающих oi ра-пиче нпи на рлш и ядро мафицы.
2 В пространс пзе распределении nociроить обобщенные решения на-ча п>пых и краевых задач, у1я линейной АДС с пере менными коэффицп-ешамн (3) и матрицей при производной переменною раны и испочьзоii. ui, ли ре зу план,! дня обо< новация разрешимости и обобщенном (мыс-ie ЛДС с oik гоняющимся apt умен юм вида (4), (5).
5 Получить конструктивные критерии устойчивости по Ляпунову, прав 1ясмос Iи и наблюдаемое iи, а также результаты о приводимости д ш линейных АДС с переменными мафицами коэс})фициенюв в паибо-ic е общих предположениях.
4 Обосновать конструк1ивные критерии разрешимости и наблюдаемое in для линейной вырожденной гибридной сисп’мы с постоянными кеифс})ициен1ами.
5 Исследовать проблему приведения к явному виду АДС с отклоняющимся аргумешом с постоянными и переменными матрицами коэффи-цнепюв в ре1учярном и нерсчуляриом случаях.
4. Методология и методы проведенного исследования. Методологической основой послужила идея о приведении рассматриваемой АДС к виду, разрешенному относи1елыю производной искомой векюр-фупкцпи, обоснование корректное 1и такого перехода с дальнейшим изучением возможности использования для исследования исходной АДС резулыатов классической теории ОДУ в нормальной форме Процесс нормали зации АДС в диссертции назван построением левою peiy-чяри зирующего оиераюра (JIPO).
Под JIPO для системы (1) следует понималь некоторый дифференциальный оиераюр С порядка г такой, что для любой достаючно гладкой на 7'функции x (t) выпочняется н) ждрство.
C[F (t, x (t), x'(t))) = x'(t) + 0(1, x (i)), ф] = О.
Подиндексом АДС в диссертации подразумевается наименышш возможный порядок JIPO.
Впервые понятие ЛРО для линейнои АДС было введено В Ф Миськовым в [БДЛ89] В дальнейшем регуляризирующий операюр оказался весьма почезным инструментом для исследования и численного решения АДС Во-первых, он дает информацию о структуре решения и поз-во 1ясч пол}чпи" у1верждечшя о сущее пзании и единственности решечшя [ЧпеУО] Во-вторых, подход, свя занныи с ЛРО, коне грукшвен с вычиелп-1е>ч1)1юй ючки зрения, поскочьку он преобразует исходную АДС в сис ie-м, д hi прпб шжеппого решения ко юрой имеется множество сходящихся мс юдов, прямое применение коюрых к (1) либо вообще невозможно, либо не даем приемлемою ре зулыаы Наконец, сущепвованпе ЛРО может шр<�ш> важную рочь при доказательств сводимости численных методой, используемых непосредственно для решения рассматриваемой ЛДС [Щеч 98а, Ще1 98с].
В качестве методов исследования в диссертации использованы ре-зулыапл из теории фуикций нескольких переменных, теории систем функционально-дифференциальных уравнений и ОДУ, разрешенных относ hiельпо производных, теории обобщенных функций, классической теории управляемое in и наблюдаемое 1и, развиюй для разрешенных систем ОДУ, аппарат обобщенных обрашых матриц, а также юория JTPO для линеипых АДС вида (3).
5. Обзор литературы. Первые" известные автору результаты в области АДС принадлежат Н. Н. Лузину. В статье [Луз40] доказано, что размерность пространства решений линейной АДС с постоянными коэе{)фициентами равна степени характеристическою полинома det 'Де с ~ па" рамечр из R, а сама система разрешима при любой дос ьаточпо гладкой правой час 1и, ее ш пучок матриц регулярен.
Ботьшое влияние на дальнейшие исследования АДС оказал раздел из кпш и Ф. Р Гантмахера [Ганбб], в котором на основе теории элемента{>-ных делителей матричных пучков нос ipoeno общее решение системы с прямоуюльными (т х п) и квадратными (п х тг) матрицами, А и В в условиях неполноты раша матрицы А.
Системы с переменными коэс|)фициентами, нелинейные с истемы, проблемы численного решения АДС привлекают внимание специалистов с начала 70-х годов.
Большой вклад в теорию линейных АДС вида (3), включая недо-определенные (т < п) и переопределенные (ш > тг) системы, и развитие приближенных мечодов их решения внес Ю Е Бояринцев В монографиях [Боя80, Боя88, Боя{)6] и серии дру1 их работ основное внимание уделено взаимосвязи кронскеровой ар^ктуры пучка матриц сииемы [Кг890|, вида общею решения ЛДС (3) и cboiicib численных мечодов Мечодо-нмпчсскоп основой эшх нееледовании поелужич annapai обобщенных обрашых ма1рпц пол) обратных и Дразина.
И кншс [БояОО] введено пониже базовых матриц, коюрос позволявi в явном виде строить решении (iicieM с нос юяннои матрицей, А Этот аппарат иснолыуегся для анализа ЛДС индекса 1 и 2, возникающих в различных приложениях, в частности, в иории линеаризованных уравнений Павье-Стокса.
В pa6oiax [Боя96, Щег95| пача1Ы исследования правых регуляризи-рющих операторов (ПРО) замен переменных, приводящих ЛДС (3) к нормальному виду.
Вопросы сущее гвования, свойства и алю1) И1мы построения ЛРО для чиненною случая были развшы в [Чис96] Там же для систем вида (.3) бычо введено определение общего решения типа Коши, выделяющее класс сис к’м, решения которых по (воим свойствам сходны с решениями систем ОДУ, разрешенных относ шельно производном Доказано, что в с чу чае дос ииочно гладких коэффициентов сущес пювапие ЛРО для с и-с гемы (3) эквивалентно существапию общего решения жпа Коши Если же матрицы A (t) и D (t) аналитичпы паТ, то эти своис mat истемы равносильны существованию для АДС (3) цешральной канонической формы (ЦКФ).
Впервые понятие ЦКФ было введено в [СР83] («strong standard canonical form») и в последующем сьпрало важную роль при анализе линейных АДС Существование ЦКФ обосновано для линейной АДС с анали-тичс с кими коэффициен i ами.
В с iaibe [СР02] указан способ построения по полному жорданову набору коэффициентов ЛРО и ПРО для бесконечномерных систем уравнений в банаховых пространс шах с фредгольмопым оператором при про пзво’щои.
Обширная лшература посвящена системам, удоичегворяющим кри-ie|)ino «ранг-степеньчто в предположении существования ЛРО для липе иных АДС эквиваленшо, а дчя нелинейных явчяется достаточным с ижием индекса 1 Этому кршерию удовлечворяют линейные ограничения в идаче минимтации квадратичною (функционала в рабоых Г К[)1пюи [Кур92, Ку])00], в коюрых решения вырожденною опера-юрною ранне пня Риккаги пошочяе! почучпть опжмальное управ че-пия и (форме обраIнон связи Подобная мдача рассMaipiiBaeroi в ciaibe |Мас ()1], 1де дчя иск ipoemm он гималыюю управления для АДС введено iiohhiho сопряженной (ш iемы, a слраничепия описываюп я линейными АДС индекса 1 и 2 В eraibe [PV97] получено необходимое условие оши-малышс in для задачи с ограничениями типа иелинеипой АДС индекса 1.
В работе [КШ98] рас< матриваетс я линейная АДС с регулярным пучком по< юянных матриц Предлагаеюя ус юйчивый по отношению к возмущениям входных данных меюд нахождения решения си< 1ем с правыми час Iими, взятыми в кчасге функций с финитым cneKipoM.
Бочьшое внимание системам индекса 1 и численным меюдам их ре-шс ния jделено в рабснах магема1 иков Берлинской школы (Е Griepeiitrog, R Мает/, R Lamoiir, М Напке и др.) [GM86, LMW9f>, Мае95] Указан свои критерий определения таких АДС для линейных систем вида (3) матрица A (t) + B (t)P (t) неособепна для любого t 6 Т, P[t) — проектор па ядро матрицы A (t).
В последние годы появилось много работ берлинских математиков, пос’вя1цс иных так называемым АДС с правильно заданным елаыемым, содержащим производную («with properly stated leading term»),.
A (i (t), t) jt (D (t)x (t)) + b (x (t), t) = 0.
Такая постановка хотя и теряет в общнос iи, но позволяет с вести к минимуму требования на гладкоеib входных данных сис 1емы Следусч отме-тшь, чю АДС указанием о вида возникакн в некоторых приложениях, в час IносI и, при применении в моделировании электрических цепей модифицированного узлового анализа [МаеОЗ] В ста1ье [ВМ02] предпаыется единый подход к исследованию разрешимое i и АДС индекса 1 и 2 и сопряженной системы Результаш по разрешимости и приближенному нахождению решения предиавлепы также в [МаеОЗ, ЬМТОЗа, ЬМТОЗЬ] В [LamOl] на основе последовательности матриц с определенным образом выбранными проекторами предлагается численная процедура нахождения coi тасованных начальных данных для АДС индекса 2.
Различным аспектам теории нелинейных АДС (1) и, главным образом, численным методам их решения посвящены рабош группы мате-машков США (С W Gear, S L Campbell, L R Pet'/old, К E Вгеиап н др) [BCP9()T CamSOa, Оаш82, Саш84, CP83] Дчя решения и исследования ДС широко не ночь s) ioic я продолжеч1ные системы [ВСР96, Саш92].
Д hi сне Н’м дифференциальных уравнении с частыми производными продо 1женпыееш темы яв шются рабочим аппараюм дос иночио давно |РЯ70] В [Чи (81| 1-продо 1женная система фшурирусч при обосновании корсмы сущее п!01?ания системы (1) индекса 1 В [Саш81] 7-про до ч-/ке иные сис темы исиользуюня д 1я решения линейных ЛДС (3).
Применительно к сие темам ОДУ, неразрешечшым ошоситечыю производных, продолженные системы впервые рассмотрены в кпше [Арн78] в с вя зи с корней с Iрун Существуют и другие подходы к апалн зу АДС, в коюрых продолженные сие к>мы привлекаются через пучки струй (jet bundles) [LeV98, ManOl, РГУЗ] Теория пучков с фуи позволяет исследован" сие 1емы уравнении в чае тных производных с oiрапичепиями типа коне чпых с вязеи [LSE97a, LSE971)] Еще более абстрактный юометриче-екий подход к исследованию АДС связан с гехникои расслоенных пучков (fiber bundles) [GrP92, ММТ97].
S L Campbell сформулировал понятие индекса АДС, связанное с псь няшем г-продолжениой системы (12) [Сеа92]. Последняя рассматриваемся как конечномерная алге браическая сие гема с неизвестными х, я',., 6 R" в предположении, что начиная с некоторого г > 0 и з (12) можно выделить уравнение вида x' + 4>(t, x) = 0 При этом число г назы-вае кя индексом системы (1) Показано, чго при выполнении нскоюрых ограничении решения порченной системы являются решениями АДС (1).
Pa6oia [Rhe81] породи ia интересное направление в исследовании АДС, кем да последние трамукмея как дифференциальные уравнения па мпо-юобразиях В mohoi рафии [RR02] рассмотрены многие аспекты проблемы разрешимое ш и качественной теории АДС В частности, для квази-шпенной автономной системы п1) едла1аекя процедура последовательною понижения индекса АДС с помощью мноюобразий касательных п}чков Стабилизация процесса означает, что исходная АДС с тновится ¦эквивалентна сииеме ОДУ в нормальной форме на некотором мноюобразий Осуществление такой редукции требует на каждом rnaie по-сюяиства ранга матрицы при производной искомой функции на опреде-кчшых касательных многообразиях Процедура редукции используется дане в [RR02] для исследования бифуркаций Хопфа и для изучения к iaeea с шн} чярнос 1ей ква зи шпенныч АДС, об) с лов ieinibix вырождениями матрицы при uponзнп щои на множествах меры ночь, в часшоип, в ючках По с пнтулярнос ibio понимается начпчие в сис темах, почуча е мы па каждом inaie реакции, множшелеи при производной искомой in мо]) функции, которые обращаюк я в, но п. па указанных множее шах В час iиск ш, мкое с 1>частея, koiда начальная точка прнпад 1ежит множе иву вырождения, что може1 вызывать 1акие эффок1ы как неофани-ченное ib производных решения в сишулярной точке, вемвление решений ичи ненродолжимосгь решения влево или вправо.
Для АДС с полиномиальными коэффициентами алибраическии перевод «изгоригма редукции из [RR02] дан в [Tho95]. Геометрические аспекты АДС также изучались в [Sza92].
В статье [КМ95] для линейных АДС вида (3) с матрицей A (t) постоянною раша построен аналог канонической формы, на основе которою осуществляется процесс понижения индекса В [КМ98] этот подход применяемся для исследования нелинейных систем Для нормализации АДС вида (1) привлекаются продолженные системы Следует отметить, что это единственные известные рабены, в которых не используется условие бесконечномерного мноюобразия решений.
Активно развиваете я теория вырожденных дифференциальных уравнений сопераюрными коэффициешами в банаховых пространствах [Кре 71, Рут75, Фе>д00, Сви94, МА94, FY99].
Н, А Сидоровым и его учениками выполнен большой цикл работ по исследованию систем вида (17) в конечномерном и бесконечномерном случаях в предположении фред1 ольмовоии оператора, А [Сид84а, СФ87, ФалОО] Вырожденные сис хемы редуцируются к сиаемам в нормальной форме на основе прямых разложений пространств, на которых определены операюрные кенффициешы, по элементам полных жордановых наборов Техника этих работ применима и для изучения линейных АДС с пос юянными коэфс})ициентами Профессор Н. А Сидоров разработал теорию ветвления непрерывных решений вырожденных нелинейных операторных уравнений в случае, ко1да операюр при производной вырождаемся в начальной точке [Сид94, Сид95, Сид01] Развит конструктивный аппарат, коюрый позволяет с iроить и исследовать уравнения разветвления Пос I роены как дробно-иепечшые, хак и лснарифмические асимп-тошки везвящихся решений Весьма перспекшвной представляется возможное ib связан., в дальнейшем эш результаш с результатами, полученными в диссе ртацпп для с>щесгненно вырожденных АДС, поскольку пачичпе особых решении обусловлено переменным рашом матрицы тг, то есть допускается возможность существования.
A{u'] + B[u} = f, ксгЛ^О.
17).
J (t, r, (/) (< м (формулу (1.3)), чго н сною очередь, iccho свя who с появле-шк м > ЛДС вечвнщихся рсчпепии.
В рабоых |1'ут75, ФедОО, Сни91, МЛ94, FY99] для нормализации (и-(им ис пользую к я методы теории иолуфунп операторов, чю позволя-сч снказаться от фебовапия с^редюльмовосги оператора, А В атих исследованиях авюры оперируют понятием А-резольвенты оператора В (АЛ f В)~Х, еущес ]вование ко юрой при перенесении результатов на конечномерный случай для систем с постоянными мафицами козффици-< шов (0) жвивалепгпо предположению регулярности пучка XA+D. Для сис н’мы с переменными козффициенхами матрица AA (t) + H (t) можег оказания neoGpaiимои для любых значении, А и t 6 Т (см пример 7 введения), позгому для таких сис 1ем, видимо, гребуеюя какое-то расширение понятия резольвентного оператора.
Возможности использования линеаризации для анализа нелинейных АДС всегда привлекали внимание с пециалис шв Первый общий положите 1ьный разулыаг по линеаризации АДС высокою индекса был получен S RckIi’om В работе [Rei93] установлено, что с>сли х, — постоянное решение автономной системы F (x{t), x'(t)) = 0 и мафица 0F (x, 0)/дх невы-рожденна, то поле векторов, определяемое линеаризацией по xt, сснла-суегея в ючке х = = 0 с полем векторов решений рассматриваемой ci1c юмы.
В с ьятье [Cain95b] показано, что не зависящие oi времени липеариза-цип нелинейной АДС общею вида могут отличаться от оршииала размерное шо мноюобразия решений, индексом и динамичен ким поведением Д ш получения «-шалела результам S Reich’a в случае иеавюномной АДС вида (1) используется r-продолженная система.
В рабою |Мае95] обосновывается сходимость меюда Ныогопа-Каию-рогзича для не шнейнои АДС индекса 1 и 2 в предположении, чю ядро матрицы 0F (t, x,2')/dx' зависит только от t В статье |Чис82] доказаны локачыюе сущем пзование решения дчя квазилинейной системы индекса 1 и сходимоиь модифицированною метода Ньююна на отрезке суще-с гвоваппя решения.
В с iaibP [Щеч98а] получеч1Ы оценки сходимости метода Ныотона-Кан-[оровича для не шнейнои АДС вида (1) нроизвочыю высокою индекса не ра зрсчпепнос ги Основным oi раничением является предположение о пое I е) япс те индекса лннеарп зоваинои сис юмы иа каждом niaie процесса Гсорема о сходимос in меюда вк почасч в себя > терждение о суще-ci новации н еднпс i ценности решения задачи Коши.
Акшвно ведутся исследования обобщенных решений систем с опера-юрными коэффициентами в банаховых пространс 1вах В ])аботе |MAU97| на основе теории вырожденных полугрупп операюров исследуемся разрешимость вы!)0жденн0й задачи Коши в пространстве J1. Шварца К сожалению, при перенесении результаюв на конечномерный случай предположения охватывают лишь линейные стационарные системы и, возможно, класс линейных АДС с переменными коэффициентами вида (3), у которых при некем ороч, А матрица AA (t) + B (t) обратима для всех значений t из области определения.
В иагье [Зав88] изучается обобщенное решение системы вида (3) на Т = (—00, +оо) при условии, что матрица A (t) вырождается только в нуле.
К насюящему моменту имеегся немало работ, носвященых обобщенным решениям АДС с постоянными коэффициеными, см., например, [СФ83, Cob82, Gee93, ФалОО].
Чю же касается систем с переменными матрицами коэффициентов, ю авюру известны лишь результаты PJ. Rabier и W. C Rheinboldt, в полном виде изложенные в монографии [RR02, с 63]. Решение в пространстве распределений строится для линейной АДС произвольно высокого индекса с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в случае несогласованных начальных данных и импульс но-гладкой правой час 1И При этом на мацлщу при производной накладывается сущес 1вен-ное OI раничение rank /1(f) = с onst Vi € Т.
Впервые меюд возмущения примениюльно к вырожденным системам уравнении с операторными коэффициентами в банаховых пространствах.
A+eV)[u' = B[u}, ie[t0,ti], рассмотрен в статье [3уб73]. Предполагается, что предельное уравнение (f = 0) неразрешимоoiносительно производной, но оператор (АЛ~В)~1 сущес 1вует и ограничен Оператор V выбирается, в частности, таким образом, чю в случае несогласованных начальных данных возникает граничный слой ошибок экспоненциального типа Такое допущение позволяет сформулировать условия, при коюрых существует асимшотическое разложение решении задачи Коши, и выписать это разложение.
Меюд возмущения для АДС (G) с регулярным пучком ма1риц ко) ф-фпцпепюв 4 4? В)х'М) fBxe (t) = /(f), t€T= [0, Юс),.
18) it предположении f (t) € С2г (Т) (г < п) изучался также в монографии |Воя8()| Доказана равномерная сходимость Ш > £о > 0 при е —* 0 решений задачи (18),(9) к классическому решению исходной задачи (6),(9) Там же отмечено, что на отрезке [0,£о] «общем случае возникаем noipa-ничный слой ошибок типа «всплеска» .
2г-2 (-1/е Xr (t) =? Cj——. j=0 1.
Методам возмущения посвящены работы В II Скрипника [Скр80, Скр 82], в которых обосновывается сходимость решений системы.
A{t, e) x't{t) + B{t, e) xs{t) = f{t, e), t e T, к решению ЛДС (3) при е —" 0, если входные данные системы удовлетворяют условиям.
A (t, e)-^A (t), B (t, e)-^B (t), f (t, e)^f (t).
Предположения относительно коэффициентов с истемы представляют собой час I ныи случай индекса 1.
Некоюрые модификации схемы (18) для линейных АДС исследованы в работах М Напке [11ап86, ЕН91]. В с гатье [Нап94] линейная сис ie-ма индекса 3 апроксимируется с помощью алтритма регуляризации, в рез>льта1е чею получается сишулярно возмущенная АДС. В терминах асимнтслических расширений дается харакхерис 1ика cipyKiypbi регуля-ризированных решении и свойства сходимос ih В [Нап95] аналогичный алюрин! речуляризацип применяется для решения квазилинейной АДС индекса 2 Сходимость решений ре1уляризированной задачи обосновывав к я на базе i еометрической теории сингулярных возмущении.
Первые П0ПЫ1КИ по изучению устойчивою поведения АДС были сделаны 10−15 лсм назад [Baj86, GM86, IIM90] Существенные трудности при изучении устойчивости связаны с тем, что решение задачи Коши для еи-< 1емы (1) н классическом смысле (в пространстве С^Т)) существует не дчя любою заданного вектора j0? R" Последний должен лежать в некоторой i иперилоскос ih иространспза R" .
Эы I иперпчое кость называем я некоторыми авюрамп с oiлас ованным мпоюобразпем (consistent manifold) (luI98| или мноюобразием решении |Мие9Г)| Можем оказания, чю ЛДС (1) имеем паТединс гвениое решение р<�им (рнос и, мнснообрашя решении равна нулю), кяда исследование на (юичивос ib uo/Kci не им (п. (мысла Именно такую (шуацию мы имеем в примере 1.
Таким образом, и учение ус юичивос ш АДС порождас i проблему нахождения указанного мноюобразия В с чучае линеиных с печем с постоянными коэффициентами ла задача решается, в час гнои и, nyieM приведения пучка матриц сисчемы к канонической (кронекеровой) сгруюур-нои форме, детально исследованной в [Ганбб]. Псжому устоичнвос ib в с мысле Ляпунова линейных АДС с пос юянными коэффициешами хорошо изучена к насюящему момен1у [Mul93, Dai89, Боя88] В частности, в кнше [Воя88] с использованием обратной матрицы Дразина получен аналог уравнения Ляпунова.
В работе [Est99] предлагается процедура вычисления согласованных начальных данных для АДС вида (1) индекса 2 в предположении постсь янс iBa ядра матрицы dF (t, x, x')/dx'.
В последнее время стали появляться работы по ус юйчивости нелинейных АДС Исследования в эюй облай и опии. же oi раничиваюгея возможное 1ямн выделения согласованного многообразия В некоторых работах это делается за счет специальной структуры рассматриваемой системы [Ми198] В работах математиков Берлинской школы (см, например, [Tis94, НММ97]) mhoiообразие находится nyieM построения различных проекюров, что позволяет исследовать АДС индекса не выше двух с матрицей dF (t, x, x')/dx' пос гоянного ранга То же относится и работам, но исс к’доианию линеиных систем вида (3) [LMW99J.
В иатье [Сид84Ь] в условиях существования полною жорданова набора получены условия существования ы-периодического решения вы-рождечшой с истемы линейных дифференциальных уравнений, заданной в банаховых пространствах. При выполнении условий юоремы существования для линеннои с истемы и некоторых дополнительных предположениях ошосшельно нелинейною члена доказано, чю нелинейное уравнение обладает конвер! ептным решением.
В рабою [IIIap93] для нолуявнои квазилинейной АДС в предиолсь жечпш разрешимости соотвсчствующеи задачи Коши ироиня аналог санкции Ляпунова, шакоопреде ieiniocib ко юрой позволяем судии" об ус юичивос in гривна п"ною решения Предиав икмея ншереспым ю, чю норема об е юнчнвос ш при некоторых предпо южепиях рабоые i и д 1я ещсепннно вырожденных АДС, в чае шое ш, сущее ibcihio вырожденной являемся с не юма, на примере ко юрой нлчюс 1рируюня по 1ченввпдппи:
ИМИ ре i 1Ы.И.
Пмсчокя рез ibian. i каеаюнцкся вопросов приводимости ЛДС В |LMV ()()j корня Флокс, обоснованная для систем вида (3) индекса 1 (rank (t) = const, применяется д 1Я исследования нелинейных систем Липсари зация также служит ос новой для исследования проблемы устойчивое in ючки равиовсс ия квазилинейной АДС индекса 1 в книге [RR02] Вопросы приводимости АДС обсуждаются в [Маз85, Шла97] Во всех подобных исследованиях ыавную роль Hipaer возможное! ь представления фундамешалыюй матрицы АДС в форме Еругина В рабене [Маз85] априорно предполагаемся существование у АДС фундаментальной маь рицы, и рассуждения опираются на поняше асимптотической эквива-ле нтнос in cue 1ем.
В работе |Кор82] В М Корсуков е формулировал кришрий усгойчиво-с 1и ма1риц вида А~В (.4″ - матрица полуобратная к Л), который может бьпь ие пользован при исследовании АДС на устойчивое ib.
Итере с к управляемым сис1емам, удовлетворяющим условию (2), и нас юящее время значите шно возрос (с м, например, mohoi рафию [Dai89], в которой обрисованы и прикладные аспекты, или обзор [Мп198]).
Первые попытки исследования задач оптимальною управления со связями в виде АДС были предприняты D СоЬЬ’ом и Е. Jonckheere |С'оЬ83, ]ои88] Проблема пен iроения линейно-квадратичного оптимальною ре1улятора для АДС рассматривалась в [BL87] Для юю чтобы получить необходимые }с ювин оптимальности в Э1их работах иа задачу управления накладывались весьма жес 1кие oiраничения, которые редко выполняются в реальных приложениях.
В кнше [Dai89] на основе приведения системы к канонической форме Кронекера деыльно исследована проблема управляемости и наб. по-да< мое in линейных АДС с пек шинными коэффициентами Полученные ал1 сбранчес кие кршерии пепо шзукжя при анализе задачи минимизации квадрашчною функционала на решениях АДС вида (6) Различные пшы управляемоеi и и наблюдаемости сиием с постоянными коэфс})и-цпешами (в шм числе, управляемость на бесконечности, импульсные управ 1яемос п> и наб подаемос ib) расе матрпвалне ь также в [YS81, СР85, (>Ь8 1 Le w85, MCSL88, IW98] Не которые вычнелшельные аспеыы иро-б ie-мы наб по иемости пре 1< ывлепы в |Van 1)81].
В рабомч [RoV71, LK8l], ия исследования управ темой линейной ДС с шн юянпыми киэфефнцпешамн применяемся преобразование Ла-н laca, па основе чею строятся довольно обширные теории, кою])ые в не ко юром (мысле являю и я Чс1СЮ1ными аналоыми управляемое in и наб подаемос in.
В обзоре [МиЮ8] управляемые АДС в форме x (t) = f1(x](t), x2(t), u (t)),.
0 = f2(xl{t), x2(t), u{t)) подразделяются на два 1ипа системы, поведение коюрых определяется только управляемым входом u (t) (саиьа1 sy&teins), и системы, зависящие также и от производных управления u'(t), u" (t),, u^(t) (поп-causal systems) Для первою типа доказана применимой ь принципа максимума Понгрягина То же разделение играет ведущую роль и при анализе линейно-квадратимнои задачи оптимального управления со связями в виде линейной управляемой стационарной АДС [Ми199] Система преобразуется к канонической форме Кронекера, а оптимальное управление строится через решение соответствующею уравнения Риккати.
К наст оящему моменту довольно хорошо ис следована проблема идентификации состояния в случае линейных управляемых АДС с постоянными коэффициетами [Dai89, SK88, Cob94, Mul99] В то время как в [Dai89] и [SK88] пос i роение идешификатора базируется на приведении сисIемы к форме Кронекера, в ста1ье [СоЬ94] для анализа привлекается нюрин син! улярных сис iet и сингулярных возмущений В работе [Ми199] обос повываете я возможное ib применения для оценки сос юяния системы обобщенного идентификатра Люенберюра [Lue77], и сформулируются условия, при коюрых этот идешификаюр ас имптошчес ки ус юйчии В рабснах [CNT90, СТОЗ] система.
A (t)x'(t) = B (t)x (t) + D{t)u{t), t G t0, f,], (19) y (t) = C (t)x (t) (20) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами называется вполне наблюдаемой на отрезке [?o,'i], если на любом подинтервале Т С [?(b'i] мы можем найти гладкое решение уравнения (19) по извес гиому выхо-^у y (t) и управлению u (t) Такое определение позволяет получить красп-выи атнебраичеекпи кршерпй полной наблюдаемости, а также доказать аналог теоремы дуалыюеш Двойственным поняшем является попяше /^-управляемое ш, коюрое пе удается сформулировать в н’рмпнах сие н’мы (19),(20) Вводи и я оно следующим образом Сие ieia (19), (20).
HHF, IFHIIF.
29 преобразуемся к эквивалентной фо ()ме, в которой разделены ее «диффе-pi нпиачышт» и «алге^брличес кая» части шмая мафица, А непрерывно обратимый линейный дифференциальный оператор. Разрешимая АДС (19),(20) называется Я-унравляемой, если вполне управляема система (21) Таким образом определяемые наблюдаемость и управляемость АДС означают полную наблюдаемость и управляемость невырожденной подсистемы (21). Поэтому, если опера-юр исходной АДС имеет нулевое ядро, то для такой системы понятие }прлнляемости не определено Заметим, что конструктивных алгоритмов пос 1 роения АДС (21),(22) на настоящий момент нет В статье [АМ96] определения управчяемости и наблюдаемости являются апалоыми приведенных выше в без привлечения каких бы то ни было критериев, кроме самих определений, обосновывается теорема дуальное ти, связывающая оба эти понятия.
Среди работ, касающихся АДС с отклоняющимся артументом, хоте-югь бы отметить [CarnSO, Саш95], посвященные системам с постоянными кенффицентами, а — const > 0, det, А = 0. В первой из них в условиях регулярное ти щ чка < А — В (D = О) изучается вопрос о сущее твовании coi. тасованных начальных данных, А во второй — в предположении, что регучярен пучок (Л — В — (1С — cdD (с1 — В — сишулярный), для системы строиня с ip>Kiypn.
G. Краткое содержание диссертации и сравнение с ииностпыми результатами. Диссертации с ос тот и? введения, чечыреч 1лав, закчючечшя и списка штературы x (t) = Bl{t)xl (t) + Dl (t)u{t),.
Ax2(t)} = D2(t)u (t), y (t) = Cl{t)xl{t) + C2(t)x2{t),.
21).
22).
Q{t) бесконечно дифференцируемая обра.
Ax'[t) = Bx{t) f Cx{t — a) + Dx'{t — a) + /(<), t > 0, х{1) = ф{1), ге[-а, о],.
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, описана специфика обьекта исследований, приведен обзор текущей нпepaiypbi и дано сравнение с резулыспами, представленными в диссертации.
Первая глава посвящена проблеме разрешимости АДС (линеипых и нелинейных) в классическом смысле Первый раздел главы носит вспо-моипельный xapaKiep В нем собраны сведения об обобщенных обратных матрицах и матричных пучках, а также приведены отдельные аспекты линейной теории АДС, необходимые для анализа, проводимою в дру1их разделах работы Во втором разделе содержатся результаты о разрешимости нелинейных АДС вида (1) произвольного индекса и о возможности их преобразования к виду, разрешенному относительно производной Or обо следует отметить, что впервые рассматриваются так называемые существенно вырожденные АДС, охватывающие случай, когда заданные начальные данные (У) для системы (1) порождают корень кратности больше единицы соответствующей ajn ебраической системы F (t, x, y) = 0.
В отличие от работ математиков берлинской школы [GM86, LMW99, Мае95 и др ] в диссертации нелинейные системы исследуются баз каких бы то ни было ограничений па индекс АДС, а также на ранг и ядро матрицы dF (t, x, х')/дх'.
Как и в работах S L Campbell’a [Сагп92, CG95, ВСР96], в диссертации для анализа нелинейных АДС привлекаются продолженные системы, Но кршерии нормализации и сущейвования решения получены в более общих предположениях В частности, удалось отказаться от постоянсюа ранга матрицы Гг Иллюстрацией огличий могут служить две простые.
Пример 5. Несложные вычисления показывают, что следующие системы имеют юлько тривиальное решение на произвольном итервале Т = [О,/]) Д ih обеих сис icm определены ЛРО.
АДС.
1<1КИ (' чю m, x (t)yx'(t)) = () Vr (i) е С2(Г), г = 1,2.
Oi раничения, накладываемые на систему в работах S L. Campbell’a, выполняются лишь для второй из приведенных ЛДС (ма!рица Гг имеет гю (юянный ранг), предположения, в которых получены результаты в диссертации имеют мес ю для обеих с истем.
В статье [КМУ8] и1ерациопный процесс нормализации нелинейной АДС также осуществляется с помощью продолженных систем. Здес ь уже не требуете я, чтобы rank 0F (t, х, х')1'дх' = coiibt, но основными ограничениями являются, в частносхи, труднопроверяемые предположения о юм, что множество решений продолженной системы (12), понимаемой как система конечных уравнений с независимыми переменными t, x, x',., j (rfI представляет собой одно многообразие в пространстве R" ^r+2)+1, а матрица Гr (t, x, x',., имеет постоянный ранг на этом многообразии Нетрудно построить пример, в котором указанных многобразии у продолженной системы несколько, и ранг матрицы Tr (t, x, x',. на различных многообразиях будет разным.
Пример 6. Рассмотрим однородную АДС индекса 1.
23).
Пос I роим одно дифференциальное продолжение.
1 dt.
Найдем все решения 1-продолженной системы (23),(24), рассматривая ее в качестве алгебраической с неизвестными Xj, х2, х, х'2,х'{, х" 2 Нетрудно убедиться, что все решения системы (23),(24) лежат на двух мно-I ообр<�ииях пространства R6 :
1) х = х = 0, xj = х'2 = 0,.
2) х = х", х = -х", х2 = 1, х'2 = 0, при этом значения х'[ и х2 произвольны Матрица Ti имеет вид ri (jl, 2−2,11,^, a" '/, J-") = х2 0 0 0.
0 ООО х'2 + 1 х х2 0 0 2×2 — 1 0 0 /.
Ли ко проворить, что на первом из указанных мноюобразии ранг матрицы Г} равен двум, а на в юром — гром.
Предположения статьи [КМ98] в общем случае не выполняются и для невырожденных систем вида (1) (то есть когда det OF/dx' ф 0 для любых точек (f, z, x') из области определения функции F), если решения последней, рассматриваемой как система конечных уравнений с неизвестными f, х и х', лежат на различных mhoi ообразиях пространства R2n+I Известный пример скалярнот уравнения, все решения которого расгюла1аю1ся на двух различных мноюобразиях, можно найти в учебнике И Г. Петровского [Пет49, с 88) x'(t))2 — 1 = о, te[ o, i).
Здесь любые начальные данные х (0) = а порождают два многообразия решений х' = 1, х' = -1.
Поскольку в диссертации начальная точка (to, x0,"ь., ar+j), удовлетворяющая г-продолженной системе (12), закреплена, и все рассуждения проводятся в окрестности этой точки, то такою рода проблемы вообще не возникают.
Процедура редукции квазилинейной АДС, предложенная в монографии [RR02], предпола1ает на каждом шаге постоянство ранюв матриц при прои зводнои на соответствующих касательных многообразиях Это ограничение значительно суживает класс рассматриваемых систем по сравнению с тем, который охватывается процедурами нормализации, предложенными в рабогах [КМ98, ВСР96, CG95] или в диссертации К тому же, нес мог ря на го, что любую нелинейную АДС введением дополнительной переменной можно преобразовать в квазилинейную, в общем случае потучепная система не будет полностью эквивалентна исходной, поскольку в условиях существования ЛРО поставленная задача Коши для квазилинейной АДС не может иметь более одного решения, в то время как начальная задача для нелинейной АДС может быть разрешима неедине твенпым образом.
В разделе 124 первой главы получен достаточный кршерий суще-(гвования решения для сущес гвенно вырожденных АДС, то ссть си-(iei вида (1) с условиями (2),(14). Все известные авюру работы в облает АДС предпола1аюг полноту ранга матрицы J (t, x, y) в V Отказ 01 этою требования приводит к серьезным дополниюльным трудное гям в плане исследования и численного решения (см выше пример 4) Подход, предлагаемый в диссертации, проясняет происхождение вычисли-I ельных трудностей и предоставляет способ их преодоления, для решения таких уравнений требуется не только регуляризация по переменной t (ю есть построение ЛРО), но и регуляризация по пространственной переменной х. Обосновывается процесс перехода от задачи (1),(9) с условиями (2),(14) к задаче Коши для системы в нормальной форме, эквивалентной исходной в смысле решения В предположении, что начальные данные (9) порождают кратный корень соответствующей алгебраической системы F (t, x, y) — 0, доказана теорема существования решения задачи.
1),(9).
Во второй главе строятся обобщенные решения типа Соболева-Шварца начальных и краевых задач для линейных АДС с вещественно аналитическими или бесконечно дифференцируемыми матрицами коэффициентов. Для стационарных систем доказывается сходимость метода возмущения в пространстве распределений.
Как следует из краткого обзора, приведенного выше, детально исследована разрешимость в обобщенном смысле линейных систем с постоянными коэффициентами. В работах профессора И. В Мельниковой и ее учеников рассматриваются обобщенные решения в пространстве Л Шварца для систем (17) с операторными коэффициешами в банаховых пространствах (см., например, обзор [Мел95] или статью [MAU97]). Одним из основных предположений в этих исследованиях является существование резольвентного опертора (А, А + В)~гДля систем с переменными коэффициентами вида (3) в общем случае это предположение не выполняется.
Пример 7. АДС имеет едини венное решение т-т).
При этом (let (AA (t) + B (t)) = det [ 1 t ] = 0 для любого, А и любого t G Т.
Тем не менее ЛРО для эюй системы существуетfА (dV.
С =.
В ст<�иье |ФалОО] обобщенное решение сгроихся для системы вида (17) в бесконечномерном случае в предположении фредгольмовости оператора при производной, чго затрудняет перенесение этих результатов па конечномерные задачи, описываемые линейными АДС с переменнн-ными матрицами коэффициентов Если в системе (3) считать ма! рицу A (t) е Ст{Т) оператором, действующим из С" 1[Т) в С, п[Т), то у такого оператора ядро бесконечномерно и в случае rank.4(i) = const описываем ся формулой (Е — A~(t)A (t))v (t), где A~(t) — любая полуобратная матрица для матрицы A (t), v (t) — поизвольный вектор из Ст (Г).
В монографии [RR02J возможности построения обобщеннных решений исследованы для нестационарных систем вида (3). Основным предположением является постоянство ранга матрицы, стоящей при производной.
Решение в пространстве распределений для АДС (3) с матрицей A (t) переменного ранга впервые построено в диссертации, Предполагается, что краевые или начальные условия не согласованы, а правая часть задана в виде гладкой или регулярной обобщенной функции или же может представлять собой сумму регулярной обобщенной функций и линейной комбинации дельта-функции и ее производных В случае аналитических коэффициентов ранг матрицы A (t) является постоянным в области определения за исключением, быть может, отдельных точек В предположении A (t), B (t)? С00(Т) ранг матрицы A (t) может меняться в пределах интервала Т произвольным образом.
Сходимость метода возмущения в пространстве обобщенных функций ранее не рассматривалась В диссертации показано, что классические решения задачи (18), (9) с гладкой правой частью, будучи продолженными нулем в обобщенном смысле при t < О, сходятся к обобщенному решению задачи (6),(9) в пространстве распределений.
В третьей главе изучаются качественные свойства АДС управляемость, наблюдаемость и усюйчивость В первом разделе главы рас-сматриваетея вопрос об устойчивости в смысле Ляпунова линейных и квазпчинейных АДС В общих предположениях доказан аналог теоремы о непрерывной зависимости решения нелинейной АДС си начальных данных Дчя линеиных сии ем введено поняше и получены условия ще t Iкопания новой структурной формы, названной авюром расщеп-н иной Эы сгрумурная форма заюм используется для исследования вопросов приводимое 1и АДС Доказаны аналог теорем II П Крутина и ГФлоке Во в юром и третьем разделе получены шп ебраичеекие критерии управляемости по состоянию и наблюдаемости для линейных АДС с нос юяиными и переменными коэффициентами На базе понятия сопряженной управляемой АДС доказан аналог теоремы дуальиост и Калма-ii.t В четвергом разделе исследуется наблюдаемость линейном системы с пепрерывно-дискретым временем с пос юяиными матрицами коэффи-цненюв, неразрешенной относительно прои зводпой непрерывной сосыв-1яющей искомой вектор-функции Такая система называется в диссертации вырожденной гибридной системой. Получен результат о существовании решения начальной задачи и обос нованы критерии полной наблюдаемой и.
При исследовании усюйчивости линейных АДС (3) по Ляпунову в диссертации спит ряд существенных ограничений, в частнос: и, допускается переменный ранг матрицы A (t) и произвольно высокий индекс неразрешениости. Подход, связанный с преобразованием АДС при помощи ЛРО, позволяет обойти проблему нахождения согласованно! о многообразия Предлагается вместо АДС исследовать на устойчивость некото рую систему ОДУ в нормальной форме, пространство решений коюрои содержит многообразие решении исходной АДС Таким образом, проблема сводится к пос Iроению ЛРО, что в линейном случае, но сложное in эквивалентно нахождению полуобратной матрицы [Чис96].
В разделе 3 1 сформулировано понятие приводимости АДС, которое существенно отличаемся от определения, А М. Ляпунова, и для линейной АДС (3) построена расщепленная форма Последняя в отличие от ЦКФ сущее юует для систем с гладкими матрицами коэс})фициентов. В отличие от работ [Маз98, Шла97] при рассмотрении вопросов приводимое ги в диссертации не предполагается существование у АДС фундаментальной с истемы решений, оно вытекает и з условии существования расщепленной формы.
Насколько извее то авюру, проблема управляемое ги и наблюдаемо-с г и линейных АДС с переменными коэффициентами изучаеня лишь в работах (CNT90, СТ03|, коюрые обеуждашсь в об зоре* литературы Введенное ым иошпие /^-управляемости формулируемся не в терминах входных данных АДС (19),(20), а в терминах некоторой эквивалентной системы (21),(22), конструктивных алгоритмов построения которой па пас тоящий момент не сущес твует В диссертации понятия полной управляемое т и и иаб подаем0(ти вводятся аналотичпо невырожденному случаю (ср |Гай ()2, Дан74]) А под управляемостью, например, системы (22) па отрезке [?0, f 1] С Т подразумевается существование гладкого управления u (t) такого, что для любых заданных векторов xq и Х соответствующей размерности решение системы (22) существует и удовлетворяет условиям х2(?о) = ^2(^1) = Ху. Оба определения формулируются в терминах исходной АДС, a amебраические критерии управляемости и наблюдаемости получены в терминах коэффициентов ЛРО, что придает им конструктивный характер
В том же ключе в диссертации исследуется проблема наблюдаемости вырожденной I ибридной системы, а также связанный с ней вопрос о разрешимости поставленной для такой системы начальной задачи Насколько известно автору, результатов по исследованию вырожденных ти-бридпых систем в литературе не имеется.
Четвертая глава посвящена линейным АДС с отклоняющимся аргументом. В разделах 1−5 изучаются возможности преобразования АДС в систему запаздывающего типа, разрешенную относительно старшей производной и эквивалентную исходной в смысле решения Рассмотрены системы с постоянными и переменными коэффициентами как в предположении существования для части уравнения, не содержащей запаздывания, оператора, преобразующего ее к нормальному виду (регулярные системы), так и в случае, когда такой оператор не существует (нерегулярные системы) В разделе 6 получены условия согласования, гарантирующие существование непрерывного решения основной начальной задачи для регулярной АДС с отклоняющимся аргументом В случае, когда условия согласования не выполняются, доказана теорема о существовании решения в пространстве распределений.
В связи с исследованием АДС с запаздыванием пришлось расширить само понятие ЛРО. Это оператор для задачи (1),(5) существенным образом отличается от ЛРО для АДС (3) он включает в себя не только операторы дифференцирования, но и операторы сдвига влево и вправо.
В дисертацни найдены условия, при которых возможно преобразование АДС (4),(5) к виду (15),(5) в случае, когда оператор (16) не сущес тву-ег, А именно, построен оператор, преобразующий сис тему с постоянными кслффициешами.
— 0 -=0 г/ > 0 можег быть больше р > 1, а = const > 0, dot Ар = 0) к виду (15) в условиях, ко1да иучок матриц с? А3 сингулярен, но регулярен пучок Т.']-«^ Aj + d Dj До (их пор такой оператор не был построен даже для случая р = 1, q = 0 по причине оюутивия хорошей структурной теории для пучков более чем двух матриц Один из разделов посвящен вопросам, связанным с пос гороением ЛРО для нерегулярных с истем с переменными матрицами коэффициентов.
В диссертации найдены условия (называемые ниже условиями согласования), гарантирующие существование непрерывного решения регулярной задачи (4),(5) Показано, что ли условия представляют собой ограничения на начальную функцию ф (Ь) В случае, когда условия со-1ласования не выполняются, исследована возможной ь построения обобщенною в смысле Соболева-Шварца решения задачи (4),(5).
Все поставленные в четвертой главе диссертации проблемы в законченном виде исследованы впервые.
В заключении кратко обсуждаются возможные направления дальнейших исследовании Список использованнои литературы включает в себя 172 ссылки и составлен в алфавитном порядке.
7. Научная новизна. В диссертационной работе получены новые результат по разрешимости (в классическом и обобщенном смыслах) и качественным свойствам таких классов АДС, к которым не применимы имеющиеся на настоящий момент методики исследованиядопускаем с я произвольно вьшокии индекс, переменный ранг матрицы 0F (t, х, х')/дх', сняты ограничения на ядро рюй матрицы, в системах с oi-клоняющимся аргументом час i ь, пе содержащая запаздывания, может не иметь ЛРО.
Поияше ЛРО перенесено на случай нелинейной АДС вида (1), найдены условия сщес1в0ваппя этою оператора В предположениях, допускающих переменный ранг матрицы ГГ) доказана локальная юорема о с ущес iBoieainni {решения Впервые рассмотрены с>щес1венно вырожденные сис Iемы, для коюрых обоснован процесс приведения к нормальной форме и йот}мены условия разрешимости задачи Коши Для нелинейной сниемы в обще" постановке (1) обоснован аналог 1еоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных.
Для линейных АДС (3) и сис iем с отклоняющимся ар1умешом вида (4),(5) с переменными коэффициентами и матрицей при прои зводпой переменного раша построено обобщенное решение типа Соболева-Шварца Доказана сходимос1ь метода возмущения для линейной АДС с постоянными коэффициентами в пространстве распределений.
В терминах коэффициентов ЛРО обоснованы конструктивные критерии устойчивости, но Ляпунову, управляемое 1и и наблюдаемой и для линейных АДС с неременными матрицами коэффициентов Доказаны аналоги теорем Еругина и Флоке о приводимости линейных АДС с гладкими коэффициентами с помощью введенного автором понятия рас щепленной формы Достоинством этих результатов является то, что их невозможно усилить для систем с ре1улярными множествами решений, то ее ть не содержащими особых точек.
Сформулированы и решены проблемы разрешимости и наблюдаемости вырожденной 1ибридной системы с постоянными коэффициентами, ранее нигде не рассматривавшиеся.
Впервые систематически исследованы задача построения ЛРО для АДС с отклоняющимся аргументом с постоянными и переменными матрицами коэффициентов в регулярном и нерегулярном случаях и вопросы разрешимости таких систем. Полученные результаты являются приоритетными и носят законченный характер
8. Теоретическая и практическая значимость. Построена локальная теория разрешимости нелинейных АДС, имеющих конечномерное многообразие решений, включая сущеывенно вырожденный случай Полученные алгебраические критерии управляемости, наблюдаемости и устойчивости ио Ляпунову полностью решают соответствующие вопросы для линейных АДС, у которых семейство решений не имеет особых точек. То же самое можно сказать и о результатах, касающихся разрешимое ги линейных АДС в пространстве распределений Создан единый попятииныи annapai и изучены проблемы разрешимое ги (в классическом и обобщенном смыслах) и построения ЛРО для линейных АДС с постоянным отклонением аргумента с постоянными и переменными мафицами коэффициентов в ре1улярном и нерегулярном случаях Впервые предложена методика для исследования линейных вырожденных I ибридных с истсм.
Как известно, вырождение мазрицы 0F (t, x, x')/dx' на дискретных множествах меры ноль влечет появление особенностей решений Для АДС связь между изменениями ранганой мшрицы и наличием особенностей решений уже не имеет прямого характера ранг может меняться, а особенное! и отсутствовать, и наоборот Наиболее сложные завис имости имеют место в нелинейном случае Разработанные в диссертации мею-ды имеют приоритетныи характер и позволяют отсепарировать АДС, у которых точки перемены раша являются особыми, oi систем, у которых поведение решении регулярно Эти вопросы в настоящее время приобретают ос обую значимость в связи с прикладными задачами.
Результаты рабош имеют теоретический характер и могут быть использованы в других разделах матемашки, а также в прикладных областях, в чаиности: при и зучении и построении поверхностей с заданными свойствами, при построении алгоритмов исследования и численного решения моделей электрических систем и энергоблоков тепловых электростанций, при исследовании свойств двухсекторных экономических моделей, описываемых i ибридными системами, которые содержат взаимосвязанные модели Леонтьева с непрерывным и дискретным временем, и моделируют, например, непрерывный процесс производства продукции и с вязанный с ним дискретный процесс замены оборудования.
РсзультаIы могут быть использованы в рамках исследований, проводимых в Челябинском государственном университете, Уральском ю-сударивенном университете, Воронежском государственном универси-1ете, Иркутском i осударственном университете, Пермском техническом университете, Новосибирском государственном универсиюте, Ульяновском государственном университете, университете Дружбы народов (г. Москва), Институте систем энергетики им Мелентьева СО РАН, а также при разрабснке спецкурсов для асиирашов и студентов старших курсов математическою факультета Иркутского госуниверсигета.
Исследования по теме выполнялись.
1) в рамках основных тематических направлений ИДСТУ СО РАН тема «Исследование ал1 ебро-дифференциальных систем, возникающих в задачах опшмальнот управления и вариационного исчисления» (Лг° юсрегис грации 01 99 00 7 821 в 1999;2001 г г), тема «Ал гебро-дифференциальные спс 1емы н итерационные методы их решеиия» (№ юсреги-с Iрации 01 20 02 11 780 в 2002;2003 п), тема «Прикладная математи-ка» (Пршрамма СО РАН 2 I ПСО ЛГ°Ь2 oi 21 02 2003 с 2004 i),.
2) результаты, представленные н диссертации, получены при финансовой поддержке РФФИ (гранты К0 01−01−259, № 03−01−14 141, N° 05−818 160), Президиума РАН (i раит № 19 2) и Берлинского университета им, А Гумбольдта, который выделял денежные средства для кратковременных стажировок (1997, 2003 г. г).
9. На защиту выносятся следующие результаты:
1 Создан аппарат для исследования локальных свойств нелинейных АДС общего вида (1) произвольно высокою индекса неразрешенное&tradeс матрицами dF/dx' и Гг переменною ранга— сформулировано определение ЛРО и обоснованы условия существования этою оператора, на базе которых доказана теорема о существовании решения задачи Кошиобоснован процесс нормализации существенно вырожденной нелинейной АДС вида (1) с условием (14), базирующийся на предлагаемых алгоритмах pei уляри зации по переменной х и переменной tдля такой системы доказана теорема о существовании решения, введено понятие согласованности начальных данных до некоторою порядка, и доказан аналог теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных;
2. Впервые проведено исследование разрешимости в пространстве обобщенных функций типа Соболева-Шварца линейных АДС вида (3) в случае переменною раша матрицы при производной: исследована возможность построения обобщенных решений начальных и краевых задач для АДС с аналитическим и бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и правой частью, представляющей собой регулярную обобщенную функцию или сумму регулярной обобщенной функции и линейной комбинации дельта-функции и ее производныхдоказана сходимость в пространстве распределений последовательности классических решений системы с постоянными коэффициентами, полученной методом возмущения, к обобщенному решению, построено обобщенное решение основной начальной задачи для ре-тулярной АДС с отклоняющимся аргументом (4),(5).
3. Получены конструктивные amебраические критерии проверки ка-чес i венных cboikib линейных нестационарных АДС вида (3) доказаны теоремы об устойчивости и асимиютичсской устойчивости в смысле Ляпунова тривиальною решения в предположении существования ЛРО, обосновано существование и предложен алюритм пос гросния ЛРО, (охраняющею свойство у (тйчивости, доказаны an. Lioi п теорем Epyi ина и Флоке, при этом получены необходимые и дослаючные условия существования новой орумурпой формы для АДС (гладкими коэффициентами, названной расщепленной, в 1ерминах коэффициентов ЛРО обоснован криюрии полной управляемое I и по сосюянию, с использованием понятия сопряженной АДС доказан аналог теоремы дуальности Калмана, с вязывающий понятия наблюдаемости и управляемое хи по со (юяпию, доказан доыагочный кри-1ерии полной наблюдаемости, не являющийся следс! вием теоремы дуальности и критерия управляемое ги,.
4 Предложена методика для исследования вырожденных линейных систем с непрерывно-дискретным временем (гибридных) с постоянными коэффициентами исследован вопрос о разрешимости начальной задачиполучены достаточный и необходимый и достаточный крюерии полной наблюдаемости такой системы.
5 Построена теория линейных АДС с отклоняющимся аргументом вида (1),(5) определено ионяше общею решения типа Коши, найден вид ЛРО для таких систем в регулярном и нерегулярном случаях, для сис ieu с аналитическими коэффициентами показано, что существование ЛРО эквивалентно сущес твовапию решения типа Коши, доказаны теоремы о существовании и указаны алгоритмы пос iроения ЛРО для регулярных и неретулярпых АДС с пос гоянными и переменными матрицами коэффициентов, найдены условия согласования для основной начальной задачи для регулярной АДС с отклоняющимся ар1умепгом.
10. Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на 16 Международных и Всероссийских конференциях и семинарах, в том числе на X Международной школе-семинаре «Методы ошимизации и их приложения «(Иркутск, 1995), на XI Международной школе семинаре «Методы ошимизации и их приложения» (Ирм к ь., 1998), на IV Сибирском конгрессе, но индустриальной и прикладной мак’магике (Новосибирск, 2000), на XII Международной шко ie семинаре «Меюды оптимизации и их прнл<>жения» (Ирку1СК, 2001), на Всероссннс кои научной конференции «Алюрш мичс с кии анализ пеус юй-чивых !адач» (Ека1ерннбург, 2001), на Международной конференции «Дифферснциальные и ишаральные уравнения. Математические модели» (Че-либинок, 2002), на Втором международном когрессе «Нелинейный динамический анализ» (Москва, 2002), на Международной конференции «Математика, ее приложения и математическое образование» (Улан-Удэ, 2002), на семинарах института математики Берлинского унивсрешета им, А Гумбольдта (рук-ль проф. R. Maerz, Берлин, 1997, 2003), на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям в Пермском техническом университете (рук-ль проф. Н. В. Азбелев, Пермь, 2002), в период 1998;2005 годы на семинарах в Иркутском государственном университете (рук-ль проф. Сидоров Н.А.) и в Иркутской экономической академии (рук-ль проф. Дыхга В.А.) и на ежегодных конференциях «Ляпуновские чтения» в Институте динамики систем и теории управления СО РАН.
По теме диссертации автором опубликовано около 50 работ. Основой диссертации являются статьи, опубликованные в жестко рецензируемых отечественных и зарубежных журналах [ЧЩ02, ЧЩ04а, Щег95, Щег98а, Щег02а, Щег02Ь, Щег02с, ЩегОЗа, IU, ei04b, Shch04, Shch05], а также монография [ЧЩ04Ь], изданная при поддержке РФФИ.
Заключение
.
Обсудим результаты, представленные в диссертации, с точки зрения их законченности и перспективы для дальнейших исследований.
Предположения, в которых обоснованы утверждения первой главы, охватывают достаточно широкий класс задач, что позволяет сказать, что создана законченная локальная теория разрешимости нелинейных АДС, имеющих конечномерное многообразие решений, включая существенно вырожденный случай.
В диссертации впервые введено понятие существенно вырожденной АДС и доказаны теоремы о ее разрешимости и приводимости к нормальной форме. Следует отметить, что переменный ранг матрицы Dr может обуславливать существование особых решений, что, в свою очередь, тесно связано с появлением у системы ветвящихся решений. Результаты, полученные в диссертации, позволяют четко разделить системы, имеющие ветвящиеся решения и не имеющие таковых. Заметим, что тематика, направленная на изучение особенностей решений АДС, в последние годы привлекает все большее внимание исследователей (см. монографию [RR02] и приведенные в ней ссылки).
Профессором Н. А. Сидоровым и его учениками создана теория ветвления решений «вырожденных нелинейных операторных уравнений [Сид 94, Сид95, Сид01]. Весьма перспективной представляется возможность связать в дальнейшем эту теорию с разультатами, полученными в диссертации относительно существенно вырожденных АДС, то есть исследовать случай, когда переменный ранг матрицы Д. порождает ветвящиеся решения АДС Для операторных уравнений соболевского типа сходные вопросы изучались в [Паз99] с применением теории особенностей гладких многообразий.
Полученные во второй главе алгебраические критерии управляемости, наблюдаемости и устойчивости по Ляпунову полностью решают соответствующие вопросы для линейных АДС, у которых семейство решений не имеет особых точек. То же самое можно сказать и о результатах, касающихся разрешимости линейных АДС в пространстве распределений.
Критерии устойчивости, управляемости и наблюдаемости создают предпосылки для исследования задач оптимального управления. В комплексе с результатами о разрешимости нелинейных АДС они открывают возможности изучения проблемы управляемости и наблюдаемости по первому приближению для нелинейных АДС.
Естественным обобщением АДС можно считать гибридные системы. Техника нахождения обобщенных решений АДС позволит перейти к изучению гибридных управляемых систем.
A (t)x'(t) = B (t)x (t) + Скук + D (t)u (t), t е [tk, tk+l),.
Gfc+iI/Hi = Нк+Ук + Kit+ix (tk) + vk, k = 0,1,2,. и задач оптимального управления с импульсными режимами.
Результаты третьей главы носят законченный характер, поскольку проблемы разрешимости (в классическом и обобщенном смыслах) и построения JTPO для линейных АДС с постоянным отклонением аргумента с постоянными и переменными матрицами коэффициентов в регулярном и нерегулярном случаях решена полностью. С точки зрения методологии линейная теория АДС и техника оперирования с блочными матрицами себя на этом исчерпывает.
Перспектива дальнейших исследований в этом направлении связана с новой постановкой задачи.
A (t)x'(t) = B (t)x (S (t)) + f (t), te[a, b], предложенной профессором Н. В. Азбелевым и его сотрудниками [АМР02, AR94], когда часть уравнения, содержащая запаздывание, записывается в виде интеграла Стилтьеса.
A{t)x'{t) = /' d, R (t, s) z (s) + ф (г). Ja.
1).
Здесь R (t, s) = a (t, s) E, a (t, s) — характеристическая функция множества f, s) € [о, b] x [a, 6] :a< b}|j{(*>s) € [a, b] x [a, b]: 5{t) = b)-,.
Этот подход обощает понятие решения, сформулированное в главе 4, унифицирует исследования систем запаздывающего, нейтрального и опережающего типа и базируется на редукции задачи (1) к интегральному уравнению, главная часть которого является фредгольмовым оператором..
Анализ задачи (1) требует в свою очередь развития теории алгебро-интегральных систем уравнений (см., главным образом, [Чис96]), а именно распространения результатов на случай, когда ядро интегрального оператора не гладкое, а имеет разрывы 1-ого рода. Это направление также имеет хорошие перспективы развития..
