Исследования по проблеме погружения полей с некоммутативным ядром

Задача погружения полей — одна из центральных теорий в теории Галуа. Будучи прямым обобщением обратной задачи теории Галуа, она в то же время является полезным инструментом при ее исследовании.

У истоков теории погружения стоят такие известные математики 30-х годов XX века, как А. Шольц [67, 68], Р. Брауэр [46], Е. Витт [73]. X. Райхардт [65]. Отчетлйвая формулировка задачи погружения была дана Д. К. Фаддеевым в [15] и X. Хассе в [47].

В послевоенные годы теория погружения интенсивно разрабатывается, и успехи в этом направлении, в основном, связаны с именами Ж.-П. Серра, X. Хассе, Д. К. Фаддеева, И. Р. Шафаревича и их учеников. Я не ставлю здесь задачу рассказать о всех сколько-нибудь значимых результатах в этой деятельности, но невозможно не отметить работы И. Р. Шафаревича по обратной задаче теории Галуа для разрешимых групп [39, 40], результаты С. П. Демушкина и И. Р. Шафаревича по задаче погружения для локальных полей [17] и найденные А. В. Яковлевым условия погружения в случае коммутативного ядра [42, 43, 44].

Систематическое изложение теории погружения и ее методов и основных результатов (на период написания) дано в книге [2], ставшей определенным этапом в данной проблематике (английский перевод — см. [8|. В этой книге дана и достаточно подробная библиография по задаче погружения. Это позволяет в настоящей диссертации дать библиографию в основном тех работ, которые появились после выхода книги. (Подробная библиография работ первого послевоенного периода содержится в книге [13]).

Диссертация разбита на шесть глав. Первая глава носит подготовительный характер, содержит основные понятия теории погружения, и написана, в основном, с целью автономного чтения рукописи и единообразия терминов и обозначений. Кроме того, в ней содержится и краткий исторический обзор (вероятно, неполный).

Вторая глава посвящена изучению условия согласности для задачи погружения (в случае некоммутативного ядра). Несколько результатов автора позволили редуцировать это условие к случаю р-групп, а для числовых полей — к задаче с абелевым ядром.

В третьей главе рассказывается об условиях существования собственных решений задачи погружения для локальных полей (т.е., коI гда решение должно быть полем). Этот вопрос именно в случае локальных полей достаточно содержателен. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых разрешимая задача погружения для локальных полей и р-групп имеет собственные решения. Также найдены простые достаточные условия, гарантирующие собственную разрешимость.

В четвертой главе исследуется феномен так называемой универсальной разрешимости. Достаточно неожиданным оказалось существование нерасщепляющихся групповых расширений, для которых соответствующая задача погружения разрешима для любого расширения полей с фиксированной группой Галуа. Более того, такие групповые расширения существуют для любых неквадратичных расширений полей.

Пятая глава посвящена задаче погружения над р-расширениями. Получен результат, согласно которому такая задача равносильна присоединенной силовской задаче, если силовская подгруппа ядра — абелева.

Показано, что от требования абелевости силовской подгруппы ядра отказаться в общем случае нельзя. Однако когда ядро — знакопеременная группа 21б, соответствующая задача погружения оказывается равносильной присоединенной силовской 2-задаче (у которой ядро — группа диэдра порядка 8). Попутно для задачи с ядром, изоморфным группе диэдра, оказывается справедливым аналог теоремы Кохендорфера-Фаддеева.

В последней главе, очень небольшой по объему, задача погружения применяется не к обратной, а к прямой задаче теории Галуа. I.

Посредством весьма элементарных соображений найдено очень простое достаточное условие неразрешимости в радикалах для неприводимого уравнения простой степени р, сравнимой с 1 по модулю 4. В частности, если дискриминант уравнения не представляется в виде суммы двух квадратов из основного поля, такое уравнение неразрешимо в радикалах.

Настоящая диссертация не была бы написана, если бы не настойчивость моих коллег, а также моей семьи.

По завершении работы я склонен выразить им свою признательность.

1. Алгебраическая теория чисел. Под ред. Дж. Касселса и Ф. Фре-лиха. М., Мир, 1969, 483 с.

2. Ишханов В. В., Лурье Б. В., Фаддеев Д. К. Задача погружения в теории Галуа. — М., «Наука», 1990, 272 с.

3. Кэртис Ч., Райнер И., Тебрия представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., «Наука», 1969, 668 с.

4. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М., Мир, 1975. Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа. Т. 1. М.-Л., ОНТИ, 1934.

5. Escofier J. P. Theorie de Galois. Paris, 1997, 248 pp.

6. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Math. Surveys Monogr., v. 40.1, AMS, 1994.

7. Ishkhanov V. V., Lur’e В. В., Faddeev D. K. The Embedding Problem in Galois Theory. Translation of Math. Monographs. Amer. Math. Soc., 1997, 182 p. v. 40.1, AMS, 1994.

8. Lam T. Y. The algebraic theory of quadratic forms. W. A. Benjamin, Inc., Reading, MA, 1973, 344 pp.

9. Башмаков М. И. О задаче погружения полей. Мат. заметки — 1968, т. 4, N 2, 137−140.

10. Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Исследования по геометрии теории Галуа. Мат. сб. — 1944, т. 15 (57), N 2, 243−284.

11. Демушкин С. П. Группа максимального р-расширения локального поля. Изв. АН СССР, сер. мат., 1961, т. 25, N 3, 329−346.

12. Демушкин С. П., .Шафаревич И. Р. Задача погружения для локальных полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1959, т. 23, N 6, 823 840.

13. Демушкин С. П., Шафаревич И. Р. Второе препятствие для задачи погружения полей алгебраических чисел. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1962, т. 26, N 6, 911−924.1.

14. Зяпков Н. П. Яковлев А. В. Универсально согласные расширения Галуа. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1977, т. 71, 133−152.

15. Ишханов В. В. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р Труды МИАН СССР — 1990, т. 183, 116−121.

16. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Задача погружения для числовых полей с некоммутативным ядром порядка р4. Алгебра и анализ — 1990, т. 2, N 6, 161−167.

17. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. I, Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1989, т. 175, 46−62.

18. Ишханов ВВ., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. II, Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1991, т. 191, 101−113.

19. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. III, Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1991, т. 198, 20−27.

20. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. IV, Зап. научн. семин. ПОМИ. — 1994, т. 211. 120−126.

21. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. V, Зап*- научн. семин. ПОМИ. — 1994, т. 211, 127−132.

22. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. VI, Зап. научн. семин. ПОМИ. — 1995, т. 227, 74−82.

23. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Универсально разрешимая задача погружения с циклическим ядром. Зап. научн. семин. ПОМИ, 1999, т. 265, 189−197.

24. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Универсальная задача погружения с циклическим ядром порядка 8. Зап. научн. семин. ПОМИ, 2001, т. 281, 210−220.

25. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Об универсально разрешимой задаче погружения с циклическим ядром. Зап. научн. семин. ПОМИ, 2006, т. 338, 173−179.

26. Лурье Б. Б. К задаче погружения с ядром без центра. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1964, т. 28, N 5, 1135−1138.

27. Лурье Б. Б. К задаче погружения с некоммутативным ядром порядка р3. Труды МИАН СССР — 1965, т. 80, 98−101.

28. Лурье Б. Б. О задаче погружения для локальных полей. Мат. заметки — 1972, т. 12, N 1, 91−94.

29. Лурье Б. Б. Задача погружения локальных полей с неабелевым ядром. Зап. научн. сем. ЛОМИ — 1973, т. 31, 106−114.

30. Меркурьев А. С. О задаче погружения с неабелевым ядром. Изв. АН СССР, сер. мат., 1977, т. 41, N 5, 1043−1052.

31. Фаддеев Д. К. Об одной гипотезе Хассе. ДАН СССР — 1954, т. 94, N 6, 1013−1016.

32. Шафаревич И. Р. О р-расширениях. Мат. сб., 1947, т. 20 (62), 2, 351−363.

33. Шафаревич И. Р. О задаче погружения полей. ДАН СССР. — 1954, т. 95, N 3, 459−461.

34. Шафаревич И. Р. О задаче погружения-полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1954, т. 18, N 5, 389−418.

35. Шафаревич И. Р. Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой группой Галуа. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1954, т. 18, N 6, 525−578.

36. Шафаревич И. Р. Задача погружения для распадающихся расширений. ДАН СССР. — 1958, т. 120, N 6, 1217−1219.

37. Яковлев А. В. Задача погружения полей. ДАН СССР. — 1963, т. 150, N 5, 1009−1011.

38. Яковлев А. В. Задача погружения полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1964, т. 2.8, N 3, 645−660.

39. Яковлев А. В. Задача погружения для числовых полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1967, т. 31, N 2, 211−224.

40. Black E., Swallow J. R. Relativ embedding problems. Trans. Am. Math. Soc. — 2001, v. 353, N 6, 2347−2370.

41. Brauer R. Uber die Konstruktion der Schiefkorper die von endlichem Rangsin Bezug auf ein gegebenes Zentrum sind. J. reine angew. Math. — 1932, Bd 168, N 1, 44−64.

42. Hasse H. Existenz und Mannigfaltigkeit Abelscher Algebren mit vorgegebener Galoisgruppe uber einem Teilkorper des Grundkorpers. Math. Nachr. — 1948, Bd 1, N 1, 40−61- Bd 1, N 4, 213−217.

43. Hoechsmann K. Zum Einbettungsproblem. J. reine angew. Math. — 1968, Bd 229, 81−106.

44. Ledet A. Embedding problems with cyclic kernel of order 4, Isr. J. Math. — 1998, v. 106, 109−131.

45. Ledet A. Brauer type embedding problems Fields. Institute Monographs. 21 Providence, RI. AMS, 2005, 171 pp.

46. Michailov I. M., Ziapkov N. P. Embedding obstructions for the generazed quaternion group. J. Algebra — 2000, v. 226, N 1, 375−389.

47. Michailov I. M., Ziapkov N. P. Embedding problems with Galois groups of order 16. Math. Balk., New Ser. — 2001, v. 15, N 1−2, 99−108.

48. Minac J., Swallow J. Galois embedding problems with cyclic quotient of order p. 1st. J. Math. — 2005, v. 145, 93−112.

49. Neukirch J. Einbettungsprobleme mit lokaler Vorgabe und freie Produkte lokaler Galois Gruppeij. J. reise angew. Math. — 1973, Bd 259, 1−47.

50. Neukirch J. Uber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie. Invent, math. — 1973, Bd 21, N 1−2, 59−116.

51. Neukirch J. On solvable number fields. Invent, math. — 1979, v. 53, N 2. 135−164.

52. Nomuro A. Embedding problems with? restricted ramifications and the class number of Hilbert class fields. Adv. Stud. Pure Math. — 2001, v. 30, 79−86.

53. Quer J. Embedding problems over abelian groups and an application to elliptic curves. J. Alebra 2001, v. 237, N1, 186−202.

54. Reichardt H. Konstruktion von Zahlkorpern mit gegebener Galoisgruppe von Primzahlotenzordnung. J. reine angew. Math. — 1937, Bd 117, N 1, 1−5.

55. Roquette P. On the local-global principle for embedding problems over global fields. Isr. J. Math. — 2004, v. 141, 369−379.

56. Scholz A. Uber die Bildung algebraischer. Zahlkorper mit auflosbarer Ga-loischer Gruppe. Math. Z. — 1929, Bd 30, 332−356.

57. Scholz A. Konstruktion algebraischer Zahlkorper mit beliebiger Gruppe von Primzahlpotenzordnung. Math. Z. — 1936, Bd 42, 161−188.

58. Serre J.-P. Cohomologie negligeable. Algebre et geometrie. Annuaire du College de France. 1993;4, 91−99.

59. Sonn J. On the embedding problem for nonsolvable Galois groups of algebraic number fields: reduction theorems. Bull. Amer. Math. Soc. — 1972, v. 78, N 4, 553−557.

60. Spearman W. Condition for the insolvability of the quintic equation xb + ax 4- b. Far East. J. Math. Sei (FJMS), 2001, v. 3, N 2, 209−225.

61. Vela M. Resolution of a famHy of Galois embedding problems with cyclic kernel. Rev. Mat. Iberoom. — 2005, v. 21, N 1, 111−132.

62. Witt E. Konstruktion von Galoischen Korper der Charakteristik p zur vorgegebener Gruppe der Ordnung pf. J. reine angew. Math. — 1935, Bd 174, N 4, 237−245.i.

63. I. Публикации автора по теме диссертации.

64. Григорян О. М., Лурье Б. Б. О вполне разрешимых задачах погружения с абелевым ядром для локальных полей. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1978, т. 75, 67−73.

65. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Условие согласности для задачи погружения с р-расширением. Зап. научн. семин. ПОМИ, 1997, т. 236, 100−105.

66. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Задача погружения над р-расшире-нием. Алгебра и анализ, 1997, т. 9, N 4, 87−97.

67. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения над р-расширением. Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фаддеева. Тезисы докладов, СПб, 1997, с. 206.

68. Лурье Б. Б. Об условиях погружаемости, когда ядро есть неабелева р-группа. Мат. заметки — 1967, т. 2, N 3, 233−238.

69. Лурье Б. Б. Критерий неразрешимости в радикалах уравнения простой степени. Докл. РАН, 2003, т. 388, с. 447−448.

70. Лурье Б. Б. Критерий неразрешимости в радикалах неприводиIмого уравнения простой степени. Международная алгебраическая конференция памяти 3. И. Боревича. Тезисы докладов. СПб, 2002, с. 46−47.

71. Лурье Б. Б., Гладких М. Б. О неразрешимости в радикалах некоторого класса уравнений пятой степени. Зап. научн. семин. ПОМИ, 2003, т. 305, 163−164.