Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингульярными линиями

Актуальность темы

Квазилинейные переопределенные системы уравнений в частных производных с одной искомой функцией, включая системы в полных дифференциалах (п.д.-системы), изучались в трудах Якоби, Фробениу-са, Гурса, а также И. В. Гайшун (Минск) и других.

В Таджикистане исследования по переопределенным системам были начаты Л. Г. Михайловым в 1971 г., о чем можно судить по его монографии «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями» изд. Дониш, Душанбе 1986 г.

Л.Г. Михайловым была развернута еще и другая научная подпроблема: переопределенные системы с сингулярными точками и линиями, в работе над которой за 15−30 лет была создана достаточно крупная научная школа. Определенные результаты в данной области получены Л. Г. Михайловым, Н. Раджабо-вым, Э. Мухамадиевым, Э. Рузметовым и их учениками А. С. Сатаровым, Р. Пи-ровым, Б. Шариповым, М. Холовым, Р. Сайдуллаевой и другими. В работах А. И. Перова, В. Г. Задоржнова, Ф. Н. Назарова в многомерном пространстве рассмотрены уравнения в полных дифференциалах первого порядка.

Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и точками посвящена монография академика АН РТ Н. Раджабова: «Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1992 г., 236 е.), в которой методы, разработанные им для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами. В 1994 году в монографии Э. Рузметова.

Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных" (Душанбе, 1994, 241 с.) были получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и многообразиями. Применением системы уравнений в частных производных первого и второго порядка (с регулярными правыми частями) к решению некоторых задач гидрои газодинамики занимались В. Н. Манахов, М. М. Лаврентьев и их ученики.

В предлагаемой диссертационной работе изучаются некоторые классы дифференциальных уравнений и системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями. Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными многообразиями, имеющие важное значение в математической физике, мало изучены. В связи с этим проблема получения многообразия решений и исследование некоторых задач для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями является актуальной.

Цель предлагаемой диссертационной работы. Исследовать полные дифференциалы второго порядка с сингулярными линиями и решения соответствующих систем уравнений в частных производных второго порядка с сингулярными линиями.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является чисто теоретической. Исследуются переопределенные системы уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями, которые до сих пор не рассматривались. Результаты, полученные в работе, являются новыми. Результаты диссертации можно применить в решении задач математического анализа для определения углов наклона касательных, выпуклостей, для определения поля скоростей, в задачах электрои гидродинамики и других отраслях науки.

Методы исследования. Методика данного исследования базируется на классическом вещественном двумерном анализе и теории дифференциальных уравнений с новыми ее приложениями для переопределенных систем, изложенными в монографии Л. Г. Михайлова «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями».

Научная новизна работы. Установлен ряд новых теорем существования и единственности решений задач Коши для тех или иных переопределенных систем (трех или двух) уравнений в частных производных второго порядка с одной и двумя сингулярными линиями. В ряде случаев для решений найдены явные интегральные представления.

Апробация работы. Отдельные ее части докладывались на научных семинарах академика Л. Г. Михайлова, которые он проводил в Таджикском государственном педагогическом университете в прежние годы, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском техническом университете, в институте Предпринимательства и сервиса, на Республиканских конференциях в Кургантюбинском государственном педагогическом университете, а также работа была доложена на международных научных конференциях в ТГНУ, ТГПУ, ТТУ, ИСП (1997,2001,2002,2004,2005,2006, 2007 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы. Работа изложена на 117 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 36 наименований. При написании работы придерживались следующего правила. Для обозначения теорем и формул использовалась тройная нумерация. Первая цифра означает номер параграфа, вторая — номер пункта, третья — текущий номер утверждения.

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.т.1−3. М., Наука, 1970.

2. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, Дониш, 1966.

3. Михайлов Л. Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986.

4. Михайлов Л. Г. К сингулярной теории полных дифференциалов. Доклады АН Тадж. ССР, 1989, т. 32, № 8.

5. Михайлов Л. Г. Об одном системе сингулярных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1991, т. 321, № 4, с. 681−686.

6. Михайлов Л. Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками ДАН России, 1992, т. 332, № 4, с. 646−650.

7. Михайлов Л. Г. К сингулярной теории полных дифференциалов ДАН РТ. 1997, т. 354, № 1, с. 21−24.

8. Михайлов Л. Г., Сайдуллаева P.P. О системах в полных дифференциалах с сингулярными линиями, ДАН. Тадж., 1992, т. 38, № 4, с. 227−230.

9. Михайлов Л. Г. О некоторых переопределенных системах уравнений в частных производных с сингулярными точками. ДАН. 2004, т. 398, № 2, с. 1−4.

10. Махайлов Л. Г. Формулы представления решений некоторых систем уравнений в частных производных со многими независимыми переменными. ДАН СССР, 1984, т. 270, № 6, с. 1303−1309.

11. Михайлов Л. Г. К теории полных дифференциалов второго порядка с сингулярными точками. ДАН России, т. 406, № 3,2006 г.

12. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе, 1994, ДГПУ, с. 241.

13. Рузметов Э., Муродов Б. Интегральное представление многообразия решений некоторых однородных систем двух уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией на плоскости. ТГПУ, Выпуск 4 (сборник научных статей), 1996, с. 49−53.

14. Рузметов Э. Интегральные представления многообразия решений некоторых однородных систем двух уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости. ТГПУ, Выпуск 4 (сборник научных статей), 1996, с. 60−67.

15. Рджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, ч.1, 1980, с. 126, ч.2, 1981, с. 170, ч. З, 1982, с. 170.

16. Раджабов Н. Свойства решений одного класса сингулярного и сверхсингулярного нелинейного гиперболического уравнения на особых линиях. ТГПУ, Выпуск 5 (сборник научных статей), 1997, с. 71−78.

17. Раджабов Н. Р.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе, 1992, 236 с.

18. Рахимов P.M. К теории системы полных дифференциалах с двумя сингул-ными линиями от двух искомых функций на плоскости. Сборник статьей, посвященной 70 летию г. Душанбе ДГПУ, 1994, 70−74.

19. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе, ТГПУ, 1994, с. 241.

20. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Москва, 1970,607 с.

21. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970, 720 с.

22. Гайшун И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск: Наука и Техника, 1983,271 с.

23. Гурса Э. Курс математического анализа. M. JL, ОНТИ, 1933, т. 2, 563 с.

24. Курант Р. Уравнения математической физики. М., Мир, 1964, 830 с.

25. Курант Р. Уравнения с частными производными. М., Мир, 1964.

26. Пиров Р. О некоторых линейных системах дифференциальных производных первого порядка с двумя неизвестными функциями на плоскости. Докл. АН Тадж. ССР, 1983, том 26, № 3, 138−142.

27. Пиров Р. Об одной переопределенной системе уравнений в частных производных второго порядка. Деп. В Тадж НИИНТИ, 1989, № 22, 622.

28. Пиров Р. Интегральное представление решения одной системы трех дифференциальных уравнений с двумя сингулярными линиями. ТГПУ, Выпуск 7 (сборник научных статей), 1998, с. 45−48.

29. Михайлов Л. Г., Орипов Т. С. Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными линиями. Вестник (научный журнал) № 2, ТГНУ. Душанбе, 2005, с. 83−85.

30. Рузметов Э, Пиров Р, Муродов П. О севместности некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Изв. АН Тадж. ССР, 1988, № 3,9−13.

31. Рузметов Э., Орипов Т. С. Интегральные представления многообразия решений некоторых однородных переопределенных систем уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями. Душанбе, 1998, ТГПУ, с. 26−36.

32. Орипов Т. С. Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости. Курган-Тюбе, Таджикистан, 18−20 ноября 1997 г., с. 49−50.

33. Орипов Т. С. Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости (сборник научных статей). Душанбе, 1997, выпуск 5, ТГПУ, с. 50−56.

34. Орипов Т. С. Интегральные представления многообразия решений для некоторых систем трех уравнений в частных производных второго порядка с двумя сингулярными линиями на плоскости. Душанбе, ТГНУ, Труды, 25−28 октября 2003, с. 119−121.

35. Орипов Т. С. Интегральные представления одного класса уравнения в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными коэффициентами (сборник научных статей). Душанбе, «Паем», 2004, ИПС № 11, с. 13−16.

36. Орипов Т. С. Интегральные представления одного класса уравнения в полных дифференциалах второго порядка с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 2005, Материалы 1-ой международной научно-практической конференции, ТТУ, с. 131−136.

37. Орипов Т. С. Система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями. Материалы 2-й международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке». ТТУ, Душанбе, 2006, с. 31−34.

38. Орипов Т. С. О некоторых системах в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями. Доклады АН РТ, Душанбе, 2007, том 50, № 2,11−13.