Алгоритмы вычисления цен опционов в дискретных моделях со скачками
Диссертация
В разработан алгоритм определения мартингальной меры, минимизирующей наименьшую оценку сверху среднеквадратического критерия, построения хеджа, применив метод Ньютона решения систем уравнения и метод деревьев. В проведена дискретизация по состоянию экспоненциального процесса Леви и разработан алгоритм расчета безарбитражной цены финансового обязательства на основе дискретизации процессов Леви… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. Исследование задачи о рандомизированной остановке при среднеквадратичном хеджировании и численный метод ее решения
- 1. 1. Аппроксимация конечной последовательности случайных величин последовательностью стохастических интегралов
- 1. 2. Задача о рандомизированной остановке
- 1. 3. Решение внутренней задачи
- 1. 4. Решение внешней задачи
- 1. 5. Случай мартингальной меры
- 1. 6. Достаточное условие существования решения
- 1. 7. Случай, когда известна смешанная стратегия и ее исполнение происходит в финальный момент времени
- 1. 8. Сравнение задачи о рандомизированной остановки и задачи о марковской остановке
- Выводы к первой главе
- Глава 2. Процессы Леви, их обобщения в задачах моделирования случайных процессов, эквивалентые мартингальные меры и исследования оптимальных портфелей
- 2. 1. Общие сведения о процессах Леви, характеристическая функция процесса Леви, мера Леви
- 2. 2. Дискретизация процессов Леви по времени. Мера Леви конечная
- 2. 3. Дискретизация процесса Леви по состоянию. Бесконечная мера Леви
- 2. 4. Некоторые обобщения дискретизированных по состоянию моделей под управлением процессов Леви
- 2. 5. Условно-пуассоновские модели. Хеджирование в среднем
- Выводы ко второй главе
- Глава 3. Анализ быстрых алгоритмов расчета справедливых цен и их реализация на кластере
- 3. 1. Методы расчета справедливых цен. Метод деревьев для определения опционов в дискретизированных процессах Леви
- 3. 2. Реализация информационного дерева при решении задачи вычисления условных математических ожиданий и рандомизированной остановке
- 3. 3. Выбор схемы реализации алгоритмов
- 3. 4. Параллельные алгоритмы и их реализация
- 3. 5. Оценка и сравнение алгоритмов
- Выводы к третьей главе
Список литературы
- Антонов, A.C. Параллельное программирование с использованием технологии ОрепМР/ A.C. Антонов. — М.: Изд-во МГУ, 2009. -77 с.
- Бейко, И. В. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации/ И. В. Бейко, Б. Н. Бублик, П. Н. Зинько.- К.: Вища школа. Головное изд-во, 1983.-512 с.
- Беллман, Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных/ Р. Беллман, Э. Энджел. Пер. с англ. — М.: Мир, 1974. — 208 с.
- Букатов, A.A. Программирование многопроцессорных вычислительных систем/ A.A. Букатов, В. Н. Дацюк, А. И. Жегуло. -Ростов -на-Дону: ООО «ЦВВР», 2003.-208 с.
- Булинский, A.B. Теория случайных процессов / A.B. Булинский, А. Н. Ширяев. М.: ФИЗМАЛИТ- Лаборатория Базовых Знаний, 2003. — 400 с.
- Галиц, Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском / Л. Галиц. М.:ТВП, 1998. — 600 с.
- Гирсанов, И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры / И. В. Гирсанов // ТВП. 1960. — Т.5. № 3. — С. 314−330.
- Гнеденко, Б. В. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин/Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. М.: Гостехиздат, 1949. — 264 с.
- Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б. В Гнеденко. М.: Гостехиздат, 1954.-411 с.
- Грин, Д. Математические методы анализа алгоритмов/ Д. Грин, Д.Кнут. -Пер. с англ. М.: Мир, 1987. — 120 с.
- Золотарев, В.М. Одномерные устойчивые распределения/ В. М. Золотарев. -М.: Наука, 1983.-304 с.
- Кингман, Дж. Пуассоновские процессы/ Дж. Кингман. Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2007.- 136 с.
- Крамков, Д.О. О замыкании семейства мартингальных мер и опциональном разложении супермартингалов / Д. О. Крамков // ТВП. -1996. Т.41. Вып.4. — С. 892−896.
- Красий, Н.П. Стохастическая финансовая математика: Односеместро-вый курс лекций (методическое пособие) / Н. П. Красий, И. В. Павлов. Ростов-на-Дону: РГСУ, 2005. — 60 с.
- Кудрявцев, O.E. Вычисление цен барьерных и американских опционов в моделях Леви / O.E. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. -Т. 17. Вып.2. — С. 210−220.
- П.Кудрявцев, O.E. Эффективный численный метод вычисления цен барьерных опционов в моделях Леви / O.E. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. — Т. 18. Вып.З. — С. 353−372.
- Липпман, С.Б. Основы программирования на С++/ С. Б. Липпман. Пер. с англ. — М. .-Вильяме, 2002. — 256 с.
- Лужецкая, П.А. Преобразование Гирсанова для пуассоновской модели поведения финансовых индексов / П. А. Лужецкая // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. — Т. 15. Вып.5. — С.900−901.
- Майстров, Л. Е. Развитие понятия вероятности/ Л. Е. Майстров.-М.: Наука, 1980.-269с.
- Мельников, A.B. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг / A.B. Мельников. М.:ТВП, 1997. — 130 с.
- Мельников, A.B. Математика финансовых обязательств / A.B. Мельников, С. Н. Волков, М. Л. Нечаев. М.:ГУ ВШЭ, 2001. — 254 с.
- Партасарати, К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати. М.: Мир, 1983.- 336 с.
- Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б. Н. Пшеничный. М.: Наука, 1980. — 320 с.
- Рохлин, Д.Б. О критериях безарбитражности болыиихфинансовых рынков / Д. Б. Рохлин // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. -Т. 14. Вып.1. — С. 143−144.
- Севастьянов, Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б. А. Севастьянов. М.: Наука, 1982. — 256 с.
- Скороход, A.B. Случайные процессы с независимыми приращениями /
- A.B. Скороход. М.: Наука, 1964. — 278 с.
- Треногин, В. А. Функциональный анализ/ В. А. Треногин. М.: Наука, 1980. -495 с.
- Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения/
- B. Феллер. -В 2 т. Т. 1- пер. с англ. М.: Мир, 1967. — 498 с.
- Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения/
- B. Феллер. -В 2 т. Т. 2- пер. с англ. М.: Мир, 1967. — 752 с.
- Фельмер, Г. Введение в стохастические финансы. Дискретное время/ Г. Фельмер, А. Шид. -М.: МЦНМО, 2008. 496 с.
- Фон Нейман, Дж. К теории стратегических игр/ Дж. Фон Нейман // Матричные игры / под ред. H.H. Воробьёва. М.: Физматгиз, 1961. — С. 173−204.
- Хинчин, А.Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин/ А. Я. Хинчин. М. — Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1938. — 116 с.
- Ширяев, А.Н. Вероятность/ А. Н. Ширяев. М.: Наука, 1989. — 581 с.
- Ширяев, А.Н. Векторный стохастический интеграл и фундаментальные теоремы теории арбитража/ А. Н. Ширяев, A.C. Черный // Российская академия наук. Труды математического института им. А. В. Стеклова. -2002. -т.237,1. C.14−19.
- Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики/ А. Н. Ширяев. -В 2 т. Т. 1. Факты, Модели. М.:ФАЗИС, 1998 — 512 с.
- Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики/ А. Н. Ширяев. В 2 т. Т. 2. Теория. — М.:ФАЗИС, 1998 — 544 с.
- Энгелькинг, Р. Общая топология/ Р. Энгелькинг- пер. с англ. М.: Мир, 1986 — 752 с.
- Юдович, В.И. Математические модели естествознания. Курс лекций / В. И. Юдович. М.: Вузовская книга, 2009. — 288 с.
- Amin, К. Jump-diffusion option valuation in discrete time / K. Amin // J. Finance. 1993. -Vol. 48, P. 1833 — 1863.
- Andersen, L. Jump-diffusion models: Volatility smile fitting and numerical methods for pricing / L. Andersen, J. Andreasen // Rev. Derivatives Research, -2000. -Vol. 4, P. 231 -262.
- Applebaum, D. Levy Processes and Stochastic Calculus / D. Applebaum. -Cambridge University Press, 2004. 384 p.
- Bachelier, L. Theorie de la speculation / L. Bachelier //Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1900. — Vol. 17, P. 21−86.
- Barndorff-Nielsen, O. Processes of normal inverse Gaussian type/ O. BarndorffNielsen // Finance and Stochastics 1997.- Vol. 2(1), P. 41−68
- Bertoin, J. Levy Processes/ J. Bertoin. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.-266 p.
- Bertsimas, D. Hedging Derivative Securities and Incomplete Markets An Epsilon-Arbitrage Approach / D. Bertsimas, L. Kogan, A. W. Lo// Operations Research. 2001. — Vol. 49, P. 372−397.
- Billingsley, P. Probability and measure / P. Billingsley. Wiley, 1986. — 622 p.
- Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. Scholes // J. Plit. Econ. 1973. -Vol. 81. — No. 3.
- Boyarchenko, S. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes Theory / S. Boyarchen-ko, Levendorskii. 2002. -World Scientific: River Edge, NJ — 421 p.
- Boyarchenko, S. Perpetual American options under Levy processes / S. Boyarchenko, S. Levendorskii // SLAM J. Control Optim. 2002. — Vol. 40, P. 1663−1696.
- Breiman, L. Probability/ L. Breiman. Addison- Wesley, Reaing, Mass. — 1968, 421 p.
- Carr, P. Option valuation using the fast Fourier transform / P. Carr, D. Madan // J. Comput. Finance. 1998.- Vol. 2, P. 61−73.
- Carriere, J. Valuation of the early-exercise price for derivative securities using simulations and splines/ J. Carriere// Insurance: Mathematics and Economics. -1996.- 19, P. 19−30.
- Cont, R. Financial Modelling with Jump Processes/ R. Cont, P. Tankov. -Chapman and Hall/CRC. 2004, 552 p.
- Cont, R. Finite difference methods for option pricing in jump-diffusion and exponential Levy models/ R. Cont, E. Voltchkova. -Rapport Interne 513. CMAP, Ecole Polytechnique.- 2003.
- Dalang, R.C. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models// R.C. Dalang, A. Morton, W. Willinger. Stoch. And Stoch. Repts. -1990.- V.29, N 2, P. 185−201.
- Delbaen, F. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes/ F. Delbaen, W. Schachermayer// Math. Ann. 1998.-312, P. 215- 250.
- Eberlein, E. New insights into smile, mispricing and value at risk: The hyperbolic model/ E. Eberlein, U. Keller, K. Prause // J. Business 1998. -Vol. 71, P. 371 -405.
- Esscher, F. On the probability function in the collective theory of risk/ F. Es-scher// Skandinavisk Aktuarietidskrifl.- 1932.-V.15, P. 175−195.
- Gerber, H.U. Martingale approach to pricing American options/ H.U. Gerber, E.S.W. Shiu// ASTINBulletin.-1994.-V.24, P. 195−200.
- Gerber, H. U. Pricing perpetual options for jump processes/ H.U. Gerber, E.S.W. Shiu//North American actuarial journal. -1998. Vol.2, P. 101−112.
- Gerber, H.U. Option pricing by Esscher transforms/ H.U. Gerber, E.S.W. Shiu// Transactions of the Society of Actuaries. 1994. -Vol.46, P.99−191.
- Grandits, P. On martingale measure for stochastic processes with independent increments/ P. Grandits// Theory of Probability and its Applications. 1999. — Vol. 44, P. 87−100.
- Haight, F.A. Handbook of the Poisson distribution/ F.A. Haight. New York: Wiley, 1967. — 168 p.
- Harrison, J. M. A stochastic calculus model of continuous trading: Complete markets/ J. M. Harrison, S. R. Pliska// Stochastic Process. Appl. -1983. Vol.15, P. 313−316.
- Harrison, J. M. Martingales and arbitrage in multiperiod security markets/ J. M. Harrison, D. Kreps// J. Economic Theory 1979. — Vol.2, P. 38- 408.
- Harrison, J. M. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading/ J. M. Harrison, S. R. Pliska// Stochastic Process. Appl. 1981.- Vol.11, P. 215−260.
- Hull, J.C. Options, futures and other derivatives/ J.C. Hull. 5th edition. — Prentice hall, 2002. — 744 p.
- Jacob, N. Pseudo-Differential Operators and Markov Processes Volume I: Fourier Analysis and Semi-Groups /N. Jacob. Singapore: World Scientific, 2001.516 p.
- Jacod, J. Limit Theorems for Stochastic Processes/ J. Jacod, A. N. Shiryaev.-2nd ed.- Berlin: Springer, 2002 660p.
- Kabanov, Y. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction/ Y. Kabanov, M. Rasonyi, C. Strieker// Finance Stoch. 2002 — Vol. 6, no. 3-P. 371−382.
- Karlin, S. A First Course in Stochastic Processes/ S. Karlin, H.M. Taylor -2nd edition New York: Academic Press, 1975. — 557 p.
- Karlin, S. A Second Course in Stochastic Processes/ S. Karlin, H.M. Taylor -New York: Academic Press, 1981.- 542 p.
- Kaval, K. Link-save trading/ K. Kaval, I. Molchanov/ J. Math. Econ.-2OO6.-V0I. 42, no. 6, P. 710−728.
- Knight, F. B. Essentials of Brownian motion and diffusion/ F. B. Knight// Mathematical Surveys. American Mathematical Society. -1981. — Vol. 18. — 201 p.
- Kou, S. A jump-diffusion model for option pricing/ S. Kou// Management Science. 2002.- Vol. 48, P. 1086−1101.
- Kushner, H. J. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time/ H. J. Kushner, P. Dupuis// Applications of Mathematics. 2nd edition- New York: Springer, 2001. -Vol. 24- 475 p.
- Kyprianou, A. A martingale review of some fluctuation theory for spectrally negative Levy processes/ A. Kyprianou, Z. Palmowski // Seminaire de Probabilites XXXVIII, Berlin: Springer. 1975. -P. 226−236.
- Levy, P. Prosessus Stochastiques et Mouvement Brownien/ P. Levy.- 2 ed. -Paris: Gauthier-Villars, 1965. 224 p.
- Levy, P. Theorie de l’addition des variables aleatoires/ P. Levy Paris: Gauthier-Villars, 1937.-328 p.
- Lewis, A. Option Valuation under Stochastic Volatility/ A. Lewis. Finance Press, 2000. — 350 p.
- Longstaff, F. Valuing American options by simulation: A simple least-squares approach/ F. Longstaff, E. Schwartz // Review of Financial Studies. -2001.-Vol. 14, No. 1, P. 113−147.
- Lukacs, E. Characteristic Functions/ E. Lukacs. London, Griffin, 1960 — 215 P
- Madan, D. Option pricing with variance gamma martin- gale components/
- D. Madan, F. Milne // Mathematical Finance .- 1991.- Vol. 1, No. 4, P. 39−55
- Madan, D. The variance gamma process and option pricing/ D. Madan, P. Carr,
- E. Chang// European Finance Review. 1998. — Vol. 2, P. 79−105.
- Merton, R.C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous/ R.C. Merton// Journal of Financial Economics. 1976 — Vol. 3, P. 125−144.
- Merton, R.C. Theory of rational option pricing/ R.C. Merton// Bell Journal of Economics and Management Science.- 1973. -Vol. 4, no. 1, P. 141−183.
- Meyer, G. The evaluation of American options with the method of lines/ G. Meyer, J. Van Der Hoek// Advances in Futures and Options Research. -1997-Vol.9, P. 265−285.
- Meyer, G. The numerical valuation of options with underlying jumps/ G. Meyer// Acta Mathematical 1998. Vol.67, P. 69- 82.
- Nualart, D. Backward stochastic differential equations and Feynman-Kac formula for Levy processes, with applications in finance/ D. Nualart, W. Schoutens// Bernoulli. -2001. Vol. 7, No. 5, P. 761−776.
- Pham, H. Optimal stopping of controlled jump-diffusion processes: a viscosity solution approach/ H. Pham //Journal of Mathematical Systems. 1998. — Vol. 8, P. 1−27.
- Pham, H. Optimal stopping, free boundary, and American option in a jumpdiffusion model/ H. Pham//Applied Mathematics and Optimization. -1997. Vol. 35, P. 145−164.
- Prigent, J. Weak Convergence of Financial Markets/ J. Prigent.- New York: Springer, 2003. 422 p.
- Resnick, S. Adventures in Stochastic Processes/ S. Resnick. Birkhauser, 1992. -638 p.
- Rokhlin, D.B. Asymptotic arbitrage and numeraire portfolios in large financial markets/ D.B. Rokhlin// Finance and Stochastics. 2008-Vol. 12, no. 2, P. 173— 194.
- Rokhlin, D.B. Martingale selection problem and asset pricing in finite discrete time/ D.B. Rokhlin// Electronic Communications in Probability.-2007.-Vol. 12, P. 1−8.
- Ross, S.A. The arbitrage theory of asset pricing/ S.A. Ross// Journal of Economic Theory.- 1976. -Vol. 13, no. 3, P.341−360.
- Rydberg, T. H. The normal inverse Gaussian Levy process: simula- tion and approximation/ T. H. Rydberg// Communications in Statistics: Stochastic Mod-els.-1997. Vol. 13, P. 887−910.
- Samorodnitsky, G. Stable Non-Gaussian Random Processes/ G. Samorod-nitsky, M. Taqqu— New York: Chapman & Hall, 1994 656 p.
- Sato, K. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions/ K. Sato.--Cambridge: Cambridge University Press, 1999. 500 p.
- Schoutens, W. Levy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives/ W. Schoutens- New York: Wiley, 2003.-196 p.
- Schweizer, M. Hedging of Options in a General Semimartingale Model / M. Schweizer// Diss. ETHZ.-1988.-No. 8615 .
- Schweizer, M. Variance-Optimal Hedging in Discrete Time. / M. Schweizer // Mathematics of Operations Research.-1995.-Vol.20, P. 1−32.
- Stroock, D. W. Markov processes from K. Ito’s perspective/ D. W. Stroock.-Princeton: Princeton University Press, 2003.-280 p.
- Tavella, D. Pricing Financial Instruments: the Finite Difference Method/ D. Tavella, C. Randall.- New York: Wiley, 2000. -237 p.
- Thomee, V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems/ V. Thomee. -Vol. 25 of Series in Computational Mathematics.- Berlin: Springer, 1991.- 302 p.
- Wiener, N. Differential-space/ N. Wiener//Journal of Mathematics and Physics. -1923.-Vol. 2, P.131−174.
- Zhu, J. Modular Pricing of Options: An Application of Fourier Analysis/ J. Zhu Berlin: Springer, 2000 — 170 p.
- Белявский, Г. И. Об алгоритме’вычисления минимальной мартингальной меры и глобального риска./ Г. И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. -Т. 18, Вып. 3, С. 479−480.
- Данилова, Н.В. Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков. / Н. В. Данилова, Н.Д. Никоненко// Труды научно-практической конференции «Неделя науки». — 2008. -С.51−54.
- Данилова, Н.В. Различные виды хеджирования для одной модели неполного рынка./ Н. В. Данилова, Н.Д. Никоненко// Труды международной НПК «Инфоком-2008».- 2008. -С.107−110.
- Никоненко Н.Д. Хеджирование динамических финансовых обязательств для класса моделей неполного рынка / Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики-2008 т.15, в. 5, С. 913−914 (издание, рекомендованное ВАК РФ).
- Никоненко Н.Д. Хеджирование для пуассоновской модели (B, S) -рынка. / Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2010.- Т. 17, Вып.2, С. 288−289 (издание, рекомендованное ВАК РФ).
- Никоненко, Н.Д. Преобразование Гирсанова и Эшера для пуассоновско-го (В, 8)-рынка. / Н.Д. Никоненко// Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета.-2010- t. XV, С.49−52.
- Никоненко, Н.Д. Хеджирование динамических финансовых обязательств/ Н.Д. Никоненко// Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. -2009. -№ 2, С.119−131.