Разрывная функция цены в игровых задачах быстродействия

В диссертации исследуются вопросы, связанные с обоснованием аналитического построения разрывной функции цены в дифференциальных играх быстродействия. Используется подход, основанный на теории минимаксных решений краевой задачи для уравнения в частных производных первого порядка, разработанной А. И. Субботиным.

В теории дифференциальных игр изучаются задачи управления по принципу обратной связи в условиях неопределенности и помех. Исследования дифференциальных игр начались в 1950—60-е годы с рассмотрения математических моделей конфликтных ситуаций. В этих моделях динамика управляемой системы описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, в правую часть которых входят управляющие воздействия. Полезное управление рассматривается как действие первого игрока, минимизирующего некоторый функционал на множестве траекторий системы, а помеха считается результатом управления второго игрока, цель которого состоит в максимизации того же функционала. Управления игроков стеснены геометрическими ограничениями.

В отчетах Р. Айзекса [44−48] и его монографии [1] был предложен метод исследования игровых задач управления и рассмотрено большое число содержательных примеров. Однако строгой математической постановки дифференциальной игры при этом не было.

В дальнейшем были разработаны различные варианты формализации дифференциальных игр, среди которых отметим подход W.H. Fleming [43], основанный на аппроксимации дифференциальной игры многошаговыми играми, а также подход, использующий понятие неупреждающих стратегий и развитый в работах R.J. Elliott и N.J. Kalton [42].

Удобной с практической точки зрения является позиционная формализация дифференциальных игр, изложенная в книге Н. Н. Красовского и А. И. Субботина [6]. В рамках позиционной формализации подход к решению дифференциальной игры заключается в поиске функции цены, которая каждой точке пространства состояний системы ставит в соответствие оптимальный гарантированный результат в игре, начинающейся из этой точки. На базе функции цены можно построить стратегии оптимального управления по принципу обратной связи [5]. Отметим, что цена позиционной дифференциальной игры для заданной начальной точки совпадает с ценой в смысле W.H. Fleming или с ценой в классе неупреждающих стратегий в случаях, когда обе величины существуют.

В диссертации рассматриваются игры, в которых функционалом платы является время до попадания фазовой точки на заданное замкнутое терминальное множество М С Rn. Такие игры называются дифференциальными играми быстродействия. К ним относятся, например, задачи преследования-уклонения, а также задачи оптимального быстродействия в теории управления, которые можно рассматривать как игровые задачи при нулевом ограничении на управление второго игрока.

Предположим, что динамика управляемой системы описывается уравнением x (t) = f (x{t), u{t), v (t)), t > 0, s (0) = x0eRnM.

Здесь x (t) G Rn — фазовый вектор в момент времени tu (t) € Р и v (t) € Q — управления минимизирующего и максимизирующего игроковР и Qкомпакты в конечномерных пространствах. Пусть функция / непрерывна по совокупности переменных, удовлетворяет условию подлинейного роста и локальному условию Липшица по переменной х. Кроме того,.

Н (х, р) = min max (р, f (x, u, v)) = max min (p, f (x, u, v)}. uGP veQ v€.Q u&P.

В рамках позиционной формализации указанные условия обеспечивают существование функции цены Xq ь-> Т°(хо)? [0, оо] дифференциальной игры быстродействия.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения в частных производных первого порядка (уравнения Айзекса — Беллмана):

H (x, VT (x)) = -1, xeRnM, (0.1).

Т (х) = 0, х G дМ. (0.2).

В книге Р. Айзекса [1] показано, что классическое решение задачи (0.1), (0.2) (если оно существует) совпадает с функцией цены Т°(-) дифференциальной игры быстродействия. Таким образом, при некоторых дополнительных условиях гладкости для нахождения дифференцируемой функции цены может быть использован метод классических характеристик [9] решения краевой задачи (0.1), (0.2).

В общем случае функция цены дифференциальной игры быстродействия может быть негладкой, разрывной, и, кроме того, может принимать несобственное значение со. Метод построения кусочно-гладкой или разрывной функции цены, предложенный Р. Айзексом, заключается в последовательном нахождении гладких ветвей решения при помощи классических характеристик. Основная трудность применения метода Айзекса состоит в обнаружении поверхностей стыковки (сингулярных поверхностей) гладких ветвей функции цены. Р. Айзексом были рассмотрены различные типы сингулярных поверхностей и некоторые способы их построения.

В связи с большими техническими сложностями исследования конкретных задач в настоящее время известно не очень много работ, в которых проведены аналитические построения функции цены дифференциальных игр быстродействия. Среди таких исследований отметим результаты А. А. Меликяна [12,13], B.C. Пацко [14,15], С. А. Чигиря [29], J.V. Break well, J. Lewin, A.W.Merz, G. J. Olsder [51,52,54], J. Shinar [60]. Трудность аналитического решения игровых задач быстродействия требует численных алгоритмов решения, которые разрабатывались B.C. Пацко, В. Л. Туровой [27, 58, 59], В. Н. Ушаковым [61], M. Bardi, M. Falcone, P. Soravia [31−34], P.M.Cardaliaguet, M. Quincampoix, P. Saint-Pierre [38,40] и другими авторами.

В теории оптимального управления аналогом подхода к решению задачи на базе функции цены является метод динамического программирования. Если функция оптимального результата (функция Беллмана) дифференцируема, то ее поиск сводится к решению соответствующей краевой задачи для уравнения в частных производных (УЧП) первого порядка. В этом случае с помощью функции Беллмана определяется оптимальное управление по принципу обратной связи. Если функция Беллмана является негладкой, но непрерывной, то для решения задачи в классе управлений по принципу обратной связи может быть использован регулярный синтез В. Г. Болтянского [2]. Задачи оптимального быстродействия с разрывной функцией Беллмана исследовались, например, в работах G. Leitmann, Н. Frankowska, P. Cannarsa [37,50] и многих других [30,55].

Поскольку для краевой задачи Дирихле (0.1), (0.2) на множестве RnM функция цены Т°(-) содержательно определяет единственное разрывное решение, то конструкции теории позиционных дифференциальных игр можно использовать для определения обобщенных решений краевых задач для УЧП первого порядка. Такой подход лежит в основе теории минимаксных решений А. И. Субботина [22,23], которую можно применить для обоснования правильности построения функции цены.

В своих работах А. И. Субботиным дано определение разрывного минимаксного решения и (-) краевой задачи Дирихле:

H{x, Vu>(x))-u (x) = -1, xERnM, (0.3) w (x) = 0, х Е dM. (0.4).

Для этого сначала вводятся определения верхних и нижних минимаксных решений уравнения (0.3). Верхнее (нижнее) минимаксное решение уравнения (0.3) определяется как полунепрерывная снизу (сверху) функция j (-): ~RFM —" R, надграфик (подграфик) которой слабо инвариантен относительно соответствующего характеристического дифференциального включения. Указанные свойства слабой инвариантности совпадают со свойствами w-стабильности и -^-стабильности функции цены. Кроме того, существуют различные эквивалентные способы определения верхних и нижних минимаксных решений.

Верхним решением задачи (0.3), (0.4) называется верхнее минимаксное решение и (-) уравнения (0.3), удовлетворяющее краевому условию (0.4) и оценке.

Мс)|<1, xeRn М. (0.5).

Нижним решением задачи (0.3), (0.4) называется нижнее минимаксное решение си (-) уравнения (0.3), непрерывное в каждой точке х Е дМ, удовлетворяющее краевому условию (0.4) и оценке (0.5). '.

Минимаксным решением задачи (0.3), (0.4) называется функция и (>): RnM R такая, что существует последовательность верхних решений си^(-) и последовательность нижних решений w/c (-), k Е N, которые поточечно сходятся к функции и (-).

Определения верхних и нижних решений несимметричны: нижние решения должны быть непрерывны в каждой точке х? дМ, что не требуется для верхнего решения. Это связано со свойством единственности минимаксного решения.

В работах А. И. Субботина доказано существование и единственность минимаксного решения краевой задачи (0.3), (0.4) и его совпадение с минимальным верхним решением. Классическое (т.е. гладкое) решение задачи (0.3), (0.4) (если оно существует) удовлетворяет определению минимаксного решения. Кроме того, показано, что функция цены Т°(-) дифференциальной игры быстродействия и минимаксное решение и>(-) связаны равенством uj (x) = 1 — exp (-T°(z)), х е RnM. (0.6).

Отмечено также, что в случае непрерывного минимаксного решения оно одновременно является верхним и нижним решением соответствующей краевой задачи. Преобразование вида (0.6), предложенное С. Н. Кружковым [7], используется в теории УЧП первого порядка в тех случаях, когда нужно перейти к ограниченным решениям.

Опираясь на связь функции цены дифференциальной игры и минимаксного решения краевой задачи (0.3), (0.4), получаем, что в задачах быстродействия функция цены является единственной полунепрерывной снизу «-стабильной функцией, удовлетворяющей нулевому краевому условию на границе множества М, к которой поточечно сходится последовательность полунепрерывных сверху^{-стабильных} функций, удовлетворяющих тому же краевому условию и непрерывных на границе множества М. Однако проверка существования указанной последовательности и, тем более, ее построение во всем пространстве игры затруднительны при решении даже задач на плоскости.

Отметим, что существуют другие подходы к определению обобщенных решений краевой задачи (0.3), (0.4). Наиболее известно понятие непрерывного вязкостного решения, которое ввели в начале 80-х годов M.G. Crandall и P.L. Lions [41]. В работах M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta [32], S. Bottacin, М. Falcone [31], P. Soravia [34] было предложено и исследовано понятие разрывного е-решения (envelope solution) краевой задачи (0.3), (0.4), определение которого опирается на понятия вязкостных верхних и нижних решений, отмечено совпадение е-решения с минимаксным решением и разработаны численные схемы построения е-решения.

Краткое содержание работы.

Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена формулировке и доказательству двух теорем о достаточных условиях совпадения разрывной тестируемой функции с функцией цены рассматриваемой дифференциальной игры.

В параграфе 1.1 описывается дифференциальная игра быстродействия в позиционной формализации и дается определение ее функции цены.

Т°(.) :RnM^ R+.

Предположим, что на замкнутом множестве Q С Rn определена некоторая функция О -* [0, оо].

Задача состоит в нахождении таких условий на функцию </?(¦), при которых выполнено равенство <�р{х) = Т°(х), х? IX Искомые условия должны быть удобными для практической проверки.

В параграфе 1.2 определяются понятия ии^{-стабильных} функций на открытом множестве G С Rn.

Определение 0.1. Функция и (-): G —[0, оо] и-стабилъна на открытом множестве G С Д", если она полунепрерывна снизу и для любых у$? G, v* е Q существуют г > 0 и такое решение у (-): [0,т] —>¦ G дифференциального включения y (t)? со {f (y (t), и, г>*): и? Р}, у{0) = у0, что выполнено неравенство uj{y (t)) < и>(уо) — t, t? [0, г].

Определение 0.2. Функция (•): G —> [0, оо] v-стабильна на открытом множестве G С Rr если она полунепрерывна сверху и для любых? G, и* Е Р существуют г > 0 и такое решение у (-): [0,г] —> G дифференциального включения y (t)? со {f (y (t), и, v): v? Q}, у (0) = у0, что выполнено неравенство uj{y (t)) > to{yo) — t, t? [0, г].

По аналогии с теорией минимаксных решений в леммах 1.1,1.2 устанавливается связь ии^{-стабильных} функций с функцией цены Т°(-) дифференциальной игры.

Основные свойства функции цены игры, которые используются в дальнейшем, приведены в параграфе 1.3. Там же доказана лемма 1.3 о непрерывном изменении цены игры для заданной начальной точки при расширении терминального множества.

Параграф 1.4 посвящен формулировке и доказательству теоремы 1 о достаточных условиях. В работах А. И. Субботина при доказательстве теоремы о связи функции цены игры и минимаксного решения соответствующей краевой задачи последовательность v-стабильных функций (нижних решений) используется для конструирования подходящих позиционных стратегий уклонения от окрестности множества М на заданном промежутке времени. Если указанная последовательность определена лишь в некоторой открытой окрестности, пересекающейся с множеством М, то такие же методы построения позиционных стратегий уклонения можно применить для начальных точек, из которых допустимые траектории системы не покидают эту окрестность на заданном промежутке времени. Эта идея используется для доказательства теоремы 1. Условия теоремы требуют проверки свойств, аналогичных свойствам разрывного минимаксного решения, но в сколь угодно малых окрестностях подмножеств, на которые разбиваются границы множеств уровня тестируемой функции. Рассмотрение нескольких окрестностей делает полученные условия более удобными для практической проверки, чем непосредственное использование определения разрывного минимаксного решения. Применение теоремы 1 проиллюстрировано в третьей и четвертой главах диссертации на двух примерах игровых задач быстродействия на плоскости.

В параграфе 1.5 формулируется и доказывается теорема 2 о достаточных условиях. Условия теоремы предполагают проверку и-стабильности тестируемой функции,^{-стабильности} ее перезамыкания (т.е. функции с замкнутым подграфиком) и проверку введенного в диссертации свойства корректной сжимаемости множеств уровня тестируемой функции. Проверка последнего свойства затруднительна. Поэтому применение теоремы 2 не иллюстрируется. Однако приводится пример игровой задачи быстродействия на плоскости, показывающий, что требование корректной сжимаемости множеств уровня тестируемой функции исключить нельзя (без какой-либо замены).

Предлагаемые в первой главе достаточные условия оптимальности справедливы и для задач управления, поскольку задачи теории управления можно рассматривать как частный случай задач теории дифференциальных игр (при нулевом ограничении на управление второго игрока). Однако каких-либо упрощений в формулировке условий не появляется.

Условия обеих теорем включают в себя проверку свойств ии^{-стабильности} полунепрерывных функций. Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, сформулированы утверждения, упрощающие такую проверку. При этом используются различные инфинитезимальные критерии ии ^-стабильности.

В параграфе 2.1 в виде утверждения 2.1 сформулированы инфинитезимальные критерии стабильности функции oj (-) :G-> [0, оо] на открытом множестве G, доказанные в работах А. И. Субботина. Такие критерии предполагают в каждой точке рассматриваемой области проверку неравенств для верхней или нижней производной по направлению функции, получаемой после преобразования Кружкова. Утверждения 2.22.7 упрощают проверку указанных неравенств в некоторых частных случаях.

В теории дифференциальных игр для функции цены Т°(-) известны [1,35,53] различные типы сингулярных поверхностей, в точках которых оптимальные движения имеют те или иные особенности. Классификация основана на анализе поведения оптимальных траекторий в окрестности сингулярной поверхности и учете возможности особых оптимальных движений, идущих вдоль самой сингулярной поверхности. В частности, важными являются рассеивающие и экивокальные сингулярные поверхности. На них функция цены Т°(-) является недифференцируемой. Экивокальные сингулярные поверхности характерны именно для дифференциальных игр и не могут возникать в задачах управления с одним игроком. В параграфах 2.2, 2.3 понятия рассеивающей и экивокальной сингулярных поверхностей распространяются на случай функции и (-): G —> R. В параграфе 2.4 для класса игр с автономной разделенной динамикой и ограничением на управление второго игрока в виде линейного отрезка доказана теорема 3 о том, что в точках рассеивающей и экивокальной сингулярных поверхностей автоматически выполнены инфинитезимальные свойства ии^{-стабильности.} Теорема 3 используется в главах 3 и 4 для доказательства свойств ии^{-стабильности} на сингулярных линиях.

Третья глава диссертации состоит из двух параграфов. В ней рассматривается игровая задача быстродействия на плоскости, представляющая собой модификацию известной задачи «мальчик и крокодил» [19,21]. Динамика системы и ограничения на управления игроков имеют вид.

Х = Х2 — v, Х2 = и, и < ц, 0 < v < V.

Первый игрок минимизирует время перевода фазовой точки х = (^1,^2) из заданного начального положения xq на терминальное множество М = (О, а) т, а > v, интересы второго противоположны.

Ранее исследования такой игры проводились в работах B.C. Пацко [14, 15] и М. Ю. Филимонова [28]. Основываясь на результатах этих работ, в параграфе 3.1 на некотором ограниченном множестве описывается построение тестируемой функции, которая разрывна на области определения. В параграфе 3.2 проведена проверка всех условий теоремы 1, которая дает совпадение тестируемой функции с функцией цены игры.

В четвертой главе, состоящей из восьми параграфов, рассматривается игровая задача о брахистохроне.

Впервые вариант игровой постановки задачи о брахистохроне был исследован в книге Р. Айзекса, где классическая задача вариационного исчисления о кривой наискорейшего спуска [10] была записана в виде задачи управления. Кроме того, в динамику системы была добавлена помеха, рассматриваемая как действие второго игрока. Выбраны множества ограничений на управление второго игрока и терминальное множество. Решение, приведенное в книге Р. Айзекса, в дальнейшем было уточнено и дополнено в работах M.JI. Лидова [11] и С. А. Чигиря [29].

Постановка рассматриваемой в четвертой главе задачи о брахистохроне отличается от постановки Р. Айзекса формой терминального множества и ограничением на управление второго игрока. Динамика системы и ограничения на управления игроков имеют вид.

Xi = /x2Cosu, Х2 —fx~2 smu + wv, ueP=[0,2тг], vzQ = [-1,1], t> 0, x0gRI, где R2+ - верхняя полуплоскость. Первый (второй) игрок минимизирует (максимизирует) время достижения терминального множества М = [-d, 0] х [0,h]- w, d, h> 0.

В параграфах 4.1−4.7, основываясь на методе Айзекса обработки полей классических характеристик, строится тестируемая функция </?(•), определенная в полуплоскости R+. В процессе построения возникают барьерные линии, на которых функция <р{-) разрывна, а также рассеивающие и экивокальные сингулярные линии, на которых функция ip (-) является негладкой. Отметим, что экивокальные сингулярные линии являются специфическими именно для дифференциальных игр и не могут возникать в задачах управления с одним игроком. Исследована зависимость функции ip (-) от высоты h терминального множества.

С помощью теоремы 1 в параграфе 4.8 показывается совпадение тестируемой функции с функцией цены игры. Обоснование решения задачи усложняется тем, что правая часть динамики системы не удовлетворяет классическим условиям существования цены игры, а именно, локальному условию Липшица, но фазовой переменной.

Основные результаты диссертации.

1. Доказаны две теоремы о достаточных условиях совпадения разрывной тестируемой функции с функцией цены дифференциальной игры быстродействия.

2. Доказана теорема о достаточных условиях выполнения инфинитези-мальных свойств стабильности в терминах сингулярных (рассеивающих и экивокальных) точек.

3. Исследована задача о брахистохроне в игровой постановке, полученное решение обосновано.

Автор работы выражает глубокую благодарность научному руководителю к.ф.-м.н. Пацко Валерию Семеновичу за постоянное внимание к работе.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. — М.: Мир, 1967. — 480 с.

2. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969. 408 с.

3. Болтянский В. Г. Пример нелинейного синтеза // Дифференц. уравнения. 1970. — Т. 6, № 4. — С. 644−649.

4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. — 280 с.

5. Красовский Н. Н. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели // Мат. сб. 1978. — Т. 107, № 4. — С. 541−571.

6. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. — 456 с.

7. Кружков С. Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона Якоби типа эйконала. I // Мат. сб. — 1975. — Т. 98, № 3. С. 450−493.

8. Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // ДАН СССР. 1978. — Т. 239, № 4. С. 779 782.

9. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2. М.- JL: Гостехиздат, 1945. — 620 с.

10. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. М.- JI: Гостехиздат, 1938. — 192с.

11. Лидов М. Л. Об одной задаче дифференциальных игр // Автоматика и телемеханика. 1971. — № 4. — С. 173−175.

12. Меликян А. А. О минимальных наблюдениях в одной игре сближения // Прикл. математика и механика. 1973. — Т. 37, вып. 3. — С. 426−433.

13. Меликян А. А. Об оптимальном выборе интервалов помех в дифференциальных играх сближения // Прикл. математика и механика. -1975. Т. 39, вып. 2. — С. 207−215.

14. Пацко B.C. Модельный пример игровой задачи преследования с неполной информацией. I. // Дифференц. уравнения. 1971. — Т. 7, № 3. — С. 424−435.

15. Пацко B.C. Модельный пример игровой задачи преследования с неполной информацией. II. // Дифференц. уравнения. 1972. — Т. 8, № 8. — С. 1423−1434.

16. Пацко B.C. Задача качества в линейных дифференциальных играх второго порядка // Дифференц. игры и задачи упр.: сб. ст. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975. — С. 167−227.

17. Пацко B.C. Дифференциальная игра уклонения на плоскости // Прикл. математика и механика. 1977. — Т, 41, вып. 4. — С. 604−608.

18. Пацко B.C., Турова В. Л. Численное решение дифференциальных игр на плоскости: препринт. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. 77 с.

19. Пашков А. Г. Об одной игре сближения // Прикл. математика и механика. 1970. — Т. 34, вып. 5. — С. 804−811.

20. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. -384 с.

21. Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого // ДАН СССР. 1969. — Т. 189, № 4. -С. 721−723.

22. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения ГамильтонаЯкоби. М.: Наука, 1991. — 216 с.

23. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка: перспективы динамической оптимизации. -М.-Ижевск: Ин-т компьютер, исслед., 2003. 336 с.

24. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр: сб. науч. тр. / ред. А. И. Субботин, B.C. ПацкоАН СССР, УНЦ. -Свердловск, 1984. 296 с.

25. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. — 288 с.

26. Турова В. Л. Нелинейная дифференциальная игра качества на плоскости // Исслед. задач минимакс. упр.: сб. ст. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-С.91−116.

27. Турова В. Л. Построение множества позиционного поглощения в линейной дифференциальной игре второго порядка с нефиксированным временем окончания // Управление с гарантированным результатом: сб. науч. трудов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. — С. 92−111.

28. Филимонов М. Ю. Сопряжение сингулярных линий в дифференциальной игре // Исслед. задач минимакс. упр.: сб. ст. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С. 117−124.

29. Чигирь С. А. Об игровой задаче о долихобрахистохроне // Прикл. математика и механика. 1976. — Т. 40, вып. 6. — С. 1003−1013.

30. Alvarez О., Koike S., Nakayama I. Uniqueness of lower semicontinuous viscosity solutions for the minimum time problem // SIAM J. Contr. and Optim. 2000. — Vol. 38, № 2. — P. 470−481.

31. Bardi M., Bottacin S., Falcone M. Convergence of descrete schemes for discontinuous value functions of pursuit-evasion games // New Trends in Dynamic Games and Appl. Boston: Burkhauser, 1995. — P. 273−307.

32. Bardi M., Capuzzo-Dolcetta I. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equation. Boston: Burkhauser, 1997. 570 p.

33. Bardi M., Falcone M. An Approximation Scheme for the Minimum Time Function // SIAM J. Contr. and Optim. 1990. — V. 28, № 4. — P. 950−965.

34. Bernhard P. Singular Surfaces in Differential Games: an Introduction // Differential Games and Applications. Berlin: Springer-Verlag, 1977. -P. 1−33.

35. Breakwell J. V., Merz A. W. Towards a Complete Solution of the Homicidal Chauffeur Game // Proc. 1st Intern. Conf. Theory and Appl. of Differential Games, Amherst, Mass., 1969. P. III-1-III-5.

36. Cannarsa P., Frankowska H., Sinestrari C. Optimality Conditions and Synthesis for the Minimum Time Problem // Set-Valued Analysis. 2000. Vol. 8. P. 127−148.

37. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Some Algorithms for Differential Games with Two Players and One Target. // RAIRO-Modelisation-Matematique-et-Analyse-Numerique. 1994. Vol. 28, No. 4. P. 441−461.

38. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Numerical Methods for Optimal Control and Differential Games. Ceremade CNRS URA 749, Univ. of Paris Dauphine. — 1995.

39. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — Vol. 277, № 1. — P. 1−42.

40. Elliott R.J.) Kalton N.J. The existence of value in differential games of pursuit and evasion //J. Different. Equat. -1972. Vol. 12, № 3. — P. 504 523.

41. Fleming W.H. The convergence problem for differential games //J. Math. Anal, and Appl. 1961. — Vol. 3. — P. 102−116,.

42. Isaacs R.P. Games of Pursuit, Paper P-257. RAND Corporation, Santa Monica, California. — 1951.

43. Isaacs R.P. Differential Games, I: Introduction. Research Memorandum RM-1391. RAND Corporation, Santa Monica, California. — 1954.

44. Isaacs R.P. Differential Games, II: The Definition and Formulation. Research Memorandum RM-1399. RAND Corporation. Santa Monica, California. — 1954.

45. Isaacs R.P. Differential Games, III: The Basic Principles of the Solution Process. Research Memorandum RM-1411. RAND Corporation, Santa Monica, California. — 1954.

46. Isaacs R.P. Differential Games, IV: Mainly Examples. Research Memorandum RM-1486. RAND Corporation, Santa Monica, California. — 1955.

47. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-Theoretical Control Problems. -N.Y.: Springer-Verlag, 1988. 518 p.

48. Leitmann G. The calculus of variations and optimal control. An introduction. New York etc.: Plenum Press, 1981. — 311c.

49. Lewin J., Breakwell J. V. The Surveillance-Evasion Game of Degree // J. Optimiz. Theory and Appl. 1975. — Vol. 16, № 3−4. — P. 339−353.

50. Lewin J., Olsder G.J. Conic Surveillance Evasion // J. Optimiz. Theory and Appl. 1979. — Vol. 27, № 1. — P. 107−125.

51. Melikyan A.A. Generalized Characteristics of the First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Boston: Burkhauser, 1998. — 310 p.

52. Merz A.W. The Homicidal Chauffeur a Differential Game: PhD thesis.- Stanford Univ., 1971.

53. Mignanego F., Pieri G. Minimal time Function in Problems without Local Controllability // J. Optimiz. Theory and Appl. 1993. — Vol. 78, № 1. -P. 49−58.

54. Raivio Т., Ehtamo H. On Numerical Solution of a Class of Pursuit-Evasion Games // Annals Intern. Soc. Dynamics Games. Boston: Birkhauser, 2000. -Vol.5.-P. 177−192.

55. Patsko V.S., Turova V.L. Minimum-Time Problem for Linear Second-Order Conflict-Controlled Systems // Proc. UKACC Intern. Conf. CON-TROL'96, Exeter, United Kingdom, 1996. P. 947−952.

56. Patsko V.S., Turova V.L. Numerical Solutions to the Minimum-Time Problem for Linear Second-Order Conflict-Controlled Systems // Proc. 7th Intern. Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria, 1997. P. 327−338.

57. Patsko V.S., Turova V.L. Level Sets of the Value Function in Differential Games with the Homicidal Chauffeur Dynamics // Intern. Game Theory Review, 2001. Vol. 3, № 1. — P. 67−112.

58. Shinar J., Davidovitz A. A Two-Target Game Analysis in Line-of-Sight Coordinates // Comput. Math. Applic., 1987. Vol. 13, № 1−3. — P. 123 140.

59. Ushakov V.N. Construction of Solutions in Differential Games of Pursuit-Evasion // Differential Inclusions and Optimal Control. Torun, 1998. -P. 269−281. (Lect. Notes in Nonlinear Anal., Vol. 2).

60. Камнева Л. В. Достаточные условия стабильности функции цены в терминах сингулярных точек // Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 33-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2002. — С. 249−253.

61. Karnneva L.V., Patsko V.S., Turova V.L. Construction of the Value Function for Game Brachistochrone Problem // Proc. 10th Intern. Simposium on Dynamic Games and Appl. St.-Petersburg, Russia, 2002. — Vol. 1. -P. 408−415.

62. Камнева Л. В. Достаточные условия стабильности для функции цены дифференциальной игры в терминах сингулярных точек // Прикл. математика и механика. 2003. — Т. 67, вып. 3. — С. 366−383.

63. Камнева Л. В. О свойствах разрывной функции цены в игровой задаче быстродействия // Доклады РАН. 2006. — Т. 408, № 3. — С. 301−304.

64. Камнева Л. В. Об условиях совпадения разрывной функции с функцией цены игры в задаче быстродействия // Прикл. математика и механика. 2006. — Т. 70, вып. 5. — С. 739−752.

65. Камнева Л. В. О свойствах разрывной функции цены в игровой задаче быстродействия // Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 37-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2006. -С. 321−325.

66. Kamneva L. V. On optimality of a discontinuous function in a time-optimal differential game // Proc. 13th IFAC Workshop «Control Appl. of Optimization», Paris-Cachan, France, 26 28 April, 2006. — Paris, 2006. -P. 317−322.

67. Камнева JI. В. О разрывной функции цены в игровой задаче быстродействия // Проблемы теорет. и прикл. математики: тр. 38-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: МММ УрО РАН, 2007. — С. 296−300.