Применение нормированной матрицы Якоби в теории пространственных отображений

Диссертационная работа посвящена исследованию систем дифференциальных уравнений специального вида, возникающих в теории отображений с ограниченным искажением.

Теория квазиконформных отображений, основы которой были заложены в работах Г. Греча [47] и М. А. Лаврентьева [24] в конце 20-х — начале 30-х годов XX века, в настоящее время представляют собой активно развивающийся раздел математического анализа и ее результаты находят многочисленные приложения в различных областях теоретической и прикладной математики. Примерами здесь служат задачи устойчивости [5] в дифференциальной геометрии и вариационном исчислении, задачи плоского дозвукового установившегося движения идеального газа [25] и др.

В 1938 г. для построения математических моделей ряда явлений гидродинамики и газовой динамики М. А. Лаврентьевым была начата разработка теории пространственных квазиконформных отображений. Наиболее важные результаты в этой теории были получены в работах Л. Альфорса, П. П. Белинского, Ю. Вяйсяля, Ф. Геринга, В. А. Зорича, Ю. Г. Решетняка и других математиков (перечислим лишь некоторые их работы [1], [2], [51], [45], [46], [20], [32]).

Развитие теории пространственных квазиконформных отображений привело к созданию в середине 1960;х годов в работах Ю. Г. Решетняка теории пространственных отображений с ограниченным искажением. Значительный вклад в эти исследования внесли С. К. Водопьянов, М. Вуоринен, В. М. Гольдштейн, Т. Иванец, А. П. Копылов, C.JI. Крушкаль, Т. Г. Латфуллин, О. Мартио, В. М. Миклюков, С. Рикман, А. В. Сычев и многие другие (см., например, [6], [52], [7], [22], [23], [28], [30], [41]).

Ряд методов исследования в этой области связан с использованием аппарата дифференциальных уравнений. В частности, квазиконформные отображения на плоскости можно рассматривать как го-меоморфные решения дифференциального (комплексного) уравнения Бельтрами [5] с заданной функцией fi (z) ш = ц{г)Ш. (1).

Пространственным аналогом этого уравнения (дающим уравнение Бельтрами при п=2) занимались, в частности, Г. Вейль, И.А. Схо-утен, рассматривая следующую нелинейную переопределенную систему дифференциальных уравнений с частными производными (см. [53], [40]) f’T (x)f (x) = detf (x)2'nG (x) (2).

Здесь /: D-+W1 (D — область в En, f'(x) — матрица Якоби отображения f (x), Т — транспонирование, G (x) — матрица размерности пхп, заданная в D).

Однако, в пространственном случае системы указанного типа имеют сложный характер интегрирования, а теоремы существования их решений доказаны лишь для достаточно узкого (с точки зрения теории квазиконформных отображений) класса функций. В связи с этим возникает задача изучения нелинейной переопределенной системы дифференциальных уравнений f'(x) = detf,(x)1/nM (x) (3) где М (х) — матрица размерности пхп, заданная в области DcW1.

В 1930;х гг. для описания локального поведения отображений М. А. Лаврентьев [24] ввел следующее определение. Характеристиками квазиконформности отображения /: определенного в области DсМп и дифференцируемого почти всюду в D, назваются числовые параметры, заданные в D и определяющие почти в каждой точке х из D эллипсоид (или параллелепипед) из Мп, который под действием дифференциала dxf переходит в сферу (или в куб со сторонами, сонаправленными векторам ортонормированного базиса пространства R").

Характеристики квазиконформности, одной из которых является матрица |det/^i1/" ' оказались удобным средством для исследования и решения множества задач теории отображений с ограниченным искажением. И. В. Журавлевым ([17], [18]) были найдены необходимые и достаточные условия существования решения системы (3) и посредством матрицы | det/^r)!1/" были описаны свойства этих решений. .

Теория пространственных отображений и ее приложения диктуют необходимость постановки и решения как новых задач, так и получения обобщений результатов исследований, сделанных ранее. Представленное диссертационное исследование относится к указанному направлению анализа и очерченному кругу проблем, что обосновывает его актуальность.

Целью работы является исследование классов отображений и систем дифференциальных уравнений, связанных с нормированной матрицей Якоби. Изучается вопрос о возможности восстановления отображения по его обобщенной нормированной матрице Якоби. Это обобщение связано с видом нормирующего матрицу Якоби множителя и с пространством функций, где производился поиск решений исследуемых задач. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них.

1. Найдены необходимые и достаточные условия существования решений переопределенных систем дифференциальных уравнений, связанных с нормированной матрицей Якоби, в гладком случае.

2. Описаны необходимые и достаточные условия существования решений таких систем дифференциальных уравнений для отображений соболевских классов.

3. Получены некоторые интегральные представления, позволяющие восстановить отображение по обобщенной нормированной матрице Якоби.

4. Описаны свойства пространственных отображений в терминах свойств обобщенной нормированнойматрицы Якоби.

5. Найдены условия, при которых изучаемые отображения являются отображениями с ограниченным искажением.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в развитии теории отображений с ограниченным искажением, могут найти применение в теории уравнений с частными производными, в вариационном исчислении, в математической физике (например, в механике сплошной среды, в гидродинамике, в газовой динамике).

Работа основана на результатах теории пространственных отображений с ограниченным искажением. В ней широко применяется аппарат внешних дифференциальных форм с суммируемыми коэффициентами, теория соболевских пространств.

Диссертация изложена на 107 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. В работе использована подчиненная нумерация глав, формул, утверждений. Библиография содержит 53 наименований научных работ. Основные результаты содержатся в работах [9]-[16].

Заключение

.

Проведенное в настоящей работе исследование (структура которого представлена во введении) системы дифференциальных уравнений (1.1) носит завершенный характер. Это проявляется в том, что и в гладком случае и в случае соболевских функциональных пространств при использовании выбранной автором методики (базирующейся, в основном, на методах теории функций и применении в рамках этого аппарата дифференциальных форм) были получены как необходимые (теорема 2.1, следствие 2.1.1, теорема 3.3), так и, при дополнительных ограничениях на входящую в систему (1.1) функцию Ф, достаточные (теорема 2.2, следствие 2.2.1, теорема 3.2, следствие 3.2.2) условия существования решений указанной системы. Кроме того, показано (следствие 3.2.3), в каких случаях решение системы (1.1) является отображением с ограниченным искажением.

Следует заметить, что утверждения, подобные представленным в работе теоремам 2.2 и 3.2, следствиям 3.2.1, 3.2.2 и 3.2.3 доказаны автором не только для положительно однородной функции Ф, но и для простой однородной, и для1 слабо положительно однородной функции.

Перечисленные в заключении результаты являются основными в представленной диссертации и могут найти применение в научных коллективах, занимающихся исследованием отображений с ограниченным искажением, их приложениями и изучением свойств решений систем дифференциальных уравнений с частными производными.