Методы обнаружения невырожденности условно-периодических движений интегрируемых гамильтоновых систем

Настоящая диссертация содержит доказательство невырожден-юсти условно-периодических движений некоторых классических интегрируемых систем. На симплектическом многообразии рассматривается? амильтоново векторное поле с функцией Гамильтона Н. Гамиль-?онова система называется интегрируемой, если существуют tl независимых интегралов движения находящихся в инволюции. По швестной теореме Лиувилля-Арнольда (см. I]) каждое множество гровня всех этих интегралов представляет собой Пмерный тор в базовом пространстве системы. Зтот тор инвариантен относительно разового потока гамильтоновой систеш, каждая фазовая кривая, на-гавшаяся в точке такого тора, на нем и останется.

Движение на инвариантном торе 1^= С* является условно-перио-щческим. В окрестности инвариантного тора можно ввести см. I]) переменные действия, тогда частоты условно-перио-даческих движений суть производные гамильтониана по переменным действия. Отметим, что частоты зависят от того какой именно из? оров мы рассматриваем, то есть какие значения первых интегралов мы фиксировали. Таким образом частоты UJi являются функциями значений первых интегралов движения .

Условно-периодические движения называются невырожденными в жрестности инвариантного тора С^, если частотное отображение гевырождено в точке. В этом случае также будем нашвать гамильтонову систему невырожденной в окрестности инва-жантного тора .

Итак, в невырожденном случае на различных инвариантых торах 5 фазовом пространстве гамильтоновой системы реализуются условно-периодические движения с различным числом арифметически независимых частот. В частности, всюду плотны инвариантные торы, на которых число независимых частот максимально возможное, то есть п. Такие торы называются нерезонансными. На нерезонансном торе траектория условно-периодического движения всюду плотна. Можно показать, что в невырожденном случае нерезонансные торы образуют в фазовом пространстве множество полной меры по Лебегу. Таким образом, для почти всех начальных значении фазовая кривая невырожденной системы всюду плотно заполняет инвариантный тор, размерность которого равна половине размерности фазового пространства.

В невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе отсутствуют дополнительные интегралы. В самом деле, пусть Fинтеграл невырожденной гамильтоновой системы, тогда очевидно интеграл F постоянен на траектории условно-периодического движения. На нерезонансном торе траектория движения всюду плотна, а нерезонансные торы образуютзвсюду плотное множество. Отсюда получаем, что интеграл F есть функщя от уже имеющихся интегралов.

Хотя нерезонансные торы в невырожденном случае образуют в фазовом пространстве множество полной меры так, что мера Лебега объединения всех резонансных торов равна нулю, тем не менее резонансные торы существуют и перемежаются с нерезонансными таким образом, что они также образуют всюду плотное множество. Более того, всюду плотно множество резонансных торов с любым числом независимых частот от i до ri-i. В частности, всюду плотны инвариантные торы, на которых все фазовые кривые замкнуты.

Невырожденные интегрируемые гамильтоновы системы являются отправным пунктом в теории возмущении гашльтоновых систем. Пункаре даже назвал основной задачей динамики задачу об исследовании возмущении условно-периодических движений в системе, заданной гамильтонианом.

Н~Н0(1)+анЛ1у)? в переменных действия I — угол^. Здесь Ногамильтониан невозмущенной системы, а И1 • - возмущение, являющееся Zffпериодической функцией угловых переменных^. В невозмущенной задаче (6 =0) углы ^ на инвариантных торах изменяются равномерно с постоянными частотами и) и =.

ЪН0 а все переменные действия являются первыми интегралами движения. Требуется исследовать фазовые кривые уравнений Гамильтона.

Т— IE. и?^ IE.

Теорема Пуанкаре о несуществовании в общем случае аналитических интегралов в возмущенной системе была впервые доказана в знаменитом мемуаре «О проблеме трех тел и об уравнениях динамики» (см. 2]) с использованием невырожденных периодических движений. В доказательстве используется, по существу тот факт, что резонансные торы общего положения в невырожденной невозмущенной задаче распадаются при возмущении.

Более того, основная идея доказательства и более поздней теоремы Зигеля о неинтегрируемости систем уравнений Гамильтона вблизи положения устойчивого’равновесия (см.СЗ]) тоже восходит к Пуанкаре.

Существенным продвижением в исследовании возмущенных фазовых кривых явилась теорема Колмогорова «О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона» (cm. 4J,[5J). Основное требование, предъявляемое к невозмущенной системе, — невырожденность.

A.M. Степин заметил, что возмущение невырожденной интегриэуемой системы обладает жесткостью аналитической интегрируемости (см. 6]), то есть аналитические интегралы возмущенной системы в этом случае всегда находятся в инволюции. Возмущение вырожденных зстем этим свойством не обладает (см. 6]).

Для доказательства теоремы о неинтегрируемости задачи о вра-цении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки В. В. Козлов доказал невырожденность условно-периодических сдвижений в окрестности всех инвариантных торов невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо (см. [7]), что является уточнением соответству-ощего результата В. И. Арнольда (см.Г5]дополнение), который доказал, что в общем случае якобиан частотного отображения не есть тож-. цественный нуль.

Невырожденность условно-периодических движений в системе Эйлера, описывающей движение многомерного твердого тела, доказана (см.£6]) только в четырехмерном случае для почти всех значений моментов инерции твердого тела.

Основные результаты настоящей диссертации можно сформулиро-зать следующим образом: проведено доказательство невырожденности условно-периодических движений в случае Ковалевской задачи о вращении тяжелого твердого тела з закрепленной точкой;

2) в случае Клебша задачи о движении твердого тела в идеальной щдкости;

3) в случае Горячева-Чаплыгина задачи о движении тяжелоготвердого тела с закрепленной точкой.

Методика биллиардного предела применена для доказательства невырожденности условно-периодических движений в системе N частиц га прямой с парным потенциалом взаимодействия .

Основные результаты диссертации опуликованы в работах автора [23J, [24],[25]. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах по динамическим системам в МГУ и на конференции «Функциональный анализ, дифференциальные уравнения и их приложения» на механико-математическом факультете МГУ в 1983 г.

Остановимся более подробно на содержании настоящей диссертации.

1.Арнольд В. И. Математические методы классической механики.-М., 1974.

2. Арнольд В. И. Доказательство теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.-УМН, 18, № 5 (1963), с. 13−40.

3. Степин A.M. Интегрируемые гамильтоновы системы.-В сб." Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений", Киев, 1981, с. II6-I7I.

4. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела.- М., 1980, с. 230.

5. HowakwskL? Sur unQ proprLeto ciu systems d’eauations diffenentielles cj, uL defLnLt la rotation, d’un corps solide autour cL’uae point fixe-Acta /lath., mo-mi, BdJ4t S. tfI-93.

6. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки.- М., 1953.

7. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения.-УМН, 36, гё 2 (1981).

8. Аппельрот Г. Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы. В кн. «Движение твердого тела вокруг неподвижной точки», М., 1940, с. 61−157.

9. Weber Н. AnwencLuncf den T-heta functionen г weir Уегап den lie her auf die Theorie der Bewecfung eCnes fesien Korpers in eirier F{ussucjkeit-hath. Ann., /4, (№f)} s. mso6.

10. Rotier F Uber die Beweguncj. eiaes festen Korpers in einer Fiussi^keit. -1,10. reine und ancfew. Math., 109, 5 51-fl, S. <?9-ш.

11. Погосян Т. Н. Построение бифуркационных множеств в одной задаче динамики твердого тела.- Механика твердого тела, вып.12, (1980), с. 9−16.

12. Calaber о F Exactdy solvable one-dimen-tlonal many body problems.1.tiers a? duovo dimento, /з, л/0 a, (1975), p. 9 ii -416.

13. Пидкуйко С. И., Степин A.M. Полиномиальные интегралы гамилъ-тоновых систем.-ДАН, 239, JS I, (1978), с. 50−53.

14. Харламов М. П. Бифуркация совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской.-ПММ, 47, IS 6, (1983), с.

15. Стеклов В. А. 0 движении твердого тела в жидкости.-Харьков, 1893.

16. Пидкуйко С. И. Об одномерной интегрируемой задаче Птел.-УМН, 33, В 3, (1978), с. 185−186.20. looser J. Threo intec^rabie Hctmiltonian systems connected wdA isospectra? deformations Advances in Math., id, P 197−220.

17. Докшевич А. И. Качественное исследование решения Горячева-Чаплыгина.-В сб. «Механика твердого тела», Киев, вып. 4, (1972), с. 3−8.

18. Калиткин Н. Н. Численные методы.-М., 1978, с. 430,.

19. Логачев А. С. Невырожденность условно-периодических движений тяжелого твердого тела в случае Ковалевской.-Beстн. Моск. Ун-та, JS 4, (1984), с. 82−85.

20. Логачев А. С. Невырожденность условно-периодического движения в случае Горячева-Чаплыгина задачи о движении тяжелого твердого тела.-В сб. «Дифференциальные уравнения и их приложения», 1984, с. 86−90.

21. Логачев А. С. Невырожденность условно-периодических движенийв задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости в случае Клебша-Рукопись деп. ВИНИТИ J6 4638−84, деп. 1984, с. 29.