Одной из наиболее крупных и важных задач математического моделирования геофизических процессов является задача моделирования крупномасштабной динамики мирового океана. Наряду с моделями динамики атмосферы модели динамики океана играют важнейшую роль в решении задач долгосрочного прогноза изменения климата, краткосрочного прогноза погоды, а также моделирования развития катастроф, в том числе техногенного характера. В настоящее время общепринятой основой моделирования крупномасштабных океанических явлений служит широко известная система уравнений крупномасштабной динамики океана (примитивных уравнений) [11], [13], [34]. На основе последней во многих мировых научных центрах созданы модели [27], [3], включающие большие программные комплексы, результаты вычислений по которым служат основой для выработки рекомендаций правительствам государств в связи с угрозой глобальных климатических изменений.
Система уравнений динамики океана вызывает интерес как с точки зрения прикладного моделирования геофизических процессов [2], [4], [16], [26], так и с точки зрения теоретического математического анализа [21], [25], [19]. В течение ряда лет с момента появления математической модели крупномасштабной динамики океана предпринимались попытки строго математического обоснования её корректности. В частности, в [25] была доказана теорема существования «в малом», а именно, было показано, что при любом коэффициенте вязкости и любых достаточно гладких начальных условиях и существует интервал времени, зависящий от исходных данных задачи, на котором существует решение. В то же время, проблема существования решения «в целом» (на произвольном промежутке времени) при любом коэффициенте вязкости в течение долгого промежутка времени оставалась открытой. Существование решения «в целом» было доказано для ряда частных случаев. Например, в [21] существование решения «в целом» было доказано в предположении малости размера области в вертикальном направлении. Отсутствие завершённых результатов в этой области не позволяло получить строгое обоснование численных методов используемых при решении задачи. Серьёзным продвижением в области теоретического исследования задачи стала доказанная в работе [23] теорема существования и единственности решения задачи «в целом» (т.е. при любом положительном значении коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных данных, произвольном интервале времени и произвольной области). Это позволило строго обосновать применение численных методов решения задачи.
При численном решении начально-краевой задачи для системы уравнений крупномасштабной динамики океана используются как явные [16], [20], так и неявные схемы по времени [26]. В последнем случае перед исследователями встаёт задача решения сложной по структуре системы эволюционных уравнений в частных производных с большим количеством неизвестных, что в совокупности со сложной геометрией расчётной области приводит после дискретизации задачи к системе нелинейных (в случае использования линеаризованных схем — линейных) уравнений с огромным (порядка сотен миллионов) количеством неизвестных на каждом шаге по времени, имеющей очень сложную структуру. Прямое решение такой системы известными на данный момент методами практически невозможно даже с использованием новейшей вычислительной техники и последних программных комплексов. Более того, разработка специальных алгоритмов, позволяющих получить решение всей системы уравнений, также представляется затруднительной. В этой ситуации в основу алгоритма решения задачи в модели, разрабатываемой в ИВМ РАН [2], [4], [26], была положена техника методов расщепления [10]. Идея методов расщепления заключается в разбиении оператора задачи на аддитивные составляющие и последовательное обращение более простых операторов с использованием дробных шагов по времени.
Для параболических систем эволюционных уравнений с линейным оператором (зависящим или не зависящим от времени) достаточно давно была построена общая теория методов расщепления (иначе называемых аддитивными схемами) — см., например, работы [10], [15]. Для систем уравнений, не являющихся системами типа Коши-Ковалевской и для систем с нелинейным дифференциальным оператором исследование применимости таких методов носит индивидуальный характер. Для системы уравнений Навье-Стокса применение схем расщепления (наиболее известной из которых является схема Чорина) было обосновано в работах [18], [28], [31] и [33]. Однако до настоящего времени аналогичных исследований схем расщепления для уравнений динамики океана проведено не было. Система уравнений крупномасштабной динамики океана имеет ряд существенных отличий от системы уравнений Навье-Стокса (иная структура неизвестных функций, отличающаяся структура нелинейных членов, присутствие членов, обусловленных наличием силы Кориолиса), которые делают полученные для системы уравнений Навье-Стокса результаты не переносимыми непосредственно на рассматриваемую задачу и требуют проведения дополнительных исследований. Восполнение этого пробела являлось центральной задачей данной диссертации. Задача в целом решена и в некоторых предположениях, представляющихся естественными, была доказана сходимость решения, получающегося по методу расщепления, к решению исходной задачи при уменьшении шага по времени.
Другим направлением, по которому велись исследования, результаты которых также представляют предмет диссертации, является так называемая проблема полюса. Суть проблемы заключается в трудностях решения задач гидродинамического моделирования па сфере при использовании широтно-меридианной системы координат таким образом, что полюс системы попадает в расчётную область, как это имеет место в случае Мирового океана. При численных расчётах модель динамики океана, использующая в качестве системы координат обычную широтно-меридианную систему, даёт существенные искажения вблизи северного полюса (южный полюс, как известно, попадает на материк): на части границы, соответсвующей полюсу, ставят «нефизичные» искусственные граничные условия. Одним из возможных путей решения этой проблемы является предъявление такой системы координат, в которой особенность (полюс) попадала бы на материк, по возможности дальше от расчётной области. Преимуществом данного пути является возможность адаптации существующих программных комплексов к новой постановке задачи.
В результате появилась идея конформного преобразования сферы с целью переноса полюса на материковую область и соответствующего новой координатной системе преобразования уравнений модели. Первым шагом в данном направлении стали координатные сетки с перенесённым на материковую сушу северным полюсом, а южным полюсом оставленным на месте. Однако практика использования данных сеток в модели динамики океана ИВМ РАН выявила один их существенный недостаток: новый «экватор» на таких сетках не совпадает с обычной линией экватора, и на новой карте географический экватор представляет собой кривую линию, не совпадающую с координатной линией. При использовании конечно-разностной модели это обстоятельство затрудняет исследование важных геофизических феноменов, связанных с осевым вращением Земли [13]. Поэтому автором был предложен ещё один класс координатных систем, в которых Северный и Южный полюс смешаются на одинаковое количество градусов вдоль одного меридиана в направлении друг к другу. В таких координатных системах экватор остаётся на месте. Важным условием практической реализуемости системы является наличие материковых точек, имеющих одну и ту же долготу и симметричную широту, в которые можно было бы перенести полюса. К счастью, такие точки на Земле имеются, и их удалённость от акватории Мирового океана представляется достаточной для проведения практических расчётов. По данному направлению необходимо упомянуть работы [32], [24], в которых независимо были получены похожие результаты: Таким образом, задача диссертации является актуальной и имеет прямое практическое значение.
Результаты диссертации представлены в четырёх главах и трёх приложениях. Первая глава диссертации содержит формулировку задачи крупномасштабной циркуляции океана в так называемой обобщённой s-системе координат, представляющей собой обобщение различных координатных систем на многообразии, на котором формулируется и решается задача крупномасштабной циркуляции океана. В частности, широко применяемая в ИВМ РАН cr-система координат также входит в класс s-систем. Для исключения «проблемы полюса» предлагаются два класса систем, также являющихся s-системами — со смещённым северным полюсом и с обоими смещёнными полюсами. Последние системы имеют то преимущество, что, как было сказано выше, линия их экватора совпадает с обычной линией экватора на земном шаре. Рассмотрены конкретные примеры новых координатных систем, со смещением полюса в ту или иную точку на материке.
Вторая глава диссертации посвящена получению новых априорных оценок для решения задачи крупномасштабной динамики океана, необходимых для исследования сходимости методов приближенного решения. В фундаментальной работе [23] получены следующие априорные оценки решения задачи крупномасштабной динамики океана: max (|Mli + \dzuU + 1Ы| + \ph + М + 1Ы1) < с, г I т.
1кн?+1ы1?+над|?)л<�с. о.
Однако этих оценок оказывается недостаточно для доказательства сходимости приближенных решений к точному. Поэтому в диссертации получены новые априорные оценки: тах (|М|^ + Ыг + llVPll + llV’Pill + 1ИМ ^ с> т.
IKtl|ii.
Pi =Р-Р2, z 1 z p2(t, x, y, z) = J gp (t, x, y,?)d€ - J J gp (t, x, y, ?)d?dz. 0 0 0 Данные оценки получены в предположении, что область удовлетворяет некоторому условию регулярности. Следует отметить, что эти оценки являются более сильными по сравнению с полученными ранее, и существенным образом опираются на них.
Третья глава посвящена теоретическому исследованию методов регуляризации системы уравнений динамики океана. Известная проблема устойчивости численных методов для уравнений Навье-Стокса, связанная с присутствием уравнения несжимаемости, имеет ряд решений, основанных на введении в уравнения добавочных членов с малым параметром. В главе исследуются аналогичные подходы для системы уравнений крупномасштабной динамики океана. А именно, рассмотрены два метода регуляризации системы уравнений, для которых с использованием полученных во второй главе априорных оценок доказаны теоремы о сходимости методов. В частности, рассмотрен аналог известного метода стабилизации давления, в котором в качестве регуляризирующего члена в уравнение несжимаемости добавляется величина —еАр. Доказано, что при е —> 0 решения регуляризованной задачи сходятся к решению исходной задачи со скоростью л/е.
Четвёртая глава содержит наиболее значимые теоретические результаты и посвящена исследованию сходимости разностных по времени схем для уравнений крупномасштабной динамики океана, в том числе схем расщепления, применяемых на практике. В главе последовательно рассматриваются схемы дискретизации по времени уравнений крупномасштабной динамики океана, начиная с полностью неявной схемы и заканчивая схемой трёх-этапного расщепления. Кроме того рассмотрена схема второго порядка аппроксимации — схема Крапка-Николсон, а также отдельно рассмотрена линейная задача, для которой получен любопытный результат точного решения задачи при помощи схемы расщепления. В концы главы развитая для гидродинамического блока задачи техника переносится на исследование полной системы уравнений и доказывается сходимость решений применяемой на практике схемы к точному решению задачи. Стоит отметить, что исследования схем расщепления для уравнений крупномасштабной динамики океана отличается от исследования схемы Чорина для системы уравнений Навье-Стокса рядом факторов. Это и иная структура неизвестных функций, и принципиально меньшая гладкость компоненты щ вектора скорости течения, для определения которой имеется только уравнение первого порядка — уравнение неразрывности. Важным отличием также является наличие членов, обусловленных действием силы Кориолиса, что заставляет рассматривать разные варианты двухэтапных схем расщепления, один из которых, наиболее интересный с точки зрения практического применения, принципиально отличается от схемы Чорина присутствием дополнительного члена на этапе проекции на подпространство, существенно усложняющего рассмотрение. Кроме того, наличие силы Кориолиса приводит к потребности рассмотрения трёхэтапной схемы расщепления:
-.71+1/3 &bdquo-, П.
I. — «Аип+1/3 + В (ип~1/3, ип+1'3) = fn+1, f ип+2/3 ип+1/3 v’pn+1 = о,.
II. г 1.
J divV1.
2/3dz = О,.
71+1 &bdquo-тИ-2/3.
III. VL-Vl-+ iun+1 = o, r где.
B (u, v) = u-Vv — J div’udzdzv, ?un+l = {-kv%+ fcu?+1), r = T/N, n = о.
Для этой схемы па основании априорных оценок из второй главы, получен следующий результат: существует постоянная с, зависящая только от исходных данных задачи, такая, что для любого достаточно малого т выполнено неравенство: b{tn) ~ Un~2'Z || + ||ll (in) — U^W + ||U (tn) — tin||) < Су/т.
Такая трёхэтапная схема в теоретических работах рассматривается впервые.
В приложениях, А и В приводятся расчётные формулы для перехода к новым координатным системам со смещённым северным и смещёнными обоими полюсами соответственно и вычисления метрических коэффициентов этих координатных систем и производных метрических коэффициентов, участвующих в уравнениях модели.
Результаты, представленные в приложении С, получены совместно с группой моделирования динамики океана ИВМ РАН: В. Б. Залесным, Н. А. Дианским, А. В. Гусевым. Данные этих численных экспериментов получены при использовании новой версии модели крупномасштабной динамики океана на основе уравнений, записанных в специальной криволинейной системе координат с обоими смещёнными полюсами.
Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на конференциях «Ломоносовские чтения 2008» и на международной конференции «Математические идеи П. JI. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания» в 2008 году. Результаты также неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ, Института математического моделирования РАН, факультета математического моделирования Московского энергетического института, Института вычислительной математики РАН, Вычислительного центра РАН в 2007 — 2009 годах.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановки задач, за помощь и поддержку на протяжении долгих лет научно-исследовательской деятельности, приведшей к получению результатов, изложенных в настоящей диссертации. Автор также выражает глубокую благодарность ведущему научному сотруднику Института вычислительной математики РАН Владимиру Борисовичу Залесному за постановку задачи построения специальной системы координат, постоянный интерес к работе и плодотворные обсуждения получаемых результатов. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, в особенности Чнжонкову Е. А., Корне-ву А.А., Ольшанскому М. А., Попову А. В., Лапшину Е. А., Арушаняну О. Б., Арушаняну И. О., Григорьеву PI.C., Богачёву К. Ю., Валединскому В. Д., Староверову В. М. и ныне, к сожалению, покойному Ищенко С. Я., в прекрасном коллективе которых сформировалось его профессиональное видение проблематики современной науки и методики её преподавания в университете. Автор выражает признательность всему коллективу сотрудников и аспирантов ИВМ РАН за многочисленные плодотворные дискуссии и проводимые совместные исследования, в особенности Дианскому Н. А., Агошкову В.PI., Гусеву А. В. и Ботвиновскому Е.А.
Основные результаты диссертации:
• Предложена специальная ортогональная криволинейная система координат па сфере, не имеющая особенностей в виде полюса в расчётной области (акватории Мирового океана) и сохраняющая земной экватор в качестве координатной линии. Задача крупномасштабно! динамики океана сформулирована в этой системе координат.
Получены новые априорные оценки для решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана.
В некоторых предположениях регулярности области доказана сходимость решений, получающихся в результате применения методов регуляризации системы уравнений крупномасштабной динамики океана, к точному решению задачи.
В некоторых предположениях регулярности области доказана сходимость решений дискретных по времени схем (в том числе схем расщепления, применяемых на практике) для уравнений крупномасштабной динамики океана к точному решению задачи. ««. • ¦. — - - • ^.
Заключение
.
Изучение климата Земли и, в частности, изучение влияние Мирового океана на климат представляет огромный интерес для исследователей, специализирующихся в различных областях естествознания. Математическая модель крупномасштабной динамики мирового океана порождает множество практически значимых и интересных в своих постановках математических задач, предоставляя широкое поле для деятельности исследователя-математика. Одним из первых шагов в направлении исследования системы уравнений динамики океана стали локальные теоремы существования и теоремы существования в различных предположениях малости исходных данных [25], [18]. Для численного решения задачи были предложены алгоритмы, основанные на схемах расщепления [6], [9]. Некоторое время назад в работе [23] был доказан важный фундаментальный результат о существовании и единственности решения «в целом» на произвольном промежутке времени в сильной норме по времени. Это продвижение позволило поставить новые задачи, связанные с системой уравнений динамики океана и её численном решении и перейти к их изучению. В частности встал вопрос обоснования использования методов расщепления для системы уравнения динамики океана. Его решение составляет важную часть диссертации.
Параллельно с развитием теоретического знания о математической модели динамики океана практика численного моделирования развивалась и ставила свои задачи. Вопрос построения системы координат, позволяющей обойти трудности, связанные с присутствием полюса в расчётной области, имел важное практическое значение, поскольку результаты расчётов задачи глобальной циркуляции Мирового океана на сетках, построенных на основе обычной широтно-меридианной системы признавались неудовлетворительными. Задача существенно усложнялась требованием сохранения экватора как линии сетки. Тем не менее, благодаря идее смещения не только северного, но и южного полюса такую координатную систему удалось построить и сформулировать задачу глобальной широкомасштабной циркуляции океана в новой системе координат. При этом потребовалось провести значительный объём технической работы по переформулировке системы уравнений и вычислению метрических коэффициентов и других величин, необходимых для использования новой координатной системы. Результаты этих исследований составляют другую часть диссертации.
Уравнения динамики океана в специальной криволинейной системе координат и сама специальная координатная система служат на сегодняшний день основой для последней версии модели глобальной циркуляции Мирового океана, разрабатываемой в ИВМ РАН. С использованием формул, приведённых в приложениях к диссертации, сотрудниками ИВМ РАН разработаны и внедрены соответствующие программные модули.
