Нелинейные когерентные волновые процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов

Идея о колебательной или волновой общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т. д.) в наше время представляется совершенно естественной. Но тем не менее и сегодня колебательные и волновые процессы, наблюдаемые в различных областях физики, не всегда легко связать с какой-либо одной математической модельюособенно это относится к нелинейным явлениям. Поэтому и сейчас остается актуальной потребность в построении моделей, системы понятий и представлений, позволяющих ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике.

На современном этапе исследований колебательные процессы описываются конечномерными динамическими системами (или гамильтоновыми системами), а волновые процессы — бесконечномерными динамическими системами (или нелинейными эволюционными уравнениями). С дальнейшим развитием теории динамических систем пришло понимание, что конечномерные гамильтоновы системы могут быть обобщены до бесконечномерных гамильтоновых систем, уравнениями эволюции которых могут быть нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Наиболее общее описание эволюции произвольной физической системы проводится либо в рамках формализма Лагранжа, когда движение системы определяется на конфигурационном пространстве с помощью функции Лагранжа, либо в рамках га-мильтонова формализма, когда эволюция физической системы определяется как геометрией фазового пространства, так и заданной на фазовом пространстве функцией Гамильтона. И в том, и в другом представлении решение проблемы описания эволюции физической системы сводится к решению или линейных, или нелинейных дифференциальных уравнений. Но при этом обращение к гамильтонову формализму предоставляет преимущество, так как именно на его основе теория интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений получила наиболее элегантную и продуктивную формулировку. Кроме того, в рамках гамильтонова формализма наиболее прозрачно и корректно осуществляется связь между классическими и квантовыми системами.

Успехи, достигнутые в последние десятилетия в разработке теории нелинейных дифференциальных уравнений, выдвинули на передний план физических исследований нелинейные эволюционные процессы. Тем более, что большое количество физически значимых уравнений — уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье — Стокса, уравнения нелинейной оптики и т. д. -являются нелинейными уравнениями и могут быть записаны как уравнения движения либо в лагранжевой, либо в гамильтоновой механике.

Многие из интегрируемых нелинейных уравнений имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкий диапазон применения: от теории гравитации и квантовой теории ноля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики, теории движения твёрдого тела и физики конденсированного состояния вещества.

Среди множества исследований нелинейных явлений особенное место занимает направление, которое изучает когерентные образования и сложные детерменированные структуры. Когерентные нелинейные процессы и образования исследуются в физике плазмы (ленгмюровские солитоны), в нелинейной оптике (сверхкороткие импульсы), в физике высоких энергий (ударные волны), в физике конденсированного состояния вещества (бозе — и ферми — конденсаты). Явления сверхпроводимости и сверхтекучести, одномодопые лазеры и бозе — эйнштейновский конденсат (совокупность полностью скоординированных атомов) имеют различную природу и обнаруживают себя в средах с различными свойствами, но, с другой стороны, они все проявляют макроскопическое квантовое поведение, которое характеризуется согласованностью или когерентностью протекающих процессов. Описание этих явлений осуществляется на базе разных представлений и с помощью разных уравнений, и для того, чтобы учесть их одинаковое качество — когерентность — необходимо разработать единообразный подход, основанный на единых представлениях и моделях нелинейных эволюционных процессов.

Заключение

.

В диссертации был разработан новый подход в исследовании объектов классической и квантовой физики, основанный на том, что процессы, протекающие в классических и квантовых системах, моделируются с помощью эволюций конечномерных и бесконечномерных динамических систем, определенных на алгебрах Ли. Построение базовых моделей — динамических систем — основывается на гамильтоновом формализме и на методах дифференциальной и симплектических геометрийа соответствие между классическими и квантовыми объектами устанавливается с помощью теории когерентных состояний и процедуры квантования.

В случае конечномерных динамических систем их гамильтоново представление осуществлялось на орбитах коприсоединенного представления следующих групп: С = 50(3) (8)50(3), в = 50(2.1) (8) 50(2.1), в = 50(3) ® Я, О = 50(2.1)0 Я, О = Я (8) Я, когда в качестве гамильтониана использовались квадратичные функции от переменных, параметризующих алгебры д.

Каждому прямому произведению групп О соответствует определенная классическая механика (М, ш), симплектические свойства которой задаются кососимметриче-ской матрицей и>, образованной с помощью структурных констант алгебр д. Показано, что и сами скобки Пуассона, и симплектическая форма и> определяются с помощью контрвариантных и ковариантных компонент одного и того же тензора — дискрими-нантного тензора фазовой поверхности.

Каждой классической механике сопоставляется конкретная модель в виде системы из двух шаровых волчков, взаимодействующих посредством электрического (гравитационного, магнитного) пол я. Векторная форма уравнений движения системы из двух шаровых волчков содержит, как частный случай, хорошо известную гироскопическую модель, которая используется в ядерном и электронном магнитном резонансе.

Показано, что на фазовых пространствах (орбитах коприсоединенного представления групп С) можно ввести восемь наборов локальных координат: в, <р го, го, ф <р, /5- С) С*! Щ Л+, А (имеющих тот или иной физический смысл), пять из которых.

— го, ги, ф] ф,^] а+, аА+, А являются канонически сопряженными переменными.

Доказано, что нелинейные уравнения Эйлера, определяющие динамические системы как в классической, так и в квантовой области, переопределяются через систему линейных дифференциальных уравнений. Причем переменные вспомогательной линейной задачи имеют определенный физический смысл. Например, в квантовой области они имеют смысл параметров порядка соответствующей квантовой модели.

Квантование классических механик по схеме Березина приводит к известным квантовым моделям, которые используются в описании явлений оптического и магнитного резонансов, ферромагнетизма, сверхпроводимости и сверхтекучести, спин-фононного взаимодействия, а также полупроводников, взаимодействующих с электромагнитным полем.

Когерентные состояния квантовых моделей параметризуются теми же переменными, что и фазовые пространства классических механик, а уравнения движения и для фазовых переменных, и для ковариантных символов операторов соответствующих квантовых механик имеют одну и ту же форму — форму уравнений Гамильтона.

Симплектическая структура фазового пространства (форма со) позволяет перейти от конечномерных динамических систем к бесконечномерным, причем свойства бесконечномерных динамических систем вполне детерминируются двумя фундаментальными геометрическими объектами фазовых пространств — метрическим тензором и формой объема. Другими словами, если гамильтоновы функционалы выбираются в виде функционалов, определенных с помощью метрического тензора или формы объема фазового пространства, то нелинейные эволюционные системы генерируются действием гамильтонова оператора на вариацию геодезических линий фазового пространства.

Множество нелинейных эволюционных уравнений, полученное в рамках нашего метода, включает в себя уже известные уравнения, в частности, оно прямым образом содержит: уравнение Гинзбурга — Ландау, Ландау — Лифшица, уравнение магнетика Гейзенберга, нелинейного уравнения Шрёдингера, уравнение вт-Гордона.

Показано, что распространение возмущений по непрерывной цепочке взаимодействующих шаровых волчков может выступать в качестве модели распространения нелинейных волн.

Как естественное следствие предложенного метода генерации нелинейных эволюционных уравнений обнаруживается, что стационарные решения уравнений являются геодезическими линиями фазовой поверхности, а предложенный способ параметризации фазового пространства позволяет строить фазовые портреты динамических систем.

Глава 10 Приложения.