О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка

Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений. Важнейшими направлениями качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений являются теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной A.M. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллион-щикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений или систем.

В теории же колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837−41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896−98 гг.).

В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р. Э. Виноград [14, 15], Б. Ф. Былов [9, 10], В. М. Миллионщиков [38, 39, 40], H.A. Изобов [20, 21, 23], М. И. Рахимбердиев [41, 42], И. Н. Сергеев [43, 44], Е. К. Макаров [36, 37], Е. А. Барабанов [5, 6], А.Н. Ве-тохин [12, 13], В. В. Быков [7, 8] и другие. Здесь указаны лишь по 23 работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [22, 26] и монографиях [И, 27].

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В. А. Кондратьева [31, 32], И. Т. Кигурадзе [28, 29, 30], Т. А. Чантурия [75, 76], А. Н. Левина [35], H.A. Изобова [24, 25], И.В. Аста-шову [1, 2, 3] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [34] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения хотя бы одного колеблющегося решения (имеющего бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение прежде всего коэффициентных (т. е. опирающихся только на свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В 2004 г. И. Н. Сергеев в докладе [45] впервые ввел понятие характеристической частоты v (у) скалярной функции ?/, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и. позволившее численно измерять колеблемость решений на полупрямой. В дальнейших его работах [46−53] и [55−65] изучались свойства введенных частот и их различные модификации.

Частоту решения можно интерпретировать, как среднее (по всей полупрямой) значение числа нулей решения на полуинтервале длины 7 г. Оказалось, что на решениях линейных однородных уравнений с ограниченными коэффициентами она принимает лишь конечные значения [48] и позволяет естественным образом классифицировать колеблющиеся решения, ставя в соответствие, к примеру, функции y (t) = Sin (jut ее частоту v (y) = и (подобно тому, как показатели Ляпунова и Перрона позволяют измерять по экспоненциальной шкале рост нормы решения, ставя в соответствие вектор-функции х с нормой я (£)| = exp A? ее показатель х (х) —.

Следует отметить, что спектр (множество различных значений на всех ненулевых решениях) показателей Ляпунова n-мерной линейной системы состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности [11,.

1. Асташова И. В. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифференциальных уравнений четного порядка // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 2005. Вып. 25. С. 3−17.

2. Асташова И. В. О задаче H.A. Изобова для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2012. 48. № 6. С. 898−899.

3. Асташова И. В. О поведении на бесконечности решений квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 2009. 45. № 11. С. 1671.

4. Асташова И. В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / И. В. Асташова и др.- под ред. И. В. Асташовой — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

5. Барабанов Е. А. Строение множества нижних показателей линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1989. 25. № 12. С. 1084−1085.

6. Барабанов Е. А. О вычислении показателей решений линейных дифференциальных систем по временным геометсрическим прогрессиям// Дифференц. уравнения. 1997. 33. № 12. С. 1592−1600.

7. Быков В. В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996. 51. Вып. 5. С. 186.

8. Былов В. В. Классификация Бэра сг-показателей Изобова // Дифференц. уравнения. 1997. 33. № 11. С. 1574.

9. Былов Б. Ф. Почти приводимые системы. Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук. Мн.: АН БССР, 1966.

10. Былов Б. Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1970. 6. № 2. С. 243−252.

11. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

12. Ветохин А. Н. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифференц. уравнения. 1995. 31. № 5. С. 909−910.

13. Ветохин А. Н. Точный класс Бэра экспоненциального показателя Изобова в равномерной топологии // Дифференц. уравнения. 1999. 35. № 11. С. 1578−1579.

14. Виноград Р. Э. Неустойчивость характеристических показателей правильных систем // Докл. АН СССР. 1953. 91. № 5. С. 9 991 002.

15. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. 42. С. 207−222.

16. Горицкий А. Ю. Характеристические частоты линейных комбинаций синусов // Дифференц. уравнения. 2008. 44. № 6. С. 860.

17. Горицкий А. Ю., Фисенко Т. Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний // Дифференц. уравнения. 2012. 48. Ш. С. 479−486.

18. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

19. Зорич В. А. Математический анализ. II. М.: Наука, 1984.

20. Изобов H.A. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1965. 1. № 4. С. 469−477.

21. Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1976. 12. № 11. С. 19 541 966.

22. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т.12. С. 71−146.

23. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. 26. № 1. С. 5−8.

24. Изобов H.A. Об уравнениях Эмдена-Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями // Матем. заметки. 1984. 35. № 2. С. 189−199.

25. Изобов H.A. О кнезеровских решениях // Дифференц. уравнения. 1985. 21. № 4. С. 581−588.

26. Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. № 12. С. 2034;2055.

27. Изобов H.A.

Введение

в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.

28. Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения // Докл. АН СССР. 1962. 144. Ш. С. 33−36.

29. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1974. 10. № 8. С. 1387−1398 и № 9. С. 1586−1594.

30. Кигурадзе И. Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1992. 28. № 2. С. 207−219.

31. Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения +р (х)у = 0 // Тр. Моск. матем. об-ва. 1961. 10. С. 419−436.

32. Кондратьев В. А. О колеблемости решений дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков // Докл. АН СССР. 1968. 118. т. С. 22−24.

33. Куратовский К. Топология. 1. М.: Мир, 1966.

34. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравненияР1(Ь)х (п~1} +——-рп{1)х = 0 // Успехи матем. наук. 1969. 24.2. С. 43−96.

35. Левин А. Ю. Избранные труды. Ярославль, Рыбинск: Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2010.

36. Макаров Е. К. О линейных системах с множествами неправильности полной меры // Дифференц. уравнения. 1989. 25. № 2. С. 209−212.

37. Макаров Е. К. О реализации частичных показателей решений линейных дифференциальных систем на геолметрических прогрессиях // Дифференц. уравнения. 1997. 33. № 4. С. 495−499.

38. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский матем. журнал. 1969. 10. № 1. С. 99−104.

39. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. 5. № 10. С. 1775−1784.

40. Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. 16. № 8. С. 14 081 416.

41. Рахимбердиев М. И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. 31. № 6. С. 925−931.

42. Рахимбердиев М. И. О центральных показателях линейных систем // Дифференц. уравнения. 1983. 19. № 2. С. 253−259.

43. Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений //Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111−166.

44. Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. 36. № 3. С. 345−354.

45. Сергеев И. Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. 40. № 11. С. 1576.

46. Сергеев И. Н. Подвижность характеристических частот линейного уравнения при равномерно малых и бесконечно малых возмущениях // Дифференц. уравнения. 2004. 40. № 11. С. 1576.

47. Сергеев И. Н. О классах Бэра характеристических частот линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. 41. № 6. С. 852.

48. Сергеев И. Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249−294.

49. Сергеев И. Н. Неравенства между главными частотами нулей и знаков линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2006. 42. № 6. С. 855.

50. Сергеев И. Н. Класс Бэра старшей частоты корней линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2006. 42. № 11. С. 1573.

51. Сергеев И. Н. О различной зависимости от параметра главных частот нулей, знаков и корней линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2007. 43. № 6. С. 853.

52. Сергеев И. Н. Общие свойства главных частот линейного уравнения / Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского: Тезисы докладов — М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 282 283.

53. Сергеев И. Н. О несуществовании ляпуновской частоты решений линейных неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2008. 44. № 11. С. 1579.

54. Сергеев И. Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механ. 2009. № 3. С. 25−33.

55. Сергеев И. Н. О предельных значениях показателей линейных уравнений // Дифференц. уравнения. 2010. 46. № 11. С. 16 641 665.

56. Сергеев И. Н. Класс Бэра крайних характеристических частот линейных дифференциальных уравнений / Современные проблемы математики и механики. Т. VI. Математика. Вып. 1. К 105-летию С. М. Никольского — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 111−117.

57. Сергеев И. Н. Комплексные характеристические показатели экспоненциально разделенных систем // Дифференц. уравнения.2011. 47. № 6. С. 900−901.

58. Сергеев И. Н. Колеблемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных уравнений малого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. 47. № 6. С. 906−907.

59. Сергеев И. Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Моск. унта. Серия 1. Матем. Механ. 2011. № 6. С. 21−26.

60. Сергеев И. Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2011. 47. № 11. С. 1661−1662.

61. Сергеев И. Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения.2012. 48. № 11. С. 1567−1568.

62. Сергеев И. Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Известия РАН. Серия матем. 2012. 76. № 1. С. 149−172.

63. Сергеев И. Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414−442.

64. Сергеев И. Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сборник. 2013. 204. С. 119−138.

65. Сергеев И. Н. Дифференциальные уравнения. М.: Издательский центр «Академия», 2013.

66. Смоленцев М. В. О спектре частот линейного уравнения // Дифферент уравнения. 2011. 47. № 11. С. 1659.

67. Смоленцев М. В. О спектрах частот периодического и непериодического линейного дифференциального уравнения // Дифферент уравнения. 2012. 48. № 6. С. 909.

68. Смоленцев М. В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. 48. № 11. С. 1571−1572.

69. Филиппов А. Ф.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

70. Чантурия Т. А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 1980. 16. № 3. С. 470−482.

71. Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения общего вида // Дифференц. уравнения. 1986. 22. № 11. С. 1905;1915.Г.