Аппроксимируемость свободного произведения групп с одной объединенной подгруппой некоторыми классами конечных групп

Актуальность темы

.

Пусть К — абстрактный класс групп. Говорят, что группа G аппроксимируется классом /С, если для любого элемента д группы G, отличного от 1, существует гомоморфизм (р группы G на некоторую группу из К такой, что gip ф 1. Группы, аппроксимируемые классом Т всех конечных групп и классом Тр всех конечных р-групп называются соответственно финитно аппроксимируемыми и аппроксимируемыми конечными р-группами.

Класс всех групп, аппроксимируемых классом /С, будем обозначать через rK,. В частности, через цТ и &FV будем обозначать класс всех финитно аппроксимируемых групп и класс всех групп, аппроксимируемых конечными р-группами.

К числу наиболее важных аппроксимационных свойств группы, наряду с аппроксимируемостью классом К, относится также и аппроксимируемость классом К, относительно сопряженности. Говорят, что группа G аппроксимируется классом К относительно сопряженности, если для любых не сопряженных между собой элементов х и у группы G существует гомоморфизм <�р группы G на некоторую группу В из К такой, что элементы х<�р и уср не сопряжены в группе В. Группа, аппроксимируемая относительно сопряженности классом Т всех конечных групп называется группой, финитно аппроксимируемой относительно сопряженности.

Хорошо известно, что свободная группа финитно аппроксимируема. Более того, свободная группа аппроксимируется классом Тр относительно сопряженности для любого простого числа р (см. напр. [5] с. 47).

Многие апппроксимационные свойства групп наследуются свободными произведениями групп. К числу таких свойств относятся финитная аппроксимируемость, аппроксимируемость конечными р-группами, а также финитная аппроксимируемость относительно сопряженности (см. напр. [21],[16]).

Наряду с изучением аппроксимационных свойств обычных свободных произведений, на протяжении последних четырех десятилетий велись достаточно интенсивные исследования аппроксимационных свойств свободных произведений групп с объединенной подгруппой. Эти исследования в немалой степени стимулировались тем обстоятельством, что свободное произведение с объединением двух групп, обладающих данным аппроксимационным свойством, может, вообще говоря, и не обладать этим свойством даже в случае, когда данное свойство наследуется обычными свободными произведениями групп.

Пусть.

С?= (А*В;

— свободное произведение групп, А и В с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма (р.

Наиболее продуктивным направлением изучения аппроксимаци-онных свойств группы С? оказалось исследование этих свойств при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители, А и В, объединяемые подгруппы Н и К и изоморфизм ср. Из нескольких десятков результатов, относящихся к этому направлению и доказанных в разное время, мы здесь приводим только некоторые утверждения, наиболее значимые для дальнейшего изложения.

В 1963 г. Г. Баумслаг [9] доказал, что С € цТ, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. А, В е яТ в. Н < оо.

2. А, В — конечно порожденные нильпотентные группы и Нциклическая.

3. А, В — свободные группы и Я — циклическая.

В 1980 г. Д. Дайер [14] доказала, что финитная аппроксимируемость относительно сопряженности групп, А и В наследуется группой С? в случае, когда |Я| < оо. В той же работе устанавливается, что условия 2 и 3 достаточны для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности группы.

В [13] Д. Дайер установила, что С Е кТ, если А, В — почти полициклические группы и Н — циклическая.

Критерий финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных ни ль потентных групп с произвольной объединенной подгруппой найден в [19].

В 1964 г. Хигмен [17] получил критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В [15] получено достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением.

Различные аппроксимационные свойства свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой исследовались также в [2], [10]-[12], [21]-[24].

В работе Ширвани [20] рассматривается свободное произведение любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой. Для такого свободного произведения доказывается критерий финитной аппроксимируемости при условии, что свободные сомножители удовлетворяют нетривиальному тождеству.

Многие из перечисленных выше результатов, относящихся к свободному произведению двух групп с объединенной подгруппой, могут быть без труда распространены на случай древесного произведения конечного числа групп. Тем не менее, вопросы, касающиеся аппрок-симационных свойств древесного произведения любого числа групп, изучены в значительно меньшей мере по сравнению с аналогичными вопросами для случая свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Нам представляется весьма актуальным изучение различных аппроксимационных свойств свободного произведения любого числа групп с одной объединенной подгруппой, как наиболее важного частного случал древесного произведения групп.

Цель работы и ее научная новизна.

Пусть (^а)а€Л ~ некоторое семейство групп. И пусть для каждого Л € Л Яд — подгруппа группы (7д. Предположим также, что для каждой пары А,^ € Л существует изоморфизм (р^: Яд —> Я^, причем для любых Л, /х, V 6 Л выполняются следующие условия: <�Рал = idнx, = <�рр (рр" = <�РПусть, а = ( Ам = л (л е Ял, А, м е л)).

— группа, порождаемая элементами всех групп 6а (А е Л) и определяемая определяющими соотношениями этих групп, а также всевозможными соотношениями вида: = /г, где к 6 Ял, А,/2 6 Л. Хорошо известно, что каждая группа Сд естественным образом вло-жима в группу С?, и если отождествить Од с соответствующей подгруппой группы ?7, то для любых различных А, д € Л.

П Сц = ЯЛ = Нц.

Обозначим через Я подгруппу группы 6?, совпадающую с каждой из этих подгрупп Яд. Будем говорить, что група О является свободным произведением групп Ста (А 6 Л) с одной объединенной подгруппой Я (и считать, когда это удобно, группы Сд подгруппами группы С).

Целью данной работы является изучение некоторых аппрокси-мационных свойств группы С и, в первую очередь, аппроксимируемости группы С некоторыми классами конечных групп. Наряду с финитной аппроксимируемостью, а также аппроксимируемостью конечными р-группами в работе рассматривается и более универсальное свойство — аппроксимируемость классом Т-р всех конечных Р-групп, где V ~ непустое множество простых чисел. Кроме того, исследуется нильпотентная аппроксимируемость группы и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности. Все перечисленные аппроксимационные свойства группы С исследуются при определенных ограничениях, накладываемых на свободные сомножители Сд и объединяемую подгруппу Н.

Ряд результатов данной работы представляет собой обобщения некоторых из перечисленных выше теорем Г. Баумслага, Д. Дайер и Хигмена, относящихся к случаю свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой, на случай свободного произведения G любого (возможно, бесконечного) числа групп с одной объединенной подгруппой Н. Вместе с тем, многие из доказанных в работе результатов, касающихся аппроксимационных свойств группы (7, являются новыми даже для случал свободного произведения двух групп с объединанной подгруппой.

Краткое описание работы.

Пусть, как и выше, (7 — свободное произведение групп С (А € Л) с одной объединенной подгруппой Н.

В первой главе работы предполагается, что Я — конечная подгруппа. При этом ограничении для группы С получены критерии финитной аппроксимируемости, аппроксимируемости конечными р-группами, а также критерий финитной аппроксимируемости относительно сопряженности.

Одна из приведенных выше теорем Г. Баумслага утверждает, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп с объединенной конечной подгруппой является финитно аппроксимируемой группой. Аналогичный результат получен Д. Дайер для финитной аппроксимируемости относительно сопряженности. Следующие две теоремы, доказанные в первой главе, обобщают эти результаты:

Пусть |Я" | < оо и для каждого, А € Л С? л € лТ. Группа (7 Е вТ тогда и только тогда > когда для каждого, А 6 Л существует нормальная подгруппа II х конечного индекса группы Сд, тривиально пересекающая Нх, и такая, что индексы [С?а: IIх] ограничены в совокупности.

Пусть Н | < оо и все Сх финитно аппроксимируемы относительно сопряженности. Группа финитно аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда для каждого, А € Л существует нормальная подгруппа 11 конечного индекса группы £д такая, что индексы [&-а: ^а] ограничены и для любых элементов 1 г, к? Н, не сопряженных в О, элементы К11 и ких не сопряжены в О/11 при любом Л € Л.

Как отмечалось выше Хигменом получен критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения двух конечных р-групп с объединенной подгруппой. В первой гла-ве доказывается критерий аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения (7 любого числа групп Сг? вИ~р с одной объединенной конечной подгруппой Н. В основе этого результата лежит следующая конструкция, предложенная Д. И. Молдаванским:

Пусть р-простое число. И пусть для каждого Л 6 Л 11 — нормальная подгруппа конечного р-индекса группы С. Семейство (Цд)а€Л называется р-совместимым, если для каждого Л (Е Л существует последовательность иХ = иХо<�иХ1<.<.<�иХ-х=0Х нормальных подгрупп группы (7 а с факторами порядка р такая, что для любых? Л изоморфизм (р^ переводит множество пересечений.

П Ям, • • •, ип Ям на множество пересечений и&bdquo-0 п #", • • •, и^^ П #".

Упомянутый выше критерий аппроксимируемости группы С? конечными р-группами имеет следующий вид:

Пусть Н < оо и для каждого, А 6 Л (?д 6 Группа С? €.

В.Т-Р тогда и только тогда, когда для каждого, А (Е Л существует нормальная подгруппа IIх конечного индекса группы такая, что ихП Н — 1, индексы [<7а: их] ограничены и семейство (?7а)а€Л Р~ совместимо.

Во второй главе на свободные сомножители Сд и объединяемую подгруппу Н накладываются следующие ограничения: а) Все Сд — конечно порожденные нильпотентные группы, причем полициклические ранги групп Сд и порядки их конечных частей ограничены в совокупности. б) Объединяемая подгруппа Н является бесконечной циклической и строго содержится во всех свободных сомножителях (?д, причем |Л| > 2.

При этих ограничениях во второй главе получены критерий аппроксимируемости группы Ст классом Т-р, где V — непустое множество простых чисел, а также критерий аппроксимируемости группы О конечными нильпотентными группами. Формулировкам этих резальтатов предпошлем некоторые предварительные замечания и обозначения.

Пусть выполняются условия (а) и (б). Для каждого Л € Л обозначим через п индекс подгруппы Н в своем изоляторе в группе Хорошо известно, что п — конечное число (см. напр. [8], лемма 4.5). Обозначим через (¿-с подгруппу аддитивной группы рациональных чисел, порождаемую всеми дробями вида 1/пд, где Л € Л. Пусть Пмножество всех простых чисел р таких, что группа р-ичных дробей фр содержится в (¿-аВ случае, когда множество П не пусто, через т будем обозначать порядок подгруппы Н по модулю пересечения всех нормальных подгрупп конечного П-индекса группы Как показано во второй главе, т — конечное число.

Далее, через /г обозначим один из порождающих элементов подгруппы Н. Пусть V — непустое множество простых чисел. Через С}-р будем обозначать группу Р-ичных дробей.

Сформулируем теперь критерий аппроксимируемости группы О конечными V-группами, являющийся центральным результатом второй главы.

Пусть выполняются ограничения (а) и (б). Если П ф 0, то группа С 6 цТт тогда и только тогда, когда С}с < и для каждого, А Е Л нормальное замыкание элемента Нт в группе (?д является группой без П-кручения. Если ж. е П = 0, то группа О Е яТ-р тогда и только тогда, когда < Ят><

В частном случае, когда V — множество всех простых чисел, данный результат представляет собой критерий финитной аппроксимируемости группы О и обобщает приведенную выше теорему Г. Баумслага о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклической объединенной подгруппой.

В другом частном случае, когда V = {р} - одноэлементное множество, сформулированный результат позволяет доказать следующий простой критерий аппроксимируемости группы С? конечными р-группами:

Пусть выполняются условия (а) и (б). И пусть р — простое число. Группа (7? яТр тогда и только тогда, когда числа п ограничены и являются степенями числа р.

Далее, через ^ будем обозначать класс всех конечных нильпотентных групп. Во второй главе доказан следующий критерий аппроксимируемости группы О классом Гм:

Пусть выполняются ограничения (а) и (б). Тогда следующие три условия равносильны:

1. С Е RJ: N^.

2. Существует простое число р такое, что все п являются степенями числа р и подгруппа, высекаемая в Н пересечением всех нормальных подгрупп конечного р-индекса группы С, лежит в центре группы (7.

3. Существуют простые числа р и ц такие, что С €.

В третьей главе предполагается, что все (?д — свободные группы и Н = (к) — неединичная циклическая подгруппа. Для каждого Л 6 Л через п обозначим наибольшее целое положительное число такое, что уравнение хпх = К разрешимо в группе Сд.

Как доказал Г. Баумслаг, свободное произведение двух свободных групп с циклической объединенной подгруппой финитно аппроксимируемо. Следующее утверждение, доказанное в третьей главе, в некоторой степени дополняет этот результат Г. Баумслага:

Пусть |А| < оо, все Сд — свободные группы и Н — неединичная циклическая подгруппа. Тогда группа О аппроксимируется конечными разрешимыми группами. Более того, группа <7 аппроксимируется конечными разрешимыми V-группами, где V — непустое множество простых чисел, содержащее все простые делители произведения всех чисел п (Л Е Л).

Это утверждение можно рассматривать и как результат, обобщающий и дополняющий следующую теорему, доказанную Гилденхъ-юзом [15]:

Пусть .Р — свободное произведение свободных групп, А я В с бесконечной циклической объединенной подгруппой Н — (/г), типнаибольшие целые положительные числа такие, что уравнения хт — h и уп = h разрешимы в группах, А и В соответственно. Если числа m и п являются степенями одного и того же простого числа р, то G G rTv.

Найденное Гилденхъюзом достаточное условие аппроксимируемости группы F конечными р-группами не является необходимым. Это вытекает из следующего критерия аппроксимируемости группы G конечными р-группами и нильпотентными группами, доказанного в третьей главе:

Пусть все G — свободные группы, H — неединичная циклическая группа и, А — конечное множество. Тогда.

1. Если все п, за исключением, быть может, одного, равны 1, то G G rTv для любого простого числа р.

2. Если же среди чисел п хотя бы два отличны от 1, то G? rTv тогда и только тогда, когда все п являются степенями числа р.

3. Группа G аппроксимируется нильпотентными группами тогда и только тогда, когда G G rTv для некоторого простого числа V.

Сформулируем теперь центральные результаты третьей главы, доказанные для свободного произведения любого числа свободных групп с циклическим объединением. Через 7w (Gx), как обычно, будем обозначать п-й член нижнего центрального ряда группы G.

Пусть для каждого Л G Л G — свободная группа конечного ранга и ранги групп G ограничены в совокупности. И пусть H — неединичная циклическая подгруппа. Тогда.

1. Если все па, за исключением, быть может, одного, равны 1, то G G rJ~p тогда и только тогда, когда существуют целые положительные числа nus такие, что уравнение hln{Gx) (*) не разрешимо в группе G/yn (G) при любом Л G Л.

2. Если среди чисел п хотя бы два отличны от 1, то G G rTp тогда и только тогда, когда все п являются степенями числа р и существуют целые положительные числа nus такие, что уравнение (*) не разрешимо в группе G/" yn (Gx) при любом Л G Л.

3. Если хотя бы одна из групп G не циклическая, то G G rJ-" n тогда и только тогда, когда G G rTv для некоторого простого числа Р.

4. Пусть все (Зд — циклические и хотя бы для двух А, д 6 Л Gд Ф Н ф Оц. Группа (? € д7″ лг тогда и только тогда, когда все п являются степенями одного и того лее простого числа.

В четвертой главе получен следующий критерий аппроксимируемости классом Т-р группы (7 при условии, что все Сд — абелевы группы:

Пусть все Сд — абелевы группы, |Л| > 2 и для каждого, А? Л С ф Я. Группа Сг € лТ-р тогда и только тогда, когда для каждого, А? д/Я € д^р и.

ПЯ" = 1″ пёР где V — множество всех целых положительных V-чисел, Нп — подгруппа группы И, порожденная множеством и (.

Кроме того, в четвертой главе доказывается следующий результат:

Пусть Л — конечное множество и Я — циклическая подгруппа. Группа С € д?7, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:

1. Все Сгд являются конечными расширениями ограниченных разрешимых групп.

2. Все £гд являются конечными расширениями групп, аппроксимируемых ограниченными разрешимыми группами без кручения.

Понятие ограниченной разрешимой группы введено А. И. Мальцевым [7]. Так как любая полициклическая группа является ограниченной разрешимой, то приведенное утверждение обобщает и дополняет отмеченный выше результат Д. Дайер о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух почти полициклических групп с циклической объединенной подгруппой.

Здесь мы привели только некоторые результаты, доказанные в работе. Полные списки этих результатов, а также необходимые комментарии приводятся в начале каждой главы.

В работе используются некоторые хорошо известные свойства свободных произведений групп с объединенной подгруппой, связанные с понятием несократимой записи элемента (см. напр. [18], [6] с. 207 236). Ссылки на другие используемые результаты приводятся по мере необходимости.

1. Горяга А. В. Пример конечного расширения ФАС-группы, не являющегося ФАС-группой // Сиб. мат.ж. 1986. т. 27. № 3. с. 203 — 205.

2. Залесский П. А., Тавгенъ О. И. Замкнутость орбит и финитная аппроксимируемость относительно сопряженности свободных амальгамированных произведение // Мат. заметки. 1995. т. 58. № 4. с. 525 535.

3. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука. 1972.

4. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука. 1967.

5. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир. 1980.

6. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука. 1974.

7. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен, зап. Иван. гос. пед. ин-та. Иваново, 1958. т. 18. № 5. с. 49 60.

8. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. 1968. т. 12. X* 1. с. 3 36.

9. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. v. 106. p. 193 209.

10. Baumslag G. On the residual nilpotence of certain one relator groups // Communs Pure and Appl. Math. 1968. v.21. № 5. p. 491 — 506.

11. Boler J. The free products of residuaily finite groups amalgamated along retracts is residuaily finite // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. v. 37. № 1. p. 50 52.

12. Brunner ABurns R., Solitar D. The subgroup separabihty of free products of two free groups with cyclic amalgamation // Contemp Math. 1984. v. 33 p. 90 115.

13. Dyer J. On the residual finiteness of generalized free products // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. v. 133. № 1. p. 131 143.

14. Dyer J. Separating conjugates in amalgamated free products and HNN-extensioas // J. Austral. Math. Soc. 1980. v. A29. № 1. p. 35 51.

15. Gildenhuys D. One-relator groups that are residuaily of prime power order //J. Austral. Math. Soc. 1975. v. A19. p. 385 410.

16. Grunberg К. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. v. 7. p. 29 62.

17. Higman G. Amalgams of p-groups //J. Algebra. 1964. v. 1. p. 301 305.

18. Neumann B. An essau on free products of groups with amalgamations // Philos. Trans. Roy. Soc. of London. 1954. v. 246. p. 503 554.

19. Raptis EVarsas D. The residual finiteness of HNN-extensions and generalized free products of nilpotent groups. A characterization // J. Austral. Math. Soc. 1992. v. 35. № 3. p. 408 420.

20. Shirvani M. A convers to a residual finiteness theorem of G. Baumslag // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. v. 104. № 3. p. 703 706.

21. Stebe P. A residual property of sertain groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. v. 26. p. 37 42.

22. Stebe P. Conjugacy separability of certain free products with amalgamation // Trans. Amer. Matn. Soc. 1971. v. 156. p. 119 129.

23. Tang C. Y. On the subgroup separability of generalized free products of nilpotent groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. v. 113. № 2. p. 313 318.

24. Tretkoff M. The residual finiteness of certain amalgamated free products // Wath Z. 1973. № 2. p. 179 182.

25. Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38 № 1. С. 3 13.

26. Азаров Д. Н. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений групп с циклическим объединением // Матем. заметки. 1998. Т. 64 № 1. С. 3 8.

27. Азаров Д. Н. Аппроксимационные свойства свободных произведений нильпотентных групп с циклическим объединением // Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фадцева: С.-Петербург. 1997. Тез.докл. С. 153.

28. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость некоторых свободных произведений групп с циклическим объединением // На-учн.труды Иван.гос.ун-та. Математика. Вып. 1. Иваново 1997. С. 4- 10.

29. Азаров Д. Н. Финитная аппроксимируемость свободного произведения ограниченных разрешимых групп с циклическим объединением // Научн. труды Иван.гос.ун-та. Математика. Вып. 2. Иваново 1999. С. 3−4.