Оценки сумм коэффициентов Фурье функций с заданным модулем гладкости

Работа посвящена оценкам сумм степеней модулей коэффициентов Фурье функций из классов Нш как в одномерном, так и в многомерном случаях.

Приведем необходимые в дальнейшем определения, а затем сформулируем основные результаты работы.

Начнем с расмотрения функций одного переменного. Через Ь[О, 2тг] обозначим пространство 2тгпериодических измеримых функций /(х) с конечной нормой.

2тг.

И/Над — / mdx. о.

Если /(х) е Ь[0, 27г], то будем обозначать через т (/) = ^ + апсозпх + Ьпвтпх, (1.1) где.

71=1.

2тг ^ 2тг — ! /(х) сое пхйх Ъп = — J /(ж) эт пхйх, ап о ее ряд Фурье. В дальнейшем, будем полагать ао = 0, так как это не уменьшит общности дальнейших рассмотрений. Обозначим через оо.

Ыар= ЛЫр + ьпр

71=1 сумму модулей коэффициентов Фурье этой функции в степени р. Пространством, А будем называть множество функций /(х) € Ь[0, 27г] с введенной выше конечной нормой Ц/ц^.

Пусть заданный модуль непрерывности, то есть ш (6).

— некоторая непрерывная, полуаддитивная, неубывающая на [0,1] функция такая, что о-(0) = 0.

Через С[0,27г] обозначим пространство 27тпериодических непрерывных функций f (x) с конечной нормой.

1с[0,2тг] = omaxJ/(a-)|.

Через cj (/, 5) обозначим модуль непрерывности в С[0,2тс] функции /(ж) G С[0, 27г], т. е. а-(/, (5) = sup ||/(ж + ?) — /(ж)||с[о, 2тг]-|i|<5.

Через Нш обозначим множество функций f (x) € С[0,27г] таких, что иj (f, 5) < со (6), т. е. rw = {/€C[0,27r]: w (/, i) где си (6) — заданный модуль непрерывности.

Если ш (6) = М5а, где данные числа, а и М таковы, что М > 0 и, а € (0,1], то такой класс функций Нш обозначается как LpM а.

Через Ь2[0,27г] обозначим пространство 27тпериодических измеримых функций f (x) с конечной нормой.

Wf\moM=IU (x))2dx.

2тг 2 У.

Через а/2)(£, /) — обозначим модуль непрерывности в L2[0, 27г] функции / € L2[0, 27г], т. е. w<2>(5, /) = sup.

2тг, а через — наилучшее приближение в Ь2[0,2тг] функции? Ь2[0, 27г] тригонометрическими полиномами порядка п—1, т. е.

E??f)=m?\f-Tn\v[0M, n n- 1 где Tn — 9 «fE eos fca- + a^ sin kx, Ck и d^ - произвольные? fc=i действительные исла.

Теперь приведем определения для функции m переменных.

Будем далее обозначать х = (жх,., xm), п = (щ, ., пт), пх = xini +. + хтпт и Тт = [0,2тг]т.

Через L™ обозначим пространство 27гпериодических по каждой переменной измеримых функций f (x) = f (xi,., xm) с конечной нормой ll/IUcr") = / !/(s)|cte. грт.

Если /(ж) € L™, то ее ряд Фурье будем обозначать через =? спе^, nez где.

Для того, чтобы сделать формулировки утверждений в многомерном случае более простыми, будем рассматривать класс тех f (x)? L™, у которых ряд Фурье имеет вид.

00 00 V Г pinx — V V г Pinx nen п≠1 nm=l.

Функцию a-(?) = a-(?i,., £т) будем называть смешанным модулем непрерывности, если ш{&euro-) — неотрицательная, непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]т функция что для любого j = 1 ,., т и любых фиксированных i, tj-i, tj+i,., tm, где U e [0,1] имеем cj (ti,., tj-1,0, tj+1,tm) = 0 и для любых положительных tj и t’j, (tj + t’j) < 1 имеем и (¿-i,., ?ji, tj Л-t'j, tj+i,., tm) = tj-i, tj, tj+i,., tm) + cj (?i, ., tj-i, t'j, tj+1, ., tm).

Через C™ обозначим пространство 27гпериодических по каждой переменной непрерывных функций /(аг) с конечной нормой f\c{T™) = max |/(ж)|. Будем обозначать через.

Д (/,®-«/2,и) =? (-i)il±+Zm/(®i — ^ + ta, — — + /mwTO) lj 6(0,1} z z.

— смешанную симметрическую разность первого порядка функции /(ж), через <*>(/, ., tm) = sup ||Л (/, а—u/2,u)||c (r™).

— смешанный модуль непрерывности в С (Тт) функции /(a-)? С (Тт).

Через Нш (Тт) обозначим множество функций f (x) € С (Тт) таких, что tu (f, t) < u){t), т. е. {/ € C[0,27r]m: uj (f, S) < w (<5)}, где a-(i) — заданный смешанный модуль непрерывности.

Через Ь2(Тт) обозначим пространство 2ттпериодических по каждой переменной измеримых функций /(х) с конечной нормой.

11/1 щт~)=(/(Пх))2<1х) через эир ||Д (/, ж — и/2,и)\Ь2(тт) з<�т смешанный модуль непрерывности функции /(ж) € Ь2(Тт) в метрике Ь2(Тт).

Через Еп (/)12(Тт) п = (щ, ., пт), щ 6 N обозначим наилучшее приближение «углом11 функции /(х) Е Ь2(Тт) в метрике Ь2{ТШ). Как показано в работе [5].

00 оо.

Т-) = (2ТГ) — Е. ? Ы2к—711 к-щ—Пщ.

При г = 1, 2. ГП и любом г € N обозначим через г.

Х ?) = Е {~1)Г~кС^{хь ., Хг"ЪХг + Ы, Х1+Ъ Жт), а-—о.

Смешанным модулем гладкости порядка г € ./V в С (Тт) функции /(ж)? С (Тт) назовем величину.

Ь ¿-то) = ти эир ||Лг (/-а- - ——г/)||с (гт) = = Эйр II Аг (/- X] и)\с (Тт) и3<1з, 1<]<�т.

Пусть, кроме того, частным модулем гладкости по г-той переменной порядка г в С (Тт) функции f (x) G С (Тт) назовем величину г sup II ХХ-1)7— C^f (xi,., xi^i, xi + kt, xi+1,., xm)\c{T^)-И <<5 к=о.

Функцию ur{t) одного переменного t будем называть модулем гладкости порядка г, если cur (t)~ неотрицательная, непрерывная, неубывающая на [0,1] функция такая, что wr (0) = О и шг (М) < (A + l) ru-r (i) (Л > 0).

Теперь если задан одномерный модуль гладкости ur{t) порядка г, то пусть.

H^™ = {f:ur (f]t).

Подробней о различных модулях гладкости и о приближении функций можно прочитать в работе [7].

Напомним, что в многомерном случае мы рассматриваем класс тех функций, у которых отличны от нуля только коэффициенты сп с 711, ¦¦••, Tim > 0.

Теперь приведем условия, которым будут удовлетворять модуль непрерывности смешанный модуль непрерывности и (6) и модуль гладкости порядка г ujr{o).

Определение 1. Будем говорить, что функция u (t) удовлетворяет условиям В и В', если, соответственно, существуют константы С и С', не зависящие от 8 Е (0,1], такие, что оо си (к) И /7ГАп1<�Сш (6) и ¿-ЕЦ- <�С'ы ((5). п=Щ+1 П.

Очевидно, что справедлив такой результат Утверждение 0. Функция удовлетворяет условиям В и В', в том и только в том случае, если существуют некоторые константы ^ и не зависящие от Н Е (0,1], для которых выполнены соответственно неравенства ос ш {тт2~к+1) < Рш{К) при 0 < Н < 1 к=[ 1оё2 ±]+1 и.

N2 1 к ^ си (тт2-к+1) 2к < Р’ш{Ь) при 0 < Н < к=1 2.

Определение 2. Пусть число <7 > 2, тогда будем говорить, что удовлетворяет условию {Вч), если существует константа В, не зависящая от Н? (0,1), такая, что.

К к] г9? и («7Г2А-) 29/г < Вхш{К). к—.

Определение 3. Пусть {ап}п^г т — ш-кратная числовая последовательность, к б Zm и 1 < э <т. Тогда обозначим.

А ¿-(а*) = а* - 0>к1,., к]-1,к3+1,к]+1., кТп) и.

Д (а*) = Лх (Д2. (Дт (а*))).

Скажем, что неотрицательная непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]т функция о-(?х, ¦¦•) ¿-т) монотонна в смысле Харди, если для любого вектора п — (ni, ., nm) 6.

Z" 1 имеем.

L2).

Если последовательность.

7 г 7г удовлетворяет условию (1.2), то говорят, что она монотонна в смысле Харди.

В многомерном случае аналогом определения 1 является нижеследующее.

Определение 4. Скажем, что функция uj{t, .,?m), монотонная в смысле Харди, обладает свойством ©, если У В С {1,., т} существует константа С в, не зависящая от ?>i,., om? [0,1], такая, что.

П*, / / «?Ьу-'Чаксмь,¦¦¦,**.)¦ ПЮА1П1 зев JIB J.

Будем еще пользоваться следующим обозначением.

В = B (w) = sup Св-в.

Более подробно об этих условиях написано в статьях П. Л. Ульянова (см. [8]), Н. К. Бари и С. Б. Стечкина (см. [2]) и других авторов.

В 1914 году H.H. Лузин и А. Данжуа доказали (см. [1], стр. 173) следующую теорему:

Теорема А. Если тригонометрический ряд оо ап cos rix + bn sin nx.

71=1 сходится абсолютно на множестве Е, т (Е) > 0, то оо.

Е Ы + ьп < оо. п= 1.

В 1914 году С. Н. Бернштейн установил (см. 1], стр. 608) для функций из класса 1лрм, а следующее свойство:

Теорема Б .Если функция ¡-{х) удовлетворяет условию Липшица порядка а, где, а > то ее ряд Фурье сходится абсолютно.

Понятно, что сумма модулей коэффициентов Фурье функции из 1лрм, а при, а > | конечна. Встал вопрос об оценке величины оо.

Е Ы + ъп. п—1.

В 1951 году С. Б. Стечкиным был установлен следующий результат ([6], стр. 230):

Теорема В. Пусть f 6 Ь2[0,2-к и (1.1) — ее ряд Фурье. Зададим возрастающую последовательность номеров {щ}. Тогда.

ОО 00 1 / 1.

Е + < с Е-тг^(2) • к= 1 к=1 ук пк).

После этих результатов естественно встает вопрос об оценках снизу и сверху величины.

11/|ЦР = Е Ыр + ьпр. п= 1.

Введем следующее обозначение :

А)'.

22-«9(3- ?)-!(! -Я)1-», 1.

В диссертации (§ 2.1) доказана.

Теорема 1. Пусть р 6 (0,2)и u (t) — модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям В и В' из определения 1. Тогда справедливы неравенства.

00 /сЛ^р 00 00 fw (z)p.

BiY, Иг < sup + Hf-, к=1 Vk J feHu n=i k= l Vk J = (^(|с'+с+6)Г = (!)•.

В § 2.2, для наиболее интересного случая р = 1, уточнены постоянные в доказанных неравенствах, а именно доказана.

Теорема 2. Пусть w (t) — модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям В и В’из утверждения 0. Тогда справедливы неравенства.

00 ш (т) 00 ш fr).

Ki Е —т^ < sup ||/lk -)f, где i^i = (2+y/2)(2F+F')'² = «if •.

В качестве следствия теоремы 2 приведены оценки для класса LipM су, в которых выяснена их зависимость от М и а.

Следствие 2.2 Пусть даны числа М > 0 и, а 6 1) • Тогда справедливы неравенства.

М М.

Аг—г< sup ll/IU, <

2а — 1 fehipM, а 2а — 1 где Di — 2a (3−2a-2-'*)(2+V2) И ^ ~ ¦

Во второй главе рассмотрены аналогичные задачи в многомерном случае.

В § 2.1 для смешанного модуля непрерывности доказана.

Теорема 3. Пусть р? (0,2), функция u (t)~ смешанный модуль непрерывности — обладает свойством (С)определения 4 и монотонна в смысле Харди. Тогда справедливы неравенства оо 00 fu (JL JL.)P а, е. Е 7 nJ) < оо оо sup Е. ? скр < feH<" (1^)^=1 кт=1 л2 Е. Е '. ос оо /U (JL JL.Y.

•• / Ш V 711 ' ' 71™ > щ=1 Tim—1 л/п1—-пт J где Аг = (40^)^, А2 = щ^е? и в = ВИ = SUPв СВ.

Если же гладкость функции измеряется в терминах частных модулей гладкости, то в многомерном случае придется использовать модули гладкости достаточно большого порядка. Оказалось, что удобно описывать гладкость с помощью величины wr (f, t). В параграфе 3.2 установлен такой результат.

Теорема 4. Пусть р&euro- (0, 2), г > т и wr{t) — модуль гладкости порядка г, удовлетворяющий условиям (Вт) из определения 2 и (В) из утверждения 0. Тогда справедливы неравенства.

Ai{p, m, r)™ 7 Т m! mp/2 Bl + F h Лк}.

ОО 00 sup Е. Е Ыр < /€Я'-Г (Г™)А!1=1 кт=1.

А2(Р)т, г)^" Лт) Ркт-1-тр/2,.

ОО п г «> b ¦ к=1 К где А{р, т, г) и Л2(р, га, г) — некоторые константы, зависящие только от р, т и г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10], [И], [12],[13] и [14].

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям академику РАН, профессору.

П. Л. Ульянову и профессору М. К. Потапову за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Н. К. Бари. Тригонометрические ряды, Москва, Физмат-гиз, 1961.

2. Н. К. Бари, С. Б. Стечкин. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций, ТММО, т.5(1956), 485−522.

3. М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов. Мера и интеграл, Москва, Факториал (1998).

4. Н. П. Корнейчук. Экстремальные задачи теории приближения, Москва, Наука (1976).п.М. К. Потапов. О приближении «углом Труды конференции по конструктивной теории функций, Венгрия, Будапешт, 1972 г., с.371−399.

5. С. Б. Стечкии.Об абсолютной сходимости ортогональных рядов, Матем. сборник, 29 (71), 225 (1951).

6. А. Ф. Тиман. Теория приближения функций действительного переменного, Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

7. П. Л. Ульянов. О модулях непрерывности и коэффициентах Фурье, Вестн. МГУ, Сер. I, 1995, 1.

8. Г. Харди, Дэю. Литтльвуд, Г. Полиа. Неравенства, ИЛ, 1948.

9. Д. М. Дьяченко О точных константах в абсолютно сходящихся рядах Фурье функций из класса Lipa-, Вестн. МГУ, Сер.1, 2004,4, с. 17−21.

10. Д. М. Дьяченко О свойствах коэффициентов Фурье для функций класса Нш, Вестн. МГУ, Сер.1, 2005,4, с. 18−25.

11. Д. М. Дьяченко О некоторых константах, а абсолютно сходящихся рядах Фурье из Нш, Известия высших учебныхзаведений, 7(542), 2007, с. 42−50.

12. Д. М. Дьяченко О некоторых неравенствах для сумм модулей коэффициентов Фурье функций из Нш (Тт), Современные проблемы теории функций и их приложения, Саратов, изд-во Сарат. ун-та, 2008, с. 70.

13. Д. МДьяченко О двусторонних оценках сумм модулей коэффициентов фурье функций из Нш (Тт), Вестн. МГУ, Сер.1, 2008,3.