Случайные и специальные полиномы по общим функциональным системам

Диссертация посвящена исследованию полиномов (конечных линейных комбинаций) по общим и специальным функциональным системам. Необходимость исследования свойств различных полиномов возникает при решении многих задач анализа и теории приближений. Гак, большинство теорем вложения могут быть сформулированы в виде утверждений о поведении полиномов с некоторыми экстремальными свойствами, а отсутствие вложения одного нормированного пространства в другое обычно доказывается демонстрацией «количественной» разницы порядков норм в этих пространствах на экстремальных в определенном смысле полиномах. Такие полиномы строятся либо с помощью какой-нибудь специальной конструкции, либо с помощью некоторой процедуры усреднения, показывающей, что «большинство типичных» («средних» или «случайных» в определенном смысле) полиномов обладает некоторым свойством. Стоит отметить, что свойства полиномов отражают не просто различие двух нормированных пространств, а различие целой последовательности их общих конечномерных подпространс тв — полиномов порядка не выше п. Поэтому утверждение о поведении норм полиномов содержит значительно больше информации в сравнении с результатом о том, что одно нормированное пространство не вкладывается в другое.

Внесем некоторую ясность в терминологию. Пусть {J,}'1 — некоторая система функций на пространстве с мерой (X,/i). Мы будем называть случайным полиномом по системе {/г}" или полиномом со случайными коэффициентами линейную комбинацию следующего вида: где «случайные коэффициенты'' — набор независимых случайных величин на вероятностном пространстве (Q, Р), а. „неслучайные коэффициенты“ {»,-}" , — набор комплексных чисел. Нас будут интересовать свойства случайной величины !)/•'&bdquo-(и/. •)||i (A'./<)" || • |ji — норма в некотором пространстве функций L на (.Y,/i).

Одним из классических результатов, позволяющих, в частности, исследовать свойства случайных полиномов (1), является неравенство Хинчина. Приведем его в следующей форме: п.

1=1.

Теорема. (Неравенство Хин чина (Марцинкевича-Пэли-Зигмунда))' Д. in любого J ^ р < ос существуют константы и Вр > 0 такие, что для произвольного набора независимых случайных величин {?,•} таких, что Е? г- = О и Е|^г|р < оо, справедливы неравенства:

4рЕ ($> р/2 ф.

Если, к тому же, E|ft-|2 = 1, E|?t-|p < М и р > 2, то.

½ г I для всех комплексных коэффициентов {с,-}" с некоторой константой Cv, m > 0. С помощью неравенства Хинчина нетрудно показать, что.

Е|1Е" .

I/- 92и+1 k~—r, IEпо всем kn знакам ед. = ±1.

Ч-е ikx п. 1 ^ р < ОС. где r-fc (u>) = signsin (27rtw) — функции Радемахера, 2 uj? [0,1]. В то же время для случая р = оо Р. Салемом и Л. Зигмундом [35] в 1954 г. было доказано, что.

Е||? rk (. ikx t п log п. k=-n.

Этот факт показывает качественное различие вложений пространства тригонометрических полиномов порядка не выше и в и в Lp при р < ос-.

Приведенные выше оценки целесообразно сравнить со свойствами тригонометрических полиномов специального вида. Гак. для ядер Дирихле 1.

DM = 9 Е имеет место I[ Dn 111 п н.

2|!Д, п + I, в то время ка к для '" типичного'1 тригонометрического полинома, с коэффициентами ±1 имеет место.

Jkx п И у, ikx | a/" log /г, что показывает специфичность ядер Дирихле в пространствах L и ?.v>. Другим примером тригонометрических полиномов с экстремальным и свойствами являются полиномы Рудина-Шапнро, это полиномы вида п.

Rn (x) =? 0kcikx, k=-n со свойством.

Rr,.

11.

1 Неравенство (2) в частном случае независимых бернуллиевских случайных величин было получено, А .Я. Хинчпным [48] в 1923 г. и позже усилено в [24]. Неравенство (3) было выведено из (2) Пэли и Зигмундом [33] в 1930 г. Неравенство (2) в случае произвольных случайных величин было получено Марцинкевичем и Зигмундом [27] в 1937 г. (см. также [17] теор. 2.6 и 2.7 или [49] теор. 10.2).

Или, если читатель предпочитает вероятностную терминологию, {г*} — произвольный набор независимых бернуллиевских случайных величин, принимающих значения ±1 с вероятностями ½. где ек = ±1 — некоторая специальным образом выбранная последовательность знаков (см. [17], теор. 4.11). Таким образом, полиномы Рудина-Шапиро являются экстремальными в классе тригонометрических полиномов с коэффициентами ±1 в смысле малости (по порядку) их || • Ц^- нормы.

К настоящему моменту получен ряд оценок равномерной нормы случайных полиномов вида (1) с различными ограничениями на {?•}" и {/"}". Отметим, что в то время как оценки сверху давно нашли разнообразные приложения в анализе и теории вероятностей, приложения соответствующих оценок снизу не столь многочисленны. Однако, доказательство именно нижних оценок обычно наиболее трудоемко и требует использования специфических свойств систем {/,} и {?,•}. В доказательстве верхних оценок условия на систему {/г} обычно существенно слабее. 'Гак, часто, если для математического ожидания нормы полинома вида (1) по системе {/-}" выполнена некоторая верхняя опенка, то она имеет место и в том случае, если мы заменим в выражении (1) функции ,/г на их абсолютные величины |/'г (. Для доказательства верхних оценок часто бывает достаточно несложной процедуры усреднения (см. доказательство верхней оценки в разделе 2.1). В качестве1 примера простой и полезной оценки сверху приведем следующий хорошо известный результат.

Теорема, (см. [15], гл. VI, теор. 1) Пусть существует константа р > 0 такал, что для каждого полипома по системе функций {/"} С L^X.f.i) (fiX = 1) имеет место: ч 1.

Пусть также независимые случайные величины {&}", являются субгауссовски-ми, Л т. е. для любого i — 1,.. ., п выполнено.

А2.

Еехр (А?,) ^ ехр (~) «/>» ¦ вст-с — оо < А < со. Тогда для любого х >2 имеет место неравенство р{IIЕ ч Е iog (2px)f2} ^ г i.

Следствием этой теоремы является следующая полезная Теорема, (см. [15], гл. VI, теор. 3) Пусть {/*} — комплексные тригонометрические полиномы d переменных порядка не выше N. а — набор независимых субгауссовских величин и с/ > 0, тогда имеем p{liE^L > -v)½} < к к где Cg, d >0 — некоторая постоянная. и, следовательно, если &bdquo-множество индексов, А С { —:V,. N}d. то.

Ell Е&а*<-(M, IL < 2G,/2.,(E Ы2ьё v)½. (5) kP k? A.

3Субгауссовость величин & здесь, по большому счету, не важна. Для выполнения теоремы (возможно с другими константами) нужно, чтобы «хвосты» ' распределений всех линейных комбинаций J2ci& .Убывали достаточно быстро, что обеспечивается, например, выполнением экспоненциальной оценки типа (2.1) (см. раздел 2.1). Заметим, что и стандартные нормальные случайные величины, и функции Радемахера являются субга.уссовсклми.

Как было отмечено выше, доказательство нижних оценок равномерной нормы случайных полиломов является обычно существенно более трудном задачей и требует использования различных специфических свойств систем {/',-} и {?¦-}. Например, доказательство нижней оценки в соотношении (4) в работе [35] фактически использовало то, что тригонометрическая система является системой характеров (т.е. использовались простые тригонометрические формулы типа cos (q + 0) — cos, а • cos 0 — sin о — sin fi), а также то, что функции Радемахера субгауссовские.4.

В монографиях [25], [26] излагается обширная теория, позволяющая получать оценки математического ожидания равномерной нормы случайного полинома. (1) в том случае, когда система {/,•} является системой характеров на локально-компактной абелевои группе, ограниченной на некоторую компактную окрестность V единичного элемента этой группы. Основным методом получения оценок максимума случайного процесса (в частности, случайного полинома вида. (1)) в [25], [26] служит сведение задачи к оценке е-энтропии множества. V относительно некоторой метрики, 5 индуцируемой этим случайным процессом. Этот метод, восходящий еще к идеям А. Н. Колмогорова, был впервые использован Р. Дадли [11] и В. Н. Судаковым [38], [39] и позднее развит В. Н. Судаковым, К. Ферником, М. Маркусом, М. Леду, Ж. Иизье, М. Талагра.-ном и другими авторами (см. подробнее [25], [26], [40]. [47]). Для доказательства нижних оценок максимума случайного процесса этим методом ключевое значение имеет лемма Слеиьяна [36] для гауссовских векторов. Эта, лемма позволяет оценивать снизу вероятность.

Р{ max У ' / •./ -. ' «}. {хк}Т — некоторая сетка, в А'.

1 </е<�т —' в том случае, когда все нормированные скалярные произведения (углы).

И .11 к > w: векторов УХ}:={Мх^=1еС j = 1, m.

Xk! достаточно малы и {?,-} независимые стандартные гауссовские величины. Дока-за.тельство существования такой сетки {xj} представляет в ряде случаев отдельную нетривиальную задачу. Кроме того, поскольку лемма Слеиьяна применима лишь к гауссовским векторам, возникают серьезные трудности с перенесением результатов для случайных полиномов с га. уссовскими коэффициентами на. случай негауссовских {£г" }.

В 1995 г. Б. С. Катиным и Л. Цафрири в работах [21]-[23] была предложена другая методика получения нижних оценок равномерной нормы случайных полиномов. Их метод позволил впервые получить нетривиальные нижние оценки равномерной нормы случайных полиномов по любой ортонормированной системе равномерно ограниченных в L^ функций. Этот метод использовал версию двумерной центральной предельной теоремы с точной оценкой оста точного.

Н [17] (гл. 4, утверждение -) можно найти элегантное доказательство нижней оценки равномерной нормы случайного полинома. & cos кх, где J — независимые г ауссовские величины, которое использует то, что матрица (соs—jk) что ортогональные гауссовские величины независимы.

Определение с-энтропии можно найти в разделе 3.1. j, к~ U кратна ортогональной, и то. члена,. При этом уже не требовалось оценивать все попарные углы между векторами Wx, а лишь показать, что эти углы малы в среднем. Сформулируем этот результат.

Теорема. (1>.С. Кашин, Л. Цафрири [22], [23]) Пусть системы функций {/г}" =1 и определены на вероятностных пространствах (Х,/л) и (П. Р) соответственно и удовлетворяют условиям: a) Ц/г'Цг = I и ||/г||з ^ М для всех г = 1,.. ., пп п j, 9 b) II X] сг/г'Ц2 ^ Л/! ^ |сг-|2) «для всех наборов коэффициентов — г=1 г=1 c) {?,•}» — • независимые случайные величины такие, что Е£- = 0. Е|£,-|2 = 1 и.

Тогда существуют положите. гъные / = 1,2,3 такие, что для случайного оценка константы6 q = q (M). Cj = СД.1/), полинома (!) имеет место следующая п I г< П: \Fn^, x)\Lx[X] < r^kl^d+log^} < (6) г = 1 где.

Н = 1?({q,¦}?):= (7).

L-=i kr и, следовательно,.

П П JI.

EllEfli^ILm ^^(EN2) «(1 + log R) i/2- (8) = 1 i = 1.

Таким образом, было показано, что нижняя оценка в теореме Салема-Зигмунда (см. (4)) остается справедливой для случайных полиномов по любой ортонормированной равномерно ограниченной в L3 системе.7 В [22] Б. С. Кашин и .11. Цафрири ввели следующую норму.

II./'IIт.ОС. := / ••• / n^x{f (.x1).f{xlll)}(l/i (x1).dfi (.cm), J X Jx где / — интегрируемая функция, определенная на пространстве с мерой (A", /i), /i (A') = 1. Следуя работам автора [8]-[10], будем называть норму ||/||т, оо интегрально-равномерной нормой. При доказательстве оценок (б). (8) для равномерной нормы в [21], [23] фактически были получены аналогичные оценки для интегрально-равномерной нормы со значением параметра т. х R²+e. Стоит заметит!, что оценки для нормы \f\m, oc, (точнее для семейства норм с т ^ 1).

6Автором показано, что степенной показатель q можно выбрать не зависимо от М любым числом из интервала (0,½), при этом константы С, — могут зависеть от выбора q (см. георему 1.2 и замечание 1.3).

Б.С. Кашиным и Л. Цафрири было замечено, что оценки (б), (8) остаются верными и для равномерно ограниченных в /, р при р > 2 систем функций {/,•}?, удовлетворяющих ||/,-||2 = 1 и (Ь), (см. замечания в [21] и замечание 1.4 в разделе 1.2). представляют самостоятельный интерес, так как несут в себе достаточно полную информацию о распределении функции Лj (t) = fi{x? .V: f (x) ^ t}. Так, нетрудно показать, что.

Ia-f (t))m)dt.

J о.

Легко ВИДеТЬ, ЧТО ||/|ji = ||/||l, oo < ||/||m, oo < ll/iloo, причем ll/l m —>• ос. В разделе- 1.1 (теор. 1.1) будет показано, что при т, оо X sup jm j |/| с///}. А.

Это соотношение удобным образом связывает интегрально-равномерную норму интегрируемой функции с ее распределением.

В разделе 1.2 оценки (6), (8) будут обобщены на случай интегрально-равномерной нормы с произвольным значением параметра т, а также будет показано, что оценки типа (6), (8) остаются верными и для полиномов по системам функций {/}i удовлетворяющим (а) и (Ь'), где b') II Е-'=л ?ifilb ^ Мп*+Р для всех наборов знаков = ±1 с некоторыми р? [0, М > 0.

В разделе 2.1 будет установлена оценка сверху, во многих случаях подтверждающая точность полученной нижней оценки. Как непосредственное следствие теорем 1.2 и 2.1 (см. также замечания 1.1, 2.1, лемму 2.1 и следствие 2.1) может быть получена следующая.

Теорема 0.1. Пусть набор функций {)]}'{ на вероятностном пространстве (A',/t) удовлетворяет условиям. (а) и (Ь') — а набор независимых случайных величин на другом, вероятностном, пространстве (Q, Р) удовлетворяет ©. Пусть также набор комплексных коэффициентов {а,-}" такой, что м.

EILi кг.

Тогда при всех т ^ п справедливо неравенство в > - + р.

1=1.

Е|| (' Е l + logm)½. 1 г = 1 где С4 — СЛ (@.р, М) >0 — некоторая постоянная.

Если, к тому же. случайные величины равномерно ограничены в Lc (т.е. ess sup ^ М). то при всех т ^ 1 выполнено не равенство г = 1 i=i.

1 + log т)½ с некоторой константой С5(Л/). (Последнее неравенство выполнено для любого набора функций {/',} С Ij (yo{X, //).}.

Таким образом, оценки типа (6), (8) могут быть неверны только для систем функций {/-}, существенно отличаняцихся от ортогональных таких, как, например, последовательность функций, сходящаяся к некоторой фиксированной функции.

Следствием теорем 1.2 и 1.1 является также следующая.

Теорема 0.2. Пусть случайные величины {?,¦}" ' на вероятностном пространстве (О, Р) удовлетворяют ©, а набор функций {/,}'(определенный на другом вероятностном пространстве (А/<) удовлетворяет условию (а). Пусть также для. набора функций {/-}" ' и набора комплексных коэффициентов {a,-},' ыполнено уелоьие:

11 п k*) Е <" '/г L ^ М/?'(Е Ы2) для всех наборов коэффициентов {с,}", где i=1 — г = 1.

R = /('({а,-}, 1) определяется формулой (7) — с некоторыми константами р? [0, Л/ > 0. Тогда существуют некоторые постоянные8 q' = q'(p) > 0. С' = С-{М, р) > 0, j = 1,2,3 такие, что при всех т ^ 1 справедливы следующие неравенства п 71 ^ у- ^ / sup (ml ^-^r, t. A = i/m Л «=1 где Р — 1 + min (/?г, R). и п п е (sup {ml ^Ш^Ш^'Н}) > Cz{ ^H'logP)*. v дел ,/д.. > '. л.

Дальнейшее обобщение результата Б. С. Кашина и Л. Цафрнрп будет получено в разделе 2.2. Там оценки типа (6), (8) в частном случае а, = 1 будут получены для интегрально-равномерной нормы случайных полиномов гю системам функций {/,•} С L, вообще говоря, неограниченным в Lp, р > 1. Отметим, что этот результат является новым и для случая £co-нормы случайных полиномов по таким системам функций. Сформулируем простейшую версию этого результата.

Теорема 0.3. (См. теорему 2.2 и следствие 2.2) Пусть независимые случайные величины удовлетворяют ©, а набор функций на (Л',//) (fiX = 1) удов л е т воряе т уел о в и ю: j[ fi ||i = 1 для всех i = J,.. ., п ". i 11 II^Qifilh ^ для всех наборов знаков {0-У{, 0-t = ±1 1 с некоторыми постоянными р? [0, М > 0. Тогда при всех т С. и справедливо неравенство п п fp {т y^i^ii i-rni/nx*}) •.

1=1 ,?=1Х/, П JA 1=1^Ell Ef'/i,." ^ r'6^T (l+logm) г = 1 с некоторой константой (,'б = С<>(р, М) > 0. ьКонстаыту q' можно выбрать произвольным образом из интервала (0, — '2р)) при этом остальные константы С', j = 1.2,3, будут зависеть от выбора. </ (см. замечание 1.3).

Глава 3 связана с проблематикой оценок s-энтронии и колмогоровских поперечников соболевских классов функций многих переменных в /.. норме. Точнее, мы рассмотрим вопрос о существовании тригонометрических полиномов с определенным экстремальным свойством, возникший в связи с важной для приложений в анализе и теории вероятностей задаче оценки t-энтропии и колмогоровских поперечников в пространстве L^, классов функций нескольких переменных с ограниченной в Ь2 смешанной производной. Эта задача остается открытой в течении довольно длительного времени. В разделе 3. J приводится небольшой обзор соответствующих результатов. В разделе 3.2 строится последовательность тригонометрических полиномов вида s".

X = Е о*]*.

2 к см. теорему 3.1) с интересным экстремальным свойством: л, <: v «.

2k~l^j<2k.

5'"IL^ l' а. ei3X\ < I.

E «.

2A" —1 ^ 1.71 <2fc.

CMX A? для всех n = 1.2. с некоторыми абсолютными положительными константами Ai, Л2- A: i. Эти полиномы интересны еще и тем. что снова показывают разное поведение специальных и случайных полиномов. Действительно, Б. С. Катиным и В. Н. Темляковым в [19], [20] было показано, что для любых полипомов вида (9) выполнено.

Е ]Гг*(с k=i b3e.

I’JX с Е Е к=1 2к->^]<2к b: ie'JX где1 г* (и-) — функции Ра. демахера, С >0 — некоторая абсолютная константа. Поэтому для полиномов (9) Е к~ Е С ¦ А2п.

Использованный для построения полиномов Sn метод в каком-то смысле позаимствован из стохастического анализа и показывает, что аналоги марковских моментов остановки могут быть использованы и без наличия потока ст-алгебр (определения см. в [52]). Этот метод достаточно универсален и может быть применен для построения экстремальных полиномов по довольно широкому классу функциональных систем.

1. Бочкарёв С. В., Абсолютная сходимость рядов Фурье по полным ортонор-мироьанным системам// Успехи матем. наук. 1972. т. 27. N. 2. с. 57−76.

2. Бочкарёв С. В., Ряды Вал. ле-Пуссена в пространствах В МО, L и H1(D), и мультипликативные неравенства// Труды МИАН. 1995. т. 210. с. 41−64.

3. Бочкарёв С. В., Мультипликативные оценки Li-нормы экспоненциальных сумм // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сб. статей. Москва: АФЦ. 1999. с. 57−68.

4. Бхаттачария Р. Н., Ран го Рао Р., А ппроксимацил нормальным распределением, и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982.

5. Григорьев П. Г., Об одной последовательности тригонометрических полиномов// Матем. заметки. 1997. т. 61. N. 6. с. 935−938.

6. Григорьев П. Г., Оценки норм случайных полиномов и, их приложение// Тезисы докладов Воронежской зимней матем. школы: «Современные методы теории функций и смежные проблемы.» ВГУ. Воронеж, 2001. с. 100−103.

7. Зигмунд А., Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965.

8. Кахан Ж.-П., Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973.

9. Кашин Б. С., Поперечники некоторых конечномерных. множеств и классов гладких функций// Изв. АН СССР. 1977. т. 41. N. 2. с. 334 -351.

10. Кашин Б. С. Саакян А.А., Ортогональные ряды, (второе издание) Москва: АФЦ, 1999.

11. Кашин Б. С., Темляков В. Н., Об оценке аппроксимативных характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной // Матем. заме тки. 1995. т. 58. N. 6. с. 922−925.

12. Кашин Б. С., Темляков В. Н., Об одной норме и связанных с ней приложениях /У Матем. заметки. 1998. т. 64. N. 4. с. 637−640.

13. Ivashin, В., Tzafriri, L., Lower estimates for the supremum of some random processes. II // East J. Approx. 1995. v. 1. N. 3. p. 373−377.

14. Kashin, В., Tzalriri, L., Lower estimates for the supremum of some random processes, II // Preprint, Max-Plank Institut fur Mathematik, Bonn/95−85, 1995.

15. Никольский C.M., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969.

16. Спринджук В. Г., Метрическая теория диофантовых приближений // М.: Наука. 1977.

17. Судаков В. Н. Меры Гаусса, Коши и е-энтропия // ДАН СССР. 1969. т. 185. N. 1. с. 43−45.

18. Судаков В. Н., Гауссовские случайные процессы и меры телесных углов в гильбертовом пространстве j j ДАН СССР. 1971. т. 197. N. 1. с. 51−53.

19. Судаков В. Н., Геометрические проблемы теории бесконечных вероятностных распределений // Труды МИАН. 1976. т. 141. с. 3−190.41. (Талагран) Talagrand, М., The small ball problem for the Brownian sheetЦ Ann. Probability. 1994. v 22. N 3. p. 1331−1354.

20. Темляков B.H., Приближения функций с ограниченной смешанной производной // Труды МИАН. 1986. т. 178.

21. Temlyakov, V.N., An inequality for trigometric polynomials and its applications for estimating the entropy numbers j/ J. Complexity. 1995. v. 11. p. 293−307.

22. Sidak, Z., On multivariate normal probabilities of rectangles// Ann. Math. Statist. 1968. v. 39. p. 1425−1434.

23. Ширяев А. П., Вероятность, M.: Наука, 1989.